Ecuaciones Diferenciales Ejercicios

Ecuaciones Diferenciales
Ejercicios - Guı́a 09
MATERIA: La EDO Exacta
1. Diga qué entiende por diferencial total de una función f (t, x) .
2. Determine la diferencial total de cada una de las siguientes funciones
t
x
a) f (t, x) = t2 − x2
b)
c) f (t, x) = ln t2 x2
d) f (t, x) = arctg
f (t, x) =
x
t
3. Determine cuándo una EDO se dice exacta.
4. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y por qué
dx
= 0 es exacta sı́ y sólo si,
dt
existe función ϕ (t, x) tal que
a) La EDO P (t, x) + Q (t, x)
dx
d
ϕ (t, x) = P (t, x) + Q (t, x)
dt
dt
dx
= 0 es exacta sı́ y sólo si,
dt
existe función ϕ (t, x) tal que
b) La EDO P (t, x) + Q (t, x)
∂ϕ
∂ϕ
= P (t, x) y
= Q (t, x)
∂t
∂x
c) La EDO P (t, x) + Q (t, x)
dx
= 0 es exacta sólo cuando
dt
∂Q dx
∂P
+
=0
∂t
∂x dt
5. ¿Cuál es la forma de la solución general de una EDO exacta?.Fundamente su respuesta.
6. Existen dos formas de determinar cuándo una EDO es exacta. Señale ambas y compárelas
indicando ventajas y desventajas de una y otra.
7. Sea la EDO P (t, x) + Q (t, x)
dx
= 0 . Demuestre que si
dt
∂Q
∂P
entonces ella es exacta.
=
∂x
∂t
8. El recı́proco del ejercicio 7.¿es verdadero?¿Por qué?.
9. Su respuesta anterior proporciona un método para resolver, en definitiva, una EDO
exacta. De acuerdo con esto, considere las siguientes EDO’s y resuelva las que son
exactas
1
a)
ex
dx
=
dt
2x − tex
c) t3 + 5tx2 + (5t2 x + 2x3 )
2x − t
dx
=
dt
x + 2t
b)
dx
=0
dt
dx
=0
dt
dx
e) t cos(t + x) + sen(t + x) + t cos(t + x)
=0
dt
d) (tx cos tx + sentx) + (t2 cos tx + ex)
10. Demuestre que la EDO
x
1
g
t2
t
dx
t−x
dt
=0
es exacta.
11. Suponga que la EDO
P (t, x) + Q (t, x)
dx
=0
dt
es exacta. Demuestre que la EDO
P (t, x)
dx
Q (t, x)
+
=0
tP (t, x) + xQ (t, x) tP (t, x) + xQ (t, x) dt
también es exacta.
12. Aplique el ejercicio 11. anterior para resolver la EDO
t5 + x3 − 3tx2
13. Considere la EDO
dx
=0
dt
tx + t2 + 1 + t2
dx
=0
dt
a) ¿Es esta una EDO exacta?¿Por qué?
1
. La EDO resultante es exacta?¿Por qué?
b) Multiplique la EDO dada por
t
c) O sea se redujo una EDO no exacta a una exacta multiplicando por el factor
1
.¿Qué nombre recibe este factor?
t
14. Defina Factor Integrante
15. A veces es posible determinar tal factor integrante por simple inspección (en general,
no existe una regla fija para determinar este factor, sólo es posible hacerlo en cierto
tipo de EDO’s). Para ello es conveniente conocer las diferenciales totales de ciertas
funciones de uso más corriente :
Por ejemplo: Sabiendo que
d x
1
dx
= 2 t −x
dt t
t
dt
entonces la EDO
t
dx
−x= 0
dt
que no es exacta se puede resolver con ayuda del factor integrante
Determine entonces las diferenciales de las siguientes funciones :
2
1
.
t2
a) f (t, x) = tx b)
d) f (t, x) =
f (t, x) = t2 ± x2
t+x
t−x
e)
c)
f (t, x) = ln
f (t, x) =
x−t
x+t
t−x
t+x
16. De acuerdo a lo hecho en el ejercicio 15., determine un factor integrante para las
siguientes EDO’s no exactas
dx
= x + ln t
dt
dx
=0
dt
√
dx
dx
=0
c) (t2 + x2 )(t + x ) + 1 + t2 + x2 x − t
dt
dt
√
dx
√
d)
t2 + x2 − t +
t2 + x2 − x
=0
dt
a) t
b)
2x + (3x − 2t)
17. Si una EDO posee un factor integrante ¿es este factor único?. ¿Por qué?. ¡Demuéstrelo!
18. Suponga que µ (t, x) sea un factor integrante de la EDO
P (t, x) + Q (t, x)
dx
=0
dt
a) ¿Qué ecuación debe satisfacer µ (t, x) ?
b) La ecuación obtenida en a), no siempre se sabe resolver, pero si µ se restringe
a ser función de un sólo argumento es posible efectuar algún tipo de análisis.Por
ejemplo ¿qué pasa si µ = µ (t) ?.Analice y determine la expresión para µ .
c) Haga lo mismo que en b) si µ = µ (x)
19. Suponga ahora que µ = µ (y) , siendo y = h (t, x)
a) De acuerdo a lo realizado en el ejercicio 18.,¿cuál será la ecuación que debe
satisfacer µ ?
b) ¿Cuál serı́a la expresión para el factor integrante en este caso?
c) Determine la expresión para el factor integrante µ = µ (t + x)
d) Determine condiciones para el factor integrante µ = µ (tx)
20. Resuelva usando el factor integrante µ = µ (t + x) , la EDO
dx
=t+x
dt
21. Considere la EDO
xP (tx) + tQ (tx)
a) Pruebe que
µ (t, x) =
1
tP (tx) − xQ (tx)
es un factor integrante de esta EDO.
b) ¿Qué restricción debe hacerse a µ ?
c) Analice el caso tP (tx) − xQ (tx) = 0
3
dx
=0
dt
22. Utilizando lo anterior, resuelva la EDO
x t2 x2 + 2 + t 2 − 2t2 x2
dx
dt
=0
ecuaciones diferenciales
ingenierias
==========
==========
R.B.B.-UTA - I Semestre 2012
4