FUERZAS CENTRIPETA Y CENTRIFUGA PROBLBMAS PROPUESTOS {' un cuerpo de 1,5 kg recorre una circunferenciade 25 cm de radio con una velocidadde 2 rps. Hallar: a) la velocidadlineal, ó) la aceleración,c) la fuerzacentripetaaplicadasoure J *erpo, Sol. 3,14m/s; 39,48m/s?haciael centro; 59,43N. 1, Un cuerpo de l0 kg recorreuna circunferenciade 1,5 m de radio con una velocidadde 4 rps. calcular: a) la vetocidad linear; ü) ra.acereración,c) la fuerza ce{q.10_e1q -' --- ,"ür"'ii'"u."po. Sol, a\ 37,7 mls; b) 941. ,j m/sr hacia el centro; c) 961',25d."pi¡*á" .8. . Hallar la aceleracióncentrípeta de un punto situado en el ecuador. Tómese el radio ecuatorial igual a 6 400 km y el día sideralde 24 horas. Sol. 0,034m/sr. a queseencuentran som€tidas lasmasasde r,6 kg de un reguladoq centrífugo .€1 l1111]"^1"::::-Til*t en el -rnstante cn querecorrenunacircunferencia ,.á de 30cm de radioa una ¿e lOórpm,l ¡ ¡. "éloci-dad ^So/.5,39kp. 'un tren dc 100 Tm toma una curva sin peraltar de l5_0m de -- radio -- a una velocidadde 50 km/h. Hallar la eje-rc.iÉasob¡,e*.1.9-Talles. q::: so/. itt il:- .l"t'^"]" -< ll,¡ Un tren toma una curva de 150m de radio a una velocidaddo50-km/h, Hallar '- la pendienteque debelener el peraltc para que se ejerzálá misma fuerza sobrecada rafl. ,So/. í,i¿.--- '- - 12.. Un objeto está situado sobre una plataforma giratoria horizontal a una distancia de 60 cm de su eje. La plataforma empieza a moverseaumentandodÑelocidad ¿e-manera que;i ;;.d'.i;t. de rozamientoentre el objeto v la plataformaes 0,25,ttiuar ra uóióciáre;;61;; ""ir"i't'ü'i.uien¿o i. ertu .n et instanteen que el objeto comienzaa deslizar. ,So/. 2,02 radls,' t 3. Un objeto estácolocadoen.un c¡bo o calderoque describeuna circunferenciade ó0 cm de radio situadaen un plano vertical.calcular la mlnima velocidadque debellevarpáá""-üiiir.Lii" punto más alto de la trayectoria. So/. 2,43 mli, .ii¡Éi .r'ñ;ñ;;i 14. La cargaderoturadeun hilo de.60cm de.longitudesde 8 kp. un cuerpode0,5kp se unea estehilo y seIe obligaa.giraren.unplanoverticalrecorriendo una circunférencia. Hál.il" m¿iimaviiociáiáingúli, quepuedegirar sin queserompael hilo, So/, 7,g/r rad/s. " 15. En una cuerdade 50 cm de longitu-d,ñja por uno de sus extremos,se coloca en el otro un pesoque recorre una circunferenciahorizontar de 30 cm dé radio. Hallar Ia,;i;;liúá;ü;i";'¡; resultadoen rad/s y en rpm. Sol, 4,95 radls; 47,2 rpm, h ¿"erd;;;d;s";6';i 16. Un automóvil pasapor-un bj¡dénque sepuedeconsiderarcomo un arco de circunferencia situadoen un plano; vertical do ¡10m de radio. Calcular la máxima velocidada la que-puiáe .iiJ"rii io, ét para no saltar sobre la carretera. ,Sol. 7l km/h. t7, Sabiendoque.el cuerpohumano es capaz.desoportar una acaleraciónigual a 9 vecesla correspondiente a la gravedad,hallar el radio de curvaturamlnimo que deberátenerta trayect-oria áe un-ávionqu. r"iJtr".i" aiñu" dcspuésde haber