Capítulo 2: Introducción al método de los Elementos

Capítulo 2: Introducción al método de los Elementos Finitos____________________
2.
CAPÍTULO 2
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
2.1. INTRODUCCIÓN
Virtualmente cada fenómeno en la naturaleza, sea biológico, geológico o mecánico puede
ser descrito con la ayuda de las leyes físicas, en términos de ecuaciones algebraicas,
diferenciales o integrales que relacionan varios parámetros de interés. Para su modelamiento, los ingenieros y científicos que estudian estos fenómenos, están familiarizados
con dos pasos principales:
a) Formulación matemática del proceso físico.
b) Análisis numérico del modelo matemático.
La formulación matemática de un proceso físico requiere del conocimiento de los
principios físicos en general y de la prevalencia de unos fenómenos sobre otros, en
particular. Adicionalmente, se requiere del manejo de ciertas herramientas matemáticas
como las ecuaciones diferenciales.
El desarrollo de un modelo matemático de un proceso se logra a través de supuestos
sobre el cómo opera el proceso. En una simulación numérica se usa un método numérico
y un computador para evaluar el modelo matemático y estimar las características del
proceso.
Mientras que la derivación de las ecuaciones que gobiernan la mayoría de los fenómenos,
no es tan difícil, su solución por métodos de análisis exactos es una tarea formidable y en
muchos casos imposible a la fecha. En tales casos los métodos aproximados de análisis
representan una alternativa valiosa para encontrar las soluciones. Algunos de estos
métodos son las diferencias finitas y los métodos variacionales.
En la aproximación por diferencias finitas de una ecuación diferencial, las derivadas se
reemplazan por cocientes de diferencias que envuelven los valores de la solución en una
______________________________________________________________________13
Capítulo 2: Introducción al método de los Elementos Finitos____________________
malla discreta de puntos del dominio. El resultado de este proceso es un sistema de
ecuaciones algebraicas después de la imposición de las condiciones de frontera de la
malla de puntos.
En la solución de una ecuación diferencial por un método variacional, la ecuación se
convierte a una forma integral-ponderada equivalente y entonces la solución aproximada
sobre el dominio se asume como una combinación lineal
(∑ c φ ) de
j
j
funciones de
aproximación “ φ j ” elegidas apropiadamente y coeficientes indeterminados “ c j ”. Estos
coeficientes se calculan de modo que el estado integral equivalente satisfaga la ecuación
diferencial original. Varios métodos variacionales, como por ejemplo, Rayleigh-Ritz,
Galerkin y Mínimos cuadrados, difieren unos de otros en la elección de la forma integral,
las funciones de ponderación y/o las funciones de aproximación. Todos ellos tienen la
desventaja de que las funciones de aproximación para problemas con dominio arbitrario
son de difícil construcción.
El método de los elementos finitos vence la desventaja de los métodos variacionales
tradicionales por medio de un proceso sistemático para la derivación de las funciones de
aproximación sobre subregiones del dominio. También está dotado con tres características
básicas que explican su superioridad sobre los otros métodos con los que compite.
Primero, un problema de dominio geométricamente complejo se representa como una
colección de subdominios geométricamente simples, llamados elementos finitos. Segundo, las funciones de aproximación se definen sobre cada elemento finito usando la idea
básica de que cualquier función continua puede ser representada por una combinación
lineal de polinomios algebraicos. Tercero, las relaciones algebraicas entre los coeficientes
indeterminados se obtienen luego de que se hacen cumplir (Por ejemplo valores en nudos)
ecuaciones que gobiernan, comúnmente en el sentido integral-ponderado, sobre cada
elemento. En el método de los elementos finitos las funciones de aproximación se obtienen usando conceptos de la teoría de la interpolación y por ende son llamadas funciones
de interpolación. Se ha encontrado que el grado de las funciones de interpolación depende
del número de nudos en el elemento y del orden de la ecuación diferencial a ser resuelta.
______________________________________________________________________14
Capítulo 2: Introducción al método de los Elementos Finitos____________________
2.2.
FORMULACIONES INTEGRALES Y MÉTODOS VARIACIONALES
En el método de los elementos finitos se usa un estado integral para desarrollar relaciones
algebraicas entre los coeficientes c j de la aproximación:
N
u ≈ U N = ∑ c jφ j
(2.1)
j =1
donde “ u ” representa la solución aproximada de una ecuación diferencial, “ c j ” son los
coeficientes a ser determinados, “ φ j ” son funciones de aproximación preseleccionadas
tales que las condiciones de frontera específicas sean satisfechas por los “ N ” parámetros
de la solución aproximada “ U N ”. El uso de un estado integral equivalente a la ecuación
diferencial gobernante es necesario por el hecho de que la sustitución de “ u ” en la
ecuación diferencial gobernante no siempre da como resultado el número de ecuaciones
algebraicas linealmente independientes para el número de coeficientes desconocidos “ c j ”.
