Nociones de geometría descriptiva, dispuestas para las escuelas

NOCIO~ES
DE
GEOMETRlA
DESCRIPTIVA!
DISPUESTAS PUA LAS ESCUELAS PRIMARIAS
DE LA SOCIEDAD DE Sll,rICENTE
DE PAUL
BOG;OTÁ.
lMPRBNTA DE ""DARDO
BfvA6;
18&3.
".
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.ADVER1'ENCIA.
Estas leccioncs cst!ln destinadas lt servil' de
texto para que los uilíos aprendan en el!.ls, de memoria, las dcfinicioncs, nomenclatm:ls y reglas generales de la Geometría, y dejan al cuidado del
maestro aplicar las reglas y resolver los prob1.cmas
en el tablcro. Antes que empieccn los niños á estudiar una lección, el maestro la explicará., haciendo
en el tablero los cjcreicios nccesarios.
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COX PRIVILEGIO.
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NOLlONE~ DE GEOMETRIA DE~CRIPTIVA.
. ,
LECCIÓN 1.
DI! LA
EXTE:-iSIÓ:-i.
(;:
~
Geometria es la cicncia que trata~
!lH}Jtfe1TsT6n.
Todo cuerpo tiene extensión, la que puede ser de tres
dimensiones, que son: en latitud, longitud y jrofundi4ad•
Longitud es lo largo, latitud, 4> ancho, y profU11didad
lo grueso del cuerpo.
La longitud se representa por una lima; la longitud y
la latitud reunidas, se llaman superficie; y la extensión en
longitud, latitud y profundidad, reunidas, se llaman volumen
6 solidez.
EJERCICIOS.
Mostrar
Mostrar
Mostrar
Mostrar
en los objetos su longitud;
su superficie;
su grueso 6 profundidad;
su volumen.
LECCIÓN II
DE LAS LÍ"r:AS.
Li,zea es el rastro ó huella que dejaría un punto que se
moviera de un lugar á otro.
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-4Pumo es la extremidad de una línea, ó el lugar donde
dos 1ínea~ se cortan.
Hay dos especies de líneas: rectas y curvas; son rectas
las que no tuercen por ninguna parte; y son curvas cuando
tuercen por alguna parte.
Dos puntos dados bastan para fijar la dirección de una
línea recta.
Dos líneas rectas no pueden cortarse entre sí sino en un
solo punto.
La línea recta mide la distancia más corta entre dos
pun tos d;ldos.
Líneas C01tvergellt<!sson rectas que se dirigen á encontr:a(~n
un mismo punto.
-..'-Bneas
divergl'lItes son rectas que se van separando de
un punto común.
LínEa quebrada es una recta que: se va quebrando en diferentes puntos y direcciones.
Línea nt/:>;ta es la longitud formada por líneas rectas y
curvas.
La )¡nea recta puede ocupar cuatro posiciones: horizontal,
vertical, perpC1/d¡(;ulllr y oblicua.
La .1lOrizollt,d Ó de llivel es la que va de izquierda á derecha, ó al contrario, sin levantarse ni inclinarse en ninguno
de sus e;.¡tremos.
La vertical Ó á Plomo es la que viene de arriba abajo sin
desviar~,e hac;;¡ 11 ingÚn lado.
La perpe¡¡dicttl({J' Ó á escuadra es la que cae sobre otra
recta sin inclina:',e á uno ni á otro lado.
La rJhli,:llil es 1.1 que viene de arriba á abajo, inclinándose hacia al.~Ú;¡ lallo.
Do, líneas traladas sobre un plano cuyos puntos corres-
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5pondientes guardan entn.: sí la misma distancia, se llaman
paralelas.
Entre varias rectas trazadas desde un mismo punto sobre
otra recta, la perpendicular es la más corta.
l{EGLAS
PARA
LA
I'I{ÁCrrc.
••.
Para trazar una línea recta sobre un papel, tabla, pared, &c. se fijan dos puntos en ellos, se pone la regla tocando
los dos puntos y se traza la línea con un lápiz ó cosa seme·
jan te.
Para trazar líneas rcctas sobre el terreno, se sigue con
una estaca la dirección dc una cuerda tcndida, tirante y fija
por sus extrcmos.
Para prolongar una línea se pone la regla de manera que
coincida en parte con la línea trazada, y se prolonga con el
lápiz.
Para trazar una perpendicular sobre una línea dada, en
el terreno, se procede así: se marcan dos puntos equidistantes de aquel en qu<: se va á trazar la pcrpendicular,
se fijan
en esos puntos los extremos de una cuerda, cuya mitad se.
marcará, se toma la cuerda por esta mitad y se tira hasta que
quede bien templada, y el punto que marque será el extremo
de la perpendicular.
EJERCICIOS.
Mostrar en una figura ó en un objeto las líneas que haya
horizontales, verticales, perpendiculares,
oblicuas, paralelas,
convergentes, divergentes, quebradas y curvas ..
PROBLE:'IAS.
1,0
Dividir en dos partes iguales una línea recta.
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-6_ 2.0
Trazar una perpendicular
ra de una recta.
3.0 Trazar una perpendicular
desde un punto dado fueen punto
dado e.n una
recta.
4.0 Trazar una perpendicular en:el extremo de una recta
que se puede prolongar.
$.0 Trazar una perpendicular en el extremo de una recta que no se puede prolongar.
6.° Tra:mr una paralela á otra línea desde un punto dado.
LECCIÓN IIl.
DE LOS Á~GUI.OS.
Angula es la abertura que forman dos líneas qne se encuentran.
Por razÓn de sus Hneas, los ángulos pueden ser recli/{1UOS, curvilíl1eos y mt"xtili1zeos.
El ángulo rectilíneo se forma de dos líneas rectas; el
curvilíneo d(: dos curvas y el mixtilíneo de una curva y una
recta.
Las dos !(neas que forman un ángulo se llaman lados del
ángulo, y el :?unto donde se encuentran se llama vértt"ce.
Para marcar Y llamar los ángulos, se consideran en ellos
tres puntos, que son: el vértt"ce, y los otros dos extremos, y se
llaman nombrando siempre el vértice cn medio.
Según la inclinación de los lados, recibe el ángulo tres
nombres, que son: recto, agudo y obtuso.
El ángu:o recto ó á escuadra está fcrmado por dos líneas
perpendiculares entre sí; el agudo por dos 1fneas oblicuas entre si en el sentido de su aproximación j y el obtuso por dos
oblicuas entre sí en el sentido de su separación.
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-7La mayor ó menor inclinación de los lados de un ángulo
se representa por un arco trazado en su abertura haciendo
centro en el vértice.
Llámanse á1lgulos opuestos 105 que están unidos por &,l
vértice y que se forman de la prolongación de sus lados en
el sentido de su vértice.
La ojiz'a ó arco o.jil'al es un ángulo
curvilíneo
formado
por dos arcos ue círculo.
HEGLAS
PARA
LA
1'1~
..\.C'fIC:\.
En la práctica, par:t trazar ángulos rectos se hace uso de
un instrumento
llamauo escuadra, que se compone de dos
reglas unidas por sus extremos y cuyos bordes se encuentran
en ángulo recto.
Para trazar una perpenuicular en un punto uauo en una
1íne3. ó fuera de ella, se IJ,¡1.cecoincidir una de las reglas con
la línea y el otro con el punto, y por éste se tr3.za la perpendicular.
A falt3. de cscuaura, y sobre todo, en dibujos ue pequeña
dimensión, se puede emplear una hoja de papel doblada cuidadosamente en cuatro pliegues.
EJERClClOS.
Trazar ángulos curvi1íneos, rectilíneos y mixtilíneos;
Mostrar los lados y el vértice de un ángulo y nombrar
sus tres puntos;
Trazar arcos desde el vértice de un ángulo;
Trazar ángulos rectos, agudos y obtusos.