efectuadoun bombardeo en picado moviéndoséJ" prr"ó vertical a la veloci4ad de 750 km/h. Sol, 492m. "" lE. Un piloto que pesa75 kp realizacon su aparato un rjzo_enun plano vertical a una velocidad de 150 km/h, cuando seencuentrabqc-a-1baig, en la posñión más alta ¿e ra tiaveciória, i" iu.rru que eiercero¡r. ei aiiinto del avión es de 25 kp. Hallar el radio del ¡izo. Indícación:Fuerzacentrlpetasobreel piloto : fuerza.delasientosobreel piloto * peso del piloto. .SoL l33 m. 19. Un .cuerpode 45 kp de pesooscilaatado al extremode una cuerda de 6 m de longitud. Cuando pasa por su posiciónmás baja lleva una velocidadde l0 m/s. Hallar la tensiónJta cue¿a eñla citadapoiióiO*'-^fo/. 121,5kp. 20' Calcularla velocidadcon que_deberíagirar la t ierra alrededorde su eje para que el pesode una persona en el ecuadorfuera las 3/4 partesde su pesoreal. Tómeseel radio ecuatorÍal'de6ioo t,ir. r (pesoreal) ^m M (2) l ^ mM rtp.ro pedido):(r---- mv,2 r siendo m : masa de_Ia persona,M : masade la tierra, w : mg : pesoreal de la persona,y : velocidad real de la tierra en el ecuador, ,r : velocidadpcd¡dadé la tierrá ."uá¿oi. Sr¡. 3 9gb m/s. "nil VEL OCIDAD Y ACE LE R A C ION A N C U LA R E S EcUAcIoNESDEL MovTMIENToDE RorAcIoN análogas A.ELERAD.. son a lasdelmovimiento li;al' s-e;;;i,:,i::!üifu;#;ffi.s 'NIF.RMEMENTE vamente'! vt ! <¡t rascorrespondientes rinear y angurar, respectifinales". ín .rtu, condiciones. vú : vo + a t ( r ) t:( ,ü o + d t Partiendo del reposo, vo : vt: ( ,Jt: g r:y o , + ! o r l pzr:vzo 0:o¡o f+ ! o t " ¡ozt: 0o: at r: a2o i 2u0 0, con lo cual I ot" T v't: o : l*, qt *2as 2as (')zt :2g.0 PNOBLEMASRESUELTOS 1' der mderongitud esde25cmE¡pre. SiTi?ffiilt; 3f*i:::: i'.:í,:il::" simpre Solución 0 en ¡adianes_ s(longituddel arco) :_- l 0,25m : '7 . r a d i á n t ( t aA¡ o ) - o en grados : 1/¡ rad , __l!9¡gq9r 2' convertir a) 5 radianesen revoruciones, á) 300 Solución a ) Srad ,:5ra--dx " lr ev : 5 f" rad };-rev : Á,3o revoruciones en radianes,c) 720 rpmen rady's, á) 3oorev : 3oo.u ,, jl tud : óooz¡rad c),o# : 720#; 2a,r19 " H,, +# __ 3' H::"T'f;¿"T",u:Tl.:i,i? deunpunto cuarquiera dera lLftfiif:llJ#.":'T'j1.i:il1?:." Solución 4' velocidad angular o : 300 rpm^: lOn Velocidadlinéal v para, : i-Á'., y : rad/s es la misma para todos los puntos de Ia rueda. o/ : l0n radls x)m : 20 m/s. f.^iñ3'l:lfft::i:itfi:e unarueda de3m deradiosabiendo queraverocidad rinear deunpunro Solución Velocidadangular,¡ : vlr: (15 m/s)/(3m) : 5 rad/s o 5lht revls. L + ó9 VELOCÍDAD Y ACELERAC]ON ANCULARES 5. La velocidad angular de una rueda aumenta uniformemente a partir del reposo y al cabo de 15 segundos es de 900 rpm (30 zr rad/s). Calcular la aceleración angular a, en rad/sz, y la aceleración lineal a, en m/dfde un punto situado a una distancia de I m de su centro. Solución to o : -91r : dr :2n 6. (30r - 0) rad/s : 2r radisr 1 5s - rad/sr x I m : 2¡ m/sg La velocidad