Una forma de asegurar que hay exactamente el mismo número “ N ” de ecuaciones como
de incógnitas es usar integrales ponderadas donde el error en la ecuación sea cero.
N
Por tanto se puede colocar la solución aproximada u ≈ U N = ∑ c j φ j a satisfacer la ecuaj =1
ción diferencial en una forma de integral-ponderada o forma débil así:
1
∫ wRdx = 0
(2.2)
0
donde “ R ” se conoce como el residual, y se obtiene de reemplazar “ u ” en la ecuación
diferencial y “ w ” se conoce como la función de peso o de ponderación. De la anterior
ecuación integral se pueden obtener tantas ecuaciones linealmente independientes como
funciones independientes para “ w ” y por lo tanto igual número de coeficientes desconocidos.
A continuación se verán los distintos tipos de construcción de los estados integrales
usados en diferentes métodos variacionales. Un método variacional es aquel en el que se
______________________________________________________________________15
Capítulo 2: Introducción al método de los Elementos Finitos____________________
N
buscan las soluciones aproximadas del tipo u ≈ U N = ∑ c j φ j y los coeficientes “ c j ” se
j =1
determinan usando un estado integral. Los métodos variacionales difieren el uno del otro
en la elección de las funciones de ponderación “ w ” y el estado integral usado, el cual a su
vez dicta la elección de las funciones de aproximación “ φ j ”.
En el método de los elementos finitos, un dominio dado se ve como un ensamble de
subdominios y una solución aproximada se coloca en cada subdominio de la misma
manera que los métodos variacionales. Por lo anterior se hace necesario estudiar los
métodos variacionales antes del método de elementos finitos.
2.3.
MÉTODOS VARIACIONALES DE APROXIMACIÓN
Lo métodos variacionales de aproximación más comunes son: Rayleigh-Ritz y el de los
Residuos Ponderados en cualquiera de sus casos: Galerkin, Petrov-Galerkin, Mínimos
Cuadrados y el Método de Colocación. En todos ellos se puede ver una solución aproximada en la forma de una combinación lineal de funciones de aproximación apropiadas φ j
y parámetros indeterminados c j .
Los parámetros “ c j ” se determinan tal que la solución aproximada satisface la forma
integral-ponderada. Varios métodos difieren unos de otros en la elección de las funciones
de ponderación “ w ” y las funciones de aproximación “ φ j ”.
El método de los elementos finitos retoma el uso de los métodos variacionales para
formular las ecuaciones discretas sobre cada elemento. Para efectos prácticos se explicarán sólo el método variacional de los Residuos Ponderados y en su caso específico el
método Galerkin.
El método de los residuos ponderados se describe en sus generalidades por la ecuación
operador:
______________________________________________________________________16
Capítulo 2: Introducción al método de los Elementos Finitos____________________
A(u ) = f
(2.3)
donde “ A ” es un operador (lineal o no-lineal), comúnmente un operador diferencial, que
actúa sobre una variable dependiente “ u ”, y “ f ” es una función conocida de la variable
independiente. Algunos ejemplos de dicho operador son:
d ⎛ du ⎞
⎜ a ⎟ + cu
dx ⎝ dx ⎠
•
A(u ) = −
•
d2
A(u ) = 2
dx
⎛ d 2u ⎞
⎜⎜ b 2 ⎟⎟
⎝ dx ⎠
La función “ u ” no solo requiere satisfacer la ecuación operador, sino también requiere
satisfacer las condiciones de frontera asociadas con la ecuación operador.
En el método de los residuos ponderados, la solución “ u ” se aproxima por la expresión:
N
u ≈ U N = ∑ c jφ j .
j =1
(2.1)
La sustitución de la solución aproximada “ U N ” en el lado izquierdo de la ecuación operador da una función f N = A(U N ) que, en general, no es igual a la función específica “ f ”.
La diferencia A(U N ) − f , llamado el residual de la aproximación, es distinto de cero:
N
R = A(U N ) − f = A⎛⎜ ∑ c j φ j ⎞⎟ − f ≠ 0
⎝ j =1
⎠
(2.4)
Note que el residuo “ R ” es una función de posición tanto como los parámetros “ c j ”. En el
método de los residuos ponderados, como su nombre lo indica, los parámetros “ c j ” se
determinan con el objetivo de hacer nulo el residuo “ R ” en el estado de la integralponderada:
∫ψ (x, y )R(x, y, c )dxdy = 0, (i = 1,2,..., N )
i
j
(2.5)
Ω
______________________________________________________________________17
Capítulo 2: Introducción al método de los Elementos Finitos____________________
donde “ Ω ” es un dominio bidimensional y “ψ i ” son las funciones de peso o de ponderación, las cuales, en general, no son las mismas que las funciones de aproximación “ φ j ”.
