MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN

MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
MANUAL DE APOYO PARA LA
MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL
NIVEL MEDIO BÁSICO
Tradicionalmente las matemáticas se han considerado una
materia difícil.
En el nivel medio superior son frecuentes los comentarios
negativos al elegir una carrera donde se involucran las
matemáticas, sin embargo es en el nivel medio básico donde se
adquieren los conocimientos fundamentales para el desarrollo
futuro del manejo de dicha materia.
Es importante tomar en cuenta que nuestros futuros alumnos de
bachillerato cuentan con conocimientos que requiere solo una
ordenación y reafirmación de los mismos y partiendo de esto
proporcionarles un conocimiento formal.
Este manual, pretende fundamentar el conocimiento ya
adquirido dándole un ordenamiento lógico inductivo, tanto en
la estructuración como en la aplicación de las operaciones
básicas con números enteros como son:
a) Sumas.
b) Restas.
c) Multiplicaciones.
d) Divisiones.
e) Potencias.
f) Raíces.
g) Jerarquización de las operaciones.
I
Ing. Víctor Rogelio Soto García
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Del mismo modo se pretende que el alumno identifique que
tipo de operaciones aplicar en los razonamientos requeridos
para obtener:
a) Máximo común divisor.
b) Mínimo común múltiplo.
d) Porcentajes.
e) Razones.
f) Proporciones.
g) Reparto proporcional directo.
h) Reparto proporcional inverso.
Es importante que el alumno se familiarice de igual forma con
los números fraccionarios y sus operaciones básicas como son:
a) Suma.
b) Resta.
c) Multiplicación.
d) División.
Como parte del desarrollo del presente manual se aplicará la
siguiente metodología:
1) Explicación de los principios y teoremas básicos en forma
clara y sencilla.
2) Al finalizar cada tema se contará con un grupo de ejercicios
aplicables en el uso cotidiano.
II
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3) Se ha modificado el orden de la secuencia de paginación en
un modelo similar al usado en los diarios para la continuación
de una noticia (pidiendo que continúe en la página indicada de antemano y
no en la siguiente.
4) Al finalizar cada tema se proporcionará un ejercicio
característico donde el resultado y las indicaciones nos dirán en
qué página continuar ya sea con el siguiente tema o para
repasar nuevamente el tema visto por no realizar correctamente
los ejercicios.
El presente manual es muy útil en un curso propedéutico donde
se comprobarán los conocimientos básicos, iniciando éstos el
estudio de secundaria con un manejo adecuado de las
operaciones básicas y su aplicación más necesaria, permitiendo
a los alumnos manejar los conceptos con la velocidad de los
conocimientos adquiridos, así el profesor podrá brindar una
ayuda más personalizada a los alumnos más rezagados en el
aprendizaje de las matemáticas.
III
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LA SUMA
La suma o adición, es una operación que tiene por objeto,
dados dos o más sumandos obtener un total.
Cada uno de los elementos que se reúnen recibe el nombre de
sumandos y al resultado se conoce como suma o total.
Ejemplo 234 + 13 = 247
donde
234 + sumando
13 = sumando
247 suma o total
Algunas propiedades de la suma son:
a) Conmutativa: la cual nos indica que el orden de los
sumandos no altera la suma.
Ejemplo: 35 + 12 + 39 = 86 y 12 + 39 + 35 = 86
b) Asociativa: propiedad que nos permite unir dos o más
sumandos en uno sin alterar el total.
Ejemplo:
45 + 22 + 115 = 182 y 45 + 22 = 67
por lo tanto 67 + 115 = 182
c) Disociativa: Propiedad que en la práctica se le conoce como
la suma de módulos, lo cual significa que en algunos casos es
conveniente separar los sumandos en dos o más para facilitar la
obtención del total.
Ejemplo: 1280 + 3125 = 4405
aplicando la propiedad disociativa será
1000 + 200 + 80 + 3000 + 100 + 25 = 4405
1
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CASOS PARTICULARES DE LA SUMA
Cuando en dos sumandos uno de ellos es cero, la suma será
igual al otro sumando.
Al cero se le conoce como elemento neutro de la suma.
Ejemplo:
234 + 0 = 234
Si un sumando aumenta o disminuye un número cualquiera, la
suma aumenta o disminuye ese mismo número.
Ejemplo:
134 + 23 + 67 = 224
134 + ( 23 + 6 ) + 67 = 230
134 + ( 23 - 3 ) + 67 = 221
2
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Repaso
1) Si en una suma un sumando aumenta diez, y dos disminuyen
cinco cada uno ¿Cuál será la cantidad que aumentará o
disminuirá el resultado?
2) Alfonso ayuda a sus papás los domingos a trabajar por lo
cual recibe cincuenta pesos como pago, revisando un
calendario se da cuenta que enero, mayo, agosto y octubre
tienen cinco domingos y los demás meses solo cuatro
¿Cuánto recibirá como pago durante todo el año?
Suma el resultado del ejercicio #1 más el ejercicio # 2
Si el resultado es:
2605 pasa a la página-------2
2600 pasa a la página------30
1595 realiza nuevamente las operaciones.
Diferente de los valores anteriores repasa la pagina 1
3
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LA RESTA
El hombre vive constantemente comparando objetos en su
peso, extensión y capacidad. Esta comparación se puede
precisar numéricamente a través de la operación aritmética
denominada resta.
La resta: Es una operación en la cual dada una cantidad
minuendo y otra sustraendo, se obtiene la diferencia entre las
dos.
La resta también recibe el nombre de sustracción o diferencia.
Ejemplo:
12 - 8 = 4
12 - minuendo
8
sustraendo
4
resta o diferencia
Condición de posibilidad: Para que la diferencia entre dos
números naturales sea posible, debe ser el minuendo mayor o
igual que el sustraendo, sin embargo la creación de los números
negativos permiten solucionar este problema.
Propiedades o leyes de la resta:
a) Ley de la uniformidad.
b) Ley de la monotonía.
c) Neutro substrativo.
30
Ley de la uniformidad.
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La diferencia de dos números tiene un valor único.
Ejemplo: 8 – 5 = 3
y
5–3=2
Ley de la monotonía.
1) Si de una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad
(sustraendo), siempre que la resta de números enteros positivos
se pueda efectuar resulta una desigualdad del mismo sentido
que la desigualdad.
Si 9 > 4 y 3 = 3 se da que 9 – 3 > 4 – 3 ya que 6 > 1
2) Si una igualdad (minuendo) se resta una desigualdad
(sustraendo) siempre que la resta se pueda efectuar resulta una
desigualdad de sentido contrario que la desigualdad sustraendo.
Si 9 = 9 y 4 > 2 se da que 9 – 4 < 9 – 2 ya que 5 < 7
3) Si de una desigualdad se resta otra desigualdad de sentido
contrario siempre que la resta sea posible resulta una
desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo.
Sí 5 > 2 y 2 < 1 entonces 5 - 2 > 2 - 1 ya que 3 > 1
Neutro sustractivo.
Si el sustraendo es cero la diferencia es igual al valor del
minuendo.
así 8 - 0 = 0
31
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ALTERACIONES DEL MINUENDO Y
SUSTRAENDO
1) Si el minuendo aumenta o disminuye un número cualquiera
y el sustraendo no varía, la diferencia queda aumentada o
disminuida en el mismo número.
