47 4. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 4.1 Sean los

4. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
4.1
Sean los puntos del plano de coordenadas A = (−3, 2) y B = (5, 4).
i)
Dibujar la recta que pasa por ellos y calcular dist (A, B).
ii)
Calcular el vector BA y las coordenadas del punto medio del segmento que une A con
B.
iii) Encontrar el punto del segmento AB que dista de A triple que de B. ¿Hay puntos en la
recta que une A con B y fuera del segmento AB que cumplan esta condición? En caso
afirmativo, calcúlalos.
iv) Sean O = (0, 0) y C el punto del segmento AB que has hallado en iii). Encuentra, si
existen, los puntos de la recta que une O con C que equidistan de A y B.
v)
Dibuja el conjunto
M = {P ∈
4.2
2
: dist (P, A) = 2 dist (P, B)}
Sean A y B puntos del plano y k un número real no negativo. Sea u un vector unitario de
2
. Dibujar los conjuntos siguientes:
i)
{x ∈
2
: < x − A, x − B > = 0}
ii)
{x ∈
2
: dist (x, A) = dist (x , B )}
iii)
{x ∈
iv) {x ∈
4.3
2
2
: dist ( x, A) 2 − dist ( x , B ) 2 = 2k}
: < x − A, u > = k}
(∗) Sean k, m y n números reales. Consideremos la parábola P:
x2 = 4ky, y la recta r:
y = mx + n
i)
Demostrar que la recta r es tangente a P si y sólo si km2 + n = 0.
ii)
Determinar el conjunto de puntos del plano desde los que pueden trazarse dos rectas
tangentes a P perpendiculares entre sí.
4.4
Determinar el área del triángulo cuyos lados se apoyan en las asíntotas de la hipérbola de
ecuación H: b2x2 − a2y2 = a2b2 y en la recta tangente a H en uno de sus puntos.
4.5
Sean A, B, C y D cuatro puntos del plano.
i)
Probar que ABCD es un paralelogramo si y sólo si para cualquier punto Q del plano se
cumple la igualdad
QA + QC = QB + QD
47
ii)
Probar que si ABCD es un paralelogramo, la suma de los cuadrados de sus diagonales
es la suma de los cuadrados de los lados.
iii) Probar que si ABCD es un paralelogramo, entonces para cualquier punto Q del plano
se cumple que
QA2 + QC2 = QB2 + QD2
iv) Probar que si ABCD es un trapecio en el que los lados AD y BC son paralelos cuyos
puntos medios denotamos por M y N, las rectas AB, CD y MN son concurrentes.
4.6
i)
Sean A, B y C tres puntos situados en una circunferencia de centro O. Probar que
∠ABC =
ii)
1
∠AOC .
2
Dados tres puntos A, B y C en el plano demostrar que la circunferencia de diámetro
AC pasa por B si y sólo si el ángulo ∠ABC es recto.
iii) Sean A y C dos puntos del plano no situados en la circunferencia Γ. Construir un
triángulo rectángulo inscrito en Γ, uno de cuyos catetos pasa por A y el otro por C.
iv) Dados los puntos A y B del plano, y una recta r, construir un punto P ∈ r tal que
∠APB sea recto.
4.7
i)
¿Qué relación existe entre el radio de una circunferencia, la longitud de una cuerda y
la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda?
ii)
Dados en el plano una recta l, un punto P y dos segmentos de longitudes a y b,
construir una circunferencia de radio a que pase por P y determine sobre l una cuerda
de longitud b.
4.8
i)
Sean Γ una circunferencia y P un punto exterior a Γ. Demostrar que para cada secante
r a Γ que pasa por P, el producto PM · PN de las longitudes de los segmentos que unen
P con los puntos M y N en que la secante corta a Γ es constante. Esta constante se
llama potencia de P respecto de Γ, Pot (P; Γ).
ii) Deducir que las dos tangentes trazadas a Γ desde P miden lo mismo, y dicha cantidad
es la raíz cuadrada de Pot (P; Γ).
48
iii) Dadas en el plano dos rectas concurrentes r y s y un punto P ∉ r ∪ s, construir una
circunferencia Γ que pase por P y sea tangente a r y s.
4.9
Encontrar el punto P de la recta l que hace mínima la suma de distancias AP + PB.
A
4.10
l
B
(∗ )
i) Probar que las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares si y sólo si el
paralelogramo es un rombo.
ii) Probar que las diagonales de un paralelogramo miden lo mismo si y sólo si el
paralelogramo es un rectángulo.
iii) Sean ABCD = Γ un cuadrilátero convexo y Γ ' el paralelogramo que tiene por vértices
los puntos medios de los lados de Γ. Caracterizar los cuadriláteros Γ para los que Γ '
es un rectángulo y aquellos para los que Γ ' es un rombo.
iv) Demostrar que si los puntos medios de los lados de dos cuadriláteros convexos
coinciden, ambos tienen igual área.
v) Probar que si P es un punto interior al paralelogramo ABCD, la suma de las áreas de
los triángulos ABP y PCD coinciden, es decir, no dependen de P.
4.11
i)
Sea P un punto de la región encerrada por el triángulo equilátero ABC. Probar que la
suma de las distancias de P a los lados del triángulo es una cantidad que no depende
de P.
ii)