PROBLE~lAS .
l.
° Construir un ángulo igual
Z.O
á otro.
Dividir un ángulo en dos, cuatro ú ocho partes iguales.
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-8LECCION
nEL
IV.
cíRCULO.
Circunferencia es una curva cerrada y cuyos puntos se
hallan todos equidistantes de otro llamado cm/ro.
Círculo e; el espacio encerrado por la circunferencia.
Al'co es cualquiera parte de la circunferencia.
La mitad de una circunferencia
se llama semicircrmfenncra, y la cuarta parte cuadrallte.
La circunferencia ti.ene, pues, dos scmicirclInferencias,
CUíltro cuadrantcs y una infinidad de arcos.
Se llaman circunferellcias tangentes las que se tocan en
un punto, y ellas pueden ser internas ó externas: son internas cuando se tocan por dentro, y..externas cuando se tocan
por fuera.
El punto donde se tocan dos circunferencias
tangentes
se llama junto de contacto.
Circlt1iferencias secalltes son las que se cortan entre sí.
El punto donde se cortan las circunferencias
secantes
se llama junto de intersección.
Dos circunf~rencias que tienen un mismo centro, y radio mayor 6 menor, se llaman condn/ricas.
El espacio co~rendido
entre dos circunferencias
concéntricas se llama amilo.
Dos circunferencias inscritas una dentro de otra, pero
con diferente centro... se llaman excéntricas.
Toda circunferencia, sea grande 6 pequeña, se considera
dividida en 3§O partes iguales, que se llaman grados/cada
grado se divide en 60 minutos primeros, cada minuto primero en 60 segundos y así en adelante.
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-9Los grados y minutos se marcan en lo escrito
como en
este ejemplo: 90°, 36', 28 ",40''',
La semi-circunferencia mide plle~ 18o o y el cuadrante'
9°·"
Los ángulos se mideI;l trazando un arco en su abertura
haciendo centro en el vértice y transmitiendo
con el compás la medida de su cuerda sobre el arco del semicírctllo
graduado.
Los di versos arcos que pueden trazarse desde el vértice
de un ángulo tienen todos el mismo número de grados, aunque sean de diversas dimensiones.
Si se prolongan ó acortan los lados de un ángulo, no
por esto se aumentan ó se disminuyen los grados del arco.
Un ángulo recto tiene 90° y equivale á un cuadrante j.
dos ángulos rectos tienen 180° que eq ui valen á una semicircunferencia; cuatro ángulos rectos \'alen 360° y equiva.
len á una circunferencia.
REGLAS PARA
LA
PRÁCTICA.
Para trazar una circunferencia se hace uso del instrumento llamado compás, fijando uno de sus extremos en el
punto que ha de ser el centro de la circunferencia y haciendo girar el otro extremo hasta que la línea quede cerrada.
Para cuando se quiera trazar circunferencias
de mayor
dimensión, se hará uso de una cuerda, fijando uno de sus
extremos en el punto que ha de ser centro y atando al otro
extremo un lápiz con el que se hace el trazado.
El trallspoltador, con que se miden los ángulos y los
~rcos, es un semi.círculo de cobre, talco ó madera, y cuya
semi-circunferencia llamada limbo está dividida en 180°.
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-10EJERCICIOS.
Dado un punto y una dimensión, trazar una circunferencia.
Trazar circunferencias
excéntricas, concéntricas, tangentes y secantes.
PROBLEMAS.
Dada una circunferencia, hallar su centro.
2.° Dac,o un arco, hallar su centro.
3.° Dados tres puntos que no estén en línea recta,
cer pasar por ellos un arco ó una circunferencia.
1.0
LECCIÓN
ha-
V.
DE LAS LÍ:-;EAS RECTAS y ESPACIOS QUE SE CO:-¡SIDERAX EX EL
CÍRCULO.
La línea que va del centro á la circunferencia,
se llama
radio.
La línea que va de un punto á otro de la circunferencia
sin pasar por el centro, se llama cuerda.
La línea que toca por fuera la circunferencia,
se llama
tangente.
El lugar en que la tan,gente toca la circunferencia,
se
llama PUl1tOde contacto.
La línea que va de un punto á otro de la circunferencia
pasando por el centro, se llama didmetro.
La línea que corta la circunferencia en cualquier punto,
se llama secante.
El punto "en que la secante corta la circunferencia,
se
llama ptmto de Úttersccción.
Flecha 6 sagita, es la parte del radio comprendida entre
el arco y la cuerda.
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-11Sect01', es el espacIO cncerrado
entre
dos radios
y el
arco.
Seg11lmlo, es el espacio
encerrado
cuerda.
El diámetro es la línea más larga
entre el arco y la '
quc se puede
trazar
dentro de un círculo.
Dos radios tienen juntos la longitud de un diámetro.
Todos los diámetros de un mismo círculo son iguales
entre sí, lo mismo que los radios.
No hay una proporción exacta entre el Jiámetro y la
circunferencia, que es lo que se llama la cltiUlratura ·del círculo, pero c0munmente se usa la de 7 á 22, siendo 7 el diámetro y zz la circunferencia.
EJERCI\IQS.
Trazar y nombrar las diferentes
líneas y espacios que se
consideran en el círculo.
Dado un diámetro, hallar la circunferencia,
y viceversa.
LECCIÓN VI.
ELlPS¡':,
ÓVALO,
OVOIDE,
Espm,\l.
y LÍ:-;EA ()~1H;LAlH.
Elipse es una línea curva cerrada, que tiene la propiedad de que dos rectas trazadas desde cualesquiera de los puntos á losfocos, situados en el ('je 111a)'OI', valen tanto como
éste.
En una elipse hay eje maY01' y eje menor.
El eje mayor divide la elipse en dos partes iguales y
pasa por los focos j el eje menor pasa por el centro, y divide
perpendicularmente
el mayor en dos partes iguales.
Ovalo es una curva á imitación de la elipse, que se describe con la reunión de varios arcos de círculo.
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-12Ovoide es una elipse irregular que tiene uno de sus
extremos más estrecho, á la manera de un huevo.
EsPira! es una curva indefinida, que sin ccrrarse en
círculo, va enroscándose, ya acercándose al centro, ya separándose de él, s~gún el sentido en que se le considere originado.
Lillea ondulada es la curva que lleva una dirección al.
ternativa, ya hacia arriba, ya hacia abajo.
PR011LDiAS.
l."
2.°
3·°
4·°
S·o
6.°
7."
Dada una elipse, trazar sus ejes mayor y menor.
Dados los dos ejes, describir una elipse.
De~;cribir un óvalo dados ambos ejes.
De~;cribir un óvalo dado el eje mayor.
De~cribir un ovoide sobre un eje dado.
Trazar una espiral.
Trazar una línea ondulada.
LECCIÓN
DE
LAS
VII.
FIGURAS.
Llámiis·) figura todo espacio cncerrado por líneas.
Las líneas rectas que forman una figura se llaman lados
de la figura.
Todos los lados juntos forman el per/metro de la figura.
Para la formación de una figura se necesitan tres líneas
rectas por lo menos.
El círculo es una figura terminada
curva.
por
una
sola línea
Las figuras formadas por tres ó más líneas,
poligonos.
se llaman
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-13Los polígonos en razón de sus líneas, son: rectilíneo!,
curvilímos y mixtilílUOS.
En razón del número de sus lados, los po1fgollos se llaman como sigue:
Los de tres lados, tnldteros; los de cuatro, cuadrildúros; los de cinco, j>entdgonos ; los de seis. exdgollOS>, los de
siete, ej>tdgol10S/ los de ocho, octágonos>, los de nuevc, elll!dgonos y los de diez, decágol10S.
