Política fiscal, estabilización de precios y mercados incompletos

P O L ¶IT IC A F IS C A L , E S T A B IL IZ A C IO¶ N
D E P R E C IO S Y M E R C A D O S
IN C O M P L E T O S
F r a n c isc o V e n e g a s M a r t¶³n e z ¤
In stitu to T ecn o l¶o gico y d e E stu d io s S u perio res d e M o n terrey
R esu m en : S e p resen ta u n m o d elo esto c¶a stico d e esta b iliza ci¶o n tem p o ra l d e p recio s en d o n d e el tip o d e ca m b io a ct¶u a co m o a n cla n o m in a l d e la ta sa d e
in ° a ci¶o n . E l m o d elo p resen ta cred ib ilid a d im p erfecta y reco n o ce, ex p l¶³cita m en te, la in certid u m b re ta n to en la d in ¶a m ica d el tip o d e ca m b io
co m o en el co m p o rta m ien to esp era d o d e la p o l¶³tica ¯ sca l. S e su p o n e
q u e el tip o d e ca m b io es co n d u cid o p o r u n a m ezcla d e p ro ceso s esto c¶a stico s, esp ec¶³¯ ca m en te, u n p ro ceso d e d ifu si¶o n y u n o d e sa lto s.
A sim ism o , se su p o n e q u e la ta sa im p o sitiv a so b re la riq u eza sig u e u n
m o v im ien to g eo m ¶e trico b ro w n ia n o . B a jo ta l esq u em a , se su p o n e q u e
n o ex iste u n m erca d o d e p ro d u cto s d eriv a d o s p a ra cu b rirse co n tra u n a
d ev a lu a ci¶o n fu tu ra , d e esta m a n era lo s m erca d o s ¯ n a n ciero s so n in co m p leto s. T a m b i¶e n se ex a m in a n la s d ecisio n es d e co n su m o y p o rta fo lio d e
u n co n su m id o r rep resen ta tiv o en el eq u ilib rio , cu a n d o se in stru m en ta
el p la n d e esta b iliza ci¶o n y la p o l¶³tica ¯ sca l es in cierta . P o r u¶ ltim o , se
ev a l¶u a n lo s efecto s d e ch o q u es ex ¶o g en o s, ta n to d e la p o l¶³tica ca m b ia r¶³a
co m o d e la ¯ sca l, so b re el b ien esta r eco n ¶o m ico .
A bstra ct: T h is p a p er d ev elo p s a sto ch a stic m o d el o f tem p o ra ry sta b iliza tio n o f
p rices w ith th e ex ch a n g e ra te a ctin g a s a n o m in a l a n ch o r o f in ° a tio n .
T h e m o d el p resen ts im p erfect cred ib ility, a n d ex p licitly reco g n izes th e
u n certa in ty in th e d y n a m ics o f th e ex ch a n g e ra te a n d in th e ex p ected
b eh a v io r o f ¯ sca l p o licy. It is a ssu m ed th a t a m ix ed d i® u sio n -ju m p
sto ch a stic p ro cess d riv es th e ex ch a n g e ra te. A lso , th e m o d el su p p o ses
th a t th e ta x ra te o n w ea lth fo llo w s a g eo m etric B ro w n ia n m o tio n . U n d er th is fra m ew o rk , it is a ssu m ed th a t a d eriv a tiv es m a rk et to h ed g e
a g a in st fu tu re d ev a lu a tio n d o es n o t ex ist, th a t is, ¯ n a n cia l m a rk ets a re
in co m p lete. C o n su m p tio n a n d p o rtfo lio d ecisio n s o f a rep resen ta tiv e
co n su m er, in eq u ilib riu m , a re ex a m in ed w h en th e sta b iliza tio n p la n is
im p lem en ted a n d ¯ sca l p o licy is u n certa in . F in a lly, th e e® ects o f ex o g en o u s sh o ck s in th e ex ch a n g e-ra te p o licy a n d eco n o m ic w elfa re a re
a ssessed .
C la si¯ ca ci¶o n J E L : F 3 1 , F 4 1 , H 3 1
P a la bra s cla ve: po l¶³tica ¯ sca l, esta biliza ci¶o n tem po ra l y m od ela ci¶o n estoc¶a stica .
F ech a d e recepci¶o n : 1 6 I 2 0 0 4
¤
F ech a d e a cep ta ci¶o n : 1 1 X 2 0 0 4
D irecto r d el C en tro d e In v estig a ci¶o n en F in a n za s, fv en eg a s@ itesm .m x
3
4
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
1 . In tr o d u c c i¶o n
El impacto que la pol¶³tica ¯scal tiene en los programas de estabilizaci¶o n in°acionaria, cuando el tipo de cambio se utiliza como ancla
nominal, ha sido durante mucho tiempo un tema central para los
dise~n adores de pol¶³tica econ¶o mica. Sin embargo, la gran mayor¶³a de
la literatura sobre esta preocupaci¶o n utiliza esquemas deterministas,
sin considerar factores de riesgo. En el modelo propuesto se supone
que los agentes tienen expectativas de devaluaci¶o n conducidas por un
proceso combinado de difusi¶o n con saltos. En dicho contexto, los peque~n os movimientos del tipo de cambio, que est¶an siempre presentes,
se modelan con un movimiento browniano y una devaluaci¶o n extrema
y repentina, que ocasionalmente ocurre, se modela con un proceso de
Poisson.
La mezcla de un proceso de difusi¶o n con uno de saltos proporciona colas pesadas y sesgo en la distribuci¶o n del tipo de cambio, lo
que permite producir din¶amicas de in°aci¶o n que no pueden ser generadas utilizando u¶ nicamente el movimiento browniano. Este hecho,
no s¶o lo es una so¯sticaci¶o n te¶o rica, sino un aspecto relevante que incorpora mayor realismo en el modelado de estabilizaci¶o n temporal. El
modelo supone que no existen activos contingentes (productos derivados) en el mercado para cubrirse contra una devaluaci¶o n futura. En
un ambiente estoc¶astico, a¶u n m¶as rico, se supone una tasa impositiva incierta sobre la riqueza. En particular, la tasa impositiva de
la riqueza sigue un movimiento geom¶e trico browniano. En contraste
con los modelos deterministas de estabilizaci¶o n temporal, la presencia de incertidumbre en la pol¶³tica ¯scal puede conducir a cambios
cuantitativos y cualitativos signi¯cativos en las variables relevantes.
En esta propuesta, los impuestos recaudados, incluyendo el se~n oriaj e (impuesto in°acionario) , se gastan en compras improductivas del
gobierno. Baj o el supuesto de agentes adversos al riesgo, se examina la
din¶amica de equilibrio del consumo y la riqueza cuando un programa
de estabilizaci¶o n se pone en marcha y la pol¶³tica ¯scal es incierta. En
tal contexto, tambi¶e n se discuten varios temas espec¶³¯cos de pol¶³tica
econ¶o mica. Por ej emplo, se estudian los efectos sobre el consumo y el
bienestar econ¶o mico de cambios permanentes en los par¶ametros que
determinan las expectativas, a saber: la tasa media esperada de devaluaci¶o n, la volatilidad instant¶anea del tipo de cambio, la probabilidad
de una posible devaluaci¶o n, el tama~n o medio esperado de una posible
devaluaci¶o n, el impuesto medio esperado a d va lo rem al consumo y el
impuesto medio esperado sobre la riqueza.