Existen varios casos especiales del método de los residuos ponderados tales como:
Petrov-Galerkin, Galerkin, Mínimos cuadrados y el de colocación. El que se utiliza en este
trabajo es el método Galerkin.
En el método de Galerkin, para la selección de la función de peso “ψ i ”, ésta se iguala a la
función de aproximación “ φ j ”, o sea ψ i = φi = φ j Las ecuaciones algebraicas de la
aproximación Galerkin son:
N
∑ Aij c j = Fi
(2.6)
j =1
donde Aij = ∫ φ i A(φ j )dxdy y Fi = ∫ φi fdxdy
Ω
2.4.
1
(2.7)
Ω
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
El método de los elementos finitos es una técnica en la cual un dominio dado se representa como una colección de dominios simples, llamados elementos finitos, tales que de
ellos es posible construir sistemáticamente las funciones de aproximación necesarias en
una aproximación variacional o de residuos ponderados de la solución de un problema
sobre cada elemento. Así, el método de los elementos finitos difiere de los métodos de residuos ponderados tradicionales en la forma como se construyen las funciones de aproximación. Pero esta diferencia es responsable de las siguientes tres características básicas
del método de los elementos finitos:
•
División del todo en sus partes: Lo que permite la representación de dominios
geométricamente complejos como colecciones de dominios geométricamente simples
que tienen la capacidad de una derivación sistemática de las funciones de
aproximación.
1
REDDY, J.N. An introduction to the finite element method. 2da Ed. 1993
______________________________________________________________________18
Capítulo 2: Introducción al método de los Elementos Finitos____________________
•
Derivación de las funciones de aproximación sobre cada elemento: Las funciones de
aproximación son comúnmente polinomios algebraicos que son derivados de la teoría
de interpolación.
•
Ensamble de elementos: Lo cual se basa en la continuidad de la solución; el ensamble
de los elementos representa una forma discreta análoga con el dominio original, y el
sistema asociado de ecuaciones algebraicas representa una forma numérica análoga
con el modelo matemático del problema que está siendo analizado.
Estas tres características están estrechamente relacionadas. La geometría de los
elementos usados para representar el dominio de un problema serían tales que las
funciones de aproximación puedan ser derivadas unívocamente. Las funciones de
aproximación dependen no sólo de la geometría sino también del número y localización de
puntos, llamados nodos, en el elemento y de las cantidades a ser interpoladas. Una vez
las funciones de aproximación se han determinado, el procedimiento para obtener las
relaciones algebraicas entre los coeficientes desconocidos (Los cuales satisfacen los
valores de la solución en los nodos de los elementos finitos) es el mismo que el usado en
los métodos de residuos ponderados.
El método de los elementos finitos no sólo compensa las deficiencias de los métodos
variacionales tradicionales, sino que también está dotado de las características de una
técnica computacional efectiva. Los pasos básicos involucrados en el análisis de
elementos finitos de un problema están dados en el siguiente procedimiento:
1)
Discretización (o representación) del dominio dado en una colección de
elementos finitos preseleccionados.
a. Construir la malla de elementos finitos con los elementos preseleccionados.
b. Enumerar los nodos y elementos.
c. Generar las propiedades geométricas (Por ejemplo: coordenadas y área de
la sección transversal ) necesarias para el problema.
2)
Derivación de las ecuaciones para todos los elementos típicos en la malla.
______________________________________________________________________19
Capítulo 2: Introducción al método de los Elementos Finitos____________________
a. Construir la formulación variacional de la ecuación diferencial dada sobre el
elemento típico de la malla.
b. Asumir que una variable típica dependiente “ u ” es de la forma:
N
u ≈ ∑ c jφ j
(2.8)
j =1
y sustituir en el paso anterior para obtener las ecuaciones del elemento en la
forma:
[K ( ) ]{c( )} = {F ( )}
e
e
e
(2.9)
c. Derivar o seleccionar, si ya están disponibles en la literatura, las funciones
de interpolación “ψ i ” y computar las matrices del elemento.
3)
Ensamblar las ecuaciones del elemento para obtener las ecuaciones del
problema completo.
a. Identifique las condiciones de continuidad interelementos entre las variables
relacionando los nodos del elemento y los nodos globales.
b. Ensamble las ecuaciones del elemento usando el paso anterior.
4)
Imposición de las condiciones de frontera del problema.
5)
Solución de las ecuaciones ensambladas
6)
Post-procesamiento de los resultados.
______________________________________________________________________20