No se sigue esta nomenclatura sino para llamar dodecdgOllO al polígono de doce lados y j>mtadecágollo
al de quince.
Se considera en las figuras base y altllra.
Se Ilanu b3.se de una figura el lado sobre el que se apoyan los demás; la altm •• es una perpendicular bajada del
lado opucsto, á la base ó i su prolongación,
Se llama diagollal dc una figura la línea que da de uno
de sus ángulos á otro opuesto.
Por razÓn de la igualdad, Ó desigua1l1ad de sus lados y
de sus ángulos, los polígonos sc diYiden cn l'('gttlares é irregulares.
I,os lwlígúnos rcgulare¡¡ tieilC:l toclos sus lados y ángulos
iguales:
los irregulares no tienen sus lados y angulos
iguales.
L1án1Jsc polígono simitrico el éJue se puede dividir por
medio de una recta en dos partes que coinciden si se dobla
una figura sobre sí misma,
La línea sobre que se dobla
llama eje de simetría.
ulla figura
simétr ¡ca, se
Se llama fÍllg'II1o salil'1lte de una figura todo aquel que
tiene su vértice fuera dc ella; y á11gulo en/rOl/te, todo aquel
que tienc su \-értice dentro de la figura.
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-14Se emplean con frecuencia los polígonos regulares en el
enlosado, y en el entarimado de los pisos.
Para dichos usos se emplean las siguientes figuras: los
triángulos equiláteros, los cuadrados y exágonos regulares,
ya solos: ya combinados unos con otros.
LECCIÓN
VIII.
DE LOS TRfÁ.'iGULOS.
Tridlzgttlo 6 tr¡látero es el polígono cerrado por tres lí·
neas, y consta de tres ángulos.
SegÚn la igualdad ó desigualdad de los lados de los
triánguks, se denominan equiláteros, isóseles y escalmos.
El triángulo cquildtero es el que tiene sus tres lados
iguales; el isóseles es el que s610 tiene dos lados iguales, y
el escaleno, el que los tiene todos desiguales.
Según la clase de ángulos de que se formen los triángu.
los, se denominan rectángulos, obttlsángulos y acutángulos.
El triángulo rectdllgulo tiene un ángulo recto y dos
agudos, el obtusdllgltlo tiene un ángulo obtuso y dos agudos,
y el acutdl1gulo tiene tres ángulos agudos.
Los tres ángulos de todo triángulo son iguales á dos
ángulos rectos, 6 sean 180 grados.
En los triángulos rectángulos, el lado mayor, que es el
opuesto al ángulo recto, se llama hipotemesa, y los otros dos
lados, catetos.
PROBLEMAS.
Trazar un
Trazar un
3.° Trazar un
4.° Construir
1,°
2.°
triángulo equilátero sobre un lado dadó.
triángulo isóseles sob~e un lado dado.
triángulo escaleno dados sus tres lados.
un triángulo rectángulo.
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-155.0 Construir
6." Construir
un triángulo obtusángulo.
un triángulo aClltángulo.
LECCIÓN IX.
DE LAS SUPE\{F[ClES
Dicese que un plano
nadoen ningún sentido.
Para averiguar si un
HORIZO:\TALES.
es horizontal
plano
cU:lndo no está indi-
es horizontal,
se emplean
diversos instrumentos:
l." El nivel de albatiil, que se componc
ordinariamente
de dos reglas de igual longitud ensambladas en ángulo recto
y unidas por un travcsalío; del vértice de su ángulo recto
cuelga una plomada cuyo hilo debe pasar exactamente por la
mitad del tra\'csalío, punto que se marca con una raya.
Para que un plano esté horizontal, es prcc.iso que, coloeando el instrumento
con el ángulo recto hacia arriba, la
línea de la plomada coincida con la raya de la mitad del travesaIio.
2." El nivel de aire, que consiste en un tubo
de vidrio
ligeramente
rccurvado, puesto en una placa de ~obre j este
tubo está c:lsi llello de agua, dejando sólo una pcq ueila porción ocupada por una burbuja de aire.
Cuando se pone el nivel, si el plano está horizontal, la
burbuja está en medio del tubo, pero por poco que se incline
el nivel, la burbuja se dirige hacía la extremidad más de-
vada.
Un plano estará horizontal cuando, colocando el nivel
en dos direcciones opuestas, la ourbuja ue aire ocupa siempre el punto medio del tubo.
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-16LECCIÓN X.
DE LOS CUADRILÁTEROS.
LIámase
líneas.
cuadriláteros
la. figura c~rrada
por
cuatro
Hay dos especies de cuadriláteros:
los que tienen sus
lados opuestos paralelos, y los que no los tienen; los primeros
se llaman jaralelógramos.
Hay cuatro especies de paralelógramos, á saber:
El cuadrado, que tiene sus cuatro ángulos y lados
iguales j
El '-cctángulo, que tiene sus cuatro ángulos rectos y desiguales sus lados contiguos; el nmbo, que tiene sus cuatro
lados iguales y desiguales sus ángulos dos agudos y dos obtusos;
d romboide, que tiene sus lados y ángulos contiguos desiguales.
Los siguientes cuadriláteros no son paralelógramos:
el
trapecio, que tiene s610 dos lados paralelos, y el trajezoide,
que no tiene lados paralelos.
Los cuatro ángulos que forman todo cuadrilátero
valen
juntos cuatro ángulos rectos, ó sean 360°.
PRORLEMAS.
1.° Construir
un cuadrado dado uno de sus lados.
Construir un retángulo dados dos de sus lados.
3.° Construir un rombo, dado solo un lado, Ó también
uno de SIlS ángulos, el agudo ó el obtuso.
4.° Construir un romboide dados dos lados, ó también~
dado el ángulo formado con ellos, ya sea agudo ú obtuso.
2.°
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-17LECCIÓN XI.
FIGURAS
Ir\SCRITAS
y CIRCU~SCRITAS
EN l.A CIRCUNFI!:RENCIA.
Se dice que una figura está Ú¡scrita en una circunferencia cuando todos los v~rtices de sus ángulos la tocan por
dentro, y que está circtmscrita cuando tienen sus lados tangentes á la circunferencia.
PROBLEMAS.
1,0
12
Inscribir
en un círculo polígono5
&c. lados.
2,° Inscribir en un círculo
polígonos
regulares de 3, 6,
regulares de 4, 8,
16 &c. lados.
3,° Inscribir en un círculo polígonos regulares de 5, 10,
20 &c. lados.
4.') Describir un m~todo general para inscribir cualesquiera polígor.os.
5.0 Ciréunscribir los anteriores polígonos.
6." Inscribir un círculo en un polígono regular,
i.o Dada una línea quebrada, inscribir en ella una circunferencia.
LECCIÓN XII.
DE LAS FIGURAS
IGUALES
\'
DE LAS SEMEJA:\TES.
Se llaman figuras semejatttes las que tienen sus ángulos
iguales y porporcionales sus lados; figuras desemejalltes son
aquellas á que les falta alguna de estas circunstancias.
Llámansc figuras Iguales las que tienen sus lados y
ángulos iguales.
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-18PROBLElo4AS.
Dado un triángulo, construir otro semejante
2,° Dado un polígono cualquiera, construir otro seme
jan te.
3.° Dado un polígono cualquiera, trazar otro igual
1.0
LECCION XIII.
DE LAS SUPERFICIES.
SUPi'rjiéie Ó drea es la extensión determinada
por la
longitud y la latitud, sin considerar la profundidad.
Hay dos clases de superficies: la plalla y la curva.
Sz1Jerficie plfl1la es aquella cuyos puntos están todos
igualmcn:e salientes, de manera que las líneas rectas trazadas
sobre ella la tocan en todo punto y sentido.