Los programas de estabilizaci¶o n de la in°aci¶o n que se llevaron
a cabo en Argentina, Brasil, Chile, Uruguay, Israel y M¶e xico entre
P O L ¶IT IC A F IS C A L
5
las d¶e cadas de los setenta y los noventa han sido ampliamente documentados. 1 Existe una extensa literatura que estudia una serie
de regularidades emp¶³ricas asociadas a dichos programas, ver, por
ej emplo, Helpman y Razin (1987) , Kiguel y Liviatan (1992) y V¶e gh
(1992) . Existe tambi¶e n un n¶u mero creciente de modelos que proporcionan explicaciones de dichas regularidades emp¶³ricas. Modelos que
pueden ser clasi¯cados en varias categor¶³as, a saber: falta de credibilidad (Calvo, 1986; Calvo y V¶e gh, 1993 y Reinhart y V¶e gh 1993 y
1995) ; inercia in°acionaria (Rodr¶³guez, 1982 y Calvo y V¶e gh, 1994) ;
efectos por el lado de la oferta (Roldos, 1995; Uribe, 1997; Lahiri,
2001 y Rebelo y V¶e gh, 1995) y bienes duraderos (Matsuyama, 1991
y de Gregorio, Guidotti y V¶e gh 1998) .
Aunque la incertidumbre es un elemento clave cuando un programa de estabilizaci¶o n temporal de precios es instrumentado, existen pocos estudios baj o un planteamiento estoc¶astico. Por ejemplo,
Drazen y Helpman (1988) examinan los efectos de un tipo de cambio
incierto, Calvo y Drazen (1997) contemplan incertidumbre en reformas econ¶o micas, Mendoza y Uribe (1996) y (1998) modelan probabilidades ex¶o genas y end¶o genas de devaluaci¶o n, Venegas y Gonz¶alezAr¶e chiga (2000) y Venegas (2000a) , (2000b) y (2001) estudian el papel
de la incertidumbre en la din¶amica del tipo de cambio y sus implicaciones cuantitativas. Todos estos modelos comparten semej anzas importantes: 1) los mercados de productos derivados son inexistentes,
2) la recaudaci¶o n de impuestos no es retribuida a los agentes y 3) las
variables de pol¶³tica econ¶o mica son estoc¶asticas.
El modelo propuesto en la presente investigaci¶o n tiene varias caracter¶³sticas distintivas en el estudio de los efectos de la incertidumbre
en programas de estabilizaci¶o n in°acionaria basados en el tipo de
cambio: 1) considera todos los factores de riesgo en la din¶amica del
tipo de cambio, proporcionando un ambiente estoc¶astico m¶as realista;
2) obtiene soluciones anal¶³ticas, haciendo m¶as f¶acil la comprensi¶o n de
los temas centrales en el an¶alisis de estabilizaci¶o n temporal y 3) examina los efectos sobre planes de estabilizaci¶o n temporal de un impuesto
incierto sobre la riqueza.
El trabaj o se ha organizado de la siguiente manera. En la secci¶o n
dos se desarrolla el marco te¶o rico de un modelo estoc¶astico del tipo
de Ramsey para una econom¶³a peque~n a y abierta que consume un
solo bien y tiene una restricci¶o n ca sh -in -a d va n ce. Los agentes tienen
expectativas de devaluaci¶o n conducidas por un proceso combinado
de difusi¶o n con saltos y pagan impuestos sobre la riqueza de acuerdo
1
S e rem ite a l lecto r a la s referen cia s co n ten id a s en C a lv o y V ¶e g h (1 9 9 9 ).
6
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
con un movimiento geom¶e trico browniano. En la tres se resuelve el
problema de decisi¶o n del consumidor, en la cuatro se realizan experimentos de est¶atica comparativa. En la secci¶o n cinco se examinan las
implicaciones de la estabilizaci¶o n temporal en el bienestar econ¶o mico,
en la seis se estudia el comportamiento din¶amico de la riqueza y del
consumo y se tratan varios temas de pol¶³tica cambiaria. En la u¶ ltima
secci¶o n se presentan conclusiones y limitaciones del trabaj o, y se establece la agenda para investigaci¶o n futura. Dos ap¶e ndices contienen
algunos detalles t¶e cnicos del problema del consumidor.
2 . M a r c o te o¶ r ic o d e l m o d e lo
Con el prop¶o sito de obtener soluciones anal¶³ticas en un modelo estoc¶astico del tipo de Ramsey se mantendr¶a la estructura de la econom¶³a, tan simple como sea posible. Algunos de los principales supuestos del modelo se establecen, de tal manera, que los aspectos
relevantes de la estabilizaci¶o n temporal sean m¶as f¶aciles de comprender.
2.1. D in a¶ m ica d el n ivel d e p recio s
Se considera una econom¶³a peque~n a y abierta con agentes id¶e nticos
de vida in¯nita. La econom¶³a produce y consume un solo bien perecedero. Se supone que el bien es comerciable internacionalmente y el
nivel general de precios dom¶e sticos, P t , es determinado por la condici¶o n de poder de paridad de compra, a saber, P t = P t¤ e t , donde P t¤
es el precio en moneda extranj era del bien en el resto del mundo y
e t el tipo de cambio nominal. Se supone, por simplicidad, que P t¤ es
igual a 1. Tambi¶e n se supone que el valor inicial del tipo de cambio,
e 0 , es conocido e igual a 1.
Se supone que el n¶u mero de devaluaciones esperadas, i.e., los
saltos en el tipo de cambio, por unidad de tiempo, siguen un proceso
de Poisson N t con intensidad ¸ , de tal manera que
IP (N
)
f un salto unitario durante dtg = IP (N ) f dN
= ¸ dt + o (dt) ;
= 1g
(1)
mientras que
IP (N ) f ningn salto en dtg = IP (N ) f dN
t
t
= 0g
P O L ¶IT IC A F IS C A L
= 1 ¡ ¸ dt + o (dt) :
(N )
7
(2)
(N )
As¶³, E [dN t ] =Var [dN t ] = ¸ dt. El n¶u mero inicial de saltos
se supone igual a cero, es decir, N 0 = 0.
Consid¶e rese un proceso de Wiener (Z t ) t¸ 0 de¯nido en un espacio
de probabilidad ¯jo con su ¯ltraci¶o n aumentada
(−
(Z )
;F
(Z )
;(F
(Z )
t
) t¸ 0 ;IP
(Z )
):
Se supone que el consumidor percibe que la tasa de in°aci¶o n esperada,
dP t = P t y, por lo tanto, la tasa esperada de devaluaci¶o n, de t = e t , sigue
un movimiento geom¶e trico browniano con saltos de Poisson descrito
por
dP t
de t
=
= ¼ dt + ¾ P dZ t + ´ dN t ;
Pt
et
(3)
donde ¼ es la tasa media esperada de devaluaci¶o n condicionada a que
no se presenten saltos, ¾ P la volatilidad instant¶anea del nivel general
de precios y ´ el tama~n o medio esperado de un salto en el tipo de
cambio. El proceso Z t se supone independiente de N t . En lo que se
sigue, ¼ , ¾ P , ¸ y ´ son constantes positivas.