Ejemplos
80 - 50 = 30
( 80 - 20 ) - 50 = 10 ya que 30 - 20 = 10
( 80 + 20 ) - 50 = 50 dado que 30 + 20 = 50
2) Si el sustraendo aumenta o disminuye un número cualquiera
y el minuendo no varía, la diferencia disminuye en el primer
caso y aumenta en el segundo.
Ejemplo: 80 - 50 = 30 80 - ( 50 + 20 ) = 10
ya que 30 - 20 = 10
80 - 50 = 30
80 - ( 50 - 20 ) = 50
ya que 50 - 20 = 30
3) Si el minuendo y el sustraendo aumentan o disminuyen a la
vez un mismo número, la diferencia no varía.
Ejemplos: 80 - 50 = 30 y
ya que 30 = 30
80 - 50 = 30 y
ya que 30 = 30
( 80 + 20 ) - ( 50 + 20 ) = 30
( 80 - 20 ) - ( 50 - 20 ) = 30
32
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Repaso.
1) Durante la posada de Navidad los alumnos de primer año del
colegio reunieron 300 Kg. de cacahuates y los alumnos de
tercero solo 83 Kg. ¿Cuántos Kg. de cacahuate reunieron más
los alumnos de primero que los de tercero?
2) Para asistir al concierto de control machete, Juan necesita
conseguir $145 ya que el boleto preferente cuesta $280,
¿Cuánto tiene ahorrado Juan?
Al resultado del ejercicio #1 resta el resultado del #2.
Si el resultado es 245 pasa a la página 30.
Si el resultado es 82 pasa a la página 20.
Si el resultado es diferente de los valores anteriores pasa a la
página 29.
33
COMO EFECTUAR LA RESTA DE ENTEROS
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Al igual que en la suma la resta se puede efectuar de forma
vertical y horizontal debiendo restar unidades de unidades y
decenas de decenas etc.
Ejemplo: 18495 3075=
15420
Realiza la siguiente operación quinientos sesenta menos ciento
cuarenta y cinco.
Si el resultado es 425 repasa la página 25
Si el resultado es 415 pasa a la página 30
Si el resultado es diferente de los anteriores lee desde el inicio
esta página.
29
LA MULTIPLICACIÓN
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Existen algunos problemas de suma que hacen pensar en la
posibilidad de obtener el resultado en forma más directa.
Podríamos pensar que es una suma abreviada.
Ejemplo: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42 ó 7 X 6 = 42
Observamos que el siete se toma seis veces.
La multiplicación: es una operación en la que dada dos o más
cantidades llamadas factores, se busca obtener otra llamada
producto.
8 X 7= 56
8 factor o multiplicando
7 factor o multiplicador
56 producto o total
El producto de varios números naturales, dados en cierto orden,
se obtiene efectuando el producto de los dos primeros factores,
el resultado se multiplicará por el tercer factor y así
sucesivamente hasta agotar todos los factores.
Ejemplo: 3 X 5 X 2 X 1 X 6 = 180
3 X 5 = 15
15 X 2 = 30
30 X 1 = 30
30 X 6 =180
20
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
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Para indicar la operación de multiplicar se pueden utilizar los
siguientes signos:
La cruz o equis ( X )
Encerrar las cantidades en paréntesis ( ) ( )
Poner un punto entre las cantidades
5  6 = 30
Las propiedades más importantes de la multiplicación son:
a) Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo:
3 X 4 X 5 = 60
(4)(5)(3) = 60
5  4  3 = 60
b) Asociativa: El producto de varios factores no varía
sustituyendo dos o más factores por sus productos.
Ejemplos: 3 X 4 X 5 = 3( 4 X 5 ) = 3 X 20 = 60
21
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c) Disociativa: el producto de varios números no varía
descomponiendo uno o más factores en dos o más factores.
Ejemplo:
18 X 4 X 10 = 2 X 9 X 1 X 4 X 10 = 720
d) Distributiva: para multiplicar una suma por un número, se
multiplica cada sumando por ese número y se suman los
productos.
Ejemplos:
( 3 + 4 + 5 ) 2 = 24
( 3 X 2 ) + ( 4 X 2 ) + ( 5 X 2 ) = 24
6
+
8
+
10 = 24
22
ALTERACIÓN DE LOS FACTORES
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a) Si un factor se multiplica o se divide por un número, el
producto queda multiplicado o dividido por ese número.
Ejemplos:
8X6
= 48
8 X 6 X 3 = 48 X 3 = 144
8 ( 6/3 ) = 48/3 = 16
b) Si un factor se multiplica por un número y el otro factor se
divide entre el mismo número o viceversa, el producto no varía.
Ejemplos
8 X 6 = 48
8 X 3 X(6  3) = 48
23
RELACIÓN ENTRE FACTORES Y PRODUCTO
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a) Si al menos un factor es cero, el producto es cero.
Ejemplo
3X4X5X0=0
3X5X0X4=0
3X0X4X5=0
b) Si un factor es uno, el producto no se altera con éste.
Ejemplos: 3 X 4 X 5 X 1 = 60 y
3 X 4 X 5 = 60
c) Todo factor mayor que uno aumentará el producto.
Ejemplos: 3 X 4 X 1 = 12
por lo tanto
y
3 X 4 X 5 = 60
60 > 12
d) Todo factor menor que uno disminuirá el producto.
Ejemplo: 3 X 4 X .5 = 6
ya que
y
3 X 4 = 12
6 < 12
24
MULTIPLICACIONES ABREVIADAS
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Algunas multiplicaciones pueden resolverse rápidamente,
siguiendo algunas reglas sencillas.
Las multiplicaciones por la unidad seguida de ceros (10, 100,
1000 etc. ) basta con agregar a la cantidad igual número de
ceros.
Ejemplo: 25 X 10 = 250
15 X 100 = 1500
37 X 1000 = 37000
10 X 2 = 20
100 X 350 = 35000
100 X 3478 = 347800
25
MULTIPLICACIÓN POR 11
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Toda cantidad multiplicada por 11, se pondrá las unidades del
multiplicando en el lugar de las unidades del producto, las
decenas del producto serán el resultado de la suma de las
unidades y las decenas del multiplicando, el número de mayor
jerarquía del multiplicando se colocará en la mayor jerarquía
del producto.
Ejemplos:
45 X 11 = 495
4 8 7 X 11 =5357
5
7
4+5=9
4
8 + 7------ = 15------5
4 + 8 + 1 = 13---------3
4 + 1 = 5 -----------5
26
Repaso
a) Realiza la siguiente operación:
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( 12 ) (10 ) ( 50 ) =
b) Al resultado de la operación anterior multiplícalo por quince.
Realiza la diferencia del ejercicio b) y a)
Si el resultado es 1000 pasa a la página treinta.
Si el resultado es menor que 84000 pasa a la página veinte.
Si el resultado es 3000 pasa a la página setenta.
27
1) Como parte de una campaña publicitaria una marca de
materiales escolares regaló a los alumnos de primer año 15
cajas de lápices, conteniendo cada una 10 lápices hb. A los
alumnos de tercer año les obsequió 10 cajas de lápices
conteniendo cada una 15 lápices 2h.
¿Qué grupo recibió más y cuantos lápices fueron?
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2) Al ingresar a la secundaria Rogelio sólo puede trabajar los
sábados ganando $75 por día, si a la semana se gasta $27
¿Cuánto podrá ahorrar en 16 semanas?