La superficie curva tiene sus puntos unos más salientes
que s>tros, y así, una recta trazada sobre ella, sólo la toca en
uno ó algunos, pero no en todos los puntos por donde pasa.
Hay, pues, solo una especie de superficie plana, é infinidad de superficies curvas.
Entr,~ las superficies curvas hay las llamadas cóncavas y
C01¡v'!jas: las cóncavas son curvas hacia abajo, y las convejas
son curvas hacia arriba.
Se considera en las superficies base y altura, como en las
figuras.
Las áreas iguales, aunque
eqmvalen/es.
de diferente forma, se llaman
Medz;v una superficie ó drM, es determinar cuántas veces
contiene t.:.naárea dada á otra, que se toma como término de
comparación ó de unidad.
Las unidades adoptadas para medir las áreas en el siste-
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-19ma métrico decimal francés, son: el centímetro, el metro, la
hectara, y el miriámetro cuadrados.
Estas unidades se representan por un cuadrado que tiene
un decímetro, llll metro, &c. de medida por lado:
Se mide el área de un triángulo rectilíneo multiplicando
la medida de su base por la de su altura; la mitad del prod ucto será el área.
El área de un cuadrado es el producto de la multiplicación de la medida de uno de sus lados par sí misma.
Se halla el área de un paralelógramo cualq niera multiplicando la medida de su base por la de su altura.
Se mide el área de un trapecio, lllulti plicando la mitad
de la suma de los dos lados paralelos por la altura tomada
entre estos dos bdos.
Para medir el área de un polígono de cinco ó más lados
se divide en triángulos por medio de diagonales y la suma
de las áreas de todos los triángulos será el área dd polígono.
Para medir el área de cualq uiera figura, cerrada por curvas, se divide el área en dos partes por medio de una recta,
se trazan sobre ella perpendiculares desde el perímetro, y así
queda descompuesta el área en triángulos, trapecios, paralelógramos &c. los que se miden separadamcnte y la suma de
sus áreas será el área total.
El área de un círculo es igual á la mitad del producto
de la medida de su circunferencia, multiplicada por la de su
radio.
·I'IWBLE~IAS.
Hallar el área de las diferentes superficies arriba dichas, dada una unidad de medida.
2." Dividir un triángulo
en dos partes iguales con rectas trazadas desde un punto cualquiera dado.
l."
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-203.° D:vidir
un punto dado
4.° Dividir
trazadas desde
en dos partes iguales un cuadrilátero desde
en uno de sus lados.
un polígono en tres partes iguales con líneas
uno de sus ángulos.
LECCIÓN XIV.
DE LOS SÓLIDOS REGULARES.
Voltm.:w, sólido ó wcrpo es el espacio comprendido en
la longitud, latitud y profundidad reunidas.
Se dividen los cuerpos sólidos en re~lllares é irre~ulares.
Cuerpos re~ulares son los que están terminados en ángulos sólidJS iguales y por superficies semejantes; los t'rre~ulares no tienen dichas propiedades.
Sólo hay cinco sólidos regulares, que son:
El tetraedro ó pz'rámide tn'an~ular, que consta de cuatro
triángulos equiláteros en sus cuatro caras;
El octo'1edroque tiene ocho triángulcs equiláteros en sus
ocho caras;
El ex,1Cdro Ó cubo, cuyas seis caras son seis cuadrados'
iguales;
El doc/ecaedro, terminado por docepentágonos regulares.
Hay otros sólidos que, aunque compuestos de caras de
forma regular, no se cuentan entre los regulares, que son:
El prÚma, que es un sólido cuyas dos caras opuestas
son dos planos iguales y paralelos y cuyas demás superficies
son paralelÓgramos ;
El paralelejtpedo, que es un prisma que tiene por superficies seis paralelógramos ;
El dHndro, que es un cuerpo cuyos extremos son dos
. círculos unidos entre sí por líneas rectas;
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-21La
base es
gulares,
El
pirámz'de no triangular,
que es un sólido cuya
una figura cualquiera y cuyas caras son todas trianlas que terminan sus vértices en un mismo punto;
cono, que es una pirámide que tiene por base un
círculo j
La esfera, que es un sólido terminado por una superficie
curva, cuyos puntos están todos equidistantes de un punto
común llamado centro.
LEtClóN
xv.
PLA~OS, LÍNEAS Y PU~1'OS DE LOS SOLIDOS.
En los cuerpos se consideran
varios
planos,
líneas y
puntos.
Los plattos ó caras de un sólido son las superficies que
lo forman, y entre ellos hay la base, que es su superficie
inferior.
Las Hneas rectas que se consideran en un sólido, son;
La altura, que es una perpendicular
imiginaria que se
levanta de la base;
Las m"islas, que son las rectas que unen entre sí las
caras del sólido ;
Los lados, que son las rectas trazadas desde la cúspide
de la pirámide ó cono á su perimetro ;
El eje, que es una recta imaginari a que' une los dos cen- .'
tras de los círculos de la base en el cilindro:ó cualquier diámetro en la esfera, y la perpendicular
trazada desde la cúspide de la pirámide ó cono al centro de su base.
Las líneas curvas que se consideran en la esfera, son:
Los circulas máxz'mos, que son los que pasan por el centro de ella;
Los menores son los que no pasan por el centro j
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-22La zona, que es la parte comprendida entre dos círculos
paralelos, y el casquete esjérico, que es cualquiera part~ cortada á la esfera.
Los puntos que se consideran en los sólidos, son:
La cúsPidc, que 'es el punto en que se reunen las superficies de la pirámide y del cono;
Los polos, que son los dos puntos extremos del eje de la
esfera;
El centro, que es el punto equidistante de todos los de
la superficie de la esfera :
Respecto á la posición de ciertos sólidos, ellos son rectos
Ú oblicuos; los rectos son los que tienen
su altura perpendi.
cular á su ba:;e, los oblicuos son los que no la tienen.
Pueden ser oblicuos los prismas, el cilimlro, la pirámide
y el cono.
LECCIÓN XVI.
MEDIDA DE LAS SOLIDECES.
Medir la solidez ó volumen dI:: un cuerpo es averiguar
las veces que dicho cuerpo contiene otro conocido que se
toma por unidad.
La unidad que generalmente se toma para medir. la solidez, es el cubo, como sólido más sencillo, y cuyas dimensiones deben ser conocidas, como centímetros, pulgadas, &c.
En los sólidos se considera, como en las figuras, que
tienen base y al/ura.
En los cilindros y en la esfera no hay altura, sino eje.
La solic.ez ó volumen de una pirámide 6 de un cono, es
igual al producto de la superficie de la base multiplicada por
. la altura.
La solidez 6 volumen de la esfera es igual al producto
de toda su superficie multiplicado por el tercio de su radio.
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-23La superficie de la esfera se halla multiplicando su diá .•
metro por uno de sus círculos máximos.
La solidez ó volumen del cubo se halla multiplicando
por tres uno de sus lados.
La solidez ó volumen de un cilindro se halla multiplicando la superficie de su base por su eje.
La solidez ó volumen de un prisma se halla multiplicando la superficie de su base por su altur~.
APLICACIÓN.
Por medio de la medición de las solideces, se~puede
obtener el peso de un sólido hecho de metal, con tal de saber
el peso específico de él; por ejemplo: un cubo que tenga por
lado un decímetro, tendrá de peso, suponiéndolo hecho de
agua, un kilogramo; ahora, bien, como el peso específico ó
dcnsidad del hicrro es de 7-50, el mencionado cubo tendrá el
peso de siete y medio kilogramos.
Por regla general; para hallar el peso de un objeto de
metal, de figura regular, se multiplica el volumen por el
peso específico.
FIN.
