Astronomía de posición Antonio López (prof. Invitado) – Ceferino Ruiz

ESTALMAT-Andalucía Oriental
Sesión inaugural curso 2007-2008
SOBRE ASTRONOMIA DE
POSICIÓN
SOBRE ASTRONOMÍA DE
POSICIÓN
Antonio López López (Profesor invitado)
y Ceferino Ruiz Garrido
27 de septiembre de 2007
Los contempladores de estrellas
Osa Menor
Antes de astrónomos fuimos sólo unos mirones de los cielos. El
aspecto del cielo estrellado ha poseído al Hombre desde que se elevó a la
dignidad humana, es posible que haya sido la causa de que la haya
alcanzado.
Osa Mayor
1
Mientras contemplamos las estrellas podemos sentir todavía la alegría del
pastor homérico, la veneración de egipcios y caldeos y la curiosidad de los
primeros matemáticos.
.
Fuimos contempladores de estrellas y vivimos esa emoción de pertenecer y
participar de ese todo que todo lo llena, que todo lo invade de forma suave
y placentera, con esa luz plateada que nos une a la vida y con esa dorada
luminosidad en la que navegamos diariamente.
Aries y Triángulo
Can Mayor y Sirio
FANDANGO
Me gusta ver a la Luna
bailando entre las
encinas.
Me gusta ver a la Luna,
en lo alto la colina,
me dan las doce y la
una,
me dan las doce y la
una.
Y las estrellas por techo,
mi manto de cabecera.
Y las estrellas por techo
el “ganao” en la “laera”,
la tierra bajo mi pecho
y mi serrana a mi vera.
Otro Fandango
Porque me guío por el Sol
no tengo prisa ninguna,
porque me guío por el Sol
yo con mirar las alturas
no necesito reloj
“pa” saber la hora segura.
El Cabrero
El Cabrero
2
Digo fuimos contempladores de estrellas porque en la
actualidad, en este mundo tan moderno, es difícil contemplar el
cielo estrellado en todo su esplendor. La contaminación lumínica de
las ciudades nos han robado ese placer de las noches estrelladas,
ahora para ver las estrellas hemos de ir a un planetario, visita
agradable y que no está mal pero no es lo mismo que el paseo a las
afueras del pueblo o tumbarse boca arriba y caer con la imaginación
en ese universo oscuro con puntitos blancos.
Casiopea
La contaminación luminosa de las ciudades,
pueblos, autovías, carreteras y otros entes, nos ciega
para la contemplación de esos maravillosos cielos en las
distintas estaciones. Por otra parte, esa contaminación
es un derroche de energía que sólo sirve para fastidiar y
hurtar algo que se puede tener sin pagar. Millones de
euros van a la basura, dinero que se podría utilizar en
otros menesteres más necesarios. Este despilfarro de
euros y energía nos hace más tristes, tristes con las
luces de neón, tristes con las luces de escaparates
falsamente alegres, tristes en los paseos por las calles
tan iluminadas en las que no podemos gozar con esa
mirada interior y la lentitud para cocinar esos
sentimientos absolutos y profundos.
Contaminación lumínica
Primero fuimos contempladores de estrellas,
después astrónomos y, muchos, contempladores y
astrónomos a la vez.
Quizás en la actualidad sólo seamos astrónomos
que estudiamos el cielo en la pantalla de un
ordenador.
3
Nebulosa del Cangrejo
Orión
Constelación del León
LA TIERRA
Durante muchos siglos nuestro tamaño en relación al tamaño
de la Tierra nos ha engañado. Creíamos que nuestro planeta era
plano como el suelo de nuestra habitación. Bueno, más o menos
plano, algunas montañas, algunos valles se podían interpretar como
pequeñas arrugas en ese plano inmenso que era nuestra amada
Tierra.
Los primeros griegos concibieron la Tierra como un disco con
Grecia, naturalmente, en el centro.
Este disco plano estaba formado en su mayor parte por tierra
firme, estaba bordeado por el “Río Océano” que penetraba en el
centro como mar Mediterráneo. Hecateo de Mileto, hacia el 500
a.C., geógrafo, estimó que el disco circular debía tener un diámetro
de 8000 kilómetros. La superficie de la Tierra se calculaba en unos
51 millones de kilómetros cuadrados (una décima parte de la
superficie real de la Tierra).
4
Para una persona con los ojos bien abiertos no
podía resultarle de sentido común, ¿por qué? Si nuestro
planeta fuera plano desde cualquier punto se verían las
misma estrellas en el cielo (con diferente perspectiva,
por supuesto). Se sabía que los navegantes que se
dirigían hacia el