Sea P un punto del lado desigual de un triángulo isósceles. Demostrar que la suma de
distancias de P a los otros dos lados es una cantidad que no depende de P.
4.12
Demostrar que si ABCD es un cuadrado, el triángulo APB de la figura es equilátero.
D
15º
15º
C
P
A
4.13
B
Para cada punto P en la hipérbola xy = a se considera el triángulo que tiene por lados a
2
los ejes de coordenadas y a la tangente en P a la hipérbola. Demostrar que el área de
dicho triángulo es independiente del punto P escogido.
4.14
Demostrar que si las longitudes a, b y c de los lados de un triángulo cumplen que
a2 + b2 = 5c2. entonces el ángulo que forman las medianas que inciden en los lados a y b
es recto.
49
4.15
Las rectas r y s, que se cortan en C, son tangentes en los puntos A y B a la parábola y = x2.
r
Determinar el área del triángulo ABC en función de la longitud m de su mediana trazada
desde C.
4.16
La figura representa tres cuadrados iguales. Calcular la suma α + β + γ.
γ
β
α
4.17
4.18
i)
Sea (a, b) un punto de la recta x + y = 2. Prueba que a2 + b2 ≥ 2.
ii)
Sea (a, b, c) un punto del plano x + y + z = 3. Prueba que a2 + b2 + c2 ≥ 3.
Dados los puntos del espacio de coordenadas A = (4, 8, 11), B = (−3, 1, 4) y C = (2, 3, −3),
se pide:
r
i)
¿Cuánto miden los lados del triángulo ABC? Calcular los puntos medios de los lados.
ii)
Comprobar que AB + BC + CA es el vector nulo.
iii) ¿En qué puntos corta la recta AB a los planos coordenados?
r
iv) ¿Cuánto mide la altura del triángulo ABC que pasa por B? Calcular el área del triángulo.
v)
¿Cuánto mide el ángulo del vértice C? ¿Y la bisectriz interior de dicho ángulo?
r
vi) Calcular el centro y el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.
vii) Encontrar las coordenadas de aquellos puntos D tales que el cuadrilátero ABCD es un
paralelogramo.
viii) Encontrar las coordenadas del punto P tal que A es el punto medio del segmento BP.
4.19
Representar de forma esquemática los siguientes subconjuntos de
{( x, y , z) :
z = 1} ;
{( x, y , z) :
x = y = z = 1} ;
{( x, y , z) :
x = z;
{( λ − µ, µ − λ, 1) :
{( x, y , z ) ∈
3
{(λ, µ,1) :
y = 2 z};
λ, µ ∈
λ, µ ∈
{( x , y, z ) :
} ; {( x, y , z ) :
x = y = z} ;
.
x = z = 1}
{( x, y , z ) :
{(λ + µ + υ, 2 (λ + µ + υ), 1) :
} ; {( x, y , z) :
3
y = 2 x}
λ, µ,υ ∈
x + y + z = x − z = 3x + 3 y + 2 z = 0}
: x + 2 y + 2 z − 12 = x 2 + y 2 + z 2 − 25 = 0} .
4.20
i)
¿Qué figura es la definida por M = {(2 + t, 3 − t, 4 + 2t ) : t ∈
50
}
}?
Encuentra dos puntos en M y describe M por ecuaciones implícitas. Acabas de
describir M como intersección de dos figuras; ¿de qué naturaleza son?
ii)
¿Qué figura es la definida por
N = {( 2 − t + s, 4 + 2t − 2 s, 3) : t, s ∈
}?
Encuentra 3 puntos en N y descríbelo por una ecuación implícita.
4.21
Determinar los valores que deben tomar los números reales a y b para que los planos
π1 : {x + y + z = 1} ; π2 : {ax + y + z = 1} ; π3 : {x + ay + bz = 1}
i)
Tengan un único punto común.
ii)
Tengan una única recta común.
iii) Se corten dos a dos.
4.22
(∗) En el espacio afín se consideran las rectas
x+ y+ z = 3
r : 
;
 2 x − ay + 3z = 4
3 x − 3 y + 4 z = 7
s:
5 x − ( a + b) y + 7 z = 8 + b
donde a y b son números reales. Discutir, según los valores de a y b la posición relativa
de r y s.
4.23
i)
Escribe las ecuaciones de una recta contenida en el plano π: x + y + z = 1.
ii)
Y que además pase por el punto P = (1, 0, 0).
iii) Y que además sea perpendicular al plano π’: x − 2y + z = 3.
iv) Escribe la ecuación de un plano que corte a π en la recta que has obtenido en iii).
4.24
¿Son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones?
i)
La condición necesaria y suficiente para que dos rectas de
3
se corten en un punto es
que sean coplanarias.
ii)
Si dos planos π1 y π2 son perpendiculares, entonces toda recta contenida en π1 es
perpendicular a toda recta contenida en π2.
iii) Si la recta r es perpendicular al plano π, entonces es perpendicular a toda recta
contenida en π.
51
iv) Si los planos π1 y π2 se cortan a lo largo de una recta, entonces no existen rectas
paralelas r1 ⊂ π1 y r2 ⊂ π2.
4.25
Discutir, según la posición relativa de las rectas r y s de
3
y el punto P ∈
3
, la
existencia de una recta que pase por P y corte a r y s.
4.26
Una matriz cuadrada se llama antisimétrica si sumada con su traspuesta da la matriz nula.
Calcular el determinante de una matriz antisimétrica de orden 3 y de orden 5.
4.27
i)
¿Es cierto que si la matriz cuadrada A no es nula tampoco lo es A2?
ii)
Demostrar que si A es una matriz cuadrada de orden 3, entonces el producto A · At es
una matriz simétrica.
4.28
i)
Encontrar una matriz cuadrada X de orden 2 tal que
1 2 
 3 5

