RESUMEN - Kpus.es

U . D . 3 . - I NTERACCIÓN
G R AV I TAT O R I A
RESUMEN
— Ley de gravitación universal: “Todos los cuerpos se atraen con una fuerza directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que los separa”. La ecuación matemática correspondiente es:
F = Gu
m u m"
siendo G = 6,67·10-11 Nm2/kg2
r2
— El momento de una fuerza con respecto a un eje es un vector cuyo módulo
vale M = r · F, su dirección es perpendicular a r y a F, su sentido es el sentido de
giro y nos indica cómo varía la rotación de un cuerpo.
— La ecuación fundamental de la dinámica de rotación es M = I · , donde I es el
momento de inercia (es diferente para cada sólido) y es la aceleración angular
producida.
— El momento angular o cinético es un vector de módulo L = r · m · v, siendo r el radio,
m la masa y v la velocidad del cuerpo que gira.
— Teorema de conservación del momento angular o cinético: “Si el momento de las
fuerzas exteriores aplicadas al sólido es nulo (M = 0), el momento angular L
permanece constante”.
— Teorema de la energía potencial: “En un campo de fuerzas conservativo, el trabajo
realizado por ellas es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo”.
W = – !Ep
— Teorema de la energía cinética: “El trabajo es igual a la variación de la energía
cinética”.
W = !Ec
— Toda masa crea a su alrededor un campo de fuerzas y hace que cambien las
propiedades del espacio que la rodea.
— La intensidad de campo gravitatorio, g, en un punto es la fuerza por unidad de masa
situada en dicho punto. Su módulo vale:
g = Gu
m
r2
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FÍSICA
— La energía potencial gravitatoria viene dada por la expresión:
Ep = # G u
mm"
r
— El potencial en un punto del campo es el trabajo que hay que realizar para transportar
la unidad de masa desde el infinito hasta ese punto y vale:
m
V= # G u
r
— La diferencia de potencial entre dos puntos es:
VA # VB = # G u
m
m
+ Gu
rB
rA
— El campo gravitatorio terrestre a una distancia h de la superficie de la Tierra es:
MT
g = Gu
( RT + h)2
— El campo gravitatorio terrestre en la superficie de la Tierra vale:
M
g0 = G u 2T
RT
— La fuerza ejercida sobre una masa m situada a una altura h sobre la superficie
terrestre viene dada por:
MT m
F = Gu
( RT + h)2
— Su energía potencial es:
Ep = # G u
MT m
RT + h
— El potencial gravitatorio creado es:
V = #Gu
MT
RT + h
— La velocidad mínima de un cuerpo para escapar del campo gravitatorio al que está
sometido es:
v=
30
2uGu M
(M es la masa del cuerpo que crea el campo gravitatorio)
r
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U . D . 3 . - I NTERACCIÓN
G R AV I TAT O R I A
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un cilindro gira alrededor de un eje con una velocidad angular de 600 rpm (revoluciones por
minuto). Su masa es de 1 kg y su radio de 5 cm. Tangencialmente se aplica una fuerza constante
de frenado de 0,1 kp. Calcular: a) La aceleración angular de frenado. b) El tiempo que tarde en
pararse el cilindro. c)El número de vueltas que da hasta que se para. Dato: Momento de inercia
del cilindro I = 1/2 · mr2.
a) Para calcular la aceleración angular empleamos la ecuación obtenida de igualar las dos
definiciones de momento de una fuerza:
r u F = I u" % " =
2uF
ruF
ruF
=
=
1
I
mur
2
umur
2
Como debemos utilizar unidades del S.I. hacemos las siguientes transformaciones:
F = 0,1 kp u 9, 8 N / kp = 0, 98 N
r = 5 cm u 10 $2 m / cm = 0, 05 m
Sustituimos:
"=
2 u 0, 98 N
= 39, 2 rad / s 2
1 kg u 0, 05 m
b) Si se va a parar la velocidad angular final
= 0 y la aceleración angular a será negativa.
Transformamos a unidades del S.I.:
0
= 600
rev 1 min 2 # rad
u
u
= 62, 83 rad / s
min 60 s 1 rev
Despejando el tiempo de la ecuación del movimiento:
=
0
+ " ut % t =
$
"
0
=
0 $ 62, 83
= 1, 6 s
$39, 2
c) Calculamos el espacio angular con la ecuación del movimiento:
1
1
t + "t 2 = 62, 83 u 1, 6 + ( $39, 2) u 1, 62 = 50, 35 rad
2
2
1 vuelta
50, 35 rad u
= 8 vueltas
2 # rad
!=
0
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FÍSICA
2.
