Física basada en competencias

Índice
Física basada en competencias:
una propuesta de articulación
Universidad – Nivel Medio
Jorge Vicario, Adriana Fernández, Carlos Tarasconi,
Santiago Esquenazi, Javier Garnica, Adriana Garello,
Rosana Matteoda, Patricia Rigotti
Universidad Nacional de Río Cuarto
ISBN – 13: 978-950-665-413-9
1
Algunas consideraciones metodológicas
2
Tema 1. Noción de Fuerza y Cantidad de Movimiento
12
Tema 2. Segunda Ley de Newton.
14
Tema 3. Conservación de la Cantidad de Movimiento.
16
Tema 4. Primera y Tercera Ley de Newton.
18
Tema 5. Fuerza de Rozamiento.
23
Tema 6. Fuerzas en el Movimiento Circular.
27
Tema 7. Sistemas de Referencia.
30
El difícil arte de resolver problemas
32
Actividades
47
Actividades experimentales
61
Actividades complementarias
65
Referencias bibliográficas
69
Bibliografía consultada
70
2
Fundamentación
Algunas consideraciones metodológicas
En el desarrollo del Programa de Articulación Curricular (PAC 2005),
el área disciplinar de Física mantuvo la misma operatoria que en la edición 2003. Esto es, docentes del nivel medio y de la Universidad Nacional de Río Cuarto (UNRC) compartieron sus conocimientos y su experiencia para lograr acuerdos que permitieran mejorar la articulación
entre ambos niveles a efectos de facilitar el pasaje de los alumnos de un
nivel a otro.
Hubo, sin embargo, algunas diferencias. En el año 2003 se trabajó fundamentalmente en la articulación curricular, definida ésta por la Secretaría Académica de la UNRC como: “La condición de unidad vertical
del sistema educativo (Nivel Medio – Universidad) que se traduce en
graduación y enlace curricular, y que facilita a los estudiantes la continuidad de los estudios de un nivel a otro en condiciones de mayor justicia y equidad”. El eje de la articulación curricular consistió en el desarrollo de un trabajo académico entre docentes de Física, en este caso, de
ambos niveles, sobre contenidos que –siendo fundamentales en la formación de la disciplina en estudiantes de Nivel Medio- al mismo tiempo
obran como pre-requisitos tanto para el ingreso a la Universidad cuanto
para el primer año de estudios en algunas de las carreras que allí se ofrecen.
Se avanzó entonces en la producción de materiales didácticos dirigidos
a los alumnos de la escuela media. En el caso de la Física, el material
que hoy nos interesa se titulaba “Temas de Física: orientación tecnología”, y fue elaborado por docentes de la Facultad de Ingeniería y de
escuelas de Nivel Medio de la ciudad y la región, en base a los contenidos que –a juicio del grupo- merecían un tratamiento pedagógico particular. Se destacó en el grupo el trabajo colaborativo entre docentes de
ambos niveles para avanzar en acuerdos que permitan una mejor articulación entre la escuela y la universidad.
3
El trabajo colaborativo se profundizó en esta nueva edición del PAC,
partiendo de la identificación de dos aspectos que, con sentido crítico,
se determinaron como necesarios de modificar con respecto a lo realizado en 2003:
a)
la superación de las diferencias existentes entre los docentes de
las distintas facultades –consistentes en orientar el currículo en función
de la profesiones- recuperando las disciplinas como lógica que orienta
el trabajo de los docentes en el Nivel Medio, y
b)
el trabajo sobre las competencias disciplinares básicas en la
escuela media.
Se planteó entonces el desafío de crear un espacio de trabajo común
entre los docentes responsables de la enseñanza de la Física en la
UNRC para analizar, discutir, reflexionar, acordar perspectivas e intercambiar experiencias con relación a la disciplina que enseñamos y cómo
la enseñamos. Esto fue fundamental para trabajar luego con los docentes
del Nivel Medio, quienes siempre fueron los principales perjudicados
por la falta de definición, de parte de la Universidad, de algunos criterios básicos comunes sobre lo que los jóvenes necesitan saber y saber
hacer, cuando dejan la escuela media; particularmente con respecto a la
Física.
Pero hubo otro desafío –tan problemático como el anterior para los docentes universitarios- que fue abordar el complejo y novedoso tema de
las competencias.
La formación y evaluación por competencias –aspecto este último que
no fue analizado por el grupo- surge en la década de los noventa del
siglo pasado y tiene su punto de partida en el campo administrativo y
empresarial. En América Latina, particularmente en el área de educación, se ha intentado plasmar este enfoque a través de las reformas educativas que en esa misma década tuvieron lugar en varios países de la
región. En la Argentina, la referencia explícita a la formación de competencias por medio de los Contenidos Básicos Comunes de la Enseñanza
General Básica y el Polimodal, aparece en varios documentos del Con4
sejo Federal de Cultura y Educación, como bien lo registra M. Sladogna
(2000) al mencionar la Recomendación 26/92 referida a los Acuerdos
para la transformación curricular, el Documento sobre Orientaciones
Generales para Acordar los Contenidos Básicos Comunes (Serie A-6),
o el Acuerdo Marco del Polimodal (Documento A-10).
La Recomendación 26 dice al respecto que los Contenidos Básicos Comunes (CBC) de la escuela media deben orientarse a la formación de
competencias en los alumnos. Y explicita: “Las competencias se refieren a las capacidades complejas que poseen distintos grados de integración y se ponen de manifiesto en una gran variedad de situaciones correspondientes a los diversos ámbitos de la vida humana personal y
social. Son expresiones de los distintos grados de desarrollo personal y
participación activa en los procesos sociales. Toda competencia es una
síntesis de las experiencias que el sujeto ha logrado construir en el marco de su entorno vital amplio, pasado y presente”.
Cullen (1996) explicita un poco más la definición al afirmar que “las
competencias se definen como las complejas capacidades integradas en
diversos grados que la escuela debe formar en los individuos para que
puedan desempeñarse como sujetos responsables en diferentes situaciones y contextos de la vida social y personal, sabiendo ver, hacer, actuar
y disfrutar convenientemente, evaluando alternativas, eligiendo las estrategias adecuadas, y haciéndose cargo de las decisiones tomadas”.
Por su parte, Fourez (1998) considera que “puede ser interesante distinguir los saberes (conocimientos) de los saber-ser y saber-hacer (competencias), aun cuando toda competencia descansa sobre saberes y todo
saber desemboca en posibilidades de acción”. Perspectiva ésta que nos
resultó muy útil para plantear después las competencias que -a nuestro
juicio- pueden contribuirse a lograr desde la Física, a partir de la presentación de los contenidos y la elaboración de actividades para los alumnos.
ción puede ser tanto cultural como práctico: “Cultural, porque comprender cómo un conocimiento ‘funciona’ da a la persona un mejor
conocimiento de sí misma y de su situación. Práctico, porque un conocimiento del cual se tiene conciencia en sí puede ser mejor utilizado”.
Se desea aclarar al respecto que el grupo ha puesto el acento en la elección de aquellas definiciones de competencia que tienen sustento teórico
en la perspectiva socio-constructivista, que sostiene la idea de que el
conocimiento es una construcción histórica y colectiva, y anclada en la
cultura. Refiere además que las modelizaciones o construcciones teóricas proporcionadas por la ciencia no son absolutas sino relativas a contextos, proyectos y destinatarios, y que la validez de los conocimientos
se halla vinculada por las situaciones en las que ese conocimiento resulta interesante, conveniente, pertinente y útil.
En base a lo anterior, puede decirse que para nuestro grupo de trabajo:
ƒ
Las competencias son capacidades que, si bien se traducen en
la acción, descansan en el relativo dominio de un conocimiento disciplinar o interdisciplinar. En ese sentido, se trata de un saber hacer ilustrado o fundado en un conocimiento disciplinar o interdisciplinar.
ƒ
En tanto saber hacer ilustrado, las competencias son objeto de
enseñanza por parte de la escuela, la que debe plantear la reflexión entre
los docentes sobre la identificación de las competencias disciplinares e
interdisciplinares que se desean formar.
ƒ
Identificadas las competencias sobre las que se desea formar a
los alumnos, se impone la necesidad de reflexionar sobre las prácticas
de enseñanza en las distintas disciplinas, en este caso la Física, a efectos
de orientarlas de modo tal que contribuyan a la enseñanza y al aprendizaje de esas competencias, proporcionando a los alumnos situaciones
de aprendizaje que refieran a distintos ámbitos donde puedan poner en
acción sus conocimientos.
Introduce también Fourez al saber de los saberes. Es decir, una competencia metacognitiva o capacidad de reflexionar sobre cómo se construyen –y particularmente cómo cada uno construye- los conocimientos
relativos a una disciplina. Pare este autor, el interés de una metacogni5
6
Metodología de trabajo
Acuerdos curriculares y competencias disciplinares
Tal como se explicitó al comienzo, en este PAC 2005 se destacaron las
decisiones de trabajar en forma colaborativa y con igualdad de responsabilidades, tanto en lo que concierne a la formulación de las competencias disciplinares básicas que deben lograr los jóvenes que egresan de la
escuela media, cuanto en la selección de contenidos que deben trabajarse en base a esas competencias, para culminar con la reelaboración del
material impreso en 2003.
En lo que respecta a los contenidos, partimos refrendando los núcleos
temáticos acordados como centrales en el currículo de la Física en ocasión del desarrollo del PAC 2003. Así, se consideró que el trabajo sobre
las competencias estuviera referido al tratamiento y las actividades sobre Leyes del Movimiento de Newton.
El trabajo realizado en esta oportunidad puede dividirse en dos etapas
bien marcadas:
1. el análisis y la discusión previa de competencias entre los docentes
universitarios; y
2. el trabajo conjunto con los docentes de Nivel Medio.
Respecto a la primera etapa, los docentes de Ingeniería tuvimos reuniones con colegas de las facultades de Ciencias Exactas y de Agronomía y
Veterinaria, en las que analizamos los materiales elaborados en el año
2003 y acordamos la identificación de cuatro grandes competencias que
más adelante exponemos.
En lo que concierne a la segunda etapa, el trabajo se desarrolló en seis
encuentros quincenales. Analizamos, en primer lugar, los materiales
elaborados en el año 2003. El propósito era identificar, aprovechando la
importante experiencia de los docentes de media en su trabajo con el
material en el aula y con sus alumnos, las competencias que, de alguna
manera y en cierta medida, estaban contempladas.
Luego iniciamos el análisis de las competencias que a juicio del grupo
deberían cubrirse a lo largo de los ciclos CBU y Especialización, desarrollándose un proceso de complementación entre las competencias
elaboradas por los docentes universitarios y las Competencias Educativas Prioritarias con las que se trabaja en el Nivel Medio.
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En lo que concierne a la formulación de las competencias, se partió de
la pregunta: ¿Qué debería saber y saber hacer un estudiante en tanto
futuro ciudadano, trabajador o profesional creador, consumidor o usuario, para participar activamente en su comunidad y contribuir a formar
un mundo que merezca ser vivido?
Surgieron así cuatro competencias, las que a su vez fueron subdivididas
en algunos ‘indicadores’ que permitan luego evaluar si los alumnos las
logran o no en su paso por el Nivel Medio.
Las competencias determinadas por el grupo, más sus respectivos indicadores, se explicitan a continuación:
1)
Adquirir dominio sobre su proceso de aprendizaje para
plantear sus propios interrogantes y encontrar sus propias soluciones a problemas relacionados con la disciplina.
a)
Advertir las relaciones de algunos de los temas estudiados en la disciplina, con los analizados en otras asignaturas tales como
Química, Biología, Tecnología y Ética, entre otras.
b)
Profundizar el conocimiento con relación a un tema y
consultar las fuentes más pertinentes.
c)
Reconocer y asimilar los modelos que cada disciplina
adopta para el estudio de los fenómenos físicos y químicos.
d)
Reconocer y establecer analogías entre los modelos de
la ciencia y la vida real.
8
e)
Extraer el significado y el sentido de la información
suministrada por los libros de textos, los mensajes de los medios de
comunicación y los membretes o etiquetas de equipos u artículos de
consumo.
2)
Manejar la metodología de trabajo propia de las Ciencias
Experimentales.
a)
Establecer relaciones entre los conocimientos aprendidos y los procesos físicos vinculados a los fenómenos naturales.
b)
Identificar y manipular las variables que intervienen en
problemas o situaciones experimentales.
c)
Realizar esquemas y gráficos que pongan de manifiesto
las relaciones existentes entre las variables que intervienen en determinado problema o situación experimental.
d)
Manipular equipos en situaciones experimentales que
permitan demostrar o someter a comprobación conceptos o leyes de las
Ciencias Naturales.
e)
Evaluar y valorar los resultados de un problema o de un
trabajo experimental, en función de los conocimientos aprendidos.
f)
Formular y refutar hipótesis referidas a situaciones
problemáticas.