 X = 

3 4 
 5 9
ii)
Encontrar un número real x y una matriz cuadrada A de orden 2 tal que A no sea la
matriz nula y que se verifique
1 2 
2 4

 A = 
 A
3 x 
6 8
iii) ¿Es invertible la matriz cuadrada A = ( aij ) de orden 4 tal que a ij = i + j ?
4.29
(∗) Sean A y B matrices con coeficientes reales, A con 3 filas y dos columnas y B con dos
columnas y tres filas. Calcular det (AB). ¿Coincide necesariamente con det (BA)? Busca
alguna explicación.
4.30
i)
Sea A una matriz con coeficientes reales con 2 filas y 2 columnas. ¿Cuánto vale
det (A · At)?
52
ii)
Sean u1 , u2 y u3 tres vectores de
2
y < u i , u j > el producto escalar de u1 por u j .
Sea A = ( aij : 1 ≤ i, j ≤ 3) la matriz dada por a ij =< ui , u j > . Calcular det A.
4.31
Sean u1 , u2 y u3 tres vectores de
3
, A la matriz cuyas columnas son las coordenadas de
u1 , u2 y u3 respecto de la base canónica de
3
y
G = ( g ij : 1 ≤ i , j ≤ 3) donde
g ij =< ui , u j > . Comparar det A y det G.
4.32
1
1
 1 1
Sean A = 
 y B = 
 .
 0 − 1
 0 1
i)
Calcular, para cada n ∈ , las potencias An y Bn.
ii)
¿Existe alguna matriz P de orden 2 con determinante no nulo tal que PA = BP?
iii) Encontrar todas las matrices P de orden 2 tales que PA = BP.
4.33
Un niño tiene 455 pesetas en monedas de 10 y 25 pesetas. ¿Cuáles son los números
máximo y mínimo de monedas que puede tener?
4.34
Colocamos de forma arbitraria 10 puntos en una circunferencia y los numeramos al azar
con los números 1, 2, ..., 10. Probar que hay 3 consecutivos que suman más que 16.
4.35
(∗) Sean
N un número natural y A un subconjunto con N +1 elementos de {1, 2, ..., 2N}.
Probar que existen x, y ∈ A tales que x divide a y.
4.36
Demuestra que si p es un número primo, p ≠ 5, 2, entonces p2 − 1 o p2 + 1 es múltiplo de
10.
4.37
(∗ )
i)
Calcula el resto de la división entre 13 de 100, 103 y 106.
ii)
Demuestra que si p > 3 es un número primo, entonces M = 102p − 10p + 1 es múltiplo
de 13.
53
4.38
(∗) Sea P(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6
i)
Demostrar que para cada número natural n, P(n) es múltiplo de 6 y P(n) + 6 lo es de
n + 4.
ii)
4.39
Probar que si n > 2, entonces 1 +
(∗) Un movimiento del plano
2
P( n)
no es primo.
6
2
es una aplicación f:
→
2
que conserva la distancia,
2
esto es, para cada par de puntos P y Q en
,
dist ( f ( P ), f (Q) ) = dist (P, Q).
i)
Demuestra que los movimientos son aplicaciones inyectivas.
ii)
Demuestra que la composición de dos movimientos es otro movimiento.
iii) Se llama giro de centro el punto C ∈
2
y ángulo β ∈ [0, 2π) a la aplicación
2
gC,β :
→
2
que deja fijo C y transforma cada punto P ≠ C en el único punto P′∈
2
que cumple
las condiciones:
dist (C, P′) = dist (C, P); ∠ PCP′ = β.
Demostrar que gC,β es un movimiento.
iv) Se llama simetría respecto de la recta r ⊂
2
2
→
Sr :
a la aplicación
2
que fija los puntos de r y transforma cada punto P ∉ r en el único punto P′ ∈
cumple las condiciones:
dist (P′, r) = dist (P, r); PP′ ⊥ r.
Demostrar que Sr es un movimiento.
v)
Se llama traslación de vector w ∈
Tw :
2
2
a la aplicación
→
2
: P → P+w.
Demostrar que Tw es un movimiento
4.40
(∗ )
i)
Sean P y Q puntos del plano. ¿Qué figura es el conjunto
R = {tP + (1 − t) · Q : t ∈ }?
Para cada punto de R, determina su posición respecto de P y Q en función de t.
54
2
que
ii)
Demuestra que si f :
2
→
es un movimiento, y t ∈ ,
2
f (tP + (1 − t) Q ) = t ⋅ f ( P ) + (1 − t ) ⋅ f (Q) .
2
iii) ¿Cuál es la imagen por f de una recta de
? ¿Y de un segmento?
iv) Demuestra que la imagen por un movimiento f del triángulo de vértices P1, P2 y P3 es
el triángulo de vértices f (P1), f (P2) y f (P3) y que ambos triángulos comparten sus
ángulos.
4.41
i)
Sea f :
2
→
2
un movimiento que deja fijo el origen de coordenadas O = (0, 0).
Demuestra que existe una matriz M(f) de orden 2 con coeficientes en
cada punto P = (x, y) ∈
2
tal que para
las coordenadas de f (P) = (u, v) cumplen que
u 
x
  = M ( f )  
v 
 y
ii)
Con las notaciones del ejercicio 4.39, calcula M(gO,β) y M(Sr) siendo r la recta
r: ax + by = 0.
iii) Demuestra que M(f) es una matriz ortogonal, es decir, el producto M(f) · M(f)t es la
matriz identidad.
iv) Demuestra que los movimientos que dejan fijo el origen de coordenadas son
biyecciones.
4.42
Sea f :
i)
2
→
2
un movimiento.
Demuestra que existen un vector w y un movimiento g :
2
→
2
que fija el origen
tales que f = T w o g . Demuestra que w y g son únicos con esta propiedad.
ii)
Demuestra que f es biyectiva.
iii) Demuestra que la inversa f −1:
2
→
2
de f es también un movimiento.
iv) Demuestra que la aplicación identidad de
2
1 2=
2
→
2
: Pa P
2
es un movimiento y que para cada movimiento f :
f o 1 2=1
v)
Demuestra que el conjunto M(
2
→
2
se cumple que
o f = f.
2
) de los movimientos de
2
composición
o : M(
) × M(
2
) → M(
2
55
2
) : (f, g) a f o g
con la operación
es un grupo, es decir, se cumplen las propiedades
Asociativa:
f o (g o h) = (f o g) o h.
Existencia de elemento neutro:
1 2 o f = f o 1 2 = f.
Existencia de elemento inverso: f o f −1 = f −1 o f = 1 2 .
4.43
i)
Demostrar que el único movimiento que deja fijos tres puntos no alineados es la
identidad.
ii)
Demostrar que si dos movimientos toman los mismos valores en tres puntos no
alineados, entonces coinciden.
iii) Sean r y s dos rectas que se cortan en el punto P formando ángulo β. Comprobar que
S S o S r = g P, 2 β .
iv) Sean r y s rectas paralelas, P∈ r, P′∈ S tales que la recta que une P con P′ es
perpendicular a r y w = PP . Demostrar que S S o S r = T2 w .
4.44
Sea f :
i)
2
→
2
un movimiento que deja fijos los puntos P y Q.
Demostrar que f deja fijos todos los puntos de la recta que une P con Q, a la que
llamamos r.
ii)
4.45
Demostrar que f es la identidad o la simetría respecto de r.
Sea f :
2
→
2
un movimiento que deja fijo un único punto P. Demostrar que f es un
giro de centro P.
4.46
Sea f :
2
→
2
un movimiento. Demostrar que f es composición de, a lo sumo, tres
simetrías en rectas.
4.47
Para cada número natural n denotamos por Pn un polígono regular de n vértices inscrito
en la circunferencia de centro el origen O = (0, 0) de
2
y radio 1, cuyos vértices
denotamos por Vn = {v1, ... , vn}. Se llama n-ésimo grupo diedral al conjunto
Dn = {f ∈ M ( 2) : f (Pn) = Pn}
56
i)
Demuestra que si f∈ D3, su restricción f V3 : V 3 → V3 es una biyección y que para
cada biyección b : V3 → V3 existe f∈ D3, tal que b = fV3. ¿Cuántos elementos hay
en D3? ¿Cuáles son?
ii)
Demuestra que si f∈ D4, su restricción f V4 : V4 → V4 es una biyección pero existen