Calcular la aceleración de la Tierra hacia el Sol sabiendo que la Tierra describe una órbita casi
circular de 1,5·108 km de radio y lleva una velocidad de 30 km/s. A partir de esa aceleración
calcular la masa del Sol.
En el movimiento de planetas sabemos que se cumple la igualdad entre la fuerza gravitatoria y
la centrípeta:
Fc = MT u an
Fg = G u
MS MT
R2
Igualando:
MT u an = g u
MS MT
a u R2
% MS = n
2
G
R
Calculamos la aceleración centrípeta o normal de giro de la Tierra alrededor del Sol:
an =
v 2 (3 u 10 4 )2 ( m / s)2
=
= 6 u 10 $3 m / s 2
R
1, 5 u 1011 m
Y a partir de aquí la masa del Sol:
MS =
3.
6 u 10 $3 u (1, 5 u 1011 )2
# 2 u 1030 kg
6, 67 u 10 $11
Un cilindro de 10 kg de masa y 0,1 m de radio, está girando a 1000 rpm respecto a un eje que
pasa por su centro. ¿Cuál es la fuerza tangencial necesaria para detenerlo, si queremos que
frene, tras recorrer 1500 vueltas, contadas a partir del momento en que se aplica la fuerza de
frenado? Dato: I (cilindro) = 1/2 · m · r2.
Hacemos la transformación de unidades correspondiente:
0
= 1000
rev 2 ! rad 1 min
u
u
= 104, 7 rad / s
min 1 rev 60 s
" = 1500 vueltas u
2 ! rad
= 9424, 7 rad
1 vuelta
Aplicamos la siguiente igualdad para calcular la fuerza:
1 2
I u " 2 mr " mr"
r u F = I u" % F =
=
=
r
r
2
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U . D . 3 . - I NTERACCIÓN
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Debemos calcular el valor de la aceleración angular, y para ello consideramos la ecuación del
movimiento uniformemente acelerado en el que la velocidad final es cero porque el cuerpo se
parará:
2
=
2
0
2
$
2"
+ 2&" % & =
2
0
=
0 2 $ 104, 72
= $ 0, 58 rad / s 2
2 u 9424, 7
El valor negativo demuestra que el cuerpo disminuirá su velocidad, en este caso, hasta anularla.
Sustituyendo en la expresión de la fuerza:
F=
10 u 0,1 u 0, 58
= 0, 29 N
2
4. Supongamos que la distancia entre dos asteroides es de 4,15·104 km. La masa de uno de ellos
(asteroide A) es 0,03 veces la del otro (asteroide B). Calcular en qué punto, entre ambos, un
objeto se encontraría en equilibrio debido a la atracción entre los dos asteroides.
Consideremos que el punto de equilibrio es un punto llamado P que se encuentra a una distancia
r del asteroide B y, por tanto, a una distancia d – r del asteroide A, siendo d la distancia entre A
y B. En ese punto, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula, es decir,
FA + FB = 0, de donde se deduce que FA = FB. Escribimos las ecuaciones correspondientes,
llamando m a la masa del objeto:
FA = G u
MA u m
( d $ r )2
FB = G u
MB u m
r2
Igualamos:
Gu
MB u m
MA u m
2 = Gu
r2
(d $ r )
2
% ( d $ r ) u MB = r 2 u M A
2
% (d $ r ) =
MA 2
ur
MB
De donde deducimos:
d
r=
1+
MA
MB
=
4,15 u 10 4
= 35373,18 km
1 + 0, 03
Este equilibrio no es estable puesto que si se separa ligeramente el objeto de su posición de
equilibrio hacia cualquiera de los dos asteroides será atraído por éste.
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FÍSICA
5. Dos satélites artificiales de masas m y 2m, respectivamente, describen órbitas circulares del
mismo radio (r = 2R, siendo R el radio de la Tierra). Calcula la diferencia de las energías
mecánicas de ambos satélites.