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nlsrUE~HS
1
PARA IX, E5Cl.iELAS PR!MARIAS
D:E LA SOCIEDAD DE SAN VICENTE DE PAU1
POR
(')_ M_
BOG-Ij'l'Á.
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DE
.'IED.\Rno
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ldvAS.
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NOCIONES
DE
GE~METRIA
D/
srr ES TAS
DE~~RIPTIVAJ
PA RA LA S ESCUELAS PRDIAR/AS
DE LA SOCIEDAD DE SAN VICENTE DE PAUL
BOGOTA.
D1Pf:EKTA
DE ~[F.:DAllDO
n!\'AR.
188:~.
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;-:;,~ y l'eg 1a"l ge·
nerales lk L GeollletrÍa,
y <leían al cuidado del
maestL' :Lpliear' las rcglRs y reRoh-·::r los prob1eU18s
en el t"i)lcrc¡, _\ llt(,S (IHC cmpihen
k: niÚos á esludii\i' ]1::', -1"('1:;>:, el mae<;tro L "';pii¿':lí'<i, haciendo
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on el t:d ~ ;',- k:. c'Jcrclclos nccc',:-:.luU.
.....
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CON PRIVILEGIO.
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NOCIONES DE GEOMETRIA DESCRIPTIVA
LECCIÓN
1.
DE LA EXTE:-:SIÓ:-,;.
Geomctría es la ciencia qUé trata de la extensión.
Todo cuerpo tiene cxtensión, la quc
.c:>
dimensioncs, que son: en laN/ud, I01Jgitud y profimdid.lá.
Longitud es lo largo, latitud, lo ancho, y profimd1'daá
lo grueso del cucrpo.
La longitud se representa por una línea;, la longi~ud y
la latitud reunidas, se llaman superficic / y la extensión en
longitud, latitud y profundidad, reunidas, se llaman volttmC1Z
6 solidez,
p!la~~'"
EJERCICIOS.
Mostrar
Mostrar
Mostrar
Mostrar
en
su
su
su
los objetos su longitud:
superficie;
grueso ó profundidad;
volumcn
i i
L
DE
Lo
Llnea es el rastro ó hue!;··
moviera de un lugar á otro
·0[':.-\8,
,c dciMía
l:;,
p;.¡nw . !le St
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-4Punto es la extremidad de una línea, ó el lugar donde
dos líneas se cortan.
J
Hay dos especie~ de líneas: rectas y c1t1'Vas>"soñ rectas
las que no tuercen por ninguna parte; y son curvas cuando
tuer<:en por alguna parte.
Dos puntos dados bastan para fijar la dirección de una
línea recta.
Dos líneas rectas no pueden cortarse entre sí sino en un
solo punto.
La línea recta mid~ la distancia más corta entre dos
pun~os dados.
),
'..~eas
convergentes ~on t:ectas que se di.rigen á encontran~l1
mismo punto.
Líneas divergentes son rectas q uc se van separando de
un punto común.
J
Línea quebrada es una rect.a que se va quebrando en difere'ltes puntos y direcciones.
I
.
Línea mixta es la longitud formada por líneas rectas y
curvas.
La línea recta puede ocupar cuhtro posiciones: horizontal,
vertical, perpe,¡dicular y oblicua.,
.J
J
,
La horizontal 6 de nivel es la que va de izquierda á ~recha, ó al contrario, sin levantarse ni inclinarse en ningunode sus extremos ..
I _
La vertical ¿ á Plomo es I~ que \"icne de arr:Vl a.bajv SiD
desviarse hacia ningún lado.
La perpendicular ó a escuadra es la que cae sol:re otra
recta sin inclinar!'c á uno ¡.i á otro lado.
La ohlictlfl es l;, que vier,·~ 4earrib:l á abajo, indinándose l1acia al;::ún lado.
., 'Dos líneas trazadas sobre unpl:mo tUyos puntos corres-
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5pondientes guardan entre sí la misma distancia,. se llaman
pa7oalelas.
Entre varias rcctas trazauas desde un mismo punto sobre
otra recta, la perpcndicular es la más corta.
REGLAS
PARA
L\
PRÁCTICA.
Para trazar Llna línea recta sobrc un papel, tabla, pared, &c. se fijan dos puntos en cllos, se pone la regla tocando
los dos puntos y se traza la línca con un lápiz ó cosa semcjante.
Para tnzar líneas rectas sobre el terreno, se sigue con
un-a cstaca la dirección de una cuerda tendida, tirante y fija
por sus extremos.
Para prolongar una línea se pone la regla de manera que
coincida en partc con la línea trazada, y se prolonga con el
lápiz.
Para trazar una perpendicular sobre una línea dada, en
el terreno, se procede así: se marcan dos puntos equidistantes de aquel en qu~ se va á trazar la perpendiCular, se fijan
~n esos puntos los extremos de una cuerda, cuya mitad se
.marcará, se toma la cuerda por esta mitad y se tira hasta que
quede bien templada, y el punto que marque será el extremo
de la perpcmlicular.
EJERCICIOS.
Mostrar en una figura ó en un objeto las líneas que haya
horizontales, verticales, perpendiculares,
oblicuas, paralelas,
convergentes, divergentes, quebradas y curvas.
PROBLEMAS.
1,°
Dividir en dos partes iguales una línea recta.
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-61..° T•.azar una perpendicular
ra de una recta.
3.° Trazar una perpendicular
recta.
4.° Trazar una perpendicular
que se puede prolongar.
5.° Trazar una perpendicular
ta que no se puede prolongar.
6.0 Trazar una paralela á otra
desde un punto dado fueen punto
dado
en una
en el extremo de una recta
en el extremo de una reclínea desde un punto dado.
LECCIÓN lII.
DE LOS Á~GULOS.
Angula es la abertura que forman dos líneas qne se en·
cueTetran.
Por razón de sus !fneas, los ángulos púedcn ser rectr?!1uas, curlit"lb¡eas y mi"xtilillcas.
El ángulQ rectilíneo se forma de dos Hneas rectas; el
curvilíneo de dos curvas y el mixtilíneo de una curva y una
recta.
Las dos líneas que forman un ángulo se llaman lados del
dngulo, y el punto donde se encuentran se llama vértice.
Para marcar y llamar los ángulos, se consideran en ellos
tres puntos, que son: el vértice, y los otros dos extremos, y se
llaman nombrando siempre el vértice en medio.
Según la inclinación de los lados, recibe el ángulo tres
nombres, que son: recto, agudo y obtuso.
El ángulo recto 6 á escuadra está fcrrnado por dos líneas
perpendiculares entre sí; el agudo por dos líneas oblicuas entre sí en el sentido de su apro~irnaci6n;
y el obtuso por dos
oblicnas entre sí en el sentido de su separación.
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--
7 -
La mayor ó menor inclinación de los lados de un ángulo
se representa por un arco trazado en SlI abertura haciendo
centro en el vértice.
Llámanse d1tgtllos opuestos los que están unidos por su
vértice y que se forman de la prolongación de sus lados.en
el sentido de su vértice.
La C!jiva ó arco C!jival es un ángulo
curdlíneo
formado
por dos arcos de círcu 10.
!{EGLAS
]'¡\HA
LA
PRÁCTICA.
En la práctica, para trazar ángulos rectos se hace uso de
un instrumento llamado escuadra, que se compone de dos
reglas unidas por sus extremos y cuyos bordes se encuentran
en ángulo recto.
Para trazar una perpendicular en un pun to dado en una
línea ó fuera de ella, se hace coincidir una de las reglas con
la línea y el otro con el punto, y por éste se traza la perpendicular.
A falta de escuadra, y sobre todo, en dibujos de pequeña
dimensión, se puede emplear una hoja de papel doblada cuidadosamente en cuatro pliegues.
EJERCICIOS.