2.2. S a ld o s m o n eta rio s rea les
El agente mantiene saldos monetarios reales, m t = M t = P t , donde M t
es el acervo nominal de dinero. La tasa de retorno estoc¶astica por la
tenencia de saldos reales, dR m , est¶a dada por el cambio porcentual
en el precio del dinero, en t¶e rminos de bienes. Al aplicar el lema de
It^o para procesos de difusi¶o n con saltos al inverso del nivel de precios,
con (3) como el proceso subyacente (ver ap¶e ndice A, f¶o rmula (A.2) ) ,
se obtiene
³M ´Á ³M ´
³ ´ ´
t
t
dR m = d
= (¡ ¼ + ¾ P2 ) dt ¡ ¾ P dZ t ¡
dN t : (4)
Pt
Pt
1+´
2.3. B o n o s in tern a cio n a les
El agente tambi¶e n tiene acceso a un bono internacional, b t , que paga
una tasa de inter¶e s real libre de riesgo, r , constante para todos los
plazos. En este caso, se satisface
8
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
db t = r b t dt;
b 0 dado:
(5)
Es decir, el bono paga r unidades del bien de consumo por unidad
de tiempo. Los agentes toman r como dada. La ecuaci¶o n (5) se puede
interpretar como una cuenta bancaria en la que se realiza un dep¶o sito
inicial con valor b 0 al tiempo cero y que gana a una tasa instant¶anea
libre de riesgo, r , en cada instante t.
2.4. Im p u esto s so bre la riqu eza
Se considera ahora un proceso de Wiener (U t ) t¸ 0 , de¯nido en un
espacio de probabilidad ¯j o equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada
(U )
(U )
(U )
(U )
(− ;F
;(F t ) t¸ 0 ;IP ) . Se supone que el consumidor representativo percibe que su riqueza es gravada a una tasa incierta, ¿ t , de
acuerdo con la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica siguiente:
con
y
d¿ t
= ¿¹ dt + ¾ ¿ dZet ;
¿t
Zet = ½ Z t +
p
¿ 0 > 0;
1 ¡ ½2U
t
p
¡
¡
¢¢
Cov dZ t ;d ½ Z t + 1 ¡ ½ 2 U t = ½ dt;
(6)
(7)
(8)
donde ¿¹ es la tasa media esperada de crecimiento del impuesto sobre
la riqueza, ¾ ¿ la volatilidad de la tasa impositiva en la riqueza y ½ 2
(¡ 1;1) la correlaci¶o n entre los cambios en la in°aci¶o n y los cambios
en los impuestos sobre la riqueza. Observe que un incremento en el
tipo de cambio deprecia los saldos monetarios reales, lo que, a su vez,
reduce el valor real de los activos, situaci¶o n que puede llevar a la
autoridad ¯scal a modi¯car su pol¶³tica ¯scal. Los procesos N t , Z t y
U t se suponen independientes por pares.
2.5. R estricci¶o n d el tipo ca sh -in -a d va n ce
Considere una restricci¶o n del tipo ca sh -in -a d va n ce de la forma ClowerLucas-Feenstra:
P O L ¶IT IC A F IS C A L
m
t
= ® c t;
9
(9)
donde c t es el consumo y ® > 0 el tiempo que se mantiene el dinero
para ¯nanciar el consumo. La condici¶o n (9) es cr¶³tica para ligar la
pol¶³tica cambiaria con el consumo. De est¶a forma, la devaluaci¶o n
act¶u a como un impuesto estoc¶astico en los saldos monetarios reales.
3 . P r o b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r
En esta secci¶o n se caracterizan las decisiones o¶ ptimas de consumo y
portafolio de un agente representativo.
3.1. R estricci¶o n p resu p u esta l in tertem po ra l
La acumulaci¶o n de la riqueza del consumidor en t¶e rminos de las decisiones de portafolio, w t = m t = a t , 1 ¡ w t = b t = a t , y de consumo, c t ,
est¶a dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estoc¶asticas:
(
+ a t (1 ¡ w t ) dR b ¡ (¿ t a t + (1 + ¿b) c t ) dt;
p
¡
¢
d¿ t = ¿¹ ¿ t dt + ¾ ¿ ¿ t ½ dZ t + 1 ¡ ½ 2 dU t ; ¿ 0 > 0;
da t = a t w t dR
m
(10)
donde dR b = db t = b t y ¿bes una tasa impositiva a d va lo rem al consumo.
Si se sustituyen la ecuaciones (4) , (5) y (9) en la primera ecuaci¶o n del
sistema (10) , se tiene que
da t =a t
"
³ ´ ´
(r ¡ ¯ w t ¡ ¿ t ) dt ¡ w t ¾ P dZ t ¡ w t
dN
1+´
t
#
;
(11)
donde ¯ = (1 + ¿b) ® ¡ 1 + r + ¼ ¡ ¾ P2 .
¶ d ice d e sa tisfa cci¶o n
3.2. In
La funci¶o n de utilidad del tipo von Neumann-Morgenstern al tiempo
t, V t , del consumidor competitivo y adverso al riesgo est¶a dada por
10
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
Vt = E
½Z 1
log(c s ) e ¡
t
(Z )
(U )
rs
¯ ¾
¯
ds ¯
¯F t ;
(12)
donde F t = F t − F t representa la informaci¶o n disponible en t.
Observe que la tasa subj etiva de descuento del agente ha sido igualada
a la tasa de inter¶e s, r , para evitar di¯cultades t¶e cnicas, innecesarias en
la din¶amica de equilibrio. Se emplea la funci¶o n de utilidad logar¶³tmica
con el prop¶o sito de generar soluciones anal¶³ticas que hagan m¶as simple
el an¶alisis posterior.
3.3. L a ecu a ci¶o n d e H a m ilto n -J a co bi-B ellm a n
La ecuaci¶o n de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema de control
¶o ptimo estoc¶astico, en el que se maximiza la utilidad esperada del
agente suj eto a su restricci¶o n presupuestal intertemporal, es:
¸ I (a t ;¿ t ;t) ¡ I t (a t ;¿ t ;t) ¡ I ¿ (a t ;¿ t ;t) ¿¹ ¿ t ¡
(
¡ I a (a t ;¿ t ;t) a t (r ¡ ¿ t ) = max log(® ¡ 1 a t w t ) e ¡
w
1
I ¿ ¿ (a t ;¿ t ;t) ¿ t2 ¾ ¿2
2
rt
¡ I a (a t ;¿ t ;t) a t ¯ w
1
+ I a a (a t ;¿ t ;t) a t2 w t2 ¾ P2 ¡ I a ¿ (a t ;¿ t ;t) a t ¿ t w t ¾ P ¾ ¿ ½
2
)
³ ³1 + ´ (1 ¡ w ) ´
´
t
+¸ I a t
;¿ t ;t ;
1+´
t
(13)
donde
I (a t ;¿ t ;t) = max E t
w
½Z 1
t
³
´
log ® ¡ 1 a s w s e ¡
rs
¯ ¾
¯
ds ¯
¯F t
es la funci¶o n de utilidad indirecta (o funci¶o n de bienestar econ¶o mico)
del consumidor, e I a (a t ;¿ t ;t) es la variable de coestado.