3)
Trabajar con responsabilidad y tolerancia en actividades
grupales, promoviendo la aplicación del conocimiento científico en
beneficio de la comunidad.
a)
Ser tolerante con sus compañeros y escuchar sus opiniones, valorar sus aportes y formular con cortesía las observaciones
correspondientes.
b)
Expresar su punto de vista en forma clara y sin intentar
imponerlo por sobre los de sus compañeros.
9
c)
Mediar entre sus compañeros ante la posibilidad de que
se planteen posiciones irreconciliables.
d)
Promover ante el grupo de trabajo un criterio ético
acerca de la utilización del conocimiento y su aplicación para mejorar la
calidad de vida de la comunidad.
4)
Argumentar con fundamento, en forma oral y escrita, utilizando correctamente el lenguaje científico, sobre situaciones o problemas relacionados con las Ciencias Experimentales.
a)
Expresarse correctamente en forma oral y escrita.
b)
Comprender, transferir y comunicar hechos o fenómenos de diferentes realidades en el contexto de marcos teóricos, utilizando correctamente la terminología científica.
c)
Emitir juicios de valor acerca de los problemas o situaciones relacionadas con las Ciencias Naturales que podrían perjudicar al
medio ambiente y a la sociedad.
Una vez identificadas y acordadas las competencias expuestas, nos propusimos diseñar una experiencia consistente en abordar un contenido
específico prestando particular atención a las actividades o prácticas de
aprendizaje por medio de las cuales intentábamos desarrollar algunas
competencias. El tema elegido fue las Leyes del Movimiento o Leyes de
Newton y a partir de esta experiencia advertimos que muchas de las
prácticas de aprendizajes diseñadas por los docentes suelen contemplar
la formación de competencias debido al tipo de tarea y de desafío que
las mismas significan para el alumno, pero que pocas veces somos concientes de ello; lo que resta oportunidades para intervenir ofreciendo
todo el apoyo u orientación que nuestros estudiantes necesitan. La elección del concepto de las Leyes del movimiento se debió a que en esa
instancia se realizaban sesiones conjuntas con docentes de la Facultad
de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales, con quienes coincidíamos en cuanto a las competencias disciplinares básicas que se debían
abordar.
10
También advertimos que no todos los temas se prestan para desarrollar
todas las competencias y que en muchos casos se deben diseñar actividades específicas para algunas competencias en particular. Hay que
tener en cuenta que, como su misma definición lo indica, las competencias son capacidades complejas que son realmente aprendidas a partir
del trabajo en toda la vida escolarizada, a lo que se agrega un aprendizaje no formal que se da a partir del accionar del individuo en la vida cotidiana.
El desarrollo de las competencias por medio de los materiales didácticos a elaborar
Los docentes de ambos niveles consideramos que la revisión de los
materiales didácticos elaborados en el año 2003 significa también la
posibilidad de experimentar su reformulación teniendo como propósito
la promoción y el desarrollo de las competencias disciplinares acordadas.
En tal sentido, las Leyes del Movimiento de Newton constituyen un
conjunto de tres principios fundamentales para la Dinámica de la Partícula, un tema conceptual que el grupo considera central entre los contenidos que un estudiante debe dominar al término del Ciclo de Especialización de cualquiera de las orientaciones vigentes y que, al mismo
tiempo, son considerados imprescindibles para el inicio de carreras en
las facultades de Ingeniería y de Ciencias Exactas, Físico-Química y
Naturales de esta universidad. Es por ello que consideramos que este
tema debía tener un tratamiento exhaustivo en el material por reelaborarse, abordándolo con una metodología de enseñanza basada en la resolución de problemas y apuntando al logro de las competencias acordadas en el grupo.
Se advierte, finalmente, que no se ha avanzado en la evaluación por
competencias, aspecto que cerraría el diseño del proceso de enseñanzaaprendizaje basado en competencias, por lo que –junto con la reelaboración completa de este material, incluyendo a los demás temas trabajados
en el PAC 2003- debe considerarse como un paso al que necesariamente
se debe afrontar en el futuro.
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Tema 1
Noción de fuerza y cantidad de movimiento
Vamos a comenzar a analizar el movimiento de los cuerpos y las causas
que lo provocan, a partir del concepto de fuerza. Si leemos con atención
las siguientes oraciones
•
La locomotora tira los vagones del tren.
•
El niño empuja al compañero que lo precede en la fila.
•
La Tierra atrae a la Luna.
•
Un imán A repele a otro imán B.
•
Un jugador de fútbol patea una pelota.
vemos que en todas ellas hay dos o más cuerpos:
locomotora
vagones
niño
compañero
Tierra
Luna
imán A
imán B
jugador
pelota
también observamos que hay una “acción” entre ellos, representada a
través de un verbo: tira, empuja, atrae, repele, patea.
Esa “acción” se traduce en una fuerza. Entonces: una fuerza es un tipo
de acción que un cuerpo ejerce sobre otro. Es decir que la fuerza es el
resultado de la interacción entre dos cuerpos. Por eso destacamos que
para que exista realmente esa fuerza debe haber al menos dos cuerpos.
Un cuerpo ejerce la fuerza y el otro la recibe. La fuerza siempre es ejer12
cida en una determinada dirección y esto nos da la posibilidad de expresar a la fuerza mediante un vector, ya que tiene módulo, dirección, sentido y punto de aplicación (como vimos cuando estudiamos las características de un vector). El vector fuerza se dibujará sobre el cuerpo que
recibe la acción.
Los efectos que produce una fuerza son, por un lado, deformaciones en
el cuerpo, y por otro, cambios en el movimiento del cuerpo. Sobre este
último nos detendremos. Por ejemplo: si un hombre le da un empujón a
un automóvil que estaba en reposo sobre un camino liso, logrará moverlo. Y para detenerlo luego debería aplicarse sobre el automóvil una
fuerza en la dirección contraria, ya sea colocando un tronco de un árbol,
otro vehículo u algún otro obstáculo.
Vemos entonces que hay una fuerza para moverlo y otra para detenerlo.
La primera es ejercida por el hombre, mientras que a la segunda la hace
el tronco, otro vehículo o cualquier obstáculo. Ambas fuerzas cambiaron el movimiento del auto. Para hablar correctamente diremos que le
cambiaron la cantidad de movimiento.
ρ
Si un cuerpo de masa m tiene una velocidad v , se dice que el cuerpo
ρ
tiene una cantidad de movimiento p . Definiremos a la cantidad de
movimiento como el producto entre la masa y la velocidad, es decir
ρ
ρ
p = mv .
Tema 2
Segunda Ley de Newton
Si se produce un cambio en la velocidad decimos que hay un cambio en
la cantidad de movimiento (suponiendo que la masa no varía),
ρ
ρ
ρ
ρ
Δp = mΔv = mv f − mvo
Este cambio se produce cuando hay fuerzas externas actuando sobre el
cuerpo. Y si se formaliza matemáticamente lo anterior, tendremos:
ρ
ρ
Δp
ΣFext =
Δt
Esta expresión es conocida como la Segunda Ley de Newton (en seguida veremos la primera y la tercera), y efectivamente es la forma en que
el físico inglés la enunció. Se establece así que:
(a)
la variación de velocidad que experimenta un cuerpo tiene la
misma dirección que la fuerza resultante.
(b)
la variación de velocidad que experimenta un cuerpo es proporcional al módulo de la fuerza resultante.
(c)
la variación de velocidad que experimenta un cuerpo es proporcional al intervalo de tiempo considerado.
(d)
la variación de velocidad que experimenta un cuerpo es inversamente proporcional a la masa del cuerpo.
ρ
ρ
Δv
ΣFext = m
o bien
Δt
ρ
ρ
ΣFext Δt = mΔv
Si una fuerza neta o resultante actúa sobre un cuerpo cierto intervalo de
tiempo, se produce un impulso
13
14
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
I = ΣFext Δt = mΔv , por lo tanto I = Δp .
Tema 3
Tanto la fuerza cuanto el tiempo durante el cual ésta actúa son importantes para cambiar la cantidad de movimiento del cuerpo. Esto es lo
que hace un tenista cuando devuelve la pelota al otro jugador; la fuerza
que ejerce la raqueta sobre la pelota es muy grande y actúa durante un
intervalo de tiempo muy pequeño, por lo que el cambio de la cantidad
de movimiento será muy grande. Lo mismo acontece cuando dejamos
caer una pelota de goma desde una determinada altura, ésta choca contra el suelo, y si el choque es perfectamente elástico, la pelota volverá
a la misma altura.
ρ
ρ
ρ ρ
I = mΔv = m(v f − vo )
Conservación de la cantidad de movimiento
Tengamos presente la expresión:
ρ
ρ
Δp
ΣFext =
Δt
Si no hubiera fuerzas externas actuando sobre el cuerpo o si la resultante de ellas fuera nula, la variación de la cantidad de movimiento del
ρ
cuerpo es nula, por lo que la cantidad de movimiento p se conservará.
Veamos algunos ejemplos:
y sacando el carácter vectorial a la expresión anterior, nos queda
I = m(v − (− v )) = m(v + v ) = 2mv
¿Cuál es la fuerza que ha hecho que la pelota cambie la cantidad de
movimiento? ¿Quién la aplica? La fuerza es la de contacto con el piso y
es justamente el piso el que la aplica.
1)
Un rifle que dispara una bala horizontalmente, la fuerza que
provoca que la bala salga del cañón o alma del rifle es de igual magnitud y dirección pero de sentido opuesto a la que hace retroceder al rifle
(más adelante estudiaremos en profundidad este tema). En el sistema
rifle-bala, estas fuerzas son internas, por lo tanto la cantidad de movimiento en la dirección horizontal se conserva, pues en esa dirección no
hay fuerzas externas actuando. Antes de producirse el disparo el sistema
está en reposo, por lo que la cantidad de movimiento inicial es cero
ρ
p0 = 0 , mientras que después del mismo la cantidad de movimiento es
ρ
ρ
nula pues mb vb = m r v r donde mb y m r son la masa de la bala y del
ρ
ρ
vb y v r sus velocidades respectivas. Por lo que
ρ
ρ
ρ
p f = mb vb + mr v r = 0 , sacando el carácter vectorial a la expresión
rifle
y
anterior, esto es que p f = mb vb − m r v r , ya que la cantidad de movimiento de la bala es igual y opuesta a la del rifle, entonces
ρ ρ
ρ
Δp = p f − p 0 = 0 .
ρ
Como p es un vector, tiene componentes en la dirección horizontal,
pero también podría tenerla en la dirección vertical, en cuanto a esto,
veamos que fuerzas actúan en esta dirección, por un lado la atracción de
15
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la Tierra y por otro, la que hace el brazo para sostener el sistema riflebala, como están en equilibrio, la fuerza neta es cero y en consecuencia, Δp y = 0 .
Tema 4
Primera y Tercera Ley de Newton
2)
Una bola de billar de masa m que choca frontalmente con otra
de igual masa que inicialmente se encuentra en reposo, la primera de
ρ
ρ
ellas tiene cantidad de movimiento inicial p 01 = m1v01 mientras que la
Como vimos en el tema anterior, el movimiento cambiaba cuando aplicábamos sobre el cuerpo una determinada fuerza. También estudiamos
segunda no, p 20 = 0 , debido a que su velocidad es nula. Después del
choque, la primera queda en reposo, mientras que la segunda adquiere la
velocidad y en consecuencia la cantidad de movimiento que traía la
ρ
ρ
ρ
ρ
primera, p 2 f = m2 v 2 f = m1v1 f y la p1 f = 0 . En el choque entre bolas
ρ
ρ
ρ
p es la cantidad de movimiento ( p = mv ), por lo que en la expresión
ρ
ρ
Δv
.
anterior F = m
Δt
ρ
de billar, el movimiento subsiguiente de las bolas no sólo depende de
las masas de ellas, sino también de la forma o el lugar donde impactan
unas con otras.
ρ
la formalización de la Segunda Ley de Newton como F =
ρ
Δp
donde
Δt
ρ
ρ
Δv
Al término
se lo conoce como aceleración a y físicamente es
Δt
“cómo varía la velocidad en un cierto intervalo de tiempo”. El concepto
de aceleración puede ser abordado también desde la Cinemática, como
hiciéramos en el material “Temas de Física: orientación tecnológica”,
como culminación del PAC 2003.