Trazar ángulos curvilíneos, rectilíneos y mixtilíneos;,
Mostrar los lados y el vértice de un ángulo y nombrar
sus tres puntos;
Trazar arcos desde el vértice de un ángulo;
Trazar ángulos rectos, agudos y obtusos.
PROllLE~IAS .
}.o
Construir un ángulo· igual á otro.
z.o Dividir un ángulo endos, cuatro
ú ocho partes igualse.
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-8LECCION
IV.
DEI. CÍRCULO.
Circunferencia es una curva cerrada y cuyos puntos se
hallan todos equidistantcs de otro llamado cmtro.
Circulo es el espacio encerrado por la circunferencia.
Arco es cualquiera p;¡rte de la circunferencia.
La mitad de una circunferencia
se llama semicircunfe1'cnct'a, y la cuarta parte cuadrm¡te.
La circunferencia tiene, pues, dos scmicircunferencias,
CU:ltro cuadrantes y una infinidad de arcos.
Se llaman ai'Clmferencias tangentes las que se tocan en
un punto, y ellas puedcn ser Ú¡ternas ó externas: son internas cuando se tocan por dentro, y externas cuando se tocan
pe,r fuera.
El punto donde se tocan dos circunferencias
tangentes
se llama junto de contacto.
Circmiferencias secantes 50n las que se cortan entre sí.
El punto donde se cortan las circunferencias
secantes
se llama junto de intersección.
Dos circunferencias que tienen un mismo centro, y radiQ mayor ó menor, se llaman cOllcÚltricas.
El espacio comprendido entre dos circunferencias
con.
céntricas se llama m¡illa.
Dos circunferencias inscritas una dentro de otra, pero
con diferente ccntro, se llaman cxcélltrt·cas.
Toda circunfcrcIlcia, sea grandc ó pcquelia, sc considera
dividida en 360 partcs iguales, que se llaman grados/cada
grado se divide en 60 minutos pn'meros, cada minuto primero en 60 seguildos y así en adelante.
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-
1)_.
Los grados y minutos se marcan en lo escrito como en
este ejemplo: 90°, 36', 28 ",40'''.
La semi-circunferencia miuc puco 180" Y el cuadrante
9°·0
Los ángulos sc miden lrazanuo un arco en su abertura
haciendo centro cn el vértice y transmiticndo
eOIl
el compás la medida de su cuerda sobre el arco dcl scmicirculo
graduado.
Losdin:rsos arcos que pueucn trazarse ucsue el v6rtice
de un ángulo ticnen todos el mismo número ue gracias, aunque sean de diversasdimensioncs.
Si se prolongan ó acorlan los lados dc un ángulo, no
por esto se aumentan ó se disminuyen los grados del arco.
Un ángulo recto tiene 90° y equivale á un cuadrante j
dos ángulos reclos tienen 180° que eq ui valen á una scmi-.
circunferencia; cuatro ángulos rectos valen 3600 y equivalen á una circunferencia.
HEGLAS
PAHA
LA
PRACTICA.
Para trazar una circunferencia se hace uso de! instrumento llamado compáS, fijando uno de sus extremos en el
punto que ha de ser e! centro ue la circunferencia y haciendo girar el otro extremo hasta que la línea quede cerrada.
Para cuando se quiera trazar circunferencias
de mayor
dimensión, se hará uso de una cuerda, fijando uno de sus
extremos en el punto que ha de ser centro y atando al otro
extremo un lápiz con el que se hace el trazado.
El tra11spoftador, con que se miden los ángulos y los
arcos, es un semi-círculo de cobre, talco ó madera y cuya
semi-circunferencia llamada limbo está dividida en 180°.
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-10EJERCICIOS.
Dado un punto y una dimensión, trazar una circunferencia.
Trazar circunferencias
excéntricas,. concéntricas, tangentes y secantes.
PROBLEMAS.
Dada una circunferencia, hallar su centro.
Dado un arco, hallar su centro.
3.° Dados tres puntos que no estén en línea recta,
cer pasar por ellos un arco 6 una circunferencia.
L°
2."
ha-
LECCIÓN V.
DE LAS Lf:>iEAS RECTAS y ESPACIOS QUE SE
CO:>iSIDERAN EN. EL
CÍRCULO.
La línea
raaí'o .
. La línea
sin pasar por
La línea
que va del centro á la circunferencia,
se llama
que va de un punto á otro de la circunferencia
el centro, se llama cuerda.
que toca por fuera la circunferencia,
se llama
ta11¿:Clllt:.
El lugar en que la tangente toca la circunferencia,
se
llarra plinto de contacto.
La línea que va de un punto á otro de la circur::ferencia
pasando por el centro, se llama didmetro.
La línea que corta la circunferencia en cualquier punto,
se llama' SeCa11te.
El punto en que la secante corta la circunferencia,
se
llama plinto de intersección.
Flecha 6 sagita, es la parte del radio comprendida entre
el arco y la cuerda.
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-11Sector, es el espacio
encerrado
entre
dos radios
y el
arco.
Segmento,
es el espacio
encerrado
entre el arco y la
cuerda.
El diámetro cs la línea más larga que sc puede trazar
dentro de un círculo.
Dos radios tienen juntos la longitud de un diámetro.
Todos los diámetros de un mismo círculo son iguales
entre sÍ, 10 mismo que los r::J.dios.
No hay una proporción exacta entre el diámetro y la
circunferencia, que es 10 que se llama la cuadra/tira del círculo, pero comunmente se usa la de 7 á 22, sicndo 7 el diá.
metro y zz la circunferencia.
EJERCICIOS.
Trazar y nombrar las diferentes líncas y espacios que se
cónsideran en el circulo.
D::J.doun diámetro, hallar la circunferencia, y viceversa.
LECCIÓN VI.
ELIPSE, ÓVALO, OVOlDE,-ESPIRAL
y Li:\EA
O:\,[)ULADA.
Elipse es una líriea curva cerrada, que tiene la propiedad de que dos rectas trazadas desde cualesquiera de los puntos á losfocos, situados en el ·eje mayo1', valen tanto como
éste.
En una elipse hay eje mayor y eje mmor.
El eje mayor divide la elipse en dos partes iguales y
pasa por los focos j el eje menor pasa por el centro, y divide
perpendicularmente
el mayor en dos partes iguales.
O11a10 es una curva á imitación de la elipse, quese describe con la reunión de varios arcos de círculo.
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-12Ovoide es una elipse irregular que tiene uno de sus
extremos más estrecho, á la manera de un huevo.
Espz'rai es una curva indefinida, que sin cerrarse en
círculo, va enroscándose, ya acercándose al centro, ya separándose de él, según el sentido en que se le considere originado.
LÚzca ondulada es la curva que lleva una dirección alternati ';a, ya hacia arriba, ya hacia abajo.
PROBLEMAS.
L°
2."
4,"
-"
:l'
6."
i·"
Dada una elipse, trazar sus ejes mayor y menor.
D:idos los dos ejes, describir una elipse.
Describir un óvalo dados ambos ejes.
Describir un óvalo dado el eje mayor.
Describir un ovoide sobre un eje dado.
Trazar una espiral.
Trazar una línea ondulada.
LECCIÓN VII.
DE
LAS FIGURAS.
Llám.ise ¡¡gzlra todo espacio encerrado por líneas.
Las 1fneas rectas que forman una figura se llaman lados
de la figura.
Todos los lados juntos forman el }erimetro de la figura.
Para la formacióri de una figura se necesitan tres líneas
rectas por lo menos.
El círculo es una figura terminada por una sola línea
curva.
Las figuras formadas por tres ó más líneas, se llaman
POligo110S.