angular de un motor que gira a I 800 rpm desciendeuniformemente hasta I 200 rpm cn 2 segundos.Hallar a) la aceleración angular del motor y ó) el número de vueltas que realiza. Solución o¿ : I 200 rpm :4On rad/s. r,r¡ = I 800 rpm : 60r radis, *1--'-L t a\ a : ll á) 0 :* (-o + ¿- : - : -et-=eo'Lfd/1 2s o r ) x , : - f { 00" lqrrad/ss. - ul0r ) r ad/ s x 2s : l 0 0 r r a d o 50rev. de 5 rad/s. Calcular el númerode vucltasque da a) en 7. Un disco gira con una aceleración'constante 8 segundoipartiendodel reposo,ó) durante el tercer segundo. Solución a) 0 : <,rot * \ á ) Pa rat:2 s, tl O : 1t . , rl :25'5 tev' : 160rad o 16012¡ : 0 +;(5 rad/s'¿)(8s)¿ )atz <¡ c : 5r ad/ s 2 x 2s : + o s ) x r:-i tl O+ l0r ad/ s ; Pir a ! : 3 s , x (3 -2 )s: 1 5 )ra d /s orr: 15rad/s. l 2,5rad osea l 2,5l 2tt: l ,99rcv' 8. La velocidadangularde un motor que gira a 900 rpm desciendeunifor¡nementchasta300 rqm efec' tuando 50 revolüciones.Calcutara) la aceleraciónangulary D) el tiempo necesariopara realizarlas 50 revoluciones. Solución oo : 9(X)rpm : 30t rad/s,t¿¿: 300rpm'1 lo".u'Ol,; 0 : 50 rev : lü)r rad' a) @f : ó)' 6: t'* 602+ 2ú0, . : 99-+- t' z Y ¡. : ' ---.tot 29 ;-o J5; (lor ra9CI'-:-1l9ra¿A)r : -4n rad/sr. 2 x loor rad : s' -' flo* -r' 1g*) rad/s o se a ::'" ::'o' : tt';i T| ti ?"" :-2 ' + , t: oo + o)r : 2 x 50rev 0sTJtEiE-: )s VELOCIDAD Y ACELERACION ANGULARES PROBLEMAS PROPUESTOS - 9' Convertir ¿) 50 revolucionese^nr4dianes,ó) 48r radianes en revoluciones, c) 72 rpsen rad/s, d) I 500 rpm rad,ls,e.)l1t,rad,lse1 rpm, /) 2 rad/s en grá¿crr¡r. on Sol a) t00r rad; b) ?A rév; c) t44r,"d7t7t'50" rad/s; e) 210 revlmin;f) I14,6 grados/s. 10. Expresarla velocidadangllar de40 grados/sen a) rps; ó) rpm; c) rad/s. Sol. t/9 rps; ffi19 rpm;2¡'19 radls.1l' una rueda gira a 480 rpm' Hallar la velocidadangular de un punto cualquierade la misma y la velocidad lineal de un punto situado a I m de su c€ntro ¡}r. l6n rad/s; lft m/s. t'' gj:"til?JJIJ;'o"o t3' '-ll' "ntular de un automóvil que toma una curva de 8 m de radio Hallar la velocidad angular de una rueda ae 2j,91_alaaio para que la velocidad lineal de un punto periferia seade 400-m/min. Expresarel resuláoo de su en rpm y en rad/s. Sol. 800/r rpm; 26,7 rad.ls. calcular los radianes que se desplazaen 6 horas un punto de la s¡perficie de la tierra dcbido a la rotación tmr',áeunlunto der..uu¿oi C;;;i&;"*er¿iasiáerar-: á'ñóá,v or *J¿tt,T1[l¿?:T".Sff: Sol. rl2 rad; 0,465km/s. - a una velocidad de 4i krn/h. 15' una rueda que gira a.razón de t 20 rpm incrementa lniformomente su veloci<radhasta 660 rpm en 6 segundoo. angular en iev/s'v en-rad/r', ;J;;;;lu-üi"ii"ion rineal de un punto situado e 3É*l{j".ffleración Sol, l rev/s¡; 2t radlsz;l,6n m/s¡, 16' La velocidad angular d¡ u¡ disco-disminuye unif-ormemente 4 rad/s en 16 segundos,calcular la acereraciónangurarvel número ¿e vuertasque eró-trü';;;ü;;. desde 12 a