biyecciones b : V4 → V4 que no son la restricción de ningún f∈ D4.
iii) Demuestra que si f∈ D4 y los vértices Vi y Vj son contiguos, también lo son f (Vi) y
f (Vj). Deduce que D4 tienen a lo sumo 8 elementos.
iv) Sea σ el giro de centro O y ángulo
π
y τ la simetría respecto de la recta que une O
2
con V1. Demuestra que σ, τ ∈ D4, que D4 es un grupo, que los elementos
1 2, σ, σ2, σ3, τ , στ, σ2τ, σ3τ
pertenecen a D4 y que son todos distintos. ¿Cuántos elementos tiene D4?
v)
Demuestra que σ τ σ = y que para cada k ∈ , σk τ σk = τ
vi) Un grupo se dice abeliano si sus elementos conmutan, esto es, fg = gf para
cualesquiera elementos f y g en el grupo. ¿Es D4 abeliano? ¿Lo es D3?
vii) ¿Existe f∈ D3 que conmute con todos los elementos de D3, f ≠ 1 2?
viii) ¿Existe f∈ D4, f ≠ 1 2, que conmute con todos los elementos de D4?
4.48
(∗) Sean
n∈
, n ≥ 3, Pn el polígono regular de n vértices inscrito en la circunferencia
de centro el origen y radio 1 y Vn el conjunto de sus vértices.
i)
Comprobar que si vi, vj ∈ Vn son contiguos, también lo son f (v i) y f (v j) para cada
f ∈ Dn. Deducir que Dn tiene a lo sumo 2n elementos.
ii)
Demostrar que si σ es el giro de centro O y ángulo
2π
y τ la simetría respecto de la
n
recta que une O con V1, entonces
Dn = {1 2, σ, σ2, ... , σ n-1, τ , στ, ..., σ n-1τ}
iii) Demostrar que para cada k ∈ , σk τ σ k = τ.
iv) Estudiar, en función de la paridad de n, cuántos elementos de Dn conmutan con todos
los elementos de Dn.
v)
¿Es Dn abeliano para algún valor de n?
57
4.49
Sean n ≥ 3 un número natural y Dn el n-ésimo grupo diedral. Para cada f∈ Dn se llama
orden de f al número
O(f) = mín {k ∈
i)
Calcular O(σ) y O(r) para σ = g
k veces
: f k = f o f o ... o f = 1 2}
O,
2π
n
y τ la simetría respecto de la recta que une O con
v1.
ii)
Para cada 0 ≤ i ≤ n − 1 y cada 0 ≤ j ≤ i calcular el orden de σ i τ j.
iii) Calcular el orden de todos los elementos de D3, D5, y D6.
iv) Demostrar que si f∈ Dn entonces O( f k ) =
O(f)
.
m ⋅ c ⋅ d ( k , O ( f ))
4.50
i)
Sean M un conjunto finito y f : M → M una aplicación. Demostrar que las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
1. f es inyectiva;
ii)
2. f es sobreyectiva;
3. f es biyectiva.
Probar que el conjunto B(M) de las biyecciones de M con la operación composición es
un grupo.
iii) Si M tiene m elementos, ¿cuántos tiene B(M)?
4.51
Determinar el valor de a para que:
i)
Las raíces x1 y x2 de la ecuación x2 − (3a + 2) x + a2 = 0 cumplan que x1 = 9x2.
ii) Las raíces de la ecuación x2 − (2 − a − a2) x − a2 = 0 sean opuestas.
iii) Las raíces de la ecuación x2 + ax + a + 2 = 0 estén en relación 1:2
4.52
Determinar a y b para que las soluciones de la ecuación x2 + ax + b + 2 = 0 sean a y b.
4.53
Hallar algún valor de a para que la ecuación a3 + a2 |a + x| + |a2x + 1| = 1 tenga al menos
4 soluciones enteras distintas.
58
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS CON ASTERISCO (∗)
4.3
i)
La recta r es tangente a P si la corta en un único punto, es decir, si la ecuación de
segundo grado
x2 = 4k (mx + n)
tiene una única solución. Reordenando la ecuación,
x2 − 4kmx − 4kn = 0,
ésta tiene una sola solución si y solo si es nulo su discriminante
∆ = 16k2m2 + 16kn = 16k (km2 + n)
Como P es una parábola, k ≠ 0, luego
r es tangente a P ⇔ ∆ = 0 ⇔ km2 + n = 0.
ii)
Desde el punto A = (u, v) se pueden trazar dos tangentes a P perpendiculares entre sí
si por A pasan dos rectas perpendiculares
r1: y = mx + n;
r2:
y=
−1
x+q
m
(1)
tangentes a P. Que r1 y r2 pasen por A significa que
v = mu + n
y
v=
−u
+q
m
(2)
y que r1 y r2 sean tangentes a P es, por el primer apartado, lo mismo que
km2 + n = 0;
k
+q=0
m2
(3)
Reemplazando en (3) los valores de n y q que se obtienen en (2) resulta
km2 − mu + v = 0; vm2 + mu + k = 0
(4)
y sumando ambas condiciones,
(k + v) (1 + m2) = 0.
Como 1 + m2 ≠ 0, ha de ser v = −k, es decir, el punto A está en la recta horizontal
H: {(u, v) ∈
2
: v = −k}
No hemos considerado la posibilidad de que alguna de las rectas r1 y r2 sea vertical
 u2 
pues aunque {x = u} corta a P en un único punto  u ,  , no es tangente a P, como
 4k 
muestra la figura
59
A = (u, v)
(u, u2/4k)
{x = u}
Recíprocamente, vamos a estudiar desde qué puntos A = (u,−k) de la recta H se
pueden trazar dos tangentes r1 y r2 a P perpendiculares. Escribiendo r1 y r2 como
en (1) y puesto que ahora v = −k, la pendiente m de r1 ha de cumplir las condiciones
(4), que son:
km2 − um − k = 0 ; −km2 + um + k = 0.
Estas dos condiciones coinciden y para que exista una solución real m, es necesario y
suficiente que
∆ = u2 + 4k2 ≥ 0,
lo cual sucede sea cual sea u ∈ . Por lo tanto, el conjunto de puntos buscado es la
recta horizontal H.
4.10
i)
Supongamos que se trata de un rombo
B
A
S
C
Sea S el punto medio de la diagonal AC.
D
Como el triángulo ABC es isósceles,
BS es perpendicular a AC
Por la misma razón,
DS es perpendicular a AC
⇒
{B, S, D} alineados y BD es perpendicular a AC
Recíprocamente, supongamos que las diagonales AC y BD del paralelogramo ABCD
son perpendiculares, y sea S su punto de corte, que es punto medio de ambas.
Así, CS es la mediatriz de BD, luego
dist (C, B) = dist (C, D)
Por la misma razón,
dist (A, B) = dist (A,D)
Pero al ser paralelogramo,
60
dist (A, B) = dist (C, D) y
dist (B, C) = dist (A, D)
luego los 4 lados miden lo mismo y se trata de un rombo.
ii)
Supongamos que se trata de un rectángulo
d
A
B
l
l
D
C
d
Por el teorema de Pitágoras
AC2 = d2 + l2 = BD2.
Recíprocamente, supongamos que las diagonales AC y BD del paralelogramo ABCD
miden los mismo
A
B
d
α
β
l
l
D
C
d
Así d2 +l2 − 2dl cos α = AC2 = BD2 = d2 + l2 − 2dl cos β, luego
cos α = cos β.
Pero 2β + 2α = 2π, es decir, β + α = π, por lo que
cos β = −cos α
Así
2 cos β = 0, luego β = π ⁄ 2 ⇒ α = π ⁄ 2 = β y se trata de un rectángulo.
iii)
B
N
A
P
M
C
D
Q
61
Γ ' rectángulo ⇔ PQ ⊥ QM ⇔ BD ⊥ AC
Γ ' rombo ⇔ NP = PQ.
Como NP =
1
1
AC y PQ = BD
2
2
resulta que
Γ ' es rombo ⇔ AC = BD.
iv) No hace falta comparar dos de tales cuadriláteros, sino sólo probar que somos capaces
de expresar el área de un cuadrilátero a partir de los puntos medios de sus lados. Pero
empleando la figura de iii)
Área =
AC ⋅ BD 2 NP ⋅ 2 PQ
=
= 2 NP ⋅ PQ .
2
2
v)
l
A
B
x
d
r
P
y
D
C
l
r
r
Área APB + Área DPC =
lx ly l ⋅ r
+ =
.
2 2
2
4.22.
Estudiamos en primer lugar la intersección r ∩ s, que será bien vacío, bien un punto, bien
una recta (este último caso cuando r = s). Para ello calculamos los rangos de las matrices
1
1