3.4. R ed u cci¶o n d e la d im en si¶o n d el p ro blem a
Dado el factor de descuento exponencial en la utilidad indirecta, se
de¯ne I (a t ;¿ t ;t) en forma separable en el tiempo como
11
P O L ¶IT IC A F IS C A L
I (a t ;¿ t ;t) ´ F (a t ;¿ t ) e ¡
rt
:
(14)
Por lo tanto, la ecuaci¶o n (13) se transforma en
(¸ + r ) F (a t ;¿ t ) ¡ F ¿ (a t ;¿ t ) ¿¹ ¿ t ¡
1
F ¿ ¿ (a t ;¿ t ) ¿ t2 ¾ ¿2 ¡ F a (a t ;¿ t ) a t (r ¡ ¿ t )
2
(
1
F a a (a t ;¿ t ) a t2 w t2 ¾ P2
2
)
³ ³1 + ´ (1 ¡ w ) ´ ´
t
¡ F a ¿ (a t ;¿ t ) a t ¿ t w t ¾ P ¾ ¿ ½ + ¸ F a t
;¿ t :
(15)
1+´
= max log(® ¡ 1 a t w t ) ¡ F a (a t ;¿ t ) a t ¯ w t +
w
Se postula como posible candidato de soluci¶o n de (15)
µ ¶
at
F (a t ;¿ t ) = ± 0 + ± 1 log
+ H (¿ t ; ± 2 ;± 3 ) ;
¿t
(16)
donde ± 0 , ± 1 y H (¿ t ) se tienen que determinar de la ecuaci¶o n (15) . Al
sustituir la ecuaci¶o n (16) en (15) , se obtiene
r (± 0 + ± 1 log (a t ) ) + ± 1
1
¡ H
2
00
(¿ t ) ¿ t2 ¾ ¿2
µ
¶
1
¿¹ ¡ r ¡ ¾ ¿2 + r H (¿ t ) ¡ H 0(¿ t ) ¿ t ¿¹
2
(
¡ r ± 1 log(¿ t ) + ± 1 ¿ t = max log(® ¡ 1 a t w t ) ¡ ± 1 ¯ w
w
)
³1 + ´ (1 ¡ w ) ´
1
t
¡ ± 1 w t2 ¾ P2 + ¸ ± 1 log
:
2
1+´
t
(17)
3.5. C o n d icio n es d e p rim er o rd en y d eterm in a ci¶o n d e coe¯ cien tes
Las condiciones de primer orden del problema de optimizaci¶o n intertemporal del agente representativo conducen a una proporci¶o n de
riqueza asignada a la tenencia de saldos reales invariante en el tiempo,
w t ´ w , as¶³ como a la relaci¶o n
12
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
1
¸´
¡
= (1 + ¿b) ® ¡ 1 + r + ¼ ¡ ¾ P2 + w ¾ P2 :
±1 w
1 + ´ (1 ¡ w )
(18)
Ahora se tiene que determinar H (¿ t ) como soluci¶o n de la ecuaci¶o n
diferencial ordinaria de segundo orden
r H (¿ t ) ¡ H 0(¿ t ) ¿ t ¿¹ ¡
1
2
H
00
(¿ t ) ¿ t2 ¾ ¿2 ¡ r ± 1 log(¿ t ) + ± 1 ¿ t = 0:
(19)
Los coe¯cientes ± 0 y ± 1 son determinados de (15) , despu¶e s de
sustituir el valor o¶ ptimo w ¤ . As¶³, ± 1 = r ¡ 1 , lo que produce que el
coe¯ciente de log(a t ) en la (17) sea cero y
"
1
1
± 0 = log(® ¡ 1 w ¤ ) ¡ 2 ((1 + ¿b) ® ¡ 1 + r + ¼ ¡ ¾ P2 ) w
r
r
#
³1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ´
1 ¤
1 2
2
+ (w ¾ P ) + ¿¹ ¡ r ¡ ¾ ¿ ¡ ¸ log
:
2
2
1+´
¤
(20)
El supuesto de utilidad logar¶³tmica conduce a que w dependa,
solamente, de los par¶ametros que determinan las caracter¶³sticas estoc¶asticas de la econom¶³a y, por lo tanto, w es constante. Es decir, la
actitud del consumidor hacia el riesgo cambiario es independiente de
su riqueza, i.e., el nivel de riqueza que resulte en cualquier instante
no tiene relevancia para las decisiones de portafolio. M¶as a¶u n, debido
a la utilidad logar¶³tmica, el coe¯ciente de correlaci¶o n, ½ 2 (¡ 1;1) , no
j uega papel alguno en las decisiones del consumidor. Por u¶ ltimo, es
importante se~n alar que la ecuaci¶o n (18) es c¶u bica, por lo que tiene,
al menos, una ra¶³z real.
La soluci¶o n de la ecuaci¶o n (19) es (ver ap¶e ndice B)
1
log(¿ t )
¿¹
µ
¶
µ
¶
2
1
¾ ¿2
1+ 2
¿t +
1¡
(¾ ¿ + 2 ¿¹ )
¿¹
2 ¿¹
H (¿ t ) = ± 2 ¿ t° 1 + ± 3 ¿ t° 2 +
donde
°1 =
(2 ¿¹ ¡
¾ ¿2 )
+
p
4r
(2 ¿¹ ¡ ¾ ¿2 ) 2 + 8r ¾ ¿2
(21)
P O L ¶IT IC A F IS C A L
13
y
°2 =
(2 ¿¹ ¡ ¾ ¿2 ) ¡
p
4r
:
(2 ¿¹ ¡ ¾ ¿2 ) 2 + 8r ¾ ¿2
Los coe¯cientes ± 2 y ± 3 se determinan, de tal manera, que H (¿ 0 ) = 0 y
H 0(¿ 0 ) = 0 (ver ap¶e ndice B) . La primera condici¶o n inicial, H (¿ 0 ) = 0,
asegura que el bienestar econ¶o mico,
µ ¶
1
a0
W ´ I (a 0 ;¿ 0 ;0) = F (a 0 ;¿ 0 ) = ± 0 + log
;
r
¿0
sea independiente de la selecci¶o n de H . La segunda condici¶o n inicial,
H 0(¿ 0 ) = 0, garantiza que la funci¶o n de bienestar sea decreciente
respecto al impuesto a la riqueza, esto es,
@I¯
1
¯
=¡
< 0;
¯
@ ¿ ¿ = ¿0
r ¿0
y tambi¶e n asegura que H sea la u¶ nica soluci¶o n de la ecuaci¶o n (19) .
3.6. U n a a sign a ci¶o n via ble d el po rta fo lio
La ecuaci¶o n (18) es c¶u bica, con una ra¶³z negativa y dos positivas. Esto
puede verse si se intersecta la l¶³nea recta de¯nida por el lado derecho de la ecuaci¶o n (18) con la gr¶a¯ca de¯nida por su lado izquierdo.
En este caso, hay solamente una intersecci¶o n que proporciona un estado estacionario u¶ nico de la riqueza, que el consumidor asigna a la
tenencia de saldos reales w ¤ 2 (0;1) .