Suma los resultados de los ejercicios 1 y 2
Si la suma es 918 pasa a la página 56
Si el total es 768 pasa a la página 30
Si el resultado es diferente de los dos anteriores pasa a la
página 20
70
Realiza el siguiente ejercicio: una fábrica tiene 250 obreros que
ganan a 4 pesos la hora y producen cada uno 60 artículos en 8
horas, venden su producción a un comerciante en $ 2 cada
artículo y el comerciante lo revende a $ 3 ( En este ejercicio
no tomaremos en cuenta la materia prima)
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a) ¿Cuantos artículos se producen en 8 horas?.
b) ¿Cuánto gana el total de obreros en las 8 horas?.
c) ¿En cuánto se venden los productos de las 8 horas?.
d) ¿Cuanto gana la fábrica en la producción de las 8 horas?.
e) ¿Cuánto gana el comerciante por cada artículo?.
46
f) ¿En cuanto se revende la producción de las 8 horas?.
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Realiza una suma entre los ejercicios c y b restando el
resultado del ejercicio f:
Si el resultado es 14500 pasa a la página 25
Si el resultado es 8000 pasa a la página 56
Si el resultado es mayor que 17500 pasa a la página 33
Si el resultado es menor que 14500 pasa a la página 30
47
LA DIVISIÓN
La división: es una operación que tiene por objeto dadas dos
cantidades dividendo y divisor, encontrar otras dos llamadas
cociente y residuo.
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Ejemplo:
12
divisor 4 49
cociente
dividendo
09
1
residuo
56
ALTERACIONES DEL DIVIDENDO Y DIVISOR
a) Si el dividendo se divide entre un número, el cociente queda
dividido entre ese número.
Ejemplo:
48  4 = 12 entonces
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(48  2)  4 = (48  4)  2 = 6
b) Si el dividendo se multiplica por un número, el cociente
queda multiplicado por ese número.
ejemplo 48  4 = 12 entonces
48 X 2  4 = = 24 y 12 X 2== 24
c) Si el divisor se multiplica por un número, el cociente queda
dividido entre ese número.
Ejemplo: 48  4 = 12 entonces 48  ( 4 X 2 ) = 12  2 = 6
57
d) Si el divisor se divide entre un número, el cociente queda
multiplicado por ese número.
Ejemplo:
48  4 = 12 entonces 48  (4  2) = 12 X 2 = 24
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e) Si el dividendo y divisor se multiplican o dividen por un
mismo número, el cociente no varía.
Ejemplo:
48  4 = 12 entonces ( 48 X 2 )  ( 4 X 2 ) = 12
58
CASOS PARTICULARES DE LA DIVISIÓN
EXACTA
Si el dividendo y el divisor están representados por números
iguales, el cociente es la unidad.
Ejemplo: 9  9 = 1
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Si el divisor es la unidad, el cociente es igual al dividendo. Por
lo tanto el elemento neutro de la división es el 1.
Ejemplo: 9  1 = 9
Si el dividendo es cero y el divisor es un número cualquiera, la
división da un cociente nulo.
Ejemplo: 0  9 = 0
Si el divisor es cero y el dividendo un número cualquiera, la
división no existe.
Ejemplo: 9  0 = no hay resultado.
59
Repaso
1) En el grupo de Jesús existen 53 alumnos y el profesor de
educación física le pidió que formara grupos de 12 alumnos
¿Cuántos grupos se podrán formar y cuántos alumnos quedarán
sin grupo?
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Con la finalidad de conocer los compañeros de primero “B”,
Delia organizó un paseo en el cual todos cooperaron en forma
equitativa con los gastos que fueron:
Transporte, 300 pesos, comida 390 pesos e ingreso al balneario
600 pesos.
Si son 30 alumnos ¿Cuánto le corresponderá aportar a cada
uno?
60
El resultado del ejercicio # 2 divídelo entre el residuo del
ejercicio # 1.
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Si el resultado es:
43 pasa a la página 56
La operación no se puede realizar pasa a la página 57
8.6 pasa a la página 4
.023 pasa a la página 27
61
LA RADICACIÓN
La radicación: es una operación que tiene por objeto dada una
cantidad indicar que otra u otras generan, ésta al multiplicarse
por sí mismo n veces.
Ejemplo:
25
= +5 y -5
ya que 5 X 5 = 25 y - 5 X -5 = 25
Se utiliza un signo (
) llamado radical para indicar la raíz
cuadrada o agregándole un número en su ángulo superior nos
indicará el tipo de raíz.
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Ejemplo:
raíz cúbica
3
cuarta
4
etc.
La radicación no es conmutativa ya que al cambiar la raíz por
el radical el resultado es diferente.
2

25
25
2
La radicación no es distributiva con respecto a la suma y la
resta ya que la resolución de la raíz de una suma o resta se
realiza primero obteniendo la suma o resta y posteriormente la
raíz.
Ejemplos: 9 + 16 < 9 + 16 y 25 - 16 > 25 - 16
4
La raíz tiene propiedad distributiva con respecto a la
multiplicación, ya que la raíz de un producto es igual al
producto de las raíces de cada uno de los factores.
Ejemplo:
16X 81
=
16
X
81
= 36
Propiedad distributiva con respecto al cociente.
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La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del
dividendo y el divisor.
Ejemplo:
256
64
=
256

64
= 16  8 = 2
5
Repaso
1) Araceli observó un anuncio de venta de un terreno de forma
cuadrangular cuya superficie está marcada como 324 metros
cuadrados.
¿ Qué operaciones tendríamos que realizar para conocer cuáles
son las medidas de cada lado del terreno?
2) Extrae la raíz cúbica de 729
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a 9 suma el resultado del ejercicio 1 más el resultado del
ejercicio 2 y al total extráele la raíz cuadrada, si el resultado es:
3, pasa a la página 4
6 pasa a la página 40
Diferente de los anteriores, pasa a la página 59
6
LA POTENCIACIÓN
La potenciación: es un caso especial de la multiplicación en la
que el mismo número es, a la vez, multiplicando y
multiplicador.
El número que se va a multiplicar por sí mismo (potenciar)
recibe el nombre específico de base.
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Las veces que la base deberá multiplicarse por sí misma, se
indica con un pequeño número, escrito en la parte superior
derecha de la base, que se llama exponente.
El valor obtenido es el resultado de la potencia.
Ejemplo:
54 = 5 X 5 X 5 X 5 = 625
40
POTENCIAS IMPORTANTES
Todo número elevado a un exponente cero es igual a uno.
Ejemplo: 30 =1
( 345 )0 = 1
Toda base elevada a un exponente uno es igual a la misma
base.
Ejemplos: 31 = 3
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(345 )1 =345
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Dentro de las potencias podemos observar lo siguiente:
La potencia no es conmutativa.
Ejemplo: 23 = 8
32 = 9
y
por lo tanto 8 < 9
La potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la
resta.
Ejemplos: ( 4+3 )2 =72 = 49 y 42 + 32 =16+9=25
49<25
y 82 – 62 = 64 – 36 = 28
4 < 28
( 8 - 6 )2 =22 =4
La potencia es distributiva con respecto al producto y al
cociente.
41
Ejemplos:
( 5 X 3 )2 = 152 = 225 y
52 X 32 = 25 X 9 = 225
(12/3)2 = 42 =16 y 122 / 32 = 144 / 9 = 16
El producto de potencias de igual base es otra potencia de la
misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ejemplo:
22 X 26 = 22+6
= 28 = 256
El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la
misma base y cuyo exponente es la diferencia de los
exponentes.
