Aplicaciones de la Transformada Ondeleta a Series

IE
EN IN V 2010
Encuentro de Investigación en Ingenierı́a Eléctrica
Zacatecas, Zac, Marzo 25—26, 2010
Aplicaciones de la Transformada Ondeleta a
Series Temporales Caóticas.
J.U. Ávalos-Gómez1 , J.S. Murguı́a1,2,3 & E. Jiménez-López1,3
1
Facultad de Ciencias
Universidad Autónoma de San Luis Potosı́, SLP, México
2 Departamento de Fı́sico Matemáticas
Universidad Autónoma de San Luis Potosı́, SLP, México
3 Instituto de Investigación en Comunicación Óptica
Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma de San Luis Potosı́, SLP, México
correo-e: ulisesavalos@live.com.mx, ondeleto@uaslp.mx, jimeno@cactus.iico.uaslp.mx
Resumen — Una implementación electrónica equivalente a la del sistema de
Chua se llevó a cabo con el fin de tener una
representación más robusta del mismo. Tal
implementación considera la sustitución
de algunos elementos con el fin de tener
una versión más simple y práctica del
circuito, pero con un comportamiento
caótico experimental similar al de la versión original. Aunado a lo anterior y con
el fin de obtener información adicional del
nuevo circuito, se realiza un análisis ondeleta a las series temporales provenientes
del mismo, considerando la distribución
de la energı́a de los respectivos coeficientes.
Descriptores: Sistema de Chua; Series de
temporales ; Transformada ondeleta.
Abstract— An electronic implementation equivalent to the Chua system was
conducted in order to have a stronger
representation of it. Such implementation considers the replacement of some
elements in order to have a simple and
practical version of the circuit, but with
an experimental chaotic behavior similar
to the original version. Addition to the
foregoing and in order to obtain additional
information from the new circuit is done
an analysis wavelet to time series from the
same, considering the energy distribution
of the respective coefficients.
Keywords: Chua’s system; Time series;
Wavelet transform.
I. INTRODUCCIÓN
E
L comportamiento caótico ocurre en
muchos fenómenos fı́sicos de manera experimental. El diseño e implementación de
circuitos electrónicos con tal comportamiento ha aumentado ya que han resultado ser
útiles en aplicaciones de diferentes áreas de
investigación. El circuito de Chua continúa
siendo estudiado de manera extensa y ha sido utilizado como plataforma de prueba en
diferentes ramas de la ciencia e ingenierı́a.
Debido a que en la versión original del circuito se presenta un inductor y un par de
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diodos, se buscó e implementó una versión
más robusta de tales elementos como se presenta en la [5], para tener una bobina sintetica, y no utilizar diodos para la no linealidad. Una de las ventajas que se tiene
con esta versión es que se cuenta con tres
voltajes para poder analizarse a diferencia del
sistema original. Considerando que la información experimental de tales circuitos electrónicos con dinámica caótica se presenta como una serie temporal caótica (STC), resulta de imperiosa necesidad el analizar apropiadamente una STC para poder dar una interpretación del sistema que la generó. Para
tal situación se utilizó el análisis ortogonal
de ondeleta para caracterizarlas, debido a que
han mostrado ser apropiadas para describir la
dinámica caótica de series temporales [2][4].
II. SISTEMA EXPERIMENTAL DE
CHUA
El circuito electrónico de Chua es uno de
los circuitos más sencillos que tiene una rica dinámica caótica y se muestra en la Fig.
1. Generalmente se ha utilizado en el estudio
de caos y sincronización para ser aplicado en
diferentes áreas [1] [5] [6]. El circuito de Chua
es también conocido como oscilador de doble
enroscado (DSO, Double Scroll Oscillator) [1]
[6]. Su dinámica puede ser modelada por el
conjunto de ecuaciones diferenciales adimensionales:
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Figura 1. Circuito de Chua cuyos elementos
principales son un inductor L, una resistencia
variable R, dos capacitores C1 y C2 y una
resistencia negativa no lineal NR .
1
f (x) = bx + (a − b)[|x + 1| − |x − 1|], (2)
2
donde a y b están en términos de los valores de las resistencias que componen a la
resistencia (negativa) no lineal NR (2) [6].
Para tener una versión más simple y práctica
en la implementación electrónica se considero
utilizar el enfoque utilizado en [5], donde la
implementación del elemento y del inductor
requiere solo de amplificadores operacionales,
resistores y un capacitor como se observa en
la Fig. 2 . Para el circuito que sustituye la
ẋ = α(y − x − f (x)),
ẏ = (x − y + z),
(1)
ż = −βy,
donde x(t) y y(t) son los voltajes a través de
los capacitores C1 y C2 , respectivamente. La
corriente a través del inductor L es z(t), α
y β son parámetros del sistema. La función
lineal por partes f (x) se define como:
Figura 2. Sı́ntesis del inductor y elemento NR en
el circuito de Chua.
resistencia no lineal NR , se toman en cuenta
tres puntos de funcionamiento en el amplificador operacional:
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Saturación Negativa, → V0 = −Esat−
Comportamiento Lineal, → V0 =
A(V d − Vos )
Saturación Positiva, → V0 = −Esat+
donde V d es el voltaje a la entrada del amplificador y VOS el voltaje de offset. Estos puntos de funcionamiento se pueden observar en
la curva caracterı́stica de NR , como se muestra en la Fig. 4. Al igual el valor del inductor depende de los elementos del circuito que
lo componen denotando la inductancia de la
siguiente forma Leq = (R7 R9 R10 C3 )/R8
III. ANALISIS ONDELETA
Una función ondeleta se define como una
función de onda pequeña que oscila en un
pequeño intervalo de tiempo. La función ondeleta, ψ(t), puede ser de carácter real o compleja que satisface ciertas condiciones pero
las más comunes son las siguientes:
R
ψ tiene promedio cero: ψ(t)dt = 0
ψ tiene energı́a finita, es decir,
R
|ψ(t)|2 dt < ∞
La expansión de una señal arbitraria en una
base ortonormal ondeleta es dada como
x(t) =
4.0mV
XX
m
2.0mV
0V
xm
n
-2.0mV
=
xm
n ψm,n (t),
(3)
x(t)ψm,n (t)dt.