4 . E x p e r im e n to s d e p o l¶³tic a e c o n o¶ m ic a (e st¶a tic a c o m p a r a tiv a )
En esta secci¶o n, se obtienen los primeros resultados relevantes del
modelo propuesto. Un aumento permanente en la tasa de devaluaci¶o n da como resultado un incremento en el costo de oportunidad
futuro de comprar bienes, lo cual, a su vez, conduce a una disminuci¶o n permanente de la proporci¶o n de la riqueza destinada al consumo
futuro. Para ver esto, se calcula la derivada de la ecuaci¶o n (18) con
respecto de ¼ , lo cual conduce a
@w ¤
= ¡ ª¡
@¼
1
< 0;
(22)
14
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
donde
ª=
·
r
(w ¤ ) 2
+
¸
¸ ´2
2
+
¾
:
P
[1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ] 2
(23)
El segundo resultado es la respuesta de los saldos monetarios
reales de equilibrio, w ¤ , a cambios permanentes en el par¶ametro de
intensidad, ¸ . Un aumento en el n¶u mero esperado de devaluaciones
por unidad de tiempo ocasiona un incremento en el costo de oportunidad futuro de la compra de bienes. Esto, a su vez, disminuye de
forma permanente la proporci¶o n de la riqueza dedicada al consumo
futuro. De hecho, despu¶e s de calcular la derivada de la ecuaci¶o n (18)
con respecto de ¸ se obtiene
@w ¤
´
=¡
< 0:
@¸
ª[1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ]
(24)
Un efecto equivalente se logra por un cambio en el tama~n o medio
esperado de un salto:
@w ¤
¸
=¡
< 0:
@´
ª[1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ] 2
(25)
Por u¶ ltimo, un aumento en el impuesto a d va lo rem al consumo
producir¶a una reducci¶o n permanente en la proporci¶o n de la riqueza
asignada al consumo futuro, ya que
@w ¤
1
=¡
< 0:
@ ¿b
®ª
(26)
5 . Im p a c to e n e l b ie n e sta r e c o n o¶ m ic o
Aqu¶³ evaluamos los impactos de choques ex¶o genos en el bienestar
econ¶o mico. Como siempre, el criterio de bienestar, W , del individuo
representativo es la utilidad indirecta, con una riqueza real inicial, a 0 ,
y una tasa impositiva inicial de la riqueza, ¿ 0 . Por lo tanto, en virtud
de la ecuaci¶o n (14) , el bienestar est¶a de¯nido por:
W (¼ ;¸ ;´ ; ¿¹ ; ¿b; a 0 ;¿ 0 ) ´ I (a 0 ;¿ 0 ;0) = F (a 0 ;¿ 0 ) =
+ log(® ¡ 1 w ¤ ) ] ¡
1 h
((1 + ¿b) ® ¡ 1 + r + ¼ ¡ ¾ P2 ) w
r2
¤
1
[1 + log(a 0 = ¿ 0 )
r
+
1 ¤
(w ¾ P ) 2 + ¿¹
2
P O L ¶IT IC A F IS C A L
¡
³1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ´i
1 2
¾ ¿ ¡ ¸ log
;
2
1+´
15
(27)
donde se ha considerado el hecho de que H (¿ 0 ) = 0.
5.1. Im pa cto d e ca m bio s perm a n en tes d el tipo d e ca m bio en el bien esta r
Ahora se calculan los impactos en el bienestar econ¶o mico de cambios permanentes en la tasa media esperada de devaluaci¶o n, la probabilidad de devaluaci¶o n y el tama~n o esperado de una devaluaci¶o n.
Primero, obs¶e rvese que un incremento en la tasa media esperada de
devaluaci¶o n reduce el bienestar econ¶o mico. En efecto, al calcular la
derivada de la ecuaci¶o n (27) con respecto a ¼ tenemos que
@W
w¤
= ¡ 2 < 0;
@¼
r
(28)
An¶alogamente, un choque ex¶o geno en la probabilidad de devaluaci¶o n tiene que reducir el bienestar econ¶o mico. Para ver esto, es
su¯ciente calcular la derivada de la ecuaci¶o n (27) con respecto a ¸
µ
¶
@W
1
1 + ´ (1 ¡ w ¤ )
= 2 log
< 0;
(29)
@¸
r
1+´
Por u¶ ltimo, un incremento en el tama~n o esperado de una devaluaci¶o n reduce el bienestar econ¶o mico, ya que
·
¸
@W
1
¸w ¤
=¡ 2
< 0:
(30)
@´
r (1 + ´ ) (1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) )
5.2. Im pa cto d e la po l¶³tica ¯ sca l en el bien esta r eco n o¶ m ico
Ahora se calculan los impactos en el bienestar econ¶o mico producidos
por cambios permanentes en la tasa impositiva media esperada a la
riqueza y el impuesto esperado a d va lo rem al consumo. En este caso,
se tiene
@W
1
= ¡ 2 < 0;
@ ¿¹
r
(31)
16
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
y
@W
1
= ¡ 2 ® ¡ 1w
@ ¿b
r
¤
< 0:
(32)
Por lo tanto, un aumento en la tasa impositiva media esperada
sobre la riqueza y la tasa impositiva en el consumo llevar¶a a una
reducci¶o n en el bienestar econ¶o mico.
6 . R iq u e z a y c o n su m o
Ahora se obtiene el proceso estoc¶astico que genera la riqueza real del
consumidor cuando se aplica la regla o¶ ptima. Despu¶e s de sustituir
w ¤ en la ecuaci¶o n (11) tenemos
da t = a t
h³
´
¸´w ¤
¤
2
+
(w
¾
)
¡
¿
t
P
1 + ´ (1 ¡ w ¤ )
dt ¡ w ¤ ¾ P dz t +
³1 + ´ (1 ¡ w ¤ )
´ i
¡ 1 dN t ;
1+´
(33)
donde
n
¿ t = ¿ 0 exp ( ¿¹ ¡
1
2
¾ ¿2 ) t + E ¾
p o
t ;
(34)
y E » N (0;1) . La funci¶o n densidad de probabilidad de ¿ t , dado ¿ 0 ,
satisface
f ¿ t j¿ 0 (x j¿ 0 ) = p
(
1
exp ¡
2
µ
1
2¼ t¾ ¿ x
log (x = ¿ 0 ) ¡ ( ¿¹ ¡
p
¾¿ t
1
2
¾ ¿2 ) t
¶2 )
(35)
Adem¶as, se tiene
E[¿ t j¿ 0 ] = ¿ 0 e ¿¹ t
(36)
¡ 2
¢
Var[¿ t j¿ 0 ] = ¿ 02 e 2 ¿¹ t e ¾ ¿ t ¡ 1 :
(37)
y
P O L ¶IT IC A F IS C A L
17
La soluci¶o n a la ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica (33) , condicionada por a 0 , es (ver ap¶e ndice A, f¶o rmula (A.3) )
a t = a 0 e »t ;
donde
(38)
2
» t = µ t + Á t;
µ t j¿ t » N [[F (w ¤ ) ¡ ¿ t ] t;G (w ¤ ) t] ;
Á t = L (w ¤ ) N t ;
(39)
(40)
y
N
t
» P (¸ t) :
(41)
Los componentes estacionarios de los par¶ametros de las distribuciones antes mencionadas son:
F (w ¤ ) =
¸ ´w ¤
(w ¤ ¾ P ) 2
+
;
¤
1 + ´ (1 ¡ w )
2
G (w ¤ ) = (w ¤ ¾ P ) 2 ;
y
L (w ¤ ) = log
³1 + ´ (1 ¡ w ¤ ) ´
:
1+´
Adem¶as, observe que
y
E[» t j¿ t ] = [F (w ¤ ) ¡ ¿ t + L (w ¤ ) ¸ ] t
(42)
Var[» t j¿ t ] = [G (w ¤ ) + [L (w ¤ ) ] 2 ¸ ] t:
(43)
M¶as a¶u n, se sigue que
E[» t ] = Ef E[» t j¿ t ] g = [F (w ¤ ) + ¿ 0 e ¿¹ t + L (w ¤ ) ¸ ] t;
(44)
y
Var[» t ] = Varf E[» t j¿ t ] g + Ef Var[» t j¿ t ] g
¡ 2
¢
= t2 ¿ 02 e 2 ¿¹ t e ¾ t t ¡ 1 + [G (w ¤ ) + [L (w ¤ ) ] 2 ¸ ] t:
2
x » P (a ) d en o ta u n a v a ria b le a lea to ria d e tip o P o isso n x co n m ed ia a .