Ejemplo:
Ing. Víctor Rogelio Soto García
28 / 25 = 28-5 = 23 = 8
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Cuando a una potencia indicada se le eleva a un nuevo
exponente se dice que es una potencia de potencia y esta es
igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es el
producto de los exponentes.
Ejemplo: ( 23)2 = 82 = 64 ya que 23(2)
=26 = 64
42
Repaso
1) Los papás de Josefina construirán una cisterna en una
superficie de 2 por 2 metros con una altura de 2 metros,
utilizando potencias ¿Cómo podemos indicarles cual será el
área y cual el volumen de dicho aljibe?
2) Indica en el siguiente número ( 32 ) a que potencia está
elevado y cual es el resultado de esta operación.
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El volumen del ejercicio uno réstalo del resultado de la
operación del ejercicio dos y si el resultado es:
16 pasa a la página 40
1 pasa a la página 62
8 pasa a la página 20
Diferente de los anteriores repasa el tema nuevamente.
43
LOGARITMOS
El logaritmo es una operación en la que dada una cantidad
llamada base, se busca otra cantidad llamada exponente a la
que hay que elevar dicha base, para obtener alguna cantidad
requerida.
Ejemplo: log 2 de 16 = 4 ya que 24 =16
En las siguientes paginas encontraras algunos ejercicios para
que practiques tus conocimientos.
Comunícate con tu profesor para recibir indicaciones.
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45
JERARQUIZACIÓN DE LAS OPERACIONES
Algunas expresiones pueden involucrar varias operaciones ya
sea del mismo tipo o combinadas, en estos casos suele causar
confusión la forma correcta en que resolver dicho ejercicio,
obteniendo una diversidad de resultados lo cual en matemáticas
por ser una ciencia exacta no puede ocurrir.
La forma correcta de realizar las operaciones es seguir la
siguiente jerarquía:
Paréntesis normales--------------------------( )
Paréntesis angulares ó corchetes-----------{ }
Vinculo o barra----------------------------Potencias, raíces y logaritmos.
Multiplicaciones y divisiones.
Sumas y restas.
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Cuando nos encontremos dos operaciones de la misma
jerarquía realizaremos la que se encuentre primero.
Ejemplo: 60 / ( 4 + 2 ) - 30 / ( 3 + 2 ) + 150 / ( 4 + 2 ) =
60 /
6
-30 /
5
+ 150 /
6
=
10
- 6
+ 25
=
4
+
25
= 29
62
Repaso
Realiza las siguientes operaciones.
a) 20 + 18  9 ( 8 ) - 5 =
b) ( 33 - 22 )  ( 5 + 6 ) + 42 ( 2 ) =
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Eleva al cubo el resultado del ejercicio a) y resta el cuadrado
del resultado del ejercicio b), si el resultado es:
28702 pasa a la página 48
19.63 pasa a la página 62
1514 pasa a la página 40
Si el resultado es diferente de los valores anteriores pasa a la página 4
63
NÚMEROS PRIMOS
Número primo es aquel número que únicamente admite como
divisores a la unidad y a sí mismo.
Los números primos del uno al cien son 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89
y 97.
FACTORES PRIMOS
Los factores primos de un número son aquellos que pueden
servir como divisor exacto del número propuesto.
Procedimiento para encontrar los factores primos de un
número:
1) Se coloca una línea vertical al lado derecho del número y sin
tomar en cuenta el número uno se colocan los números primos
que dividan a dicho número no importando que se repitan estos.
Ejemplo: Encontrar los factores primos de 120
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60
30
15
5
1
2
2
3
5
Los factores primos de 120 son 2 X 2 X 3 X 5 = 22 X 3 X 5 = 60
48
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ
Cuando dos números no aceptan un divisor común, se dice que
son primos entre sí, puesto que no hay una divisibilidad exacta
entre ellos. Todos los números sucesivos son primos entre sí.
Ejemplo: 3 y 4, 36 y 37,
1268 y 1269
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Cuando tenemos una serie de números por ejemplo 8, 12 y 16
podemos observar que todos ellos pueden ser divididos por un
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mismo número, en este caso por el 2 y el 4 por eso se dice que
el 2 y el 4 son divisores comunes pero cuando se trata del
número mayor entonces tendremos el máximo común divisor
( en este caso el número 4 ).
El máximo común divisor comúnmente abreviado con sus
iniciales ya sea en letras mayúsculas o minúsculas.
49
OBTENCIÓN DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
( M.C.D.)
Para encontrar el m.c.d. se siguen los siguientes pasos:
1) Se extraen los factores primos de cada uno de los números
propuestos colocándolos en forma exponencial.
2) Se toman los números de menores exponentes comunes a los
números propuestos.
3) El producto de dichos números será el M.C.D.
Ejemplo: Calcular el m.c.d. de los números 10, 20, 30 y 40
10 2
20 2 30 2 40 2
55
10 2 15 3 20 2
1
5 5
5 5 10 2
1
1
5 5
11
10 = 2 X 5
20 = 22 x 5
30 = 2 X 3 X 5
40=23 x 5
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Los números comunes con menor exponente son 2 y 5 el
máximo común divisor es 2 x 5 = 10.
50
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Los múltiplos de un número, son aquellos que resultan de
multiplicar este número por cualquier número natural de tal
forma que los múltiplos del número 3 serán 3, 6, 9, 12, 15, 18,
21, 24, 27, etc.
Cuando se tienen dos o más múltiplos, siempre habrá uno o
varios múltiplos que sean comunes a ellos, de los cuales el
menor es el que recibe el nombre de mínimo común múltiplo
(m.c.m.).
Ejemplo: Múltiplo de 8 son 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 etc.
Múltiplo de 12 es 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 etc.
En este caso los números 24 y 48 son múltiplos comunes de 8 y
de 12 sin embargo 24 será el m.c.m.
OBTENCIÓN DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(M.C.M.)
Para encontrar el m.c.m. se realiza el siguiente procedimiento:
A) Se descomponen los números dados en sus factores primos
colocando estos factores primos en forma exponencial.
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b) Se toman todos los múltiplos distintos una sola ocasión
utilizando para ello el de mayor exponente y su producto será el
m.c.m.
PASA A LA PAGINA 44
51
Repaso
1) Tenemos dos rollos de cable uno de 200 m. y otro de 35
metros si queremos cortarlos en partes iguales del mayor
tamaño sin que sobre nada.
¿ De cuántos metros tendremos que cortarlos?
2) Encontrar el m.c.m de 18, 28, 38 y 98.
Restaa 5108 el resultado de la suma del ejercicio 1 y 2 si el
resultado es:
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320 pasa a la página 7
33516 pasa a la página 48
21 pasa a la página 33
44
RAZONES
Rosa María y su hermano Manuel recibieron $ 25 y $75 pesos
respectivamente.
Si se desea saber cuanto recibió uno más que el otro, es
necesario establecer una relación entre las dos cantidades
comparándolas entre sí. La comparación entre dos cantidades
de la misma especie es lo que se conoce como razón.
Si restamos de lo que recibió María lo que recibió Manuel
( 75 – 25 = 50 ) estaremos realizando una razón aritmética por
diferencia.
Si la comparación la realizamos por una división ( 75 / 25 = 3)
y ( 25 / 75 = 1/3 ) tendremos una razón geométrica o por
cociente donde María recibió tres veces más que Manuel o
Manuel recibió 1/3 de lo que recibió María.
En la razón geométrica el primer elemento se llama antecedente
(dividendo) y el segundo consecuente (divisor), el resultado
será la razón.