De lo anterior podemos concluir en que esta aceleración aparecerá sobre
un cuerpo si hay una fuerza resultante actuando sobre él. Veremos más
adelante que esta aceleración no siempre se debe a un aumento de la
velocidad, sino que puede verificarse por un cambio en la dirección del
vector velocidad.
ρ
ρ
Si F se duplica, también lo hace a , o sea que la
aceleración variará proporcionalmente con la F
fuerza. Si graficamos F en función de a, obtendremos una recta que tiene una cierta pendiente
y que pasa por el origen, recordando lo que
aprendiste en matemática, la ecuación de una
a
recta es y = mx + b , donde m es la pendiente de
la recta, b es la ordenada al origen, x es la variable independiente e y la
dependiente.
17
18
En nuestro caso, F = ma , la ecuación no tiene ordenada al origen y el
valor de la pendiente de la gráfica F vs a, la sacaremos resolviendo el
cociente
F
. Vemos que para cualquier punto de la recta, este resultado
a
es siempre el mismo.
recordando las características del producto de un escalar por un vector,
ρ
Si hacemos una experiencia semejante con otro cuerpo, obtendremos
otro diagrama parecido, sólo que tendrá una inclinación diferente. Es
decir que, para cada cuerpo, la pendiente de la recta dibujada es distinta.
Por lo que,
F
= m , donde m es una magnitud escalar y siempre
a
ρ
ρ
ρ
Δv
positiva, y como vimos antes F = m
= ma , podemos concluir,
Δt
De la expresión
ρ
que F y a son magnitudes vectoriales que tienen igual dirección y
ρ
sentido. No debemos olvidar que F es la fuerza resultante o neta que
actúa sobre el cuerpo cuyo movimiento estamos estudiando.
F
es una constante para cada cuerpo. Este cociente, físicaa
mente es la “masa” m, de la que ya hablamos en el capítulo anterior.
Vemos entonces que la inclinación de la gráfica nos da la masa del cuerpo.
F
Las situaciones simples que siguen son para ponerte a prueba. A
pensar un poco:
(a) Un hombre que trabaja en la sección embalaje de una fábrica debe
trasladar una caja a unos metros de distancia. En vez de levantarla y
llevarla en brazos, decide empujarla continuamente por una superficie
horizontal sin rozamiento, hasta ponerla en el lugar donde quedará almacenada.
mA
mB
mC
(b) Un segundo hombre decide “pegarle un empujón” a la caja que le
toca y que es exactamente igual que la primera, para que avance sola.
a
Así si m A > m B > mC ; en el dibujo vemos que la inclinación de la
recta correspondiente al cuerpo A es mayor que la que corresponde al
cuerpo C.
De esta relación podemos decir que para una determinada fuerza, cuanto
mayor sea la masa, menor será la aceleración. La masa de un cuerpo
caracteriza la mayor o menor dificultad que presenta el mismo a cambiar su estado de movimiento (si está en reposo habrá que hacer más
fuerza para moverlo, lo mismo pasa si se está moviendo, mayor será la
fuerza para detenerlo). A esta característica o propiedad del cuerpo se la
conoce con el nombre de inercia. Por lo tanto, la masa es una medida
de la inercia que posee un cuerpo.
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¿Qué pasa en ambas situaciones? Antes de que comiences a analizarlo,
veamos qué es un diagrama de cuerpo libre o aislado, una herramienta
que te será muy útil para estudiar el movimiento de los cuerpos y las
causas que lo provocan. Consideremos el cuerpo cuyo movimiento queremos estudiar, lo aislamos de toda influencia externa y dibujamos sobre él todas las fuerzas que desde su entorno se efectúan sobre él (fuerzas externas al cuerpo).
Ahora podemos avanzar, a partir de lo que dijimos acerca diagrama de
cuerpo aislado, lo dibujaremos en las situaciones (a) y (b), una vez que
la caja ya se está moviendo.
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con velocidad constante. Con lo dicho llegamos a una conclusión muy
importante.
y
y
FS/C
FS/C
x
x
0
FH/C
0
FT/C
Para que un cuerpo se mueva, no es necesario que haya una fuerza actuando sobre él en la dirección del movimiento. Esto nos lleva a formular el Principio de Inercia o Primera Ley de Newton: “Si sobre un
cuerpo cualesquiera no actúa una fuerza resultante, entonces, si el
cuerpo estaba en reposo continuará en ese estado, y si estaba moviéndose lo seguirá haciendo con movimiento rectilíneo uniforme (es decir,
con velocidad constante)”.
FT/C
(a)
(b)
En a) la persona empuja permanentemente a la caja. En b), en cambio, le dio un
empujón y luego la dejó que deslizara sola.
Cabe aclarar que como la fuerza es un vector, tiene componentes tanto
en x como en y. Como en el eje y las fuerzas están en equilibrio, la
ρ
ΣFy = 0 y el cuerpo está en reposo en la dirección vertical. En el caso
del eje x, las condiciones varían. En la situación descripta en a) sobre la
ρ
caja se produce un cambio en el módulo de la velocidad pues ΣFx ≠ 0 ,
el hombre le está aplicando constantemente una fuerza y en consecuencia habrá una aceleración constante.
En la situación b), la caja seguirá moviéndose con movimiento rectilí-
ρ
neo uniforme (como la ΣFx = 0 , la caja se mueve a velocidad constante; de manera que no hay cambio en la velocidad). Esto será así hasta
que la caja choque contra algún otro cuerpo o se le aplique una fuerza
que la detenga.
Una definición simple de fuerza es: “Una fuerza es la interacción que se
produce entre dos o más cuerpos”. Entonces vemos que “si un cuerpo A
ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, entonces el cuerpo B ejerce simultáneamente una fuerza sobre el cuerpo A de igual magnitud y dirección
pero de sentido contrario”, éste es el Principio de Acción y Reacción
o Tercera Ley de Newton.
Si analizamos el enunciado de la Tercera Ley, estas fuerzas que aparecen entre dos cuerpos se denominan pares de acción y reacción, la acción es aplicada sobre uno de los cuerpos y la reacción actúa en el cuerpo que efectúa la acción. Es importante que tengamos presente que estas
fuerzas actúan en cuerpos diferentes. Algo que debemos aclarar es que
la acción y la reacción no se pueden equilibrar, pues para que haya
equilibrio las fuerzas deberían actuar sobre el mismo cuerpo.
Volviendo a la situación (a) donde el hombre empuja la caja constantemente; analicemos las fuerzas que actúan sobre ella en ese instante.
¿Cuáles son esas fuerzas? ¿Podrías identificar donde estarían ubicadas
las reacciones a estas fuerzas?
Para pensar: De acuerdo con lo que aprendimos ¿la fuerza que le hace la
Tierra y la fuerza aplicada por el piso sobre la caja serán pares de acción
y reacción? Justifica tu respuesta.
De acuerdo a la Segunda Ley de Newton, podemos decir que si
ρ
ρ
ΣF = 0 , su aceleración a es nula, y esto nos permite inferir dos posi-
bilidades, puede ser que el cuerpo esté en reposo o bien que se mueva
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22
Tema 5
Fuerza de rozamiento
¿Alguna vez te pusiste a pensar por qué es tan difícil comprobar el Principio de Inercia para un cuerpo en movimiento? Una de las consecuencias más llamativas de las leyes de Newton, tal como las hemos enunciando anteriormente, es pensar que la tendencia natural de los cuerpos
sería la de moverse permanentemente siguiendo una línea recta y con
velocidad constante. Siempre y cuando, claro, que el cuerpo no interactúe con otro de manera de sufrir la acción de una fuerza que le modifi-
ρ
ρ
Δp
que la condición de movimiento. Esto es: ΣFext =
, y en donde
Δt
ρ
ΣFext es la fuerza resultante que surge de la interacción entre los cuerpos y que hará cambiar –en alguno de sus parámetros, como ya vimos–
a la cantidad de movimiento del cuerpo que a nosotros nos interesa; un
bloque en movimiento sobre una superficie horizontal, por ejemplo.
Recordemos que a esta última expresión matemática la conocemos como la Segunda ley de Newton. Hemos analizado también la Primera
Ley de Newton o Principio de Inercia, que establece que si un cuerpo se
encuentra en reposo o moviéndose con velocidad constante, sólo la acción de una fuerza externa puede modificar estas condiciones. Y finalmente establecimos que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro
cuerpo (acción) éste ejerce sobre aquél otra fuerza de igual magnitud y
dirección, pero distinto sentido (Tercera Ley de Newton o Principio
reacción y Reacción).
El hecho de que en la práctica nos resulte complicado justificar el Principio de Inercia se debe, precisamente, a la existencia de las fuerzas de
rozamiento. Son ellas las que en un sistema real -no en un modelo ideal,
al que muchas veces imaginamos sin rozamiento- impiden que un cuerpo que se encuentra en movimiento siga desplazándose en línea recta y
con velocidad constante (Movimiento Rectilíneo Uniforme), en forma
permanente a pesar de que nosotros no vemos que haya ningún otro
cuerpo intentando detener al bloque cuyo movimiento estamos analizando.
Podemos graficar la situación mientras estamos empujando al bloque.
En ese momento hay dos fuerzas actuando horizontalmente, la que no-
Frd
23
F
Si la superficie horizontal sobre la que se desliza el bloque es lisa y la
fuerza aplicada es grande en comparación con la de rozamiento, al empujarla nos parecerá que el roce es prácticamente inexistente.
Sin embargo, apenas dejemos de empujar veremos como la fuerza de
rozamiento hace su efecto sobre el bloque, frenándolo, cumpliendo de
ρ
ρ
Δp
ese modo, la Segunda Ley de Newton, Frd =
.
Δt
Así, casi sin proponérnoslo, hemos realizado un breve y sumarísimo
repaso de las tres leyes del movimiento que siglos atrás dedujera Isaac
Newton.
Ahora, ¿cuál es nuestro interés en estas leyes? ¿Por qué recordarlas en
en este tema donde nos habíamos propuesto analizar algo que llamaremos fuerzas de rozamiento?
ρ
ρ
sotros hacemos para empujarlo F y la fuerza de rozamiento Frd , que
surge de la interacción entre el piso y el bloque y es en sentido contrario
al desplazamiento.
Frd
ρ
Se debe tener en cuenta que el signo de Frd es negativo porque es contraria al sentido del desplazamiento del bloque y que, por lo tanto,
ρ
Δp también será negativo porque el bloque se irá frenando.
24
ρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ ρ
ρ ρ
Δp = p f − pi = mv f − mi = m(v f − vi ) donde v f < vi .
Aunque no lo notemos, la fuerza de rozamiento actúa también cuando empujamos a
un bloque que se encuentra en reposo. Si,
por ejemplo, quisiéramos hacer que el bloque empiece a moverse aplicando una pequeña fuerza, podemos observar que éste no
se moverá. Si esto ocurre, quiere decir que a
la fuerza que nosotros hacemos se opone
otra fuerza (la de rozamiento), de igual módulo y dirección que la aplicada, pero de
sentido contrario, como se ve en la figura
(a).
Fre
Fre
Fre
Fr
Fre
F
(a)
F
rozamiento
estático
rozamiento
cinético
Frc
(b)
F
F
(c)
Como se ve, es más fácil mantener en movimiento un cuerpo que empezar a moverlo.
Veremos también que si aumentamos un poco la fuerza aplicada, tam-
ρ
poco logramos mover el bloque. Es que Fre va creciendo también de la
ρ
misma manera que F , figuras (b) y (c).
Esto continuará hasta que observaremos que el bloque se pone en movimiento porque habremos alcanzado la máxima fuerza de rozamiento
que puede existir entre el suelo y el bloque, mientras éste se encuentre
en reposo (rozamiento estático). Ni bien el bloque se ponga en movimiento notaremos que para mantener la misma velocidad que al comienzo, la fuerza que debemos aplicar es un poco menor a la de despegue. Esto se debe a que el rozamiento una vez que el bloque se está
moviendo (rozamiento cinético) es menor al rozamiento estático.
Si graficáramos los valores que se han ido obteniendo de la fuerza de
rozamiento en este ejemplo, obtendríamos el siguiente gráfico. Se trata
de un gráfico de la fuerza de rozamiento en función de la fuerza aplicada:
25
¿Por qué existe el rozamiento?
Existen varias teorías acerca de la naturaleza de la fuerza de rozamiento.