(45)
18
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
Estas dos u¶ ltimas ecuaciones, de acuerdo con (38) , determinan
la media y la varianza de la velocidad a la que crece la riqueza real
del individuo.
6.1. D in a¶ m ica d el co n su m o
En virtud de las ecuaciones (9) y (38) , el proceso estoc¶astico para el
consumo se puede escribir como
c t¤ = ® ¡ 1 w ¤ a 0 e » t :
(46)
Lo que indica que, en ausencia de mercados de productos derivados, el riesgo de devaluaci¶o n tiene un efecto en la riqueza mediante la
incertidumbre en » t , es decir, la incertidumbre cambia el conj unto de
oportunidades que enfrenta el consumidor. Por otra parte, el riesgo
de devaluaci¶o n afecta de igual manera la composici¶o n del portafolio
a trav¶e s de sus efectos en w ¤ . De este modo, un cambio en la pol¶³tica
econ¶o mica estar¶a acompa~n ado, tanto del efecto riqueza como del de
sustituci¶o n. De la ecuaci¶o n (46) es posible calcular la probabilidad de
que, en un intervalo de tiempo dado, ocurran ciertos niveles de consumo. Es tambi¶e n importante observar, al considerar las ecuaciones
(12) y (46) , que el supuesto de la tasa sub jetiva de descuento del
agente, igualada a la tasa de inter¶e s mundial, no asegura un nivel de
estado estacionario en el consumo. Sin embargo, se tiene un estado
estacionario de la riqueza asignada al consumo.
Se puede concluir que la incertidumbre es un elemento clave para
racionalizar din¶amicas del consumo m¶as realistas, que no podr¶³an ser
obtenidas a trav¶e s de modelos deterministas. Por u¶ ltimo, en virtud
de (46) , las ecuaciones (44) y (45) determinan la media y la varianza
de la velocidad a la que crece el consumo.
6.2. A u ges en el co n su m o
Ahora se analizar¶a una pol¶³tica econ¶o mica de la forma:
(
¼ 1 para 0 · t · T ;
¼t =
¼ 2 para t > T ;
(47)
donde T se determina ex¶o genamente y ¼ 1 < ¼ 2 , como en Calvo (1986) .
Observe que hay falta de credibilidad, incluso si no se cambian los
P O L ¶IT IC A F IS C A L
19
par¶ametros, ya que los agentes siempre asignan alguna probabilidad
al evento de la devaluaci¶o n. De la ecuaci¶o n (46) se puede escribir
lim+
¢ ! 0
c ¤T + ¢
w
=
¤
cT
w
¤
2
¤
1
expf ¡ (» t (¼ 1 ) ¡ » T +
¢
(¼ 2 ) ) g =
w 2¤
:
w 1¤
El l¶³mite signi¯ca que, aunque los componentes estacionarios de
la variable aleatoria » t son diferentes antes y despu¶e s del tiempo T ,
+
tal diferencia llega a ser tan peque~n a como se desee cuando ¢ ! 0 .
Por lo tanto,
lim+ c ¤T +
¢ ! 0
¢
= c T¤
w 2¤
:
w 1¤
(48)
Tambi¶e n se observa que w 2¤ = w 1¤ < 1, j unto con la ecuaci¶o n (48) ,
implica que
c ¤T > lim+ c ¤T + ¢ ;
¢ ! 0
lo cual indica un salto (auge) en el consumo al tiempo T . Es decir, si se espera que el plan de estabilizaci¶o n sea temporal, entonces
existe un salto en el consumo en T . Un an¶alisis similar puede ser
aplicado a cualquiera de los par¶ametros restantes que determinan las
expectativas de devaluaci¶o n, a saber ¸ y ´ .
7 . C o n c lu sio n e s
La investigaci¶o n documentada, se ha orientado a una clase de modelos
determininistas dirigidos a explicar efectos impositivos en un marco
de estabilizaci¶o n temporal. La mayor¶³a de los modelos existentes ignoran la incertidumbre, proporcionando j usti¯caciones elaboradas para
menospreciar factores de riesgo. Despu¶e s de todo, lo que hace que los
planes de estabilizaci¶o n sean temporales es la incertidumbre misma.
Se ha presentado un modelo estoc¶astico de estabilizaci¶o n basado en
el tipo de cambio y con credibilidad imperfecta. Una caracter¶³stica
importante de esta formulaci¶o n es que existe falta de credibilidad, incluso si no se cambian los par¶ametros que determinan las expectativas
de la devaluaci¶o n.
Se han considerado varias formas de impuestos distorsionantes,
un impuesto a la riqueza real y un impuesto a d va lo rem al consumo.
20
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
Se ha mostrado que una pol¶³tica ¯scal incierta puede conducir a cambios cuantitativos signi¯cativos, en contraste con el marco determinista. La consideraci¶o n de los impuestos permite analizar din¶amicas
transicionales m¶as complej as, pero los resultados fueron ciertamente
m¶as ricos. En esta propuesta, la incertidumbre ha sido la clave para
racionalizar din¶amicas de consumo m¶as realistas en el estudio de la
estabilizaci¶o n temporal.
Por u¶ ltimo, es importante mencionar que el trabaj o desarrollado
requiere, en una etapa posterior, de una calibraci¶o n o simulaci¶o n con
el ¯n de replicar algunas de las regularidades emp¶³ricas observadas en
los episodios de estabilizaci¶o n in°acionaria.
B ib lio g r a f¶³a
C a lv o , G . A . (1 9 8 6 ). T em p o ra ry sta b iliza tio n : P red eterm in ed ex ch a n g e ra tes,
J o u rn a l o f P o litica l E co n o m y , 9 4 , 1 3 1 9 -1 3 2 9 .
| | y A . D ra zen (1 9 9 7 ). U n certa in d u ra tio n o f refo rm : D y n a m ic im p lica tio n s,
M a croeco n o m ic D y n a m ics, 2 , 4 4 3 -4 5 5 .
C a lv o , G . A . y E . G . M en d o za (1 9 9 6 a ). M ex ico 's b a la n ce o f p a y m en ts crisis:
A ch ro n icle o f a d ea th fo reto ld , J o u rn a l o f In tern a tio n a l E co n o m ics, 4 1 ,
2 3 5 -2 6 4 .
| | (1 9 9 6 b ). P etty crim e a n d cru el p u n ish m en t: L esso n s fro m th e M ex ica n
d eb a cle, A m erica n E co n o m ic R eview , 8 6 , 1 7 0 -1 7 5 .