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7
PROPORCIONES
La igualdad formada por dos razones geométricas recibe el
nombre de proporción geométrica.
Ejemplo: 4/12 = 7/21 ya que 4/12 = 1/3 y 7/21 = 1/3
Las proporciones geométricas se escriben de dos formas
diferentes: 3/5 = 15/25 ó 3:5 :: 15/25 y se lee tres es a cinco
como quince es a veinticinco.
ELEMENTOS DE LAS PROPORCIONES
Por la posición que ocupa cada valor en la proporción
geométrica recibe el nombre de extremo o medio.
Ejemplo: extremo: medio :: medio: extremo
4 : 12 :: 7 : 21
Podemos observar que 4 y 21 son extremos y 12 y 7 son
medios.
Dentro de las razones geométricas tenemos la propiedad de que
el producto de los extremos es igual al producto de los medios,
por lo tanto esta propiedad nos permite calcular el valor
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numérico de cualquiera de los elementos de una proporción
conociendo los restantes.
Conociendo este caso particular de las proporciones como regla
de tres.
8
CÁLCULO DE EXTREMOS Y MEDIOS
Un extremo es igual al producto de los medios dividido entre el
extremo conocido.
Ejemplo:
X / 12 = 7/21
X= (12) (7) / 21
por lo tanto
X=4
Un medio es igual al producto de los extremos dividido entre el
medio conocido.
Ejemplo:
4 : X :: 7 : 21
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X = ( 4 ) ( 21 ) / 7 = 12
9
Repaso
1) Para organizar una reunión familiar Luz hará birria,
normalmente para su familia formada por ocho personas
prepara 2 Kilogramos de carne.
¿Cuántos Kilogramos de carne necesitará para 36 invitados?
2) Se sabe que en la preparatoria # 10 la relación de alumnos y
alumnas es de 3:5 si hay 1200 alumnos ¿Cuantas alumnas
habrá?
Pon el resultado del ejercicio 2 como antecedente y el resultado
del ejercicio 1 como consecuente y obtén la razón.
Si el resultado es:
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222.22 pasa a la página 34
5 pasa a la página 9
.2 pasa a la página 8
diferente de las anteriores pasa a la página 7
10
REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO
El reparto proporcional directo es aquel en el que tenemos que
repartir una cantidad determinada de cosas en forma equitativa
con respecto a una acción dada. (Repartir una cantidad de dinero con relación a
los días trabajados).
El reparto proporcional directo ocurre cuando una relación
aumenta, la segunda relación forzosamente tiene que aumentar.
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34
PASOS PARA OBTENER EL REPARTO
PROPORCIONAL DIRECTO
1) Se suman los números en los que vamos a repartir.
2) Se divide la cantidad a repartir entre el total de la suma
anterior.
3) Se multiplica cada uno de los de los sumandos del inciso uno
por el resultado del inciso número dos. El resultado de esta
operación será la cantidad a repartir.
Ejemplo:
Repartir $1518 pesos entre tres empleados que trabajaron las
siguientes horas.
Alberto 25 horas
Benito 15 horas
Carlos 8 horas
Daniel 18 horas
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1) Se suman los números 25 + 15 + 8 + 18 = 66
35
2) Se divide 1518 / 66 = 23
3) Se multiplica el cociente por los números a repartir.
25 X 23 = 575
15 X 23 = 345
8 X 23 = 184
18 X 23 = 414
le tocan a Alberto
le tocan a Benito
le toca a Carlos
le toca a Daniel
Si sumamos la cantidad que le corresponde a cada una de las
personas la cantidad será igual a la que se reparte:
575 + 345 + 184 + 414 = 1518
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36
Repaso
1) El papá de Eloisa al final del semestre decide repartir 500
pesos a sus tres hijos de acuerdo a las calificaciones que
obtuvieron que fueron:
Eloisa 100
Andrés 80
Eduardo 70
¿Cuánto dinero le corresponderá a cada uno?
2) Prisilla, Fátima y Luz compraron un boleto de lotería en
$100, aportando Prisilla 45 pesos, Fátima 20 pesos, Luz el
resto, obteniendo un premio de 10 000 pesos.
¿Cuánto le tocará a cada una si desean repartirlo en forma
equitativa en relación con lo que aportaron?
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37
De los resultados de la página anterior cual es la razón
geométrica que guardan lo que recibió Fátima con respecto a lo
que ganó Eloisa.
Si el resultado es:
.57 pasa a la página 11
.1 pasa a la página 34
1800 pasa a la página 9
Diferente de las anteriores pasa a la página 7
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38
NÚMEROS FRACCIONARIOS
Cuando deseamos repartir una barra de chocolate que viene
marcada en ocho cuadros iguales de los cuales obsequiamos
cinco partes, tendremos que recurrir forzosamente a números
que representen partes de la unidad como lo hacen los números
fraccionarios.
De igual forma cuando se efectúa una división en la que el
dividendo no es múltiplo del divisor, la división es inexacta. Su
valor exacto puede ser indicado con un número fraccionario.
Los números fraccionarios (Antiguamente llamados rotos o quebrados) se
representan como una división donde el dividendo se conoce
como numerador y representa las partes que se toman de la
unidad, el divisor representa las partes en las que se dividió la
unidad y recibe el nombre de denominador.
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11
LECTURA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
En todo número fraccionario al leerse se mencionará:
Primero, el numerador como número cardinal, después se leerá
el denominador de la siguiente forma.
1 se mencionará entero.
2 se lee medio.
3 se lee tercio.
4 se lee cuarto.
5 se lee quinto.
6 se lee sexto.
7 se lee séptimo.
8 se lee octavo.
9 se lee noveno.
10 se lee décimo.
A partir del número once se lee como número cardinal
agregando la terminación avo, con excepción de los números
que inician con la unidad seguida de ceros como si fueran
números decimales ( 100 que se lee centésimo, 1000 se lee
milésimo etc. ).
El plural de los denominadores lo formamos agregando la letra “S”
Ejemplo: 8/5 se puede leer ocho quintos o ocho entre cinco.
3/126 se lee tres ciento veintiseisavos.
12/100 se lee doce centésimos.
12
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CLASES DE FRACCIONES
Fracciones comunes propias o fracciones propias son aquellas
que representa un valor menor que la unidad esto es, que el
numerador es menor que el denominador como en:
3/4,
125/126
10/23
Fracciones impropias, es aquella que representa un valor mayor
que la unidad de tal forma que su numerador es menor que el
denominador.
4/3
126/125
10/3 son fracciones impropias.
Fracciones aparentes son aquellas que representan valor de
unidades, podemos observar que el numerador será múltiplo
exacto del denominador como:
3/3 125/25
7/1
Fracciones mixtas, números mixtos o números racionales.
Cuando reunimos los números fraccionarios con los números
enteros para formar un solo valor estamos formando los
números racionales los cuales tienen la característica de estar
formados por un número entero y una fracción propia tal es el
caso de 13/4
13
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PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES
1) De varias fracciones que tengan igual denominador es mayor
el que tenga mayor numerador.
Ejemplo:
11/6 > 9/6 >5/6
2) De varias fracciones que tengan igual numerador es mayor el
que tenga menor denominador.
Ejemplo:
7/13 > 7/15 > 7/20
3) Si los dos términos de una fracción se multiplican o dividen
entre un mismo número diferente de cero, la fracción resultante
es equivalente a la primera, es decir, no varia su valor.