−a
2
A= 
3
−3

 5 − ( a + b)
1

3
4

7 
y

3 


4 

*
A = A
7 


 8 + b


Intercambiando las filas 2ª y 3ª y las columnas 2ª y 3ª , el problema es equivalente al de
calcular los rangos de
62
1

3
B=
2

5
1
1


4
−3 
3
−a 

7 − ( a + b) 

3 


7 

*
B = B
4 


 8 + b


y
Restando a la segunda fila 3 veces la primera, a la tercera 2 veces la primera y a la cuarta 5
veces la primera, se trata de calcular los rangos de
1

0
C =
0

0
1
1


1
−6

1
− (a + 2 ) 

2 − ( a + b + 5) 

3 


−
2


C* =  C
−2 


 b − 7


y
Restando la segunda fila a la tercera y 2 veces la segunda a la cuarta, todo se reduce a
estudiar los rangos de
1

0
D =
0

0
Es obvio que
1
1


1
−6

0
4−a 

0 7 − (a + b) 

3 


−2 

*
D = D
0 




b
−
3


y
4 − a

rg D = 2 + rg 

 7 − (a + b) 
Por lo tanto:
i)
Si a = 4 y b = 3, entonces rg D = 2
ii)
Si a ≠ 4
o
a = 4 y b ≠ 3, entonces rg D = 3.



*
En el primer caso, D =  D



3 

− 2
luego rg D = rg D* = 2 y así el sistema de ecuaciones

0

0 
inicial es compatible e indeterminado. Por tanto r ∩ s consta de más de un punto, luego es
una recta, esto es, r ∩ s = r = s.
Distinguimos varios subcasos en el caso ii).
Subcaso ii. 1)
a = 4, b ≠ −3
1

0
*
Así rg D = 3 mientras que D = 
0

0
1
1
3 

1 −6
−2 
0
0
0 

0 3 − b b − 3 
63
y como la tercera fila es nula, rg D* = 3. Por ello el sistema es compatible y
determinado, es decir, r ∩ s es un punto. Para calcularlo resolvemos el sistema
 3 

x 
   −2 
D y  = 
 ó sea
z  0 
   b − 3


Subcaso ii. 2)
z = −1

x + y + z = 3


⇔ x + y = 4
 y − 6 z = −2

 (3 − b) z = b − 3
y = −8


⇔
(12, −8, −1)
a ≠ 4, b = 3
1

0
*
También en este caso rg D = 3, mientras que D = 
0

0
por lo que
1
1
1 −6
0 4−a
0 4−a
3 

− 2
0 

0 
4 − a 0 
 = 3 . Así, también en este caso r ∩ s es un
rg D* = 2 + rg 
4 − a 0 
punto, que se obtiene al resolver el sistema
x + y + z = 3

 y − 6 z = −2
 ( 4 − a) z = 0

z = 0

⇔ x + y = 3
 y = −2

⇔
(5, −2, 0)
Por último analizaremos el último
Subcaso ii. 3) a ≠ 4, b ≠ 3
1

0
*
Mientras que rg D = 3, D = 
0

0
1
1
3 

1
−6
−2 
, por lo que
0
4−a
0 

0 7 − (a + b) b − 3 
0 
 4−a
rg D* = 2 + rg 
 = 4 ya que det
 7 − ( a + b) b − 3 
0 
 4−a

 = (4 − a) (b −3) ≠ 0.
 7 − ( a + b) b − 3 
Se trata por tanto de un sistema incompatible por lo que r ∩ s es vacío. Debemos decidir si
r y s son paralelas o se cruzan. Ahora bien, un vector director de r es
⋅
⋅
⋅
w1 = 1 1 1 = (3 + a, −1,−( a + 2)
2 −a 3
64
⋅
⋅
⋅
y otro de s es w 2 = 3
−3
4 = (4(a + b) − 21, − 1, 3(5 − a − b) )
5 − (a + b) 7
Las rectas r y s son paralelas si y solo si los vectores w1 y w2 son proporcionales, es decir,
w1 = w2 (pues comparten la segunda coordenada). Esta condición es:
3 + a = 4( a + b) − 21
⇔

2 + a = 3( a + b − 5)
3a + 4b = 24

2a + 3b = 17
⇔
2 a + 3b = 17
⇔

 a+b=7
b = 3
, y esta

a = 4
opción ya había sido descartada. Por tanto, en este subcaso ii. 3) las rectas r y s se cruzan.
4. 29.
 a11
Escribamos A = a 21

a 31
a12 
b
b
a 22  y B =  11 12

b21 b22
a 32 
b13 
, por lo que
b23 
 a11b11 + a12 b21 a11b12 + a12 b22
AB = a 21b11 + a 22 b21 a 21b12 + a 22 b22
a 31b11 + a 32b21 a 31b12 + a 32 b22
a11b13 + a12 b23 
a 21b13 + a 22 b23 
a 31b13 + a 32 b23 
Los vectores columna de esta matriz se pueden expresar como
w1 = b11 u1 + b21 u2 ; w2 = b12 u1 + b22 u2 ; w3 = b13 u1 + b23 u2
siendo u1 y u2 los vectores
columna de A. Por tanto, w1, w2, w3 son combinaciones lineales de {u1, u2} y por ello
son linealmente dependientes, luego det (AB) = 0.
 1 0
Sin embargo, si elegimos por ejemplo, A = 0 1 , y