Una de las más aceptadas se refiere a las interacciones existentes entre
los átomos de las superficies en contacto. Más precisamente entre las
rugosidades de éstas. Cuándo entran en contacto esas rugosidades microscópicas ocurren fuertes adhesiones superficiales debido a fuerzas
interatómicas que constituyen especies de “soldaduras” entre los dos
materiales.
De este modo, la fuerza de rozamiento está asociada a la ruptura de esas
“soldaduras” que se van regenerando a medida que un cuerpo se desliza
sobre el otro. Es fácil ver, desde este punto de vista, por qué la fuerza de
rozamiento es mayor para que el cuerpo empiece a moverse –con las
“soldaduras” estáticas- que cuando ya se está moviendo y las “soldaduras” se rompen y se vuelven a formar en forma permanente. Cuando un
cuerpo descansa sobre el otro, en estado de reposo, las “soldaduras” son
más fuertes.
26
ρ
Tema 6
va. La dirección de la aceleración a será la misma dirección que posee
ρ
Δv ya, que como sabemos,
Fuerzas en el movimiento circular
ρ
ρ Δv
.
a=
At
Hasta ahora sólo estudiamos las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo
que se mueve con un movimiento rectilíneo, analizaremos a continuación aquéllas que actúan sobre los cuerpos que describen una trayectoria
circular.
Como la velocidad de un cuerpo es una magnitud vectorial puede cambiar en módulo, dirección o sentido. En el caso de un cuerpo en movimiento circular uniforme (MCU), la velocidad no sufre cambios de módulo ni de sentido, pero sí cambia constantemente la dirección. Al producirse un cambio en la velocidad, habrá una aceleración que estará
dirigida hacia el centro de la trayectoria. A esta aceleración la conocemos con el nombre de aceleración centrípeta y su módulo se calcula
mediante la siguiente expresión:
a=
v2
R
Aplicaremos la Segunda Ley de Newton al MCU y recordaremos que la
ρ
fuerza F resultante que actúa sobre una partícula es igual al proρ
ducto de la masa m por la aceleración a .
ρ
ρ
F = ma
Reemplazando el valor de la aceleración, el módulo de la fuerza será
v2
F =m
R
a la que se la conoce como fuerza centrípeta.
donde R es el radio de la trayectoria circular.
¿Quién produce esta fuerza?
La figura muestra la
v1
trayectoria que el cuerpo describe en un MCU,
también se ven dos pov2
siciones que el mismo
ocupa en dos instantes
R
de tiempo diferentes y
-v1
las velocidades que posee en cada una de esas
v2
posiciones. Se ha efecv
tuado en forma gráfica
ρ
la resta de los vectores velocidad, dando por resultado el vector Δv que
representa la variación de la velocidad en ese tramo de trayectoria cur27
La aceleración centrípeta surge porque hay una fuerza dirigida hacia el
centro de la trayectoria circular y que provoca el cambio en la dirección
de la velocidad. Recordemos que siempre que actúe una fuerza sobre un
cuerpo, debe existir alguien o algo que la esté ejerciendo sobre éste.
Veamos algunos ejemplos: en el caso de la Tierra que gira en torno del
Sol, es la fuerza que éste ejerce sobre aquélla la que la hace girar, e
impide que “se caiga” hacia el Sol. Cuando un automóvil gira en una
curva que no está peraltada, quien impide que el cuerpo “se salga” de la
curva es la fuerza de rozamiento con el piso, entonces es el piso quien
hace esta fuerza centrípeta en la dirección del radio de giro. En ambas
situaciones la fuerza centrípeta modifica la dirección de la velocidad al
cuerpo en estudio.
28
A veces la fuerza centrípeta surge de una combinación de fuerzas que
actúan sobre el cuerpo, tal el caso de una piedra atada a una cuerda que
está girando con rapidez constante en una trayectoria circular en un
plano vertical. Allí la fuerza centrípeta surge de la suma de las dos fuerzas que actúan sobre la piedra: la que hace la cuerda (tensión) y la que
ejerce la Tierra (peso).
Resumiendo: Siempre que un cuerpo describa un MCU, la fuerza centrípeta está dada, en cada instante, por la resultante de las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo en la dirección del radio de la trayectoria circular.
Tema 7
Sistemas de referencia
Siempre que hablemos de movimiento debemos tener en cuenta algún
sistema de referencia. Depende desde dónde estemos observando el
movimiento de un cuerpo, el sistema de referencia utilizado podrá ser
inercial o no inercial. Cabe aclarar que en ambos referenciales debe
cumplirse la Segunda Ley de Newton.
Sistema de Referencia Inercial: Se denomina sistema de referencia inercial a aquel que se encuentra en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Desde el punto de vista de un observador que se encuentra en un
sistema de referencia inercial (en el suelo, por ejemplo), el cuerpo que
describe un movimiento circular uniforme, cambia constantemente la
dirección de la velocidad, aunque su módulo permanece constante. La
fuerza necesaria para producir la aceleración centrípeta es F = m
v2
y
R
apunta hacia el centro de la trayectoria.
Sistema de Referencia No Inercial: Desde el punto de vista de un observador no inercial (es decir, aquél que se está moviendo con el cuerpo), el observador verá que el cuerpo está en equilibrio bajo la acción de
dos fuerzas. La fuerza centrípeta, que vimos en el apartado anterior, y
otra fuerza que llamaremos, fuerza centrífuga Fc. Esta en realidad no
existe, porque no hay ningún cuerpo que la ejerza y, como dijimos, debe
existir algo o alguien que aplique esa fuerza. Como se ve, no se describe
ninguna interacción entre cuerpos, como ocurre con la fuerza que hace
una cuerda, la atracción que ejerce la Tierra, la fuerza de rozamiento
que hace el suelo, etc.; por eso diremos que esta fuerza centrífuga es una
pseudofuerza.
Sin embargo, podemos decir que la fuerza centrífuga es el producto de
la masa por la aceleración. Está aceleración llamada aceleración centrí-
29
30
fuga a c se calcula de la misma forma que la anterior a c =
v2
, entonces
R
v2
la fuerza centrífuga será Fc = m
.
R
Aplicando la Segunda Ley de Newton, pero considerando que la partícula se encuentra en equilibrio por la acción de las fuerzas centrípeta F
y la centrífuga Fc, tendremos que F − Fc = 0 , esto es F − ma c = 0 , o
bien F − m
2
2
v
v
= 0 , lo que conduce a F = m , que es el mismo
R
R
resultado que se obtuvo para el caso en que lo analicemos desde un
Sistema de Referencia Inercial.
Por eso es que la pseudofuerza es una fuerza “falsa o inventada por
nosotros” para que la Segunda Ley de Newton se siga cumpliendo, ya
que es una de las leyes universales de la Física.
A modo de aclaración: ¿Qué es una ley de la física? Es aquella que tiene
una amplia variedad de aplicabilidad y no se limita a casos especiales, y
que además se han comprobado su validez y predicciones. Las Leyes de
Newton han demostrado ser de aplicación universal desempeñando un
rol muy importante en la explicación de infinitos fenómenos de la naturaleza, desde el movimiento de los planetas (a través de la ley de gravitación universal) hasta los movimientos simples que ocurren en la Tierra.
El difícil arte de resolver problemas
En las actividades de este libro ocurre lo mismo que cuando en la escuela tu profesor (o profesora) de Física te pedía que resolvieras problemas
para practicar lo aprendido e incluso –lo que a veces te resultaba más
grave– te tomaba problemas en los exámenes. Y a veces hasta te pedía
que pasaras a resolverlo al frente.
Esto es así porque existe el convencimiento de que alguien sabe algo
cuando lo puede aplicar a la resolución de una situación problemática.
Situación que en el caso de las Ciencias Naturales se denomina vulgarmente problema y que en este libro hemos preferido denominar “actividades”, para diferenciarlo de lo que en la escuela y en muchos libros de
texto se llama problema pero que no lo es tanto. Notarás, por ejemplo,
que casi no te pediremos resolver problemas en los que tengas que aplicar una fórmula y hacer cuentas. Eso –que es lo que generalmente se
denomina problema– es más bien un ejercicio de aplicación matemática,
en base al enunciado de una situación física.
Aquí, en cambio, hemos preferido plantear cuestiones conceptuales que
obligan a realizar un esfuerzo de razonamiento –acudiendo, por supuesto, a los conocimientos teóricos– en la búsqueda de una respuesta probable.
Ahora bien, cómo se hace para resolver un problema, sea conceptual
como los que estamos trabajando en este curso, o cuantitativo, donde se
deben hacer cálculos. Esta es una cuestión que no tiene una respuesta
única, sino que sólo se pueden dar algunos consejos generales que luego
deberás después aplicar adecuándolos a cada situación.
Recomendaciones prácticas
Los siguientes consejos pueden servirte siempre y cuando, claro está,
tengas los conocimientos básicos que se necesitan para ponerlos en
práctica. En nuestro caso, debes conocer las leyes de Newton y saber
31
32
aplicarlas a distintos sistemas físicos que deberás identificar en cada
problema.
Entender el enunciado: Aunque parezca obvio, este es un asunto de
suma importancia, ya que si no entiendes el enunciado difícilmente
podrás llegar a la solución. Salvo, claro está, que tengas suerte y que
nosotros –u otros profesores- no nos demos cuenta. Lo peor que te puede pasar es quedarte paralizado luego de leer el enunciado. La respuesta
no te caerá del cielo. Tampoco debes aplicar cualquier ecuación en donde aparezca la variable que se te pregunta, ni seguir estrictamente los
pasos de un problema hecho en clase, porque en general los problemas
de los exámenes no serán iguales a aquellos. Siempre es conveniente
leer dos o tres veces el enunciado, completa y lentamente, para ubicarte
sobre qué trata el problema. Y después trata de explicártelo a vos mismo, con tus propias palabras, o bien hacerlo con algún compañero (en
situación de examen no podrás hacerlo, obviamente).
Hacer un esquema o dibujo: Un buen dibujo, un gráfico o cualquier
esquema que te permita apreciar la situación descripta, es de gran ayuda. Esto te ayudará a definir cuál es el cuerpo o cuerpos que forman
parte del sistema que te interesa analizar.
Diagrama de fuerzas: Una vez identificado el sistema por estudiar, es
muy importante hacer un buen diagrama de fuerzas –de los denominados diagrama de cuerpo aislado o de cuerpo libre-, teniendo la precaución de no inventar fuerzas (ni omitirlas tampoco) y eligiendo un sistema de referencia adecuado. Para ello hay que fijarse bien en el entorno
para ver qué otros cuerpos ejercen fuerzas sobre el que a nosotros nos
interesa. Si no hay quién o qué interaccione sobre el cuerpo en cuestión,
no puede haber una fuerza.
En caso de trabajar con dos cuerpos, hay que hacer un diagrama para
cada uno de ellos (no es conveniente superponerlos) fijándose si hay
pares de acción y reacción entre ellos. ¡Ojo! ¡Nunca puede haber un par
de acción y reacción aplicado sobre un mismo cuerpo!
Anotar todos los datos: Este paso se suele hacer antes o al mismo
tiempo que el esquema y el diagrama de fuerzas; da igual. Lo importan33
te es no avanzar hasta anotar todos los datos que aparecen en el problema –y otros que pudieran hacernos falta, como la aceleración de la gravedad, por ejemplo– y la o las incógnitas que debemos encontrar. Aquí
aparecerán seguramente aceleraciones, velocidades o desplazamientos
que puede ser necesario colocar en el esquema o en el diagrama de
cuerpo aislado. Estos parámetros vectoriales deben indicarse al costado,
abajo o arriba del cuerpo, no colocar los vectores aplicados sobre éste
para no confundirlos con fuerzas.
Ecuaciones: Al momento de escribir una ecuación, generalmente se
ρ
ρ
debe comenzar con plantear la segunda ley de Newton ( ΣF = ma ). Y
ρ
si no hay aceleración nos queda ( ΣF = 0 ) que también es una relación
importante para trabajar con sistemas de fuerzas. Aquí puede ser necesario descomponer las fuerzas sobre los ejes coordenados para analizar
la influencia de cada componente en el estado de movimiento del cuerpo (cuáles se equilibran y cuáles no). Si una fuerza es descompuesta,
anularla, ahora las que actúan son sus componentes.
Una vez establecido el sistema de fuerzas actuantes se aplica la segunda
ley de Newton en cada componente y se buscan las incógnitas pedidas,
que bien puede ser alguna de las fuerzas o la aceleración, la velocidad o
el desplazamiento, por ejemplo.