14
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Ejemplo:
Si un medio se multiplica por 3, 5 y 7 el resultado será:
1 X 3 = 3 y 2 X 3 = 6 por lo tanto 1/2 = 3/6
1 X 5 = 5 y 2 X 5 = 10 entonces 1/2 = 5/10
1 X 7 = 7 y 2 X 7 = 14 entonces 1/2 = 7/14
Por lo tanto si se divide 8/16 entre 2, 4 y 8 tendremos:
8/2 = 4 y 16/2 = 8 de tal forma que 8/16 = 4/8
8/4 = 2 y 16/4 =4 tendremos que 8/16 = 2/4
8/8 = 1 y 16/8 = 2 nos dará como resultado 8/16 = 1/2
Lo anterior resulta de gran utilidad en la simplificación de
fracciones, que consiste en convertir una fracción común en
otra equivalente que sea irreductible. Es decir que lo anterior
solo es posible cuando tanto el numerador como el
denominador tienen factores comunes.
15
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4) En las fracciones se puede distinguir la relación de su valor
( mayor, menor o igual) multiplicando el numerador de la primera por
el denominador de la segunda, poniendo el resultado como
numerador y multiplicando el denominador de la primera por el
numerador de la segunda y colocando el resultado como
denominador si el numerador es un número mayor que el
denominador la primera fracción es mayor, de lo contrario será
mayor la segunda fracción.
Ejemplo: ordenar las siguientes fracciones de mayor a menor
3/4, 15/17,10/16 y 8/3.
3 X 17 = 51 y
4 X 15 = 60 por lo tanto 51/60
15 X 16 = 240 y 17 X 10 = 170 por lo tanto 240/170
10 X 3 = 30 y 16 X 8 = 128 por lo tanto 30/128
En el primer caso 51 < 60 por lo tanto ¾ < 15/17
En el segundo caso 240 > 170 por lo tanto 15/17 > 10 /16
En el tercer caso 30 < 128
por lo tanto 10/16 < 8/3
Quedando ordenado de la siguiente forma:
15/17, 3/4, 8/16 y 10/3
16
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5) Toda fracción impropia puede convertirse a fracción mixta y
toda fracción mixta puede convertirse en fracción impropia
Para convertir una fracción impropia en fracción mixta se
realiza una división con el símbolo “galera”
(
)
Ejemplo:
13/4 convertirlo a fracción mixta.
3
4 13
1
Donde el cociente son los enteros, el divisor el denominador y
el residuo el numerador.
Quedando 3 1/4
Por el contrario si queremos convertir una fracción mixta en
una fracción impropia multiplicaremos el denominador por los
enteros y al producto le sumaremos el denominador, el
resultado será el numerador de la fracción impropia y el
denominador de la fracción mixta será el mismo de la fracción
impropia.
Ejemplo:
convertir 3 ¼ en fracción impropia
Multiplicamos 3 X 4 + 1 = 13
y colocamos el mismo denominador (4)
Obteniendo la fracción impropia 13/4
17
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6) Las fracciones se pueden transformar en números decimales
basta para ello dividir el numerador entre el denominador.
Ejemplo:
5/4 = 1.25
4/5 = .8
Sin embargo en ocasiones es necesario transformar los números
decimales en fracciones esto se logra en los números decimales
finitos tan solo contando los lugares que se encuentran a la
derecha del punto decimal y colocar la unidad seguida de esa
cantidad de ceros como denominador el numerador será el
número decimal a partir de la primera cantidad significativa.
Ejemplo:
0.34 = 34/100
0.00004 = 4/100000
Más sin embargo existen decimales cuyas cifras se repiten
interminablemente ( decimales periódicos o infinitos) en los cuales
contaremos después del punto decimal el periodo que no se
repite y se pondrá como numerador y como denominador las
cantidades de nueves que existan en el periodo.
Ejemplo:
0.353535..........= 35/99
0.023023023......= 23/999
Pasa a la página 64
18
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SUMA DE FRACCIONES
En la suma de números fraccionarios podemos tener dos
situaciones:
a) Suma de fracciones con igual denominador.
Cuando queremos realizar una adición en donde las fracciones
tienen igual denominador basta tan solo con sumar sus
numeradores y colocamos el mismo denominador.
Ejemplo:
½ + ½ + ½ = 1+1+1
2
=3
2
b) Suma de fracciones con denominador diferente.
Primero veremos la posibilidad de hacer simplificaciones en los
sumandos con el objeto de tener únicamente fracciones
irreductibles.
Segundo: todas las fracciones deberán ser transformadas en
otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para esto
es conveniente utilizar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) y
así obtener el mínimo común denominador que exista,
dividiendo este común denominador entre el denominador de la
primer fracción multiplicándola por el numerador de la misma
fracción y así sucesivamente con todas las fracciones
obteniendo así fracciones con igual denominador.
64
Ing. Víctor Rogelio Soto García
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Ejemplo.: 4/16 + 9/18 + 6/9 =
Simplificando la suma anterior en su expresión de irreductibles
1/4 + 1/2 + 2/3 =
El mínimo común múltiplo de 4, 2 y 3 es 12
Realizando la conversión
12/4 X 1 = 3
12/2 X 1 = 6
12/3 X 1 = 8
Tendremos 3/12 + 6/12 + 8/12 = 3 + 6 + 8 = 17/12 Ó
12
1 5 /12
65
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En el segundo caso se suman por separado los números enteros
y los fraccionarios y al final se une el resultado.
Ejemplo:
4 / +1 / =
2
4
1
3
4+1=5 y
2 / 4 + 1 / 3 = 10 / 12
Por lo tanto el resultado es 5 /
10
12
=
5
5
/6
66
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Repaso
1) Para la composición de un color se requiere ¼ de color
verde, 3/8 de color negro, 2/14 de color plata, 4/36 de color
rojo.
Suponiendo partes por litro.
¿Cuánta pintura formaremos con las cantidades antes
mencionadas?
2) Realiza la siguiente operación.
1 ¼ + 6 ½ + 4 ¾ + 8/6 +1/6 =
Adiciona el resultado del ejercicio uno y dos si el resultado es:
14.76289 pasa a la página 14
15 5/6 pasa a la página 13
14 enteros 443/504, pasa a la página 52
67
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RESTA DE FRACCIONES
En la resta de números fraccionarios podemos tener dos
situaciones:
a) Resta de fracciones con igual denominador.
Cuando queremos realizar una resta en donde las fracciones
tienen igual denominador basta tan solo con restar sus
numeradores y colocamos el mismo denominador.
Ejemplo:
8/9 - 5/9 = 8 - 5 = 8-5 = 3 = 1
9
9 3
b) Resta de fracciones con denominador diferente.
Primero veremos la posibilidad de hacer simplificaciones tanto
en el minuendo como en el sustraendo con el objeto de tener
únicamente fracciones irreductibles.
52
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Segundo: todas las fracciones deberán ser transformadas en
otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para esto
es conveniente utilizar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) y
así obtener el mínimo común denominador que exista,
dividiendo este común denominador entre el del denominador
de la primer fracción, multiplicándola por el numerador de la
misma fracción y así sucesivamente con todas las fracciones;
obteniendo así fracciones con igual denominador.
Ejemplo:
9 / 27 – 2 / 10 =
Simplificando la diferencia anterior en su expresión de irreductibles.
1/3 - 1/5 =
El mínimo común múltiplo de 3 y 5 es 15
realizando la conversión:
15/3 X 1 = 5
15/5 X 1 = 3
Tendremos
5-3 = 2
15
15
53
Resta con números mixtos:
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La resta con números mixtos se efectúa por dos procedimientos
En el primero: se convierten los números mixtos a fracciones
impropias y posteriormente se efectúa la resta como fracciones.