0 0
1 0 0
B=
 al multiplicar
0 1 0
resulta
1 0
BA = 
 por lo que det (BA) = 1
0 1
Por contra, si A y B fueran matrices cuadradas del mismo orden, se tendría que
det (AB) = det (A) · det (B) = det (B) · det (A) = det (BA).
4.35.
Escribamos A = {x1, ... , xN+1} y factorizamos cada
x k = 2 m ⋅ bk , 0 ≤ mk , 1 ≤ k ≤ N + 1
k
65
con bk impar. Los N + 1 números impares b1, ..., bN+1 están en {1, 2, ..., 2N}, que sólo
contiene N números impares
1, 3, ..., 2N − 1,
luego existen j, k tales que j ≠ k pero bj = bk .
(
Como xk ≠ xj resulta 0 ≠ x k − x j = 2 m bk − 2 m b j = bk 2 m − 2 m
j
k
luego 2 m ≠ 2
k
mj
k
j
)
y así mk ≠ mj, por ejemplo mj < mk . En consecuencia, y = xk y x = xj
y 2 m ⋅ bk
m −m
∈
= m
=2
x 2 ⋅ bk
k
cumplen
k
, es decir, x divide a y.
j
j
4.37
i)
Como 100 = 7 · 13 + 9, el resto de la división de 100 entre 13 es 9. Multiplicando por
10, 103 =10 · 100 = 10 (7 · 13 + 9) = 70 · 13 + 90 = 70 · 13 + 6 · 13 + 12,
luego 103 = 76 · 13 + 12, y así el resto de la división de 103 entre 13 es 12.
Podemos reescribir lo anterior como
103 = 76 · 13 + 13 − 1 = 77 · 13 − 1
y elevando al cuadrado,
106 = (77 · 13 −1)2 = 772 · 132 − 2 · 77 · 13 +1 = 13 · q + 1
por lo que el resto de la división de 106 entre 13 es 1.
ii)
Por supuesto, todo consiste en demostrar que el resto de la división entre 13 de
p
p
M − 1 = 10 (10 − 1)
es 12. Al dividir p entre 6 se obtiene p = 6a + r, con 0 ≤ r ≤ 5.
Como p es impar al ser primo, p > 3, también r es impar. Si fuese r = 3, sería
10 = 3(2a + 1) múltiplo de 3, lo cual es falso. En consecuencia, r = 1 ó 5.
Sustituyendo, 10 p = 106 a+ r = (13q + 1) a ⋅ 10 r = 13b + 10 r para cierto b ∈ . Por tanto,
M − 1 = (13b + 10 r )(13b + 10 r − 1) = 13c + 10 r (10 r − 1)
para
cierto
c
∈
.
Distinguiendo casos,
•
Si r = 1, 10 r (10 r − 1) = 90 = 13 ⋅ 6 + 12
•
Si r = 5, 10 r (10 r − 1) = 100 ⋅ 103 (100 ⋅ 10 3 − 1) =
= (7 ⋅13 + 9)(77 ⋅13 − 1)(100 ⋅ 10 3 − 1) = (13d − 9 )(13d − 10) = 13e + 90 = 13(e + 6) + 12
En ambos casos, 10 r (10 r − 1) = 13u + 12 para cierto u ∈ , luego
M − 1 = 13(c + u) + 12
como queríamos demostrar.
66
4.38.
i)
P(n) = n3 + 6 (n2 + 1) + 12n − n = 6 (n2 + 2n + 1) + n3 − n = 6 (n + 1)2 + (n − 1) n (n + 1)
El producto de (n − 1) n (n + 1) es múltiplo de 2 y de 3, luego de 6, al ser tres
números consecutivos, luego 6 ⁄ P(n).
Además, P(x) + 6 = x3 + 6x2 + 11x + 12 y dividiendo por Ruffini entre x + 4,
1
−4
1
6
11
12
−4
−8
−12
2
3
0
luego P(n) + 6 = (n + 4)(n2 + 2n +3)
ii)
Hemos probado que 6 ⁄ P(n), luego también 6 ⁄ P(n) +6 y si definimos
f ( n) =
P( n) + 6
P( n )
= 1+
∈ ,
6
6
debemos probar que si n > 2, f (n) no es primo.
Si definimos g(n) = n2 + 2n +3 resulta:
6 · f (n) = P(n) + 6 = (n + 4) · g (n)
Supongamos por reducción al absurdo que f (n) es primo.
Como f (n) ⁄ (n + 4) g(n) y f (n) es primo,
bien f (n) ⁄ n + 4, bien f (n) ⁄ g (n).
Si f (n) ⁄ (n + 4), entonces 6 · f(n) ⁄ 6 (n + 4), luego
P (n) + 6 ⁄ 6 (n +4)
es decir,
(n + 4) (n2 + 2n + 3) ⁄ 6 (n + 4)
o sea,
n2 + 2n + 3 ⁄ 6
lo cual es falso ya que al ser n > 2, n2 + 2n + 3 > 15 > 6.
En consecuencia, f (n) ⁄ g (n). Pero entonces
6 f (n) ⁄ 6 g (n), o sea
(n + 4) g (n) ⁄ 6 g (n), esto es, n + 4 ⁄ 6, lo cual es falso porque n + 4 > 6.
67
4.39
i)
Nótese que dos puntos son distintos si la distancia entre ellos no es cero. Así, si P ≠ Q
se tiene dist
( f ( P), f (Q )) = dist
(P, Q) ≠ 0, luego f (P) ≠ f (Q), por lo que f es
inyectiva.
ii)
Sean f y g dos movimientos y h = g o f su composición. Dados puntos P y Q,
dist ( f ( P ), f (Q )) = dist (g ( f ( P ) ), g ( f (Q) )
por ser g un movimiento, esto es,
dist ( f ( P ), f (Q )) = dist (h( P ), h(Q) )
Pero al ser f movimiento
dist ( f ( P ), f (Q )) = dist (P, Q)
Por tanto,
dist (h( P ), h(Q) ) = dist (P, Q)
luego h es un movimiento.
iii) Por la propia definición, si g = gC,β, y P ≠ C.
dist (g (C ), g ( P ) ) = dist (C, P) = dist (C , g ( P )) ,
luego queda probar que
dist (g ( P ), g (Q )) = dist (P, Q)
para puntos P y Q distintos de C Miramos la figura
Q′ = g (Q)
P′ = g (P)
β
Q
β
C
P
r
Fig. 1
r
Comparemos los triángulos PCQ y P′CQ′
Como ∠ PCQ + ∠ QCP′ = β = ∠ QCP′ + ∠ P′CQ, resulta que
∠ PCQ = ∠ P′CQ (1)
Además los lados cumplen
PC = P′C; QC = Q′C (2)
De (1) y (2) resulta, por ejemplo por el teorema del coseno,
dist (P, Q) = dist (P′, Q′)
y así gC,β es un movimiento.
68
iv) Si P y Q son puntos de r, como Sr(P) = P y Sr(Q) = Q,
dist (S r ( P ), S r (Q) ) = dist (P, Q)
Si P ∈ r pero Q ∉ r tenemos la figura siguiente:
Q
M
r
P
Fig. 2
Q′ = Sr(Q)
Por la definición de Q′, dist (Q, M) = dist (Q′, M), luego los triángulos rectángulos
r
r