En caso de que el problema requiera cálculos numéricos, recién en esta
instancia conviene cambiar las letras de cada variable por su correspondiente valor.
Análisis de resultados: Un detalle al que no siempre se le da la importancia que tiene, es el análisis de los resultados obtenidos. Sin embargo,
prestar atención a la respuesta brindada puede servir para corroborar si
está correcta. Hay que fijarse fundamentalmente si la magnitud obtenida
(en caso de calcularla) es razonable. Una persona no puede caminar a
más de 4 a 5 kilómetros por hora, un cuerpo no puede precipitarse en
caída libre con una aceleración mayor a la de la gravedad, etcétera. Las
unidades son fundamentales, ya que permiten corroborar si se hizo un
correcto despeje de términos. Y también hay que fijarse si un vector es
positivo o negativo, si tiene una dirección adecuada, entre otros datos.
34
Los resultados deben ir acompañados por las unidades correspondientes,
el valor numérico por sí solo no tiene sentido en la Física.
Un ejemplo para practicar
Vamos a analizar ahora un problema a fin de poner en prácticas los
consejos mencionados. Veamos entonces un problema - ejemplo:
“Una persona que está haciendo régimen para bajar de peso, decide
pesarse colocando una balanza hogareña encima de un ascensor. ¿Cómo tendrá que moverse el ascensor para que la persona “pese” menos:
a) Subir con velocidad constante. b) Subir aceleradamente. c) Bajar a
velocidad constante. d) Bajar aceleradamente. e) Bajar frenando. Explica tu elección”.
Aclaremos de entrada que no es un problema sencillo y que requerirá de
mucha atención de nuestra parte. En primer lugar, leamos nuevamente
y con atención el enunciado. “Una persona que está haciendo régimen
para bajar de peso, decide pesarse colocando una balanza hogareña encima de un ascensor. ¿Cómo tendrá que moverse el ascensor para que la
persona “pese” menos: a) Subir con velocidad constante. b) Subir aceleradamente. c) Bajar a velocidad constante. d) Bajar aceleradamente. e)
Bajar frenando. Explica tu elección”.
¿Qué te pareció mi dibujito? No te rías. Por
lo menos se entiende la situación. ¿O no?
Quisiera ver el tuyo a ver si está mejor.
Ahora debemos decidir cuál o cuáles de
esos cuerpos (ascensor, balanza y persona)
constituyen el sistema que a mí me interesa
para resolver el problema. Para interpretarlo, pensemos un poco. ¿Dónde se fijará la
persona cuánto pesa? En la balanza, por
supuesto. Pero la balanza “leerá” el peso
aparente de la persona, por lo que todo dependerá de qué fuerza haga la
persona sobre la balanza. ¿Está claro?
Te lo digo de otra manera: la aguja de la balanza (o la lectura en números, si es digital) me dará la fuerza que la persona ejerza sobre la balanza, que sería –en definitiva– la reacción de la fuerza que la balanza
haga sobre la persona (principio de acción y reacción). ¿Se entiende
mejor ahora?
Veamos si el diagrama de las fuerzas que actúan sobre la persona nos
sirve para verlo mejor.
¿Lo leíste?
Fb
A ver si lo entendiste bien. Expliquémoslo con nuestras propias palabras. No sé vos, pero yo entendí que dentro de un ascensor hay una
balanza (debe ser de esas chatitas, en las que uno se para arriba para
pesarse) y hay que decidir en cuál de las opciones –de la a) a la e)– la
persona creerá pesar menos (Vos y yo sabemos que el tipo está esperando verse mejor, pero que leerá un peso que no es real. ¿Pobre, no?).
ρ
actúan el peso FT o sea la fuerza con
p
p
la que la Tierra a trae a la persona para
ρ
x
abajo y la fuerza F b
que sobre la
p
persona ejerce la balanza. La lectura de
ρ
FT
Siempre se sugiere hacer un dibujo o esquema que refleje la situación.
¿Cómo sería en este caso? Tenemos un ascensor, una balanza y una
persona arriba de la balanza. Yo lo dibujaría así:
35
Este es el famoso diagrama de cuerpo
aislado o diagrama de cuerpo libre
sobre el que tanto te insistimos. ¿Estás
de acuerdo con él? Sobre la persona
y
la balanza será entonces F ´' b p , que es
ρ
p
la reacción a F b . Para resolver nuesp
36
ρ
tro problema bastará entonces con que encontremos el módulo de F b
p
en todos los casos planteados y la respuesta adecuada será el caso en
ρ
ρ
Analicemos entonces el inciso d), cuando el ascensor baja aceleradamente. Como la aceleración tiene sentido hacia abajo (negativo), la ecuación nos queda:
que F b sea menor que FT .
p
F b − FT = m(− a )
p
p
Si aplicamos ahora la ecuación de la segunda ley de Newton a la situación propuesta, nos queda:
ρ
ρ
ΣF = ma
ρ
ρ
ρ
F b + FT = ma
p
p
p
y
p
F b = FT
p
p
Con lo que la persona parecerá pesar menos, que es la respuesta que
queríamos encontrar.
p
Ecuación que nos permite descartar los incisos a) y c), ya que si sube o
baja con velocidad constante, a = 0
F b − FT = 0
p
F b = FT − ma
p
F b − FT = ma
Y si sacamos los vectores:
p
Y si despejamos F b
p
p
Si quieres puedes verificar que en el inciso e) el ascensor baja pero frenando, o sea acelerando hacia arriba (aceleración positiva), lo que nos
lleva a decir que estamos en el mismo caso que en el inciso b).
En definitiva, este problema nos sirve para ver que el peso aparente no
depende de si el ascensor sube o baja, sino del sentido que tenga la ace-
que no es el resultado buscado.
ρ
Veamos qué pasa en el inciso b), cuando el ascensor sube aceleradamente:
leración. Si la aceleración es positiva (coincidiendo con el vector F b ),
p
el peso aparente será mayor. Si es negativa, será menor.
F b − FT = ma
p
Y despejando F b
p
Por si te quedan dudas de cómo resolver problemas, te damos uno más
que hemos resuelto para vos…
p
F b = FT + ma
p
p
Con lo que la persona parecerá tener un peso mayor al real, que tampoco es la respuesta buscada.
37
Dos bloques están en contacto en una mesa sin rozamiento. Se aplica
una fuerza horizontal a un bloque como se ve en la figura.
a) Si m1 = 2 Kg, m2 = 1 Kg, y F = 3 N, encontrá la fuerza de contacto
entre los dos bloques.
b) Demuestra que si se aplica la misma fuerza a m2 en lugar de hacerlo
a m1 , la fuerza de contacto entre los bloques es de 2 N, que no es igual
al valor obtenido en a). Explica por qué.
38
y
F
m1
m1
Fs/m1
m2
Fm2 /m1
F
Conforme con la guía que te dimos para la resolución de problemas, lo
primero que debemos hacer es leer y tratar de interpretar el texto y determinar cuál o cuáles son los objetos cuyo movimiento se quiere estudiar y cuáles son las cosas que interactúan con éstos.
En la consigna a), el problema te pide que encuentres la fuerza de contacto entre los bloques o sea la fuerza de interacción entre ellos. Como
sabemos esta interacción será mutua o sea que a las acciones que uno de
los cuerpos haga sobre el otro, éste responderá con una acción (fuerza)
igual y contraria anulándose mutuamente el efecto sobre el conjunto,
por lo tanto, si queremos conocer estas acciones o reacciones, debemos
analizar uno de estos cuerpos en particular. Es indistinto que lo hagamos con uno o con el otro; por ejemplo, escojamos m1.
Podemos hacer el análisis desde dos enfoques posibles:
Enfoque 1: Los bloques que interactúan de alguna manera con m1 son:
La Tierra que hará una fuerza de atracción de dirección vertical y hacia
ρ
abajo, o sea FT
Aplicando la Segunda Ley de Newton tendremos:
ρ
ρ
ΣF = ma
ρ
, también vertical pero
ρ
cha, el bloque m2 que hará una fuerza Fm2 de contacto sobre m1, que
m1
evita que éste se introduzca dentro de m2.
Si hacemos un diagrama de cuerpo aislado fijando en el suelo el sistema
ρ
de referencia cartesiano orientando el eje x en dirección de la fuerza F
tendremos:
39
ρ
+ Fs
m1
ρ
+ Fm2
ρ
= m1 a
m1
ρ
FT
m1
ρ
+ Fs
m1
ρ
= m1a
Como sabemos, por experiencia, que el cuerpo no se moverá en esa
ρ
dirección tendremos que a y = 0 , por lo tanto:
ρ
FT
m1
ρ
+ Fs
= 0;
− FT
m1
m1
+ Fs
= 0;
m1
FT
m1
= Fs
m1
también se cumplirá que:
ρ
ρ
ΣFx = ma x ;
m1
hacia arriba y que evita que el cuerpo caiga hacia el centro de la Tierra,
ρ
un objeto desconocido que hace la fuerza F horizontal y hacia la dere-
m1
ρ
ρ
ΣFy = ma y ;
m1
el suelo que hace una fuerza de contacto F s
ρ ρ
F + FT
Como esta ecuación vectorial única se puede descomponer en dos ecuaciones vectoriales componentes se cumplirá que:
(lógicamente sobre La Tierra habrá una igual y con-
traria que m1 hace sobre ella pero esta no es objeto de nuestro estudio),
x
FT/m1
ρ ρ
F + Fm2
ρ
= m1a
m1
ρ
No podemos saber si a x es igual o distinto de cero lo que sí sabemos es
ρ
ρ ρ
que a y = 0 , por lo tanto a x = a , sacando el carácter vectorial de la
expresión anterior, tendremos que:
F − Fm2
40
= m1 a
m1
(1)
En la (1) tenemos dos incógnitas, a y Fm2
, analizando este cuerpo
únicamente no podremos averiguarlas, por lo que tendremos que analizar el otro cuerpo o sea m2. Sobre él actúan las fuerza que le aplica: la
Tierra, el suelo y el cuerpo m1, o sea, FT , F s y Fm1 respectivam2
m2
m2
mente.
Haciendo un diagrama de cuerpo aislado de m2 tendremos:
y
también se cumplirá que:
ρ
ρ
ΣFx = ma x ;
m1
ρ
ρ
Fm1
ρ
= m2 a
Si los cuerpos aceleran lo harán juntos entonces despejando a de (1) y
(2) e igualando estas nuevas fórmulas, tenemos:
F − Fm2
x
FT/m2
m1
m1
Como Fm2
Aplicando la segunda ley de Newton tendremos:
ρ
ρ
ΣF = ma
ρ
FT
m2
ρ
+ Fs
m2
ρ
+ Fm1
ρ
= m2 a
m2
Como sabemos esta ecuación vectorial única se puede descomponer en
dos ecuaciones vectoriales componentes se cumplirá que:
ρ
ρ
ΣFy = ma y ;
ρ
FT
m2
ρ
+ Fs
m2
= 0;
m2
− FT
m2
+ Fs
= 0;
m2
FT
m2
= Fs
m1
= Fm1
m2
m2
por ser pares de acción y reacción, entonces,
m2
m2
Fm1
m2
⎛ m2
= F ⎜⎜
⎝ m1 + m2
Conociendo ya el valor de Fm1
jándola de la ecuación Fm1
m2
41
=
Fm1
⎛m
⎞
F = Fm1 ⎜⎜ 1 + 1⎟⎟ y de esta expresión despejamos la fuerza de conm2 ⎝ m 2
⎠
tacto entre los bloques Fm1 y podemos calcular su valor
ρ
= m2 a y
Como sabemos, por experiencia, que el cuerpo no se moverá en esa
dirección tendremos que
ρ
a y = 0 , por lo tanto:
m2
(2)
m2
m2
Fm1/m2
ρ
+ Fs
m2
Como a x = a , nos queda:
Fm1
Fs/m 2
ρ
FT
ρ
= m2 a x
42
podemos calcular la aceleración despem2
= m2 a
m2
⎞ 3N ⋅ 1kg
⎟⎟ =
= 1N
⎠ 2kg + 1kg
a=
Fm1
ρ
ρ
ΣFy = ma y
m
1N
=
=1 2
1kg
s
m2
m2
Esto que acabamos de plantear podríamos haberlo hecho desde otro
punto de vista de analizar el problema.