Ejemplo:
4 ¾ - 1 1/3 =
19/4 - 4/3 =
57 - 16 =
12
41/12 = 3 5/12
En el segundo caso: se restan por separado los números enteros
y los fraccionarios y al final se une el resultado.
Ejemplo:
4 3/4 - 11/3 =
4-1=3 y
3/4 - 1/3 = 5/12
Por lo tanto el resultado es 3 5/12
54
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MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
Repaso
1) El papá de Alejandro que es maestro de matemáticas le
exigió que estudiara los sábados 5/16 de día.
¿Cuántas horas le pidieron a Alejandro que estudiara y cuantas
horas restarán del día?
2)¿ Cuánto tengo que restarle a 1 3/4 para que me quede sólo la
unidad?
Resta del resultado del ejercicio # 2 el resultado del ejercicio #
1 y si es:
1/16 pasa a la página 80
5 horas 38 minutos pasa a la página 8
Diferente de las anteriores pasa a la página 52
55
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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.
La multiplicación de dos o más fracciones se obtiene
multiplicando sus numeradores donde su producto será el
resultado del numerador, de igual forma se multiplicarán los
denominadores entre sí y el producto será el denominador del
resultado.
En la multiplicación, las simplificaciones de las fracciones
puede realizarse antes de realizar la operación o al obtener el
resultado.
Invariablemente cuando existan números mixtos estos deberán
transformarse a fracciones impropias.
Ejemplo:
( 3 ½ ) ( 13/7 ) = ( 7/2 ) ( 10/7 ) =
Aplicando el procedimiento.
7 X 10 = 70 y 2 X 7 = 14
/ 14 = 5
por lo tanto el resultado es
70
80
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POTENCIA DE UNA FRACCIÓN
Una fracción común debe elevarse a una potencia, cuando está
encerrada dentro de un paréntesis el cual indica que es una
potencia por el exponente colocado en la parte superior derecha
de dicho paréntesis el resultado es la fracción obtenida al
multiplicar tanto el numerador como el denominador por sí
mismo, el número de veces que se indique en el exponente.
La fracción común obtenida como resultado de elevar una
fracción propia a una potencia, siempre será menor que el valor
de la fracción propuesta.
Ejemplo.
( 2/3 )2 = 2/3 X 2/3 = 4/9
En el caso de la potencia de una fracción impropia elevada a
una potencia, la fracción resultante será siempre mayor que la
potencia propuesta.
Ejemplo:
( 3/2 )2 = 3/2 X 3/2 = 9/4
81
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MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
Repaso
1) Si tenemos un recipiente de forma cúbica que mide en
pulgadas 2 ¾ de largo, 1 8/7 de ancho y 15/7 de alto.
¿ Qué volumen tendrá dicho cubo?
(Debemos recordar que el volumen de un cubo se obtiene
multiplicando largo por alto por ancho).
Si el resultado es:
7 1/28 pasa a la página 68
12 123/196 pasa a la página 80
82
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DIVISIÓN DE FRACCIONES
El recíproco de un número es aquel que al ser multiplicado por
dicho número da como producto la unidad.
Recíproco de 5 = 1/5
Recíproco de 17 = 1/17
Ejemplo:
5 X 1/5 = 5/5 por lo tanto un entero.
Cuando multiplicamos 20 X 1/5 =4 nos da el mismo resultado
que si dividiéramos 20/5 = 4
La división de dos fracciones se obtiene: multiplicando la
fracción dividendo, por el recíproco de la fracción divisor.
En la práctica se acostumbra multiplicar el numerador del
dividendo por el denominador del divisor y el producto
colocarlo como numerador del resultado, de igual manera el
denominador del dividendo se multiplica por el numerador del
divisor y el producto se coloca como denominador del
resultado.
68
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Ejemplo:
3/4: 2/3 = 3 X 3 = 9 y 4 X 2 = 8 por lo tanto el resultado
será 9/8
Cuando tenemos más de dos divisiones en una sola operación,
una forma práctica de realizar dicho ejercicio es multiplicar el
primer numerador por el resto de los denominadores poniendo
el producto como numerador del resultado y multiplicar el
denominador, del primer dividendo por todos los numeradores,
el resultado será el denominador de dicho producto.
Ejemplo:
( 5/6 )  ( 6/9 )  ( 3/12 ) =
5 X 9 X 12 = 540
6 X 6 X 3 = 108
.
Simplificando la fracción nos dará 5 enteros.
pasa a la página 28
69
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MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
Repaso
1) Se desea repartir un terreno que mide 749 7/17 Km en lotes
que cada uno mida 13/17 de Km
¿Cuantos lotes podrán obtener?
2
2
2) Realiza la siguiente división.
2/3  5/8  16/15 = 1 1/15 =
Suma el resultado del ejercicio # 1 con el numerador de la
respuesta del ejercicio # 2 si el total es:
1055 pasa a la página 11
996 pasa a la página 19
Si es diferente de los anteriores realízalos nuevamente.
28
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Repaso
1) Se desea vender 3/8 de un terreno y rentar 6/12
¿Cuánto nos sobrará de dicho terreno?
2) Realiza la siguiente operación.
135/5 + 24/20 - 11/12
24/30 ( 42/12 ) - 1/3 =
Utilizando el resultado del ejercicio # 1 como divisor y el
resultado del ejercicio # 2 como dividendo realiza una división
si el resultado es:
190 17/20 pasa a la página 71
20 38/17 pasa a la página 12
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ADICIÓN CON NÚMEROS DECIMALES
Para realizar la suma con números decimales tenga o no enteros
se coloca el punto decimal en línea vertical y a la derecha de
este colocaremos decimos con décimos, centésimos con
centésimos etc.
De igual forma a la derecha del punto colocaremos en orden
vertical unidades con unidades, decenas con decenas etc.,
colocando ceros en los lugares vacíos. La suma se realizará
después de esto igual que en los enteros bajando en el resultado
el punto decimal en la misma posición.
Ejemplo:
3.25 + 128.3 + 24.7543 + 32 + .025 =
3.2500 +
128.3000
24.7543
32 0000
.0250 =
188.3293
71
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MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS DECIMALES
Para realizar la resta de números decimales tenga o no enteros
se colocan los números de tal manera que los puntos decimales
estén en la misma posición, donde los décimos coincidan con
los décimos, centésimos con centésimos, etc.
Realizando la resta como en los números enteros bajando en la
diferencia el punto decimal.
Ejemplo:
de 5206.3 restar 2475.326
5206.300 2475.326 =
2730.974
72
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MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS
DECIMALES
Para multiplicar números decimales contenga o no números
enteros, la operación se realiza como si fueran números
naturales, y en el producto se separan tantas cifras decimales
como tengan en total ambos factores.
Ejemplo:
40.050 X 2.300
40.050 X
2.300 =
12015
8010 .
92.115000
División de números enteros y decimales.
En la división de números enteros y decimales podemos
identificar tres casos:
a) Cuando el dividendo tiene decimales y el divisor está
formado por enteros, se procede como una división de números
naturales subiendo el punto decimal al cociente en el lugar que
se intercepta.
73
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MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
Ejemplo:
2.01
34 68.40
00 40
06
b) Cuando existen números decimales tanto en el dividendo
como en el divisor, se multiplica por diez el número de
decimales existentes en el divisor con la finalidad de que en el
divisor quede como entero, para que no se altere la división se
multiplicará el dividendo por la misma cantidad.