PMQ y PM Q′ tienen iguales los lados PM, que es común, y MQ =MQ′, luego por el
teorema de Pitágoras.
dist (P, Q)2 = PM2 + MQ2 = PM2 + M Q′2 = dist (P, Q′)2. Por tanto,
dist (S r ( P ), S r (Q) ) = dist (P, Q′) = dist (P, Q).
Tomemos por último dos puntos P y Q que no pertenencen a r y sean
P ′ = S r ( P ), Q′ = S r (Q)
y R = PQ ∩ r como muestra la figura, N = r ∩ QQ′,
M = r ∩ PP′,
Q′
P
N
M
r
R
P′
Q
Fig. 3
Hemos distorsionado intencionadamente la posición de Q′ para no dar por probado
que P′, R y Q′ están alineados. En el caso anterior hemos demostrado que
dist (P′, R) = dist (P, R); dist (Q′, R) = dist (Q, R)
y como {P, R, Q} están alineados,
dist (P, Q) = dist (P, R) + dist (R, Q) = dist (P, R′) + dist (R, Q′).
Todo se reduce a comprobar que {P′, R, Q′} están alineados, pues en tal caso,
dist (P, Q) = dist (P′, R) + dist (R, Q′) = dist (P′, Q′)
como debíamos demostrar.
69
Para ello basta comprobar la igualdad de los ángulos
∠ MRP′ = ∠ NRQ′
Ahora bien, como RM es bisectriz en el triángulo P′RP por ser éste isósceles,
∠ MRP′ = ∠ MRP = ∠ NRQ
luego basta ver que ∠ NRQ = ∠ NRQ′, lo cual es inmediato al ser RN altura, y por
ello bisectriz, en el triángulo isósceles Q′RQ.
v)
Sean P, Q ∈
2
. Dibujando,
P ′ = TW (P )
P
Q ′ = TW (Q)
Q
El cuadrilátero PP′Q′Q es un paralelogramo ya que
QQ′ = W = PP ′ y
P ′Q ′ = ( P + W )(Q + W ) = PQ
Por ello,
dist (P′, Q′) = dist (P, Q)
4.40.
i)
Sea x ∈ R . Entonces existe t ∈
tal que
x = tP + (1 − t) Q = Q + t(P − Q)
luego llamando w = P − Q , resulta que x = Q + t w por lo que x pertenece a la recta r
que pasa por Q y tiene a w por vector director, o sea, la que pasa por P y Q.
Recíprocamente, si x ∈ r existe t ∈
tal que
x = Q + t w = Q + t ( P − Q ) = tP + (1 − t ) Q ∈ R.
Por tanto R es la recta que une P y Q.
r
w
P
Q
70
Si x (t ) = tP + (1 − t)Q = Q + t w , para valores negativos de t resulta que x (t) − Q y
w tienen sentidos opuestos, luego x(t) está situado a la izquierda de Q, mientras que
si t > 0, x (t) está situado a la derecha de Q. Como
x (t) − P = tP + (1 − t) Q − P = (1 − t) (Q − P),
si
0 < t < 1 los vectores x (t) − P y Q − P tienen el mismo sentido, luego
x (t) ∈ [Q, P], segmento de extremos Q y P, mientras que si t ≥ 1, x (t) está situado a
la derecha de P. Por último, es obvio que x (0) = Q y x (1) = P
x(t), t > 1
x(t), t ∈ [0, 1]
P
x(t), t < 0
ii)
Q
Sea ρ = dist (P, Q) = dist ( f ( P ), f (Q) )
Estudiamos el caso t ∈ [0, 1], dejando el resto al lector.
Como x (t) ∈ [P, Q] resulta que
dist ( f ( P ), f (Q) ) = ρ = dist (Q, x (t ) ) + dist (x (t ), P ) =
= dist ( f (Q), f ( x(t ) )) + dist ( f ( x(t ) ), f ( P ) )
De aquí se deduce que f (x (t )) ∈ [f (Q), f (P)].
Además, como x (t) − Q = t (P − Q), x (t) − P = (1 − t) (Q − P),
d ( x(t ), Q ) = tρ ;
d (x (t), P ) = (1 − t ) ρ
luego
d ( f (x (t )), f (Q )) = tρ ;
Así, f (x (t )) es el punto del segmento
dist ( f (x( t) ), f ( P ) ) = (1 − t ) ρ
[ f (Q ),
f ( P )] que dista tρ de f (Q) y (1 − t)ρ
de f (P).
Pero el punto y (t) = t · f (P) + (1 − t) f (Q) está, por el apartado i) en el segmento
[ f (Q ),
f ( P )] y cumple que
y (t ) − f (Q ) = t ( f ( P ) − f (Q) ) ;
y (t ) − f ( P ) = (1 − t) ( f (Q ) − f ( P ) )
luego
dist ( y (t ), f (Q) ) = tρ ; dist ( y (t ), f ( P ) ) = (1 − t ) ρ .
Así pues, los puntos f (x (t )) e y(t) pertenecen al segmento
[ f (Q ),
distancias a los extremos coinciden, por lo que y(t) = f (x (t )) , o sea
f (tP + (1 − t) ⋅ Q ) = tf ( P ) + (1 − t ) ⋅ f (Q )
71
f ( P )] y sus
iii) Sean P y Q puntos distintos en la recta r.
Por el apartado i),
r = {tP + (1 − t) Q : t ∈ }.
Así, dado x(t) = tP + (1 − t) Q ∈ r, por el apartado ii),
f ( x(t ) ) = tf ( P ) + (1 − t ) f (Q) (1)
luego f (x (t )) pertenece a la recta que une f (P) con f (Q). Además, si x(t) ∈ [P, Q]
entonces 0 ≤ t ≤ 1 y por (1), f (x (t )) ∈ [ f ( P ), f (Q )] .
Recíprocamente, si y es un punto de la recta que une f (P) con f (Q), existe t ∈
tal
que
y = tf (P) + (1 − t) f (Q).
Entonces el punto x = tP + (1 − t)Q ∈ r y f (x) = y.
Por lo tanto, f (r) es la recta que une f (P) con f (Q) y f ([P, Q]) es el segmento que une
f (P) con f (Q).
iv) Los segmentos [P1, P2], [P1, P3] y [P2, P3], se transforman, por el apartado anterior,
en los segmentos
[ f ( P1 ),
f ( P2 )] ,
[ f ( P1 ),
f ( P3 )]
y
[ f ( P2 ), f ( P3 )] ,
luego el
triángulo de vértices P1, P2, P3, se transforma en el de vértices f (P1), f (P2) y f (P3).
Como d ( f ( Pi ), f ( Pj )) = d ( Pi , Pj ), 1 ≤ i, j ≤ 3, los lados de ambos triángulos son
dos a dos iguales, y por ello también lo son sus ángulos.
4.48
v1
i)
vn
v2