v. rrw'¡¡Pvr" So/' - 0,5 radlss;&ltt weltas. -* r7' i8üilü li:',8:h'á'lffiniii,f,S[H,lil,tirtiendo derreposo suacereración angurar esde2orad/sr? Sol. 125lnvueltas;45/r weltas, lt' I¿ velocidadangular de una.ruedaes 6,rps. Sabiendoque su aceleraciónangular es de 4 rad/sr calcular el nrlmcro de vueltas que dará hasta adquirii u* ;6td;liá; il;;;;iil,rpo que €mprearáen alcanzarra. Sol. 160n vueltas;l0r segundós, 19' una rueda que gira con una velocidad de 2 100rpm disminuyeésta uniformemente hasta 900 rpm cfectuando B0 weltas. c¿rcurarla aeleración ancura¡ á ti.n,p"lo"",itd;---"" i ,SoL - 12,5nrad/sr; 3,2 segundos. I ri ' !!,'| ,h- Capftulo 10 Fuerzascentrípeta y centrífuga MovIMIENTo DE RorAcIoN UNIFORME es el de un cuerpoque reoorre una circunferenciacon una velocidadlinealde móduloconstante. ACELERACION CENTRIPETA. Cuando un cuerpo está dotado de un movimientode rotación unifo.rme,ar¡nqueel módulo de su velocidades cónstante,ladirecciónvaria constantemente. Como la velocidades una magnitud.vectorial y, por tanto, además¿e m¿duloposeeairecciony,rntiio, resultaevidenteque en cualquiermovimieniode rotaciónunir*rá .iirie üna aceleracicln ir""oi"a" por el cambiocontinuode dirección. La direccióndel vector aceleraciónes perpendiculara la direcciónde Ia velocidady su sentido es haciael centrode la circunferencia..(Si no fuera asi, habrla uou *rnponente de aeeleración en la direcciónde la velocidady el módulo de la velocidadn'ose.""ii"¿¡"-r'"nria¡ir,l El módulode esta'aceleración centralo quesedenominaaceleracióncentrlpetaes (vglocidqd linealdel.cucrpo)r. _ v' : radio de ta trayectoriá-iiEüiái- T t , _ Otraeexpresiones son: A: Siendo /: y¡ -: r (2nrI), :4 tT r y yr A : T: lor)r -:_-i- : (Olf velocidad angulardel cuerpo en rev/s,o : velocidadangul_,a¡ 9n rad/s. FUERZAS CENTRIPETA Y CENTRIFUGA' La aceleracióncentrípetade un cuerpo da lugar a una fuerza,(,F: ma.: mv'lr) dirigidahacia el centrode Ia trayectorialque recibeel nombie de fuerza cewrat o centrtDeta, ley de Newton, a toda acciónIe correspondeuna reacciónigual y opuesta. fuerzadirigidaensentidocontrarioalacentrípetarecibeeli'o*u'.¿.¿erzaceítrífuga La "-.^-jtqij-li-,ercera El valo¡ de la fuerzacentrípeta.Fes F: tnd - m ul r- : 4ntfrm: 71 manr T2 FUERZAS CENTRIPETA Y CENTRIFUGA PROBLEMASRESUELTOS l. se hacegirar horizont"lS.l:.un cuerpo 9r J.tg atado al extremode una cuerdadescribiendouna circunferencia de r m de radio a una verocid"ü'.49 r revoruciones f"r'*e,;id" riñ. ffiñilji a) la velocidadlineal en mfs,ó) la aceteracio", 1",r"*{'lJiJii""i"o.iu.u..