Ejemplo:
Dividir 68.40 entre 3.4
20.11
34 684.0
0040
06
.
c) Cuando existen números decimales en el divisor, se
multiplica por diez el número de decimales existentes en el
divisor con la finalidad de que en el divisor quede como entero,
para que no se altere la división se multiplicará el dividendo
por la misma cantidad.
En la práctica suele contarse los decimales, borrar el punto y
agregar ese mismo número de ceros al dividendo.
74
Ejemplo:
Ing. Víctor Rogelio Soto García
MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
Dividir 6840 entre 3.4
2011.76
34 6840
040
60
260
220
16
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MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
Repaso
Realiza la siguiente operación.
3.225 + .322  1.38 -.0054 (12) + .32533 =
Si el resultado es 3.71553.......... pasa a la página 39
Si el resultado es 30.77.................pasa a la página 62
Si el resultado es diferente de los anteriores pasa a la página 71
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MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
PORCENTAJES
Al mencionar porcentaje o tanto por ciento estamos hablando
de dividir la cantidad en cien partes iguales para su repartición
donde:
100 % equivale en tanto por uno a 1
50 % su tanto por uno es .50 = 1/2
25 % su tanto por uno es .25 = 1/4
8 % su tanto por uno es .08 = 2/25
Como se puede apreciar el tanto por ciento de un número se
obtiene dividiendo el porcentaje entre cien.
Para calcular el porcentaje de una cantidad se obtiene el tanto
por ciento y este se multiplica por la cantidad.
Ejemplo: calcular el 8 % de 350 pesos
8/100 ( 350 ) = 28
De igual forma podemos obtener el tanto por ciento de una
cantidad con respecto a otra, tan solo con dividir la cantidad
que queremos averiguar el porcentaje entre la cantidad total y
como el resultado nos será dado en decimales basta con
multiplicarlo por 100 y poner el símbolo de porcentaje para
obtener el tanto por ciento.
Ejemplo: que porcentaje es 28 de 350
28/350 ( 100 ) = 8 %
Continua en la página 77
39
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MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
INTERÉS SIMPLE
Cuando se efectúan préstamos con un tanto por ciento de
interés durante un periodo determinado, a la utilidad que da
este dinero se le llama interés simple. Teniendo que el interés
es igual al producto del capital multiplicado por el rédito y el
tiempo.
Ejemplo:
¿Que interés produce $ 10 000 al 5% en 6 meses?
10 000 X .05 X 6 = 3000
Para calcular el capital que produce un determinado interés se
divide el interés producido entre el producto del tanto por
ciento por el tiempo.
Ejemplo:
¿Que capital nos proporciona 150 pesos de interés con un
rédito del 5% anual a un plazo de 3 años?
150 /  (.05)(3)  = 2500
.
77
Ing. Víctor Rogelio Soto García
MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
Repaso
1) Jesús tiene en el banco 4 500 pesos y el banco otorga un
interés del 1.8 % mensual.
¿ Cuánto tendrá de intereses después de 17 meses?
78
2)Rogelio al recibir su estado de cuenta bancario tiene 3250
pesos y el banco le dio el 20% de interés anual.
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MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
¿Cuánto tenía originalmente en el banco Rogelio, si la cantidad
es con interés de 6 meses?
Del resultado del ejercicio uno más el resultado del ejercicio 2
obtén el 15 % si es:
451.38 pasa a la página 77
45138 realiza nuevamente los ejercicios
1324.73 pesos pasa a la página 83
79
REPARTO PROPORCIONAL INVERSO
Ing. Víctor Rogelio Soto García
MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
El reparto proporcional inverso es aquel en el que tenemos que
repartir una cantidad determinada de cosas en forma equitativa
en forma inversa a una acción dada (Repartir una cantidad de dinero con
relación a la falta de días trabajados ).
En el reparto proporcional inverso ocurre que, cuando una
relación aumenta la segunda relación disminuye forzosamente.
PASOS PARA OBTENER EL REPARTO
PROPORCIONAL INVERSO
1) Se obtienen los inversos de los números en los que vamos a
repartir.
2) Se realiza la suma de fracciones.
3) Se divide la cantidad a repartir entre el numerador de la
suma de fracciones.
83
4) Se multiplica cada uno de los numeradores equivalentes de
cada inverso por el cociente del inciso tres. El resultado de esta
operación será la cantidad a repartir.
Ing. Víctor Rogelio Soto García
MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
Ejemplo:
Repartir $ 1219 entre tres empleados en relación a sus faltas
que fueron:
Alberto 5 días.
Benito 1 días.
Carlos 8 días.
1) Se obtienen los inversos de los números 5, 1 y 8
1/5, 1/1 y 1/8
2) Se realiza la suma de fracciones 1/5 + 1/1 + 1/8 =
8 + 40 + 5 = 53
40
40
84
3) Se divide la cantidad a repartir entre el numerador de la
suma anterior.
Ing. Víctor Rogelio Soto García
MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
1219
53
= 23
4) Se multiplica el resultado del inciso 3 por cada uno de los
numeradores de la suma de fracciones (inciso 2)
23 X 8 = 184
le tocan a Alberto.
23 X 40 = 920
le tocan a Benito.
23 X 5 = 115
le toca a Carlos.
Si sumamos la cantidad que le corresponde a cada una de las
personas, la cantidad será igual a la que se reparte.
184 + 920 + 115 = 1219
85
Ing. Víctor Rogelio Soto García
MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
Repaso
El profesor de educación física decide repartir 95 puntos entre
los mejores alumnos, durante el presente mes pero en relación a
las faltas de cada uno de los integrantes, las faltas son:
Nora 4
Carla 3
Victoria 1
Cuantos puntos le tocaron a Victoria.
Si el resultado es:
60 pasa a la página 45
62.4 pasa a la página 39
35.6 pasa a la página 83
diferente de las anteriores pasa a la página 34
86
BIBLIOGRAFÍA
Ing. Víctor Rogelio Soto García
MANUAL DE APOYO PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS EN EL NIVEL MEDIO BASICO
 MATEMÁTICAS PRIMER CURSO H. PARRA CABRERA Y JESÚS WALLS
MEDINA EDITORIAL KAPELUSZ
 MANUAL DE MATEMÁTICAS 1 ALDRETE, RETAMOSA Y SOTO EDITADO POR
PREPARATORIA 10 U DE G.
 MATEMÁTICAS
SEP.
SECUNDARIA LIBRO PARA EL MAESTRO EDITADO POR
 ARITMÉTICA BALDOR EDITORIAL CULTURA CENTROAMERICANA
 PLANES Y PROGRAMAS 1993 SECUNDARIA EDITADO POR SEP.
 MATEMÁTICAS SANTALO
UNIVERSITARIOS
Y
CARBONEL
EDITORIAL
TEXTOS
 ESTRATEGIAS MATEMÁTICAS GARCÍA, RIVERA Y DURAN EDITORIAL
ESFINGE.
 MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA 1,2 Y 3 BOSH Y GÓMEZ EDITORIAL
NUEVO MÉXICO.
 EXPLORANDO EN MATEMÁTICAS LUZ MA. MARVÁN EDITORIAL NUEVO
MÉXICO.
 EJERCITACIÓN
SANTILLANA.
MATEMÁTICA
Ing. Víctor Rogelio Soto García
3
APOLO
CASTREJÓN
EDITORIAL