Calculamos primero la energía potencial de cada uno de ellos:
Ep1 = $ G u
MT u m
2 RT
Ep2 = $ G u
M um
MT u 2 m
= $Gu T
RT
2 RT
Ahora calculamos la velocidad orbital y para ello igualamos la fuerza centrípeta con la fuerza
de atracción gravitatoria:
Fg = Fc , G u
M
v2
MT u m
m
=
u
% v2 = G u T
2
r
r
r
Esta velocidad es la misma para los dos satélites; con lo que sus energías cinéticas serán:
Ec1 =
M um
M
1
1
1
u mv 2 = u m u G u T = u G u T
RT
2
2
2 RT 4
Ec2 =
M um
M
1
1
u 2 mv 2 = m u G u T = u G u T
RT
2
2 RT 2
La energía mecánica de cada uno de ellos será:
1
( ET )1 = Ec1 + Ep1 = 4 u G u
1
M um
M um
MT u m 1
1
$ uGu T
= $ uGu T
RT
R
RT
2
4
T
( ET )2 = Ec2 + Ep2 = 2 u G u
M um
M um
MT u m
1
$ Gu T
= $ uGu T
RT
RT
RT
2
Y, por tanto, su diferencia será:
M um
M u m* 1
M um ( 1
1
= uGu T
'E = ( ET )1 $ ( ET )2 = $ u G u T
$ $ uGu T
RT
RT + 4
RT
4
) 2
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U . D . 3 . - I NTERACCIÓN
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EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN
1. Un volante de 3 m de diámetro gira a 100 rpm y se para en 1 minuto. Calcular el número de
vueltas que da hasta que se para.
A.
315 vueltas.
B. 50 vueltas.
C.
1980 vueltas.
D.
3000 vueltas.
2. Sobre una rueda de 80 cm de diámetro y momento de inercia 50 kg·m2, se aplica
tangencialmente en su periferia una fuerza de 10 kp. Calcular la aceleración angular.
A.
0,784 rad/s2.
B.
8 rad/s2.
C.
0,784 m/s2.
D.
Ninguna de las anteriores.
3. Un cilindro de momento de inercia 1/2 mr2, gira alrededor de un eje, con una velocidad angular
de 600 rpm. Su masa es de 10 kg y se le aplica una fuerza de 9,8 N hasta que su velocidad
angular se reduce a la mitad en 5 segundos. Calcular su radio de giro.
A.
0,31 cm.
B.
3,1 m.
C. 0,31 m.
D.
3,1 cm.
4. Calcular el campo gravitatorio a una distancia de 500 km sobre la superficie terrestre.
A.
5,8·1010 N/kg.
B. 8,4·106 N/kg.
C.
5,8·106 N/kg.
D.
8,4 N/kg.
5. Si una masa de 630 kg es atraída con una fuerza de 6,5·1010 kp por otra masa m´ situadas a 25 m
una de otra, ¿cuánto vale m´?
A.
9,5·1021 kg.
B. 9,5·10-21 kg.
C. 1,05·10-22 kg.
D.
3,8·1020 kg.
6. Calcular el peso de un cuerpo de 200 g de masa en un punto situado a 230 km de la superficie
terrestre. Datos: masa de la Tierra = 6·1024 kg; radio de la Tierra = 6400 km.
A.
1,82 kp
B.
1,82 N
C. 1,23 N
D.
0,82 kp
7. ¿En qué punto, sobre la superficie terrestre, el campo gravitatorio vale la mitad de la gravedad?
A.
8,17·1013 m.
B. 2,64·103 m.
C.
8,39·106 m.
D.
2640 km.
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35
FÍSICA
8. Desde un punto situado a una distancia del centro de la Tierra igual a las 5 partes del radio
terrestre se desea poner en órbita un satélite artificial. ¿Qué velocidad hay que comunicarle?
A.
2,5·107 m/s.
B. 5·103 m/s.
C. 2,7·105 km/h.
D.
5·103 km/h.
9. Calcula el potencial gravitatorio que crea la Tierra en un punto situado a 6500 km de su centro.
A.
– 6,16·10-7 J/kg
B.
6,16·10-7 J/kg
C.
6,16·107 J/kg
D.
– 6,16·107 J/kg
10. Un astronauta, cuyo peso en la Tierra es de 700 N, aterriza en Venus y de nuevo mide su peso,
observando que es de 600 N. Considerando que el diámetro de Venus es, aproximadamente, el
mismo que el de la Tierra, calcula la masa de Venus. Dato: masa de la Tierra 6·1024 kg.
A.
8,3·1025 kg.
B. 5,2·1023 kg.
C. 3,62·1023 kg.
D.
5,14·1024 kg.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
36
11. B
12.
A
13. C
14.
D
15.
16.
17.
D
18.
19.
D
10. D
B
B
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A