Enfoque 2: Si observamos el dibujo, inmediatamente nos damos cuenta
que el sistema no está en equilibrio según la dirección de la fuerza apliρ
cada F , por lo tanto los cuerpos acelerarán en esa dirección, entonces
como primer paso trataremos de determinar el valor de esa aceleración
para incorporar un dato mas al enunciado. Para hacer esto consideramos
a los dos cuerpos como si fuera uno solo tomando un sistema de referencia fijo al suelo e introduciendo todas las acciones de los cuerpos que
interactúan con estos bloques, y haciendo un diagrama de cuerpo aislado de ambos cuerpos, donde llamamos mT a la masa de ambos bloques,
es decir, mT = m1 + m2 , tendremos
ρ
FT
mT
ρ
+ Fs
mT
ρ
= mT a y
Como sabemos, ambos cuerpos no se moverán en esa dirección, por lo
ρ
que tendremos a y = 0 , por lo tanto:
ρ
FT
mT
ρ
+ Fs
= 0;
− FT
mT
mT
+ Fs
= 0;
mT
FT
mT
= Fs
mT
también se cumplirá, como antes, que:
ρ
ρ
ΣFx = ma x ;
ρ
ρ
ρ
F = mT a x
ρ
Como a x = a , nos queda:
F = mT a = (m1 + m2 )a
Despejando la aceleración
y
a
mT
a=
Fs/mT
F
FT/mT
Ahora sabemos que tanto m1 como m2 están acelerados y cual es el valor
de la aceleración.
Ahora podemos tomar cualquiera de los dos cuerpos para determinar la
fuerza de contacto entre los bloques, planteando como hicimos en el
enfoque 1, te queda como tarea verificar que no importa cual de los
bloques consideres la fuerza que buscas tendrá el mismo valor en ambos.
x
Como antes, aplicando la Segunda Ley de Newton:
ρ
ρ
ΣF = ma
ρ
F + FT
mT
ρ
+ Fs
mT
F
m
3N
=
=1 2
(m1 + m2 ) 2kg + 1kg
s
ρ
= mT a
Como esta ecuación vectorial única se puede descomponer en dos ecuaciones vectoriales componentes se cumplirá que:
43
El inciso b) del enunciado nos pide demostrar que el valor de la fuerza
ρ
de contacto será de 2 N en lugar de 1 N si F se aplica sobre m2 en lugar
de hacerlo sobre m1 o sea si se aplica del otro lado y en sentido contrario.
44
m1
ρ
ρ
ΣFx = ma x ;
F
m2
Como el sistema no cambia la aceleración será la misma que antes. Si
escogemos uno de los cuerpos, por ejemplo m1, para su análisis tendremos:
y
a
mT
Fs/mT
F
FT/mT
ρ
ρ
ΣF = ma
− Fm2
m1
ρ
+ Fs
m1
ρ
+ Fm2
ρ
= m1 a
m1
Como esta ecuación vectorial única se puede descomponer en dos ecuaciones vectoriales componentes se cumplirá que:
ρ
ρ
ΣFy = ma y ;
ρ
FT
m1
ρ
+ Fs
m1
ρ
= m1a
Como sabemos, por experiencia, que el cuerpo no se moverá en esa
dirección tendremos que
ρ
a y = 0 , por lo tanto:
ρ
FT
m1
ρ
+ Fs
= 0;
m1
− FT
m1
+ Fs
= 0;
m1
FT
m1
= Fs
m1
también se cumplirá que:
45
m1
Fm2
ρ
= m1 a
m1
= m1a = 2kg.1
m1
m
= 2N
s2
La explicación mas simple que podemos dar del porqué la fuerza de
contacto es diferente es explicando los efectos de ésta sobre los bloques.
En el ítem a) la fuerza de contacto tenía que acelerar con una aceleración de 1 m/s2 un cuerpo m2 de 1 kg, en cambio en el caso b), la fuerza
de contacto tiene que acelerar con la misma aceleración de 1 m/s2 a un
cuerpo de mayor masa, m1 cuya valor es 2 kg (el doble de la otra) y
como la fuerza es directamente proporcional a la aceleración y a la masa, entonces, como vimos en la explicación teórica del tema, para una
masa mayor y a igual aceleración, la fuerza deberá ser mayor.
x
ρ
FT
= m1 (− a )
ρ
Fm2
46
P-7) a) Una partícula que se encuentra en reposo o inmóvil, ¿estará en
equilibrio? b) Una partícula en equilibrio, ¿puede estar en movimiento?
Si es así, ¿de qué tipo? c) Para que una partícula esté en equilibrio, ¿qué
condición debe cumplir la fuerza neta o resultante que actúa sobre la
partícula? ¿Cómo expresarías esta condición?
Actividades
Preguntas
Para repasar y contestar…
P-1) a) Si la fuerza es constante pero se duplica la duración del impacto
sobre un cuerpo ¿cuánto aumenta el impulso? ¿y el cambio de la cantidad de movimiento? b) Si duplicas tanto la fuerza que actúa sobre un
cuerpo como la duración del impacto ¿cuánto aumenta el impulso? ¿y el
cambio de la cantidad de movimiento?
P-2) ¿Porqué debemos ejercer una fuerza más intensa para frenar en el
mismo lapso de tiempo a un automóvil que se mueve a 140 km/h que si
se moviera a 80 km/h?.
P-3) En un juego de pool, ¿qué ocurriría en un choque sí una de las bolas no fuera de madera sino de plomo?.
P-8) Al colocar una moneda sobre un papel y tirar con fuerza de éste, la
moneda no se mueve, ¿porqué? Analiza y explica.
P-9) Jorge opina que es muy difícil lograr que un cuerpo de masa grande se mueva a alta velocidad. Angel, en cambio, afirma que la velocidad no es lo importante. Lo difícil es cambiar la velocidad de un cuerpo
de masa grande. David, a su vez, considera que si un cuerpo tiene mucha inercia, entonces se detendrá rápidamente cuando deje de actuar la
fuerza que lo está moviendo.
Analiza cada una de estas afirmaciones, ¿es cada una de ellas verdadera
o falsa? Si es falsa, explica donde está el error.
P-4) Si lanzas una pesada roca estando de pie sobre una “patineta” ¿qué
te pasará? ¿Si finges que la lanzas, pero no lo haces en realidad ¿qué
crees que te pasará?
P-10) Supone que te encuentras apoyado en un lavatorio de un baño y te
estás “pesando” en una balanza. Explica cuando será mayor la lectura
de la balanza, cuando (a) empujas el lavatorio hacia abajo, (b) tiras
hacia arriba por la parte inferior del lavatorio?
P-5) Un atleta tiene que entrenar para competir en las olimpíadas en la
disciplina de salto en alto, cuando llega frente a la vara, él se eleva y
salta sin derribar la vara. Como estás estudiando física, quizás le puedas
dar una explicación de cómo hizo para lograr el salto. ¿Qué le dirías?
P-11) Supone que haces deslizar un disco por una superficie horizontal
perfectamente lisa, en el instante que el disco alcanza una cierta velocidad se deja de empujar, a partir de ese instante ¿qué pasará con el disco
según Aristóteles? ¿Y según Galileo?
P-6) Al aplicar las leyes de Newton debemos identificar las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo, ¿hay fuerzas que actúan sobre los siguientes
objetos? Si es así, confecciona una lista de ellas: a) el orbitador espacial
en órbita alrededor de la Tierra, b) un patinador en trayectoria libre sobre la pista de hielo, c) una nave espacial más allá de la órbita del planeta Plutón, d) un libro en reposo sobre una mesa, e) de acuerdo a la Tercera Ley de Newton ¿podrías analizar cuáles son las reacciones a estas
fuerzas?
P-12) Muchas personas que viajan en automóvil han sufrido lesiones en
el cuello en accidentes cuando otro automóvil los choca por detrás.
¿Cómo ayuda el apoya cabezas en estos casos? Explica.
P-13) ¿Dónde está el error en el siguiente razonamiento? Un tractor,
unido a un arado, se encuentra en reposo. El tractorista hace andar el
ρ
motor del tractor, el que tira al arado con una fuerza F t hacia delante.
a
De acuerdo a la tercera ley de Newton, el arado tira del tractor hacia
ρ
atrás con una fuerza Fa , como ambas fuerzas tienen igual magnitud,
t
47
48
pero direcciones contrarias, se anulan entre sí. Por lo tanto, ni el tractor
ni el arado pueden ponerse en movimiento.
P-14) a) Una pelota de gran masa está suspendida por una cuerda desde
arriba, mientras alguien tira lentamente de ella con una cuerda desde
abajo. ¿Dónde es mayor la tensión, en la cuerda superior o en la inferior? ¿Cuál de ellas tiene mayor probabilidad de romperse? ¿Qué propiedad es más importante aquí, la masa o el peso? b) Si en vez de tirar
de la cuerda inferior con lentitud, se tira de ella con fuerza y repentinamente, ¿cuál de las cuerdas se romperá más fácilmente? ¿Qué propiedad
es más importante, la masa o el peso?
P-15) Dos personas tiran de un pequeño objeto sobre una mesa sin
rozamiento, ejerciendo sobre él las
fuerzas F1 y F2 (según se muestra en
la figura). ¿Cuál de los vectores que
se ven, representa mejor la aceleración adquirida por el objeto?
ρ
ρ
Tierra hace sobre el globo) es W , incluidos barquilla y lastre. ¿Qué
ρ
peso w de lastre será necesario arrojar para que el globo comience a
ρ
acelerarse hacia arriba con aceleración constante a ?
F1
a1
a5
F2
a4
a3
P-20) Si la fuerza de rozamiento existente entre un bloque y el piso
tiene un valor de 5 N cuando el bloque se está moviendo, ¿mediante la
aplicación de qué fuerza se inició el movimiento? Justifica tu respuesta.
a2
A
ρ
a) F < 5 N
ρ
b) F = 5 N
ρ
c) F > 5 N
d) No hizo falta ninguna fuerza para sacar al bloque del reposo.
P-21) Si tuvieras que acompañar a tu padre a comprar neumáticos para
su automóvil, ¿crees que algo de lo que hemos visto en este capítulo te
serviría para asesorarlo?
B
(a)
P-18) Teniendo en cuenta la teoría de las “soldaduras”. ¿Qué será más
fácil, hacer deslizar dos maderas, una sobre otra, o dos planchas metálicas finamente pulidas? ¿Y si fueran dos láminas de vidrio?
P-19) Un globo asciende con aceleración constante a siendo ésta menor
que la aceleración de la gravedad g. El peso del globo (fuerza que la
P-16) Considera las situaciones siguientes según los esquemas de la
figura: En ambas interviene el mismo cuerpo A, la misma superficie
horizontal, cuerda y polea. En la situación (a) se cuelga un cuerpo B del
extremo de la cuerda. Mientras que en la situación (b), un muchacho tira
del extremo de la cuerda. El peso del cuerpo es igual (en intensidad,
dirección y sentido) a la fuerza ejercida por el muchacho. ¿Es igual la
aceleración del cuerpo A en ambas situaciones?
A
P-17) Existen tres competidores de un lado y tres del otro, el equipo de
la derecha se llama Los Gatos, mientras que el de la izquierda, Los Pumas. En una cinchada, la competencia la ganan Los Gatos. ¿Significa
esto que la fuerza que Los Gatos hicieron sobre Los Pumas es mayor
que la que éstos hicieron sobre aquellos? Analiza la situación y elabora
una explicación.
(b)
49
50
P-22) Un bloque se comprime contra una pared
ρ
mediante una fuerza F , como se ve en la figura.
En las siguientes afirmaciones existe una que es
falsa. ¿Cuál es? Explica porqué es falsa.
dirección que se ve en la figura (c), ¿logrará moverla?, ¿puedes dar una
explicación a esta situación?
F
F1
F3
F2
a) La pared ejerce sobre el bloque una reacción
de la misma magnitud y de sentido contrario a la
ρ
que tiene F .
(a)
b) Si el bloque permanece en reposo, existe una fuerza de rozamiento
estática que actúa sobre él, dirigida hacia arriba.
c) Si el cuerpo permanece en reposo, podemos concluir que la fuerza de
rozamiento estática de la pared sobre él, es mayor que el peso del bloque.
ρ
d) Si el valor de F es nulo, no habrá fuerza de rozamiento de la pared
sobre el bloque.
e) Si no hay rozamiento entre la pared y el cuerpo, este último caerá, no
ρ
importa cuán grande sea el valor de F .
P-23) Un bloque desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un
plano inclinado, con inclinación α. ¿Con que aceleración deslizará hacia
abajo sobre el mismo plano, cuando la pendiente aumente hasta un valor
más grande θ? ¿Cuál será su aceleración, si su inclinación es la máxima,
o sea 90º?