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-13Los polígonos en razón de -sus líneas,
S:1n: rt'ctilim:os,
CW'vl"lf11f'OSy 1IIixti1íncos,
En razón del nÚmero de sus lados, los polígonos se llaman como sigue:
Los de tres lados, tnldtcros;
los de cuatro, clladrz'láteros; los de cinco, }Clltrig0110S ; los de seis, cxrigOllos," los de
siete, eptdgollos,- los de ocho, octdgollos,- los de nueve, e1udgonos y los de diez, decdgol1oS.
No se sigue esta nomenclatnra sino para llamar dodecágono al polígono de doce lados y pmtadccágúllo
al de quince.
Se considera en las figuras base y altura.
Se llama b:15Cde una figura el lado sobre el que se apoyan los demás; la altura e~ una perpendicnlar bajada del
lado opuesto, i la b:\Se ó i Sll prolongación,
Se llama diagonal de una figur~ la línea qne d'a de uno
de sus ángulos á otro opuesto.
Por razón de la igualdad, ó desigualdad de sus lados y
de sus án¡l;ulos, los polígonos se di viden en regulares é irregulares.
L::>spolígonos regulares tienen todo;; sus lados y ángulos
iguales:
los irregulares no tienen sus lados y angulos
iguales.
Llámase po ligo 11o simitriL'l el que se puede dividir por
medio de una recta en dos partes que coinciden si se dobla
una figura sobre sí misma.
La línea sobre qut
llama eje de simetría,
se dobla una figura
simétrica, se
Se llama dllgulo saliente de ulla tigura todo aquel que
_tiene su vértice fuera de ella; y dllgulo C1Itrall te, todo aquel
que tienc su vértice dentro de la figura.
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-14-
"
Se emplean con frecuencia los polígonos regulares en el
enlosado, y en el entarimado de los pisos.
Para dichos usos se emplean ll\s siguientes figuras: los
triángulos equiláteros, los cuadrados y exágonos regulares,
ya solos, ya combinados unos con otros.
LECCIÓN VIII.
DE
LOS
TRIÁNGULOS.
Triángulo ó trilátero es el polígono cerrado por tres lí·
neas, y consta de tres ángulos:
Según la igualdad ó desigualdad de los lados de los
triángulos, se denominan eqm"ldteros, t'sóseles y escalenos.
El triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados
iguales; el isóseles es el que sólo tiene dos lados iguales, y
el escaleno, el que los tiene todos desiguales.
Según la clase de ángulos de que se formen los triángulos, se denominan rectángulos,obtusángulos
y acutángulos.
El tnallgulo 1'ectállgu¡o tiene un ángulo recto y dos
agudos, el obtusángulo tiene un ángulo obtuso y dos agudos,
y el acutállgulo tiene tres ángulos agudos.
Los tres ángulos de todo triángulo son iguales á dos
.ángu1cs rectos, ó sean 180 grados.
En los triángulos rectángulos, el lado mayor, que es el
opuesto al ángulo recto, se llama hipotmusa, y los 'otros dos
lados, ,;atetos.
PROBLEMAS.
J." 'Trazar un triángulo equilátero
sobre un lado dado.
Trazar un triángulo isóseles sobre un lado dado.
3.° Trazar un triángulo escaleno dados sus tres lados.
4.' Construir un triángulo rectángulo.
2.'
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-155.° Construir
6.° Construir
un triángulo
un triángulo
obtusángulo.
acutángulo.
LECCIÓN IX.
nE LAS SUPERFICIES HORIZO:\TAL~S.
Dícese que un plano es horizontal cuando no e,;tá inclinadoen ningún sentido.
Para averiguar si un plano es horizontal, se emplean
diversos instrumentos:
r.O El llivel de alba1iiI, que se compone ordinariamente
de dos reglas de igual longitud ensambladas en ángulo recto
y unidas por un travcsal1o; del vértice de su ángulo recto
cuelga una plomada cuyo hilo debe pasar exactamente por la
mitad del travesai'io, punto que se marca coa una raya.
Para que un plano esté horizontal, es prcciso que, colocando el instrumento
con el ángulo recto hacia arriba, la
línea de la plomada coincida con la raya lh: la mita'] del travesaiio.
2.° E/uivel de aire, que consiste en un tubo de vidrio
ligeramente
recurvado, puesto en una placa de cobre; este
tubo está casi lleno de agua, dejando sólo una p::q Utlla porción ocupada por una burbuja de aire.
Cuando se pone el nivel, si el plano está horizontal, la
burbuja está en medio del tubo, pero por poco que' se incline
el nivel, la burbuja se dirige hacia la extremidad más elevada.
Un plano estará horizontal cuando, colocando el nivel
en dos direcciones opuestas, la Durbuja de airc ocupa siempre el punto medio del tubo.
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-16LECCIÓN
X.
DE LOS CVADRILÁTB:ROS.
Llámase
líneas.
crtadri!dteros
la
figura cerrada
por
cuatro
Hay dos especies de cuadriláteros:
los que 'tienen sus
lados opuestos paralelos, y los que no los tienen; los primeros
se Ilaman paralelógramos.
Hay cuatro especies de paralel6gramos, á saber:
El cuadrado, que tiene sus cuatro ángulos y lados
iguales i
El ,'ectángulo, que tiene sus cuatro .ángulos rectos y desiguales sus lados contiguos; el n:,mbo, quc tiene sus cuatro
lades iguales y desiguales sus ángulos dos agudos y dos obtusos j
el romboide, que tiene sus lados y ángulos contiguos des.
iguales,
Los siguientes cuadriláteros no son paralel6gramos:
el
tralecio, que tiene s610 dos lados paralelos, y el trape;mide,
que no tiene lados paralelos,
Los cuatro ángulos que forman todo cuadrilátero
valen
juntos cuatro ángulos rectos, 6 sean 360°.
PROBLEMAS.
Construir un cuadrado dado uno de sus lados.
Construir un retángulo dados dos de sus lados.
3.° Construir un rombo, dado solo un lado, 6 también
uno de sus ángulos, el agudo 6 el obtuso.
4.° Construir un romboide dados dos lados, 6 también,
dado el ángulo formad9 con eIlos, ya sea agudo ú obtuso.
1.°
2.°
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-17LECCIÓN XI.
P'I6URAS
Il'SCRITAS
y CIRCUNSCRITAS
EN LA CIRCUNFERENCIA.
Se dice que una figura está z'nscrita en una circunferencia cuando todos los vértices de sus ángulos la tocan por
dentro, y que está circu1tscrita cuando tienen sus lados tangentes á la circunferencia.
PROBLEMAS.
Inscribir en un círculo polígonos regulares de 3, 6,
&c. lados.
2.° Inscribir en un círculo
polígonos regulares de 4, 8.
16 &c. lados.
3.° Inscribir en un círculo polígonos regulares de 5, IO.
20 &c. lados.
+" Describir un método general para inscribir cualesquiera polígor.os.
5.° Circunscribir los anteriores polígonos.
6.° Inscribir un círculo en un polígono regular.
7.° Dada una línea quebrada, inscribir en ella una circunferencia.
I.O
12
LECCIÓN
DE LAS FIGURAS
IGUALES
XII.
Y DE LAS SEMIUANTES.
Se llaman.figuras semejantes las que tienen sus ángulos
iguales y porporciona]es sus lados; .figuras desemejantcs son
aquellas á que les falta alguna de estas circunstancias.
Llámanse figuras 19uales las que tienen sus lados y
ángulos iguales.
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-18PROBLEMAS.
1.0
Dado un triángulo, construir otro semejante
construir otro seme
2.° Dado un poHgono cualquiera,
jan te.
3·° Dado un polígono cualquiera,
trazar otro igual
LECCION XIII.
DE LAS SUPERFICIES.
Su.perjicie ó área es la extensión determinada
por la
longitud y la latitud, sin considerar la profundidad.
Hay dos clases de superficies: la Plana y la curva.