¿" sobreel cuerpo, d)lafuerza ejercidasobreél cui.po po. la cueriá, "l e) ¿eué o.urr. rir. rompera cuerda? Soh¡ción a) v :2 ¡c rf:2 n (t m )(3 /s ):6 ¡m/s. o y : 2nrf:(ht x t)m/rev x 3rev/s: 6nm/s. b) c),ü ¿ - vzlr : (6r mis)ti(l m) : 35,tem/s2haciael centrode la circunferencia. F : n/ra : m(vllr): (t/9,8utm)(36arm/sr): 3,68r,kp. Ia fuerzacjercidapor la cuerdasobreel cuerpoesla fuerzacentrípeta. La fuerzaejercida poretcuerpo sobrcla cucrdaesla fuerzacentrífuga. gstas¿os?ue.zas sonde módulo(3,6gr,kp), de la mismadirección,perode sentidocontrario'La fuerzacentripetatienetaigual áirecciJnlá'ra¿io y su sentidoeshacia cl centrode la circunferencia' La fuerzacentiiruiatien"eo ;i;.;-áÉ;ñ, perosentidocontrario. e) El cucrpoadquicrcun movimientorectilíneo, segúnla direcciónde Ia tangente a la circunferencia. 2. Hallar la máximavelocidada la queun automóvilpuedetomarunacurva de 25 m de radiosobreuna carreterahorizontalsi el coeficientede rozamientoentrelas rueoasy ü""rirt.ru es0,30. Solución L¿ fuerzacentralnecesaria qaramantener al automóvil.en-ta curvala proporciona la füg¡¡;,derozamientoentrelasruedasy la carretera.Seat, el pesodel auiomovil;la máxima fuurzacent¡aldebidaal rozamiento esOiXlw' Fuerza de rozamiento : fuerzacentrip€ta 0 , 3 0r y : m ( v 2 l r ) : ( w l d o z l r ) dedonde ¡ : e30s¡r y , : l/d,nlr: : 8,59m/s. 3' 1,6J0(rS m/s,)(r5 , ", una curvade 30m de radioestá-perattada de maneraqueun automóvilpuedetomarlaa unavelocidad de 15 m/s. Hallar la pendiente db la curva. Solución [¿s dos fuerzasaplicadasal automóvil en I son: l) Su peso w : mg que actúa verticalmentehacia abajo. 2) t¿ reacción P de la carreter? que es normal a ella. I.a resultante de estas rlos fuerzas debe ser 91a {ue¡za horizontal en la dirección ,{C de sentido hacia el centro C de la trayectoria cirvitínea y de módulo mflr. rg0 : nvzlr mg #%:o,..sl y 0 : ángulo cuya tangentees 0,754:37,40. 73 FUERZAS CENTRTPETAY CENTRTFUGA Una bola .B está unida al extremode un hilo de 24 cm de longitud cuyo otro extremoes un punto fijo O. La bola describeuna circunferenciahorizontal de radio CB como indica la figura. Hallar la velocidadde la bola sabiendoqueel hilo forma un ángulode 30ocon la vertical. Solucién Fieura la) Las dos fuerzasaplicadasa la bola son: (a) Su peso, mg. (b) La tensión en el hilo. La resultante(>F) de estas dos fuerzas debeseruna fuérzahorizontal en la direcciónBC y de sentido hacia C con un módulo igual al de la fuerza centrlpeta, mv2fr, n*esaria para mantgner a la bola en su trayectoria circular. Radio BC :24 cm x sen30o: 12 cm tg 30o: -^"J' mg dedonde, :Vrs tgSO': l6,tñ 0J774: 0,824m/s. r r,8 -/." Otro método.VéaseFig.(ó) La componenteverticalde la tensiónequilibrael pesode labola(mS). La componente,horizontal de la tcnsiónes igualal módulode la fuerzacentrípeta(mv'lr). A partir de aquí sesiguecomoen el primermétodo, 5. Un cuerpo de 2 kp unido a una cuerda describeuna circunferencia vertical de 3 m de radio. Hallar a) la mínima velocidad yr que debe tener el cuerpo en la posición más alta para que la cuerda permanezcatirante, á) la mínima velocidad vDen la posición más baja para que la cuerda siga tirante cuando el cuerpo se dirige hacia la posi ción superior de la circunfer€ncia, c) la tensión ?