Es evidente que la menor distancia entre vértices es el lado de Pn, y ésta se da si y
solo si los vértices son contiguos. Llamando pues ρ al lado de Pn, si vi y vj son
contiguos
d ( f (v i ), f (v j ) ) = d (v i , v j ) = ρ
luego f (vi) y f (vj) son contiguos.
72
Sea ahora f ∈ Dn arbitrario y vk = f (v1). A priori existen n posibles valores para
k : 1, 2, ... , n. Como v1 y v2 son contiguos han de serlo vk = f (v1) y f (v2), luego f (v2)
solo puede ser uno de los dos vértices contiguos a vk . Tenemos pues dos opciones
para definir f (v2).
También vn es contiguo a v1, luego f (vn) lo es a vk y como vn ≠ v2, entonces
f (vn) ≠ f (v2), luego no hay posible elección para f (vn) : es el vértice contiguo a vk y
distinto de f (v2). Como v1, v2 y vn no están alineados, y un movimiento queda
determinado por la imagen de tres puntos (ejercicio 43) no alineados, la imagen f (vi)
está ya determinada para cada vi ∈ Vn. Tenemos pues n opciones para definir f (v1) y 2
para definir f (v2), luego a lo sumo Dn tiene 2n elementos.
ii)
Es claro que σ (v1) = vn y σ (vi) = vi−1 para cada índice 2 ≤ i ≤ n, luego por el
ejercicio 40, σ transforma cada lado del polígono Pn en un lado de Pn, por lo que
σ (Pn) = Pn y así σ ∈ Dn.
La simetría τ cumple que
τ (v1) = v1, τ (vk ) = vn+2−k
y repitiendo el argumento precedente, también τ ∈ Dn.
Ahora bien, si f, g ∈ Dn, también g o f ∈ Dn ya que
( g o f )( Pn ) = g ( f ( Pn )) = g ( Pn ) = Pn
En consecuencia, como σ, τ ∈ Dn cada σk y cada σk τ pertenecen a Dn. Por tanto,
{1 2, σ, σ2, ..., σn−1, τ, στ, ... , σn−1τ} ⊂ Dn. (1)
Los miembros del conjunto de la izquierda son todos distintos. En efecto, si σ i = σ j
para los exponentes 1 ≤ i < j ≤ n − 1, resulta que
σ i (vn) = σ j (vn)
luego vn−i = vn−j, esto es n − i = n − j, lo cual es absurdo porque i ≠ j. Así
{1 2, σ, σ2, ..., σn−1} son n elementos distintos en Dn.
Por otro lado también son distintos entre si los n elementos {τ, στ, ... , σn−1τ} porque
si σ iτ = σ jτ para dos exponentes 0 ≤ i < j ≤ n−1, componiendo con τ ambos miembros
se obtiene
σ iτ o τ = σ jτ o τ
73
Pero τ º τ = 1 2, luego σ i = σ j, y ya hemos visto que esto no es posible. Sólo falta
comprobar que σ i ≠ σ jτ para cada 0 ≤ i ≤ n−1 y cada 0 ≤ j ≤ n−1. Pero aplicando
ambos miembros sobre v1 se tiene , si σ i = σ jτ,
σ i(v1) = σ jτ(v1) = σ j(v1)
por lo que vn−(i−1) = vn−(j−1), luego n − i + 1 = n − j + 1, esto es, i = j. Pero entonces sería
σ i = σ iτ y aplicando ambos miembros sobre v2,
σ i(v2) = σ iτ(v2) = σ i(vn)
o sea, σ i−2(vn) = σ i(vn), es decir, vn−(i−2) = vn−i; esto es falso pues i − 2 ≠ i.
Hemos demostrado que los 2n elementos del miembro de la izquierda de (1) son
distintos. Pero en el apartado anterior demostramos que Dn tiene a lo sumo 2n
elementos, lo que prueba la igualdad
Dn = {1 2, σ, σ2, ..., σn−1, τ, στ, ... , σn−1τ}
iii) Razonamos por inducción sobre k. Para k = 0 es obvio y para k = 1 calculamos
στσ (v1) = στ (vn) = σ (v2) = v1 = τ (v1)
στσ (v2) = στ (v1) = σ (v1) = vn = τ (v2)
στσ (vn) = στ (vn−1) = σ (v3) = v2 = τ (vn)
Como στσ y τ coinciden en tres puntos no alineados, se deduce del ejercicio 43 que
στσ = τ
Supongamos ya probado que σk τσk = τ, k ≥ 1.
Entonces, σk+1τσk+1 = σ (σk τσk )σ = στσ = τ, como queríamos demostrar.
iv) Sea f ∈ Dn un elemento que conmuta con todos . Por el apartado ii) se escribirá
f = σ iτj para ciertos 0 ≤ i ≤ n−1, 0 ≤ j ≤ 1
Como τ f = f τ, también σ iτf = σ ifτ, o sea,
σ iτσ iτj = σ iσ iτjτ,
luego por el apartado iii),
ττj = σ2iτjτ,
y si k = j + 1, τk = σ2iτk , luego τk τk = σ2iτk τk ,
y como τk τk = 1 2, σ2i = 1 2. Como σ = g
0,
2π
r
, al componer,
1 2 , = σ 2i = g
luego 2i = n ó 0.
74
0,
2π
⋅ 2i
n
,
En consecuencia, si n es impar, i = 0, por lo que f = τ j. Si fuere j = 1, f = τ y como
σf = fσ se tendrá
στ = τσ
Componiendo con σ por la izquierda,
σ2τ = σστ = στσ = τ
y componiendo con τ por la derecha, σ2ττ = ττ, o sea σ2 = 1 2. Pero esto es falso, ya
que σ 2 = g
0,
4π
n
.
Así pues, si n es impar ha de ser i = j = 0, luego f = 1 2. Si n es par, el único candidato
a conmutar con todos los elementos de Dn, distinto de la identidad es, por lo ya visto,
f = σn/2
Es evidente que fσ = σf. Además, como σk τσk τ = ττ = 1 2, resulta que
1 2 = fτfτ, ff = σn/2σn/2 = σn = 1 2,
luego τf = τffτfτ = ττfτ = fτ.
Como fσ = σf y fτ = τf se deduce que para cada g = σlτm ∈ Dn,
fg = fσlτm = σlfτm = σlτmf = gf
En consecuencia, si n es par, los elementos de Dn que conmutan con todos los
elementos de Dn son {1 2, σn/2}.
v)
Se deduce del apartado anterior que la simetría τ no conmuta con todos los elementos
de Dn, luego Dn no es abeliano.
75