ρ
P-24) Un operario trata de empujar una caja con una fuerza F1 sobre un
plano horizontal, como se muestra en la figura en la situación (a) y no
logra ponerla en movimiento. Intuitivamente se agacha y le aplica una
ρ
ρ
fuerza F2 que tiene igual magnitud que F1 , como se ve en la situación
(b), y logra así sacarla del reposo. Explica por qué ocurre esto. ¿Qué
ρ
ρ
pasa si le aplicara una fuerza F3 (de igual módulo que F1 ) pero con la
51
(b)
(c)
P-25) Cristian afirmó que en un satélite en órbita actúan dos fuerzas: la
de atracción de la Tierra sobre el satélite y la centrípeta que lo mantiene
en órbita. Analiza y critica la afirmación de Cristian.
P-26) La figura representa a la Luna
girando alrededor de la Tierra (por
simplicidad suponemos una órbita
circular en vez de elíptica), y en el
sentido ABCD. En cada una de las
opciones siguientes se muestra un
vector y se indica que magnitud representa el mismo. Indica si son verdaderas o falsas. Si son falsas, justifica tu
respuesta.
A
B
D
C
a) ↑ fuerza que actúa en la Luna en C.
b) → aceleración de la Luna en D.
c) ↑ fuerza que actúa sobre la Luna en A.
d) ↓ velocidad de la Luna en B
e) ← fuerza que la Luna ejerce sobre la Tierra cuando pasa por D.
52
P-27) Un cuerpo de masa m se encuentra describiendo una trayectoria
circular de radio R con rapidez constante v. a) Para que el cuerpo pueda
describir esta trayectoria, ¿necesariamente debe actuar una fuerza sobre
él? Justifica. b) ¿Cuál es en cada instante el ángulo entre la fuerza y la
velocidad? c) ¿Qué le ocurriría al cuerpo si la fuerza dejara de actuar?
P-28) Una piedra está atada a uno de
los extremos de una cuerda, el otro se
haya fijo con un clavo a una mesa sin
rozamiento. La piedra describe un
movimiento circular sobre la mesa.
Cuando pasa por la posición superior,
la cuerda se rompe. a) Traza la trayectoria que el cuerpo describirá sobre la
mesa después de la rotura, y b) analiza
qué propiedad del cuerpo hace que siga esa trayectoria.
S-2) Se deja caer desde cierta altura una pequeña piedra de 0,08 kg la
que demora 1,3 s en llegar al suelo. Si se considera despreciable el rozamiento con el aire, a) determina la fuerza resultante que actúa sobre la
piedra durante la caída. b) Determina la velocidad con que llega al suelo. c) Si el impacto con el suelo dura 0,001 s, determina la fuerza neta
que actúa sobre la piedra en el momento del choque. d) ¿Cuántas veces
mayor es esta fuerza con respecto al peso de la piedra?
S-3) Un cuerpo de 2 kg de masa efectúa un choque elástico contra otro
cuerpo que está en reposo y después sigue moviéndose en el sentido que
llevaba originalmente pero con una velocidad que es la cuarta parte de
la original, ¿cuál es la masa del cuerpo que recibió el golpe?
P-29) Ricardo afirma: “La fuerza que ejerce el Sol es la que mantiene a
la Tierra en movimiento”. Enrique replica que “la fuerza que ejerce el
Sol hace que la Tierra modifique la dirección de su movimiento constantemente”. Por su lado, Analía opina “que los cuerpos se mueven en
la dirección de la fuerza que actúa sobre ellos”. ¿Cuál de los tres amigos
tiene razón? Justifica en cada uno de los casos.
Situaciones problemáticas
Para pensar y resolver…(y también hacer algunas cuentas)
S-1) Un atleta cuya masa es 75 kg, participa de una prueba de salto en
largo. En el momento en que se impulsa para saltar, actúa sobre él una
fuerza vertical de 4 N durante 0,12 s. a) ¿Qué dirección y valor tendrá la
variación de velocidad debido a esta fuerza? b) Si la velocidad horizontal era inicialmente de 12 m/s ¿con qué velocidad se estará moviendo
inmediatamente después del impulso?
S-4) Un paracaidista de 820 N de peso desciende con velocidad constante cuyo valor es 9 m/s. a) Dibuja todas las fuerzas que están actuando
sobre el paracaidista mientras está descendiendo. b) ¿Con qué aceleración caerá? c) ¿Cuánto vale la fuerza neta que actúa sobre él? d) ¿Cuánto vale la fuerza que el paracaidista ejerce sobre el paracaídas?
ρ
S-5) a) En la tabla de valores que se muestra, F
representa la fuerza que actúa sobre cierto cuerρ
po, y a es la aceleración que adquiere al estar
sometido a tal fuerza. Se te pide que completes
la tabla con los valores que faltan. b) ¿Cómo
ρ
crees que será la forma del diagrama F en funρ
ción de a ? c) ¿Qué representa la pendiente de la
gráfica?
S-6) En la siguiente tabla se presentan las aceleraciones adquiridas por
tres cuerpos A, B y C, cuando actúan sobre ellos las fuerzas que se indican. Basándonos en esta tabla, concluimos que entre las masas de estos
cuerpos existe la siguiente relación:
a) mA > mB > mC
b) mB < mA < mC
c) mC > mA > mB
53
F [N] a [m/s2]
1,5
0,70
3,0
4,5
6,0
54
cuerpo A
cuerpo B
cuerpo C
F [N]
20
10
4,0
a [m/s2]
1,0
2,0
0,8
d) mA = mB = mC
S-10) Un niño de peso P se encuentra en el interior de un ascensor que
sube con una aceleración a dirigida hacia arriba. Sea F la magnitud de
la fuerza que el piso del ascensor ejerce sobre el niño y F’ la fuerza con
que el niño empuja el piso del ascensor. De las siguientes afirmaciones
señala las que sean correctas y en el caso de las falsas indica por qué lo
son:
e) mA > mB = mC
¿Cuál de estas relaciones es la correcta?
S-7) Un bloque que pesa 100 N está sujeto a una cuerda
que puede desplazarse hacia arriba y hacia abajo. ¿Qué
conclusiones puedes sacar respecto de la dirección y
magnitud de la aceleración cuando la fuerza que hace la
cuerda sobre el bloque (tensión) sea de a) 50 N, b) 100
N, c) 150 N?
a) El valor de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la persona es
R = F – P – F’.
b) F > P porque el niño posee una aceleración hacia arriba.
c) F = F’ porque constituyen un par de acción y reacción.
d) F = P.
S-8) En el juego de tirar de la cuerda, una cinta roja atada en la cuerda
entre los dos equipos se mueve con velocidad constante de 0,2 m/s en la
dirección y. Un equipo ejerce una fuerza de 200 N sobre la cuerda, en la
dirección positiva del eje y, ¿qué fuerza ejerce el otro equipo?
S-9) Un hombre de peso P, se encuentra en el interior de un montacargas que sube con movimiento uniforme (velocidad constante). Sea F la
magnitud de la fuerza que el piso del montacargas ejerce sobre el hombre y F’ la fuerza con que el hombre comprime el piso del montacargas.
Señala entre las siguientes afirmaciones las que sean correctas y explica
por qué desestimaste las demás.
e) F = P porque constituyen un par de acción y reacción.
S-11) Un bloque de 100 N al que se aplica una fuerza F es arrastrado
hacia arriba a lo largo de un plano inclinado con un ángulo de 30 º con
una velocidad constante, como se muestra en la figura. No hay rozamiento entre el plano inclinado y el bloque.
F
a) F = F’ porque constituyen un par de acción y reacción.
Entre las siguientes afirmaciones, señala cuáles son las correctas y cuáles las falsas y justifica en cada caso:
b) F = P porque el movimiento de la hombre es uniforme.
c) F y P constituyen un par de acción y reacción.
a) El bloque ejerce sobre el plano una fuerza igual a 100 N.
d) F’ > P porque el montacargas está subiendo.
b) La componente de la fuerza de atracción de la Tierra (peso) que hace
que el bloque descienda es 50 N.
e) F > P porque el montacargas asciende.
55
56
c) La resultante de las fuerzas que actúan sobre el bloque es nula.
d) El valor de la fuerza F que la persona está ejerciendo sobre el bloque
es mayor a 50 N.
e) La reacción a la fuerza que el plano ejerce sobre el bloque es nula
pues no hay rozamiento entre ellos.
S-12) Dos personas sostienen, en equilibrio, un cuerpo de 180 N por
medio de dos cuerdas inclinadas un ángulo θ = 45° en relación con la
vertical. a) ¿Cuál es el valor de la fuerza que hace cada persona? b) Si
las personas aumentaran la inclinación de las cuerdas
F
F (en relación con la vertical), de modo que el ángulo
θ θ
θ se vuelva mayor que 45º, ¿cómo será la fuerza que
debe hacer cada persona, mayor, menor o igual a la
que se calculó en a)?
S-13) Un ascensor tiene una masa m = 500 kg. a) ¿Cuál es el valor de la
fuerza que ejerce el cable sobre el ascensor cuando está en reposo? ¿Y
cuando sube con velocidad constante? ¿Cuando baja con velocidad
constante? b) Si el ascensor posee una aceleración de 2 m/s2, ¿cuál es el
valor de la tensión en el cable? c) Si la tensión máxima que puede soportar el cable es 8000 N, ¿cuánto vale la aceleración máxima con que
se puede mover el ascensor sin que el cable se rompa? d) ¿Qué pasa si
el cable se rompe? Explica.
F
S-14) A través de una superficie horizontal Leonardo empuja una caja aplicándole una fuerza horizontal de 300 N, haciendo que se mueva con velocidad
constante. ¿Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento?
57
S-15) En la figura del problema, la
fuerza de rozamiento cinética entre el
bloque y el plano inclinado es 49 N,
siendo el peso del bloque 498 N. CalFT/b
cular el valor de la fuerza F que debe
realizar una persona, suponiendo que:
a) el bloque sube con velocidad constante, b) el bloque desciende con velocidad constante.
F
ρ
S-16) Un cuerpo a de peso FT = 195 N
a
que se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal está unido mediante una
a
ρ
cuerda a un cuerpo b de peso FT = 45 N,
b
como se ve en la figura. Analiza las siguientes afirmaciones y señala la que está
equivocada, justificando:
ρ
b
ρ
a) Como FT > FT , el sistema quedará en reposo siempre y cuando no
a
b
haya rozamiento entre el cuerpo a y la superficie.
b) Si el sistema está en reposo, la fuerza de rozamiento estática sobre a
vale 45 N.
c) Si el cuerpo b desciende con movimiento uniforme, la fuerza de rozamiento cinética entre el cuerpo a y la superficie horizontal vale 45 N.
F
58
S-17) Emanuel empuja un bloque de 15 kg
hacia arriba por un plano inclinado de 30º, aplicándole una fuerza de 300 N. a) ¿Cuánto vale la
fuerza de rozamiento justo cuando comienza a
moverse? b) ¿Cuál es el valor de la aceleración
con la que sube, si la fuerza de rozamiento cinética es 95 N?
S-18) Un cuerpo cuelga de un dinamómetro suspendido del techo de un
ascensor. a) Si éste tiene una aceleración hacia arriba de 1, 2 m/s2 y el
dinamómetro indica 160 N; a) ¿cuál es el verdadero peso del cuerpo? b)
¿cuál sería el valor que indica el dinamómetro si el ascensor baja aceleradamente con 1,2 m/s2? c) si se rompe el cable del ascensor, ¿cuál es la
lectura del dinamómetro? d) ¿qué pasa si el que se rompe es el hilo de
donde cuelga el cuerpo? ¿con qué aceleración se moverá el mismo?
S-22) Una pequeña esfera de masa m está sujeta a una cuerda de masa
despreciable de 6 cm de longitud, de modo que constituye un péndulo
que oscila formando un ángulo máximo con la vertical de 60º. Calcula y
representa en un diagrama la magnitud y dirección de la aceleración
resultante de la esfera cuando el ángulo del hilo con la vertical tiene los
siguientes valores: a) 60º, b) 30º y c) 0º.
S-19) Un bloque de
m
madera de 0,1 kg, se ata
al final de una cuerda
cuya longitud es 0,5 m.
El bloque gira en un
círculo horizontal sobre
una mesa. Si se mueve con una rapidez máxima constante de 1,2 m/s.
¿Cuál es la máxima tensión que puede resistir la cuerda?