¡¿ en la cuerda cuando el cuerpo está en la posición inferior de la circunferencia moviéndosea la velocidad critica v¿. vt Solucién a) Cuando el cuerpo se encuentraen la posición superior, actúan sobre él dos fuerzas: I ) el peso,2) la tensión7¿.La resultantede ambasdebe ser la fuerza centrípetanecesariapara manteneral cuerpo en su trayectoriacircular. Fuerzacentrípeta: tensiónen la cúerda * pesodel cuerpo m ' r tffr :T t*m E La cuerda se afloja cuando Il : 0, es decir, cuando mv¡gfr : 0 | + ms o ,, : ] y ' gr : Yr , s t 3 : 5, 42m ¡ s . á) Al pasarde la posicióninferiora la superior,el cuerposeelevaa una altura 2¡. E. C. en la posicióninferior : E. C. en la posiciónsuperior+ E. P. en la posiciónsuperior 1"1". : :mvtz | (ng) (2r') "mvu" i**n Si v¡ es menor que VW, r, será menor quey¡l Fuerza centrípeta : c) mv¡2fr : Por tanto, T t: r 2mgr,y yo:lfw : n,t^tr. m ( va 2 lr ) ¡ m g : y la cuerda pierde su tirantezen Ia posición superior. tensión en la cuerda Ta - peso del cuerpo mg m ( 5 sr lr ) * mg: mg (5 + l ) : 6w :6(2 kp)': l 2 kp. C qp ítulo ' Velocidad y aceleración angulares EL DESPLAZAMIENTO ANGULAR (rev) y radianes (rad). se expresa,normalmente, en grados ('), vueltas o revoluciones Un radián es el ángulo subtendidoen el centro de un círculo por un arco cuya longitud es igual a radio. Como la longitud de la circúnferencia: 2n x radio, el desplazamientoangular corresponclientea I revolución es de 2n radianes. : 360"- 2nradianes,I radián: I revolución # : rl.uj; : 5..,3o angularen revoluciones. angularen radianes: 2n x desplazamiento Desplazamiento un númeroadimensional. La medidade un ángutoen radianes(f=t#!,*)., VELOCIDAD ANGULAR (o) de un cuerpoen movimientode rotaciónen tornoa un ejesedefinecomo la variación del desplazamientoangular que experimentaen la unidad de tiempo. Se expresaen (rps) o rev/min(rpm). rad/s, 'Si o bien, en grados/s,rev/s su velocidad un cuerpose desplazaun ángulode 0 radianesen un tiempode r segundos, angularmediat¿(rad/s)sedefinepor la relación: : O r,r(rad/s): ' - tiempo(segundos)invertido en el desplazamiento t Como I rev/s: 2traófs, to(rad/s):2n que se denominahertz (Hz). en rev/sy x rev/s:2rrl, siendo/ la frecuencia ACELERACION ANGULAR (a) de un cuerpoen movimientode rotaciónen torno a un ejeesla varia' ción que experimentasu velocidadangutaren la unidad de tiempo. Se expresaen radianespor cadasegundo(rad/s'?). segundo resulta: de to. a c,l,rad/sen f segundos, Si la velocidádangularde un cuerpovariauniformemente a '(fa O /S=t: ' RELACION variación de la velocidad angular (rad/s) tiempo (s) invertido en la variación -- ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES (ü, - ú)o t Y ANGULARES s : 0r s -- longitud del arco, en metros, centimetros,etc. a dr 4 v: @r ; =;:Íi:i.'JTillllifllil.-Á:i: : : etc. aceleración lineal, en m/sr, donde 0 está en radianes,r,ren rad/s y a en rad/sr. 67