C a lv o , G . A . y C . A . V ¶e g h (1 9 9 9 ). In ° a tio n sta b iliza tio n a n d b a la n ce-o f-p a y m en ts
crises in d ev elo p in g co u n tries, en J . T a y lo r a n d M . W o o d fo rd (co m p s.),
H a n d boo k o f m a croeco n o m ics, N o rth H o lla n d , v o l. 1 C , p a rte 7 , ca p . 2 4 .
| | (1 9 9 4 ). S ta b iliza tio n d y n a m ics a n d b a ck w a rd -lo o k in g co n tra cts, J o u rn a l o f
D evelo p m en t E co n o m ics, 4 3 , 5 9 -8 4 .
| | (1 9 9 3 ). E x ch a n g e ra te b a sed sta b iliza tio n u n d er im p erfect cred ib ility, en H .
F risch a n d A . W o rg o tter (co m p s.) O pen eco n o m y m a croeco n o m ics, M a cM illa n , L o n d res, 3 -2 8 .
D ra zen , A . y E . H elp m a n (1 9 8 8 ). S ta b iliza tio n w ith ex ch a n g e ra te m a n a g em en t
u n d er u n certa in ty, en E . H elp m a n , A . R a zin y E . S a d k a (co m p s.), E co n o m ic
e® ects o f th e go vern m en t bu d get, M IT P ress, C a m b rid g e.
G reg o rio , J . d e, P . E . G u id o tti y C . A . V ¶e g h (1 9 9 8 ). In ° a tio n sta b iliza tio n a n d
th e co n su m p tio n o f d u ra b le g o o d s, E co n o m ic J o u rn a l, 1 0 8 , 1 0 5 -1 3 1 .
G ih m a n , I. y A . V . S k o ro h o d (1 9 7 2 ). S toch a stic d i® eren tia l equ a tio n s, S p rin g erV erla g , B erl¶³n .
H elp m a n , E . y A . R a zin (1 9 8 7 ). E x ch a n g e ra te m a n a g em en t: In tertem p o ra l
tra d e-o ® s, A m erica n E co n o m ic R eview , 7 7 , 1 0 7 -1 2 3 .
K ig u el, M . y N . L iv ia ta n (1 9 9 2 ). T h e b u sin ess cy cle a sso cia ted w ith ex ch a n g era te-b a sed sta b iliza tio n . T h e W o rld B a n k E co n o m ic R eview , 6 , 2 7 9 -3 0 5 .
P O L ¶IT IC A F IS C A L
21
L a h iri, A . (2 0 0 1 ). E x ch a n g e ra te b a sed sta b iliza tio n u n d er rea l frictio n s: T h e ro le
o f en d o g en o u s la b o r su p p ly, J o u rn a l o f E co n o m ic D y n a m ics a n d C o n tro l,
2 5 , 1 1 5 7 -1 1 7 7 .
M a tsu y a m a , K . (1 9 9 1 ). D ev a lu a tio n : O n ex ch a n g e-ra te sta b iliza tio n , J o u rn a l o f
E co n o m ic D y n a m ics a n d C o n tro l, 1 5 , 7 -2 6 .
M en d o za , E . G . y M . U rib e (1 9 9 8 ). T h e bu sin ess cy cles o f cu rren cy specu la tio n s:
A revisio n o f a M u n d ellia n fra m ew o rk, In tern a tio n a l F in a n ce D iscu ssio n
P a p er, n u¶ m . 6 1 7 , B o a rd o f G o v ern o rs o f T h e F ed era l R eserv e S y stem .
| | (1 9 9 6 ). T h e sy n d ro m e o f exch a n ge-ra te-ba sed sta biliza tio n a n d u n certa in
d u ra tio n o f cu rren cy pegs, In tern a tio n a l F in a n ce D iscu ssio n P a p er, n u¶ m .
5 4 8 , B o a rd o f G o v ern o rs o f T h e F ed era l R eserv e S y stem .
P ress, W . H ., et a l. (1 9 9 2 ). N u m erica l recip es in C : T h e a rt o f scien ti¯ c co m p u tin g , 2 a . ed ., C a m b rid g e U n iv ersity P ress, C a m b rid g e.
R eb elo , S . y C . A . V ¶e g h (1 9 9 5 ). R ea l e® ects o f exch a n ge ra te ba sed sta biliza tio n :
A n a n a ly sis o f co m petin g th eo ries, W P , 5 1 9 7 , N B E R .
R ein h a rt, C . M . y C . A . V ¶e g h (1 9 9 5 ). N o m in a l in terest ra tes, co n su m p tio n b o o m s
a n d la ck o f cred ib ility : A q u a n tita tiv e ex a m in a tio n , J o u rn a l o f D evelo p m en t
E co n o m ics, 4 6 , 3 5 7 -3 7 8 .
| | (1 9 9 3 ). In tertem po ra l co n su m p tio n su bstitu tio n a n d in ° a tio n sta biliza tio n :
A n em p irica l in vestiga tio n , IM F , W a sh in g to n (m im eo ).
R ip ley, B . D . (1 9 8 7 ). S toch a stic sim u la tio n , W iley, N u ev a Y o rk .
R o d r¶³g u ez, C . A . (1 9 8 2 ). T h e A rg en tin e sta b iliza tio n p la n o f D ecem b er 2 0 th ,
W o rld D evelo p m en t, 1 0 , 8 0 1 -8 1 1 .
R o ld o s, C . A . (1 9 9 5 ). S u p p ly -sid e e® ects o f d isin ° a tio n p ro g ra m s, In tern a tio n a l
M o n eta ry F u n d S ta ® P a pers, 4 2 , 1 5 8 -1 8 3 .
U rib e, M . (1 9 9 7 ). E x ch a n g e-ra te-b a sed in ° a tio n sta b iliza tio n : T h e in itia l rea l
e® ects o f cred ib le p la n s, J o u rn a l o f M o n eta ry E co n o m ics, 3 9 , 1 9 7 -2 2 1 .
V ¶e g h , C . A . (1 9 9 2 ). S to p p in g h ig h in ° a tio n : A n a n a ly tica l o v erv iew , In tern a tio n a l M o n eta ry F u n d S ta ® P a pers, 3 9 , 6 2 6 -6 9 5 .
V en eg a s M a rt¶³n ez, F . (2 0 0 1 ). T em p o ra ry sta b iliza tio n : A sto ch a stic a n a ly sis,
J o u rn a l o f E co n o m ic D y n a m ics a n d C o n tro l, 2 5 , 1 4 2 9 -1 4 4 9 .
| | (2 0 0 0 a ). O n co n su m p tio n , in v estm en t, a n d risk , E co n o m ¶³a M exica n a , 9 ,
2 2 7 -2 4 4 .
| | (2 0 0 0 b ). U tility, lea rn in g , a n d sta b iliza tio n , G a ceta d e E co n o m ¶³a , 1 0 , 1 5 3 169.
| | y B . G o n z¶a lez-A r¶e ch ig a (2 0 0 0 ). M erca d o s ¯ n a n ciero s in co m p leto s y su
im p a cto en lo s p ro g ra m a s d e esta b iliza ci¶o n d e p recio s: el ca so m ex ica n o ,
M o m en to E co n ¶o m ico , 1 1 1 , 2 0 -2 7 .