S-23) Sea un carrito de masa m que desliza
por una pista en forma de rizo, es decir se
mueve en un círculo vertical de 0,5 m de
radio a una rapidez de 4 m/s. Determina la
fuerza que ejerce la pista sobre el carrito:
a) en la parte inferior del rizo, b) en la cima
del rizo y c) en un punto intermedio entre la
cima y la parte más baja. Expresa las respuestas en función de mg y analiza los resultados obtenidos.
S-20) Supone que un automóvil
cuya masa es 900 kg describe una
m
curva cuyo radio es 30 m en una
carretera plana horizontal. a) Si la
velocidad del auto es 36 km/h,
¿cuál será el valor de la fuerza centrípeta que deberá actuar sobre él
para que consiga entrar en la curva?
R
b) Si la fuerza de rozamiento entre
los neumáticos y la carretera es
3500 N; el auto ¿logrará describir la
curva? c) ¿Qué pasa si esta fuerza
de rozamiento es 2800 N? d) ¿Cuál es el valor máximo de velocidad que
el automóvil podría desarrollar en esta curva, sin derrapar?
v
S-24) El piloto de un bombardero cae en picada y termina cambiando su
trayectoria para describir una circunferencia vertical. Cuando inicia esta
trayectoria circular el velocímetro del bombardero marcaba 400 km/h.
a) ¿Cuál es el radio mínimo de la circunferencia para que la magnitud
de la aceleración en el punto más bajo no exceda de 7g, donde g es la
aceleración de la gravedad? b) ¿Cuánto pesa aparentemente el piloto en
el punto más bajo de la trayectoria si su peso normal es 900 N?
S-21) Demuestra que cuando un cuerpo está atado a una cuerda y se
mueve en un círculo vertical, la fuerza que hace la cuerda sobre el cuerpo (tensión) cuando éste se encuentra en el punto más bajo excede a la
tensión que cuando el cuerpo se halla en el punto más alto en 6 veces el
valor del peso del cuerpo.
59
R
60
Trata de responder primero y después corrobora con una pequeña experiencia…
Actividades experimentales
Para que vos mismo las puedas realizar, con los materiales que se te
ocurran…
E-1) Una manera de encontrar el valor de la fuerza de rozamiento entre
un bloque y tabla, por ejemplo, es colocándolo sobre la tabla e ir inclinándola hasta que el bloque empieza a deslizarse hacia abajo por la
tabla. Si podemos determinar el instante previo a que empiece a deslizar, tendremos justo la mayor fuerza de rozamiento estático. Te invitamos a que lo pruebes y sigas el siguiente procedimiento para calcular la
fuerza de rozamiento:
E-3) Coloca un par de cuerpos de 50 N en los extremos
de un dinamómetro, como
se ve en la figura. ¿Cuál
será la lectura del dinamómetro? ¿Sería distinta la lectura si tomaras una de las cuerdas con la
mano en vez de atarla a la pesa de 50 N?
a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre el bloque en ese instante, utilizando un diagrama de cuerpo aislado como vimos en el capítulo anterior.
E-4) Sobre una mesa sin rozamiento, se colocan un clavo y un imán,
separados cierta distancia ¿qué crees que va a pasar? Si ahora, mantienes fijo el imán y el clavo en la misma posición que antes, ¿qué pasará
con el clavo? Volviendo nuevamente a la posición inicial, si ahora fijas
el clavo y sueltas el imán ¿qué le ocurrirá al imán?
b) Determina a qué fuerza debe ser igual la fuerza de rozamiento para
que el bloque esté en reposo.
E-5) Vimos que para que un cuerpo describa un movimiento circular es
necesario que sobre él actúe una fuerza centrípeta, cuyo valor se obtiene
c) Realiza los cálculos necesarios para calcular la fuerza de rozamiento.
de la expresión F = m
Una vez concluida la experiencia escribe un relato detallado de los elementos utilizados, el procedimiento empleado y los conocimientos teóricos de que te haz valido para calcular la fuerza de rozamiento. No
omitas nada, de tal manera que si un compañero de clase desea realizar
la misma experiencia, pueda hacerlo siguiendo tu relato.
E-2) ¿Podrías adaptar el dispositivo anterior para medir la fuerza de
rozamiento para el bloque en movimiento? ¿Cómo lo harías? Discútelo
con tus compañeros.
61
v2
, si el radio R fuera constante, responde las
R
siguientes cuestiones: a) ¿Cómo harías para que el objeto describa una
trayectoria de radio R? Explica. b) ¿Cómo harías para que gire a mayor
velocidad? c) Si cambiamos el objeto
R
por otro de una masa bastante mayor,
¿qué pasará? Después que te hayas
contestado estas preguntas, mediante
una experiencia sencilla podrás comprobarlo. Toma un tubo de vidrio o de
plástico con los bordes perfectamente
lisos, y pasa por él un hilo de nylon
(para disminuir el rozamiento), ata por
un extremo del hilo un objeto de masa
m (por ejemplo una pelota de goma).
Tomando el tubo con una de las manos y con la otra el extremo libre del hilo, haz girar en un plano horizontal el conjunto hilo-pelota.
62
Una vez que hayas finalizado la experiencia escribe un informe detallando los elementos utilizados y el procedimiento empleado, menciona
los conocimientos teóricos que hayas utilizado para poder realizar la
experiencia. Dibuja un esquema simplificado del sistema y coloca en el
informe las conclusiones a las que has llegado.
E-6) Lo que sigue a continuación es una
sencilla práctica de laboratorio que consiste
en medir con ayuda de un dinamómetro la
tensión de la cuerda que sujeta a un móvil
que describe una trayectoria circular.
El dinamómetro está situado en el eje de una
plataforma móvil y su extremo está enganchado a un móvil que gira sobre la plataforma. Calcula el valor de la velocidad tangencial del MCU.
E-8) Toma dos autos de juguete pequeños que tengan la misma masa y
únelos con un elástico. Estirando el elástico, separa ambos autitos, apoyándolos sobre una superficie horizontal y sin rozamiento hasta que la
distancia entre ellos sea aproximadamente 1 m. Suelta los autitos al
mismo tiempo. Señala la posición donde éstos chocarán. Repite varias
veces la experiencia para que el error de la medición sea mínimo. Por
último, responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cómo serán las distancias que recorren los autitos? b) Las aceleraciones que adquieren los autitos, ¿serán iguales o diferentes? c) ¿Cómo
son las fuerzas que el elástico ejerce sobre los autitos? ¿Confirma este
resultado la Tercera Ley de Newton?
0
a2
a1
1
Analiza para los dos sistemas de referencia estudiados, inercial y no
inercial, haciendo los diagramas de cuerpo aislados en cada caso y viendo si se cumple la Segunda Ley de Newton. Redacta un informe con las
conclusiones respecto a la experiencia realizada.
Para que realices con tus compañeros…
E-7) Con la ayuda de tus compañeros trata
de levantar un cuerpo pesado por medio de
F
dos cuerdas, como se ve en la figura. Usa
los dinamómetros para medir las fuerzas
necesarias para equilibrar el peso del cuerpo. a) Aumenten el valor del ángulo θ (ángulo de cada cuerda con la vertical) y observen las indicaciones de los dinamómetros. El resultado que observan
¿está de acuerdo a la pregunta (b) del problema S-12)? b) Intenten equilibrar el cuerpo con las cuerdas en dirección horizontal (θ = 90°) ¿cuál
es el resultado? Justifica tu respuesta.
F
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F1
F2
2
E-9) Sobre uno de los autitos de la experiencia anterior coloca una bolita de plastilina o cierta cantidad de arena, de manera que las masas de
ambos autitos sean diferentes. Responde las mismas preguntas que en el
caso de la experiencia 2).
E-10) a) Coloca un objeto atado a través de una cuerda al centro de una
plataforma o mesa giratoria sin rozamiento. Luego, trata de hacer girar
la plataforma de manera que tenga una rapidez constante.
b) Ahora, súbete a la plataforma y con la ayuda de un compañero haz
que ponga a girar la plataforma contigo arriba.
Observa el movimiento que tendrá el objeto en uno y otro caso y saca
conclusiones. Trata de discutirlas con tus compañeros.
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a) Traza un diagrama de cuerpo aislado del bote. b) Si la fuerza que
ejerce cada cuerda sobre su caballo es 2000 N ¿cuál es la fuerza de rozamiento del bote con el agua?
Actividades complementarias
Para que te ejercites y sigas pensando…
C-1) Una pelota de baseball pesa 150 g. a) Si la velocidad de la pelota
lanzada es de 24 m/s y después de haber sido bateada es de 36 m/s, en
sentido opuesto, calcula el incremento de la cantidad de movimiento de
la pelota y el impulso recibido. b) Si la pelota permanece en contacto
con el bate durante 0,002 s, ¿cuál es fuerza media ejercida por éste sobre la pelota?
C-2) Encuentra las aceleraciones
de los dos bloques representados
en la figura, en función de m1, m2
y g. No hay rozamiento entre la
superficie horizontal y el bloque
m1, tampoco lo hay entre la cuerda
y la polea. Desprecia la masa de la
cuerda y de la polea.
m1
m2
C-3) Debido a la rotación de la Tierra, una plomada no puede colgar
siguiendo exactamente la dirección de la atracción gravitacional terrestre (su peso) sino que se desvía ligeramente de esa dirección. Calcula la
desviación en los siguientes casos: a) a la latitud de 40º, b) en los polos
y c) en el Ecuador.
C-4) Se tira con dos caballos un bote que está en el
medio de un canal a velocidad constante, como se ve
en la figura. Las fuerzas
forman un ángulo de 30º
con la orilla del canal.
C-5) Una fuerza de 12 N empuja
horizontalmente el conjunto de los
F
m1 m2 m3
tres bloques de la figura sobre una
superficie sin rozamiento. Las masas de los carritos son m1 = 1 kg, m2
= 2 kg y m3 = 3 kg. a) ¿Cuál es la aceleración del conjunto? b) ¿Cuáles
son las fuerzas que actúan sobre el bloque de masa m1 y cual es la fuerza
neta que actúa sobre él? c) Repita la parte b) para los bloques m2 y m3.
d) Si el bloque m3 está a la izquierda y el m1a la derecha, calcula lo mismo que se te pidió en a), b) y c).
C-6) Un ciclista toma una curva a una velocidad de 3, 6 m/s observando que debe inclinar
su bicicleta 53º sobre la horizontal para mantener el equilibrio sin patinar. El peso del
1,2 m
ciclista y la bicicleta es 800 N.
a) Hacer un diagrama de cuerpo aislado del
53º
ciclista y otro de la bicicleta, ¿existen pares
de acción y reacción entre las fuerzas que
dibujaste? b) En un diagrama de cuerpo aislado del sistema muestra
todas las fuerzas que actúan. c) Calcula el radio de curvatura. d) Encuentra el valor de la fuerza de rozamiento entre la pista y los neumáticos.
C-7) Un velódromo tiene 12 m de diámetro y la fuerza de rozamiento
entre los neumáticos y el sistema chico-bicicleta es de 240 N. a) Representa en un diagrama de cuerpo aislado todas las fuerzas que actúan
sobre el sistema cuando se mueve en una circunferencia horizontal sobre la pared vertical del velódromo. b) Calcula la velocidad para que no
se caiga. c) Si el sistema pesa 700 N, halla las fuerzas vertical y horizontal que actúan sobre la pista a dicha velocidad.
30º
30º
65
66
C-8) Un tranvía antiguo da vuelta en una esquina de una vía que no
posee peralte. Si el radio de la vía es 9,15 m y la velocidad del tranvía
16,1 km/h.
a) ¿Qué ángulo formarán con la vertical las agarraderas de mano que
van colgando sueltas?
b) ¿Actúa alguna fuerza sobre esas agarraderas? De ser así, ¿es una
fuerza centrípeta o una fuerza centrífuga? c) ¿Dependen tus respuestas
del sistema de referencia que elijas?
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Referencias bibliográficas
Bibliografía consultada
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Cuestiones de Física de J. Aguilar y F. Senent. Editorial Reverté S.A.
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Física – Fundamentos y Aplicaciones, de Robert M. Eisberg y Lawrence S. Lerner . Editorial Mc Graw Hill (1985)
Física I – Segundo Grado, de Tambutti, Muñoz, Limusa Noriega. Editores S.A. de C.V. (1994)
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Pedagógicas Chilenas (1986).
Temas de Física. Orientación Tecnológica, de Vicario, Fernández, Tarasconi, Esquenazi, Garnica, Amieva, Bridarolli, Castelli, Garello, Matteoda y Rigotti. Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de
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