(4)
n
Z ∞
−∞
-4.0mV
0V
-8.0V
-V(V3:-)
-6.0V
-4.0V
-2.0V
V(V3:+)
2.0V
4.0V
6.0V
8.0V
Figura 3. Curva caracterı́stica de la función no
donde las funciones base ondeleta están relacionadas de la siguiente forma
lineal f (x).
ψm,n (t) = 2m/2 ψ (2m t − n)
La Fig. muestra la proyección del atractor de
tipo doble enroscado de la versión equivalente
del circuito de Chua, donde se procedió a capturar los datos de los voltajes correspondientes a los voltajes de los capacitores.
(5)
donde m y n corresponden a los ı́ndices de
dilatación y traslación, respectivamente. Al
conjunto de ecuaciones (5) se le conoce como Transformada Ondeleta Discreta. La contribución de la señal en un nivel particular
ondeleta m es dada por
xm (t) =
X
xm
n ψm,n (t),
(6)
n
Figura 4. Proyección del atractor de doble
enroscado de manera numérica considerando los
datos experimentales capturados.
La Fig. 5 ilustra algunos ejemplos de funciones ondeleta que corresponden a la familia
de ondeletas de Daubechies [3][4]. Se puede
mostrar que los coeficientes ondeleta de ciertas señales tienen una ley de potencia de la
siguiente manera [3][4]
m −β
var(xm
,
n ) ≈ (2 )
(7)
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donde α es el coeficiente de escala. En base
al valor de α se puede caracterizar la señal
que se analiza. Si en la gráfica semi-logarı́tmica, log(var(xm
n )) vs m, se tiene una pendiente nula, α = 0 se considera un comportamiento similar al del ruido Gausiano. En
caso de que la pendiente sea negativa, entonces el comportamiento corresponde al de
un fractal y por último, si se tiene un conjunto ”pequeño”de niveles adyacentes en los
cuales se manifiesten los valores ”máximos”,
entonces se tiene una concentración de energı́a implicando una frecuencia portadora
presente en la señal.
Figura 6. Análisis ondeleta al estado x.
Figura 5. Ejemplos de funciones ondeleta:
a)ondeleta de Haar y ondeletas de Daubechies
b)db4, c)db8.
IV. RESULTADOS
En la Fig. 6 se muestra el análisis ondeleta realizado a las STC de los voltajes correspondiendo a los estados x, y y z, con el logaritmo de la varianza de los respectivos coeficientes ondeleta, su concentración de energı́a,
la reconstrucción correspondiente al número
de niveles considerados y el error existente
en la reconstrucción. Todos los cálculos se realizaron con con la función ondeleta db8.
Figura 7. Análisis ondeleta al estado z.
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Del análisis realizado a las STC’s de los estados x y z (Fig. 6 y 7) de la versión equivalente al sistema de Chua, se tiene que no
hay concentración de energı́a en algún nivel
en particular, resultando un comportamiento
similar al del ruido. De hecho en la reconstrucción se requirieron al menos seis niveles.
Mientras que para la STC del estado y, Fig.
8 , se puede observar que la mayor concentración de energı́a se encuentra en dos niveles,
lo cual implica que tiene frecuencia portadora, coincidiendo en gran parte a los resultados
presentados en [2][3].
Figura 8. Análisis ondeleta al estado z.
V. CONCLUSIONES
En base a nuestros resultados y para la implementación correspondiente del sistema de
Chua, se pudo verificar que se tiene una gran
coincidencia con los resultados mostrados en
los trabajos [2] y [3]. Sin embargo, se tiene
la ventaja de utilizar una versión equivalente
del circuito de Chua de manera más práctica con una señal de voltaje adicional para
analizar y el análisis ondeleta de sus series
temporales revela información importante de
las mismas. En general, se podrı́a recomendar
que para enmascarar información los estados
x y z son los ideales para tal tarea debido
a que la distribución de energı́a de sus coeficientes no se encuentra concentrada en algunos niveles, a diferencia del estado y.
Referencias
[1] Chua, L. O., Kocarev, L., Eckert, K., and
Itoh, M., Experimental Chaos Synchronization In
Chua’s Circuit, Int. J. Bif. and Chaos, 2, 705-708
(1992).
[2] Jiménez-López. E. Análisis de series de tiempo
caóticas con la transformada ondeleta, Tesis de Licenciatura en Ing. Electrónico, Ciencias, UASLP,
(2006).
[3] Murguı́a, J. S., and Campos-Cantón, E., Wavelet
analysis of chaotic time series, Rev. Mex. de Fı́s.,
52 155-162 (2006).
[4] W. J. Staszewski and K. Worden, Wavelet analysis of time series: Coherent structures, chaos and
noise, Int. Journal of Bif. and Chaos 3, 455-471
(1999).
[5] Torres, L. A. B., and Aguirre, L. A., Inductorless
Chua’s circuit, Electronics Letters 36, 1915-1916
(2000).
[6] Urı́as, J., Analog modulation and demodulation of
a chaotic oscillator, Rev. Mex. de Fı́s. 45, 331-335
(1999).