22
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
A p ¶e n d ic e A
En este ap¶e ndice se establecen sin demostraci¶o n 3 dos resultados u¶ tiles
en el desarrollo del presente trabaj o:
1) El lema de It^o para procesos combinados de difusi¶o n y saltos de
Poisson, el cual puede ser enunciado de la siguiente manera. Dada la
ecuaci¶o n diferencial estoc¶astica lineal y homog¶e nea
z t » N (0;t) ;
dx t = x t (¹ dt + ¾ dz t + ´ dq t ) ;
q t » P (¸ t) :
(A:1)
y una funci¶o n g (x t ) continua y dos veces diferenciable, entonces la
diferencial estoc¶astica de g (x t ) est¶a determinada por
dg (x t ) = [g x (x t ) ¹ x t + 21 g x x (x t ) ¾ 2 x t2 ] dt
+g x (x t ) ¾ x t dz t + [g (x t (1 + ´ ) ) ¡ g (x t ) ] dq t :
(A:2)
2) La soluci¶o n a la ecuaci¶o n (A.1) est¶a dada por
½
x t = x 0 exp (¹ ¡
1
2
¾ 2 )t + ¾
Zt
dz u + log(1 + ´ )
0
Zt
dq u
¾
: (A:3)
0
Es importante tener presente, al usar (A.3) , que para t ¸ 0 las
propiedades para z t y q t son:
E
·Z t
dz u
¸
= 0; E
0
"µZ
t
0
dz u
¶2 #
=
Zt
0
d u = t; y E
·Z t
dq u
¸
= ¸ t:
0
A p ¶e n d ic e B
En este ap¶e ndice se resuelve la ecuaci¶o n diferencial ordinaria lineal de
segundo orden no homog¶e nea, la cual aparece en la ecuaci¶o n (20) . Sea
H = H (¿ ) y consid¶e rese la ecuaci¶o n diferencial ordinaria de segundo
orden no homog¶e nea del tipo de Euler-Cauchy
3
V er G ih m a n y S k o ro h o d (1 9 7 2 , ca p . 2 ).
P O L ¶IT IC A F IS C A L
23
2 ¿¹
2r
2
2
¿ H 0 ¡ 2 H = ¡ 2 log(¿ ) + 2 ¿ ;
(B:1)
2
¾
¾
¾
r¾
donde r y ¾ son constantes positivas. A continuaci¶o n, la ecuaci¶o n
(B.1) se transforma en una ecuaci¶o n diferencial con coe¯cientes constantes, para ello se aplica el m¶e todo de Euler en el que se utiliza el
siguiente cambio de variable ¿ = e t . As¶³, t = log(¿ ) ,
¿2H
00
+
@H
1 @H
=
;
@¿
¿ @t
(B:2)
y
@ 2H
1
= 2
@¿2
¿
µ
@ 2H
@H
¡
@ t2
@t
¶
:
(B:3)
Despu¶e s de sustituir las ecuaciones (B.2) y (B.3) en la ecuaci¶o n
(B.1) , se obtiene
@ 2H
+
@ t2
µ
2 ¿¹
¡ 1
¾2
¶
@H
2r
2
2
¡ 2 H = ¡ 2 t + 2 e t:
@t
¾
¾
r¾
(B:4)
La soluci¶o n general es de la forma:
H (t) = H c (t) + H p (t) ;
(B:5)
donde H c es la soluci¶o n complementaria asociada a la ecuaci¶o n homog¶e nea y H p es una soluci¶o n particular de la ecuaci¶o n no homog¶e nea.
Para determinar H c , se requiere resolver la siguiente ecuaci¶o n caracter¶³stica:
µ
¶
2 ¿¹
2r
2
° +
¡ 1 ° ¡ 2 = 0:
¾2
¾
De aqu¶³ que la soluci¶o n complementaria es
H c (t) = ± 2 e ° 1 t + ± 3 e ° 2 t ;
donde las dos ra¶³ces est¶an dadas por
°1 =
y
(2 ¿¹ ¡ ¾
2)
+
p
4r
(2 ¿¹ ¡ ¾ 2 ) 2 + 8r ¾ 2
(B:6)
24
E S T U D IO S E C O N O¶ M IC O S
°2 =
(2 ¿¹ ¡ ¾
2)
¡
p
4r
:
(2 ¿¹ ¡ ¾ 2 ) 2 + 8r ¾ 2
Enseguida se determina H p , para ello se utiliza el m¶e todo de
coe¯cientes indeterminados. Se supone que la soluci¶o n es de la forma:
H p (t) = A t + B + C te t :
(B:7)
Por lo tanto, H p0 (t) = A + C (t + 1) e t y H p00(t) = C (t + 2) e t .
Despu¶e s, se sustituye la ecuaci¶o n (B.7) en la ecuaci¶o n (B.4) , lo cual
conduce a
µ
¶
µ
¶
2 ¿¹
2r
2 ¿¹
2r
t
¡
C
te
+
1
+
C et ¡ 2 A t
¾2
¾2
¾2
¾
µ
¶
2 ¿¹
2r
2
2
+
¡
1
A ¡ 2 B = ¡ 2 t + 2 e t:
¾2
¾
¾
r¾
Al resolver t¶e rmino a t¶e rmino se tiene que los valores de A , B y
C , est¶an dados por
A =
1
;
r
B =
¢
1 ¡
2 ¿¹ ¡ ¾ 2 ;
2
2r
y
C =
2
;
r (¾ 2 + 2 ¿¹ )
de donde para una soluci¶o n particular se cumple que ¿¹ = r . Por lo
tanto,
H p (t) =
1
¾2
1
2
t¡
+ +
te t :
2
2
¿¹
2 ¿¹
¿¹
¿¹ (¾ + 2 ¿¹ )
(B:8)
Al sustituir las ecuaciones (B.6) y (B.8) en la ecuaci¶o n (B.5) se
tiene que
H (t) = ± 2 e ° 1 t + ± 3 e ° 2 t +
1
¾2
1
2
t¡
+ +
te t :
2
2
¿¹
2 ¿¹
¿¹
¿¹ (¾ + 2 ¿¹ )
Como ¿ = e t , la soluci¶o n general de la ecuaci¶o n (B.1) , en t¶e rminos de ¿ , est¶a dada por
H (¿ ) = ± 2 ¿ ° 1 + ± 3 ¿ ° 2 +
1
log(¿ )
¿¹
P O L ¶IT IC A F IS C A L
µ
1+
2
¿
¾ 2 + 2 ¿¹
¶
1
+
¿¹
µ
¶
¾2
1¡
:
2 ¿¹
25
(B:9)
Los valores de ± 2 y ± 3 que satisfacen las condiciones iniciales
H (¿ 0 ) = H 0(¿ 0 ) = 0 son
" µ
¶
¿ 0¡ ° 1
¾2
±2 =
° 2 log(¿ 0 ) + 1 ¡
¿¹ (° 1 ¡ ° 2 )
2 ¿¹
#
2¿ 0
¡ 2
(1 + log(¿ 0 ) (1 ¡ ° 2 ) ) + 1
¾ + 2 ¿¹
y
"
µ
¶
¿ 0¡ ° 2
¾2
±3 =
¡ ° 1 log(¿ 0 ) + 1 ¡
¿¹ (° 1 ¡ ° 2 )
2 ¿¹
#
¢
2¿ 0 ¡
+ 2
1 + log(¿ 0 ) (1 ¡ ° 1 ) + 1 :
¾ + 2 ¿¹