Superficie plana es aquella cuyos puntos estan todos
)gullmente salientes, de manera que las líneas rectas trazadas
sobre ella la tocan en todo punto y sentido.
La-superficie curva tiene sus puntos unos más salientes
que otros, y así, una recta trazada sobre ella, sólo la .toca en
uno ó algunos, pero no en todos los puntos por donde pasa.
Hay, pues, solo una especie de superficie plana, é infinidad de superficies curvas.
Entre las superficies curvas hay las llamadas cóncavas y
conve.ias: las cóncavas son curvas hacia abajo, y las convejas
son curvas hacia arriba.
Se considera en las superficies base yaltu.ra, como en las
figuras.
Las áreas iguales, aunque de diferente forma, se llaman
equivalentes.
lI!edir 1t11asuperficie ó área, es determinar cuántas veces
contiene una área dada á otra, que se toma como término de
comparación ó de unidad.
Las unidades adoptadas para medir las áreas en el siste-
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-19ma métrico decimal francés, son: el centímetro, el metro, la
hectara, y el miriámetro cuadrados.
Estas unidades se representan por un cuadrado que tiene
un decímetro, un metro, &c. de medida por lado.
Se mide el área de un triángulo rectilíneo multiplicando
la medida de su base por la de su altura; la mitad del prod ucto será el área.
El área de un cuadrado es el producto de la multiplicación de la medida de uno de sus lados por sí misma.
Se halla el área de un paralelógramó cualquiera multi.
plicando la medida de su base por la de su altura.
Se mide el área de un trapecio, multiplicando la mitad
de la suma de los dos lados paralelos por la altura tomada
entre estos dos lados.
Para medir el área de un polígono de cinco ó más lados
se divide en triángulos por medio de diagonales y la suma
de las áreas de todos los triángulos será el área del polígono.
Para medir el área de cualq uiera figura, cerrada por curvas, se divide el área en dos partes por medio de una recta,
se trazan sobre ella perpendiculares desde el perímetro, y así
queda descompuesta el área en triángulos, trapecios, paralelógramos &c. los que se miden separadamente y la s1ima <le
sus áreas será el área total.
El área de un círculo es igual á la mitad del producto
de la medi.da de su circunferencia, multiplicada poda de su
radio.
PROIlI E~IAS.
l." Hallar el área de las diferentes superficies arriba dichas, dada una unidad de medida.
2.0 Dividir un triángulo
en dos partes iguales con rectas trazadas desde un punto cualquiera dado.
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-203.° Dividir
un ;:Junto dado
+" Dividir
trazadas desde
en dos partes iguales un cuadrilátero desde
en uno de sus lados.
un polígono en tres partes iguales con líneas
uno de sus ángulos.
LECCIÓK XIV.
DE LOS SÓLIDOS REGULARES.
Volumm, sóHdo ó cuerpo es el espacio comprendido en
la longitud, latitud y profundidad reunidas.
Se dividen los cuerpos sólidos en regulares é ¡·rregulares.
Cuerpos regulares son los que están terminados en ángulos sólidos iguales y por superficies semejantes; los irreg"·
lares no tienen dichas propiedades.
Sólo hay cinco sólidos regulares, que son:
El tetraedro ó p¡rámide triangular, que consta de cuatro
'triángulos equiláteros en sus cuatro caras;
El octaedro que tiene ocho triángulcs equiláteros en sus
ocho caras;
El exaedro ó cubo, cuyas seis caras son seis cuadrados
iguales j
El dodecaedro, terminado por docepentágonos regulares.
Hay otros sólidos que, aunque compuestos de caras de
forma regular, no se cuentan entre los regulares, que son:
El prisma, que es un sólido cuyas dos caras opuestas
son dos planos iguales y paralelos y c~as demás superficies
son paralelógramos ;
El paralelejiPedo, que es un prisma que tiene por superficies seis paralelógramos ;
.El dlindro, que es un cuerpo cuyos extremos son dos
círculos unidos entre si por líneas rectas j
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-21La fn·rámide no triangular,
que es un sólido cuya
base es una figura cualquiera y cuyas caras son todas triangulares, las que terminan sus vértices en un mismo punto j
El Calla, que es una pirámide que tiene por base un
circulo j
La esfera, que es un sólido terminado por una superficie
curva, cuyos puntos están todos equidistantes de un punto
común llamado centro.
LECCIÓN XV.
PLANOS, LÍNEAS Y PUNTOS DE LOS SÓLIDOS.
En los cuerpos se consideran varios planos, líneas y
puntos.
Los Planos ó caras de un sólido son las superficies que
lo forman, y entre ellos hay la base, que es su superficie
inferior.
Las líneas rectas que se consideran en un sólido, son:
La altura, que es una perpendicular
imiginaria que se
levanta de la base;
Las aristas, que son las rectas que unen entre ~í las
caras del sólido ;
Los lados, que son las rectas trazadas desde la cúspide
de la pirámide ó cono á su perímetro ;
El e/e, que es una recta imaginaria que une los dos centros de los círculos de la base en el cilindro, 6 cualquier diámetro en la esfera, y -la perpendicular
trazada desde la cúspide de la pirámide ó cono al centro de su base.
Las lineas curvas que se consideran en la esfera, I\on ~
Los circulas máximos, que son los que pasan por el centro de ella j
Los menores son los que no pasan por el centro;
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-22La Z01za, que es la parte comprendida entre dos círculos
paralelos, y el casquete esjérico, que es cualquiera parte cortada á la esfera.
Los puntos que se consideran en los sólidos, son:
La cúsPide, que es el punto en que se reunen las superficie!; de la pirámide y del cono;
Los polos, que son los dos puntos extremos del eje de la
esfera;
El ccntro, que es el punto equidistante de todos los de
la superficie de la esfera:
Respeeto á la posición de ciertos sólidos, ellos son rectos
Ú obHcuos ; los rcctfJS son los que tienen
su altora perpendicular á su base, los oblicuos son los que no la tienen:
Pueden ser oblicuos los prismas, el cilindro, la pirámide
y el cono.
LECCIÓN XVI.
MEDIDA DE LAS SOLIDECES.
Medir la solidez ó volumen de un cuerpo es averiguar
las veces que dicho cuerpo contiene otro' conocido que se
toma por unidad.
La unidad que generalmente se toma para medir la solidez, es el cubo, como sólido más sencillo, y cuyas dimensiones deben ser conocidas, como centímetros, pulgadas, &c.
En los sólidos se considera, como en las figuras, que
tienen base y altura.
gn los cilindros y en la esf~a no hay altura, sino eje.
La solidez ó volumen de una pirámide ó de un cono, es
igual al producto de la superficie de la base multiplicada por
la ahura.
La solidez 6 volumen de la esfera es igual al producto
de toda su superficie multiplicado por el tercio de su radio.
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-23La superficie de la esfera se halla multiplicando su diámetro por uno de sus círculos máximos.
La solidez ó volumen del cubo se halla multiplicando
por tres uno de sus lados.
La solidez ó volumen de un cilindro se halla multipli.
cando la superficie de su base por su eje.
La solidez ó volumen de un prisma se halla multiplicando la superficie de su base por su altura.
APLICACIÓ:-¡.
Por medio de la medición de las solideces, se puede
obtener el peso de un sólido hecho de metal, con tal de saber
el peso específico de él; por ejemplo: un cubo que tenga por
l<ido un decímetro, tendrá de peso, suponiéndolo hecho de
agua, un kilogramo; ahora, bien, como el peso específico ó
de1l5idad del hierro es de 7- 50, el mencionado cubo tendrá el
peso de siete y medio kilogramos.
Por regla general; para hallar el peso de un objeto de
metal, de figura regular, ~e multiplica el volumen por el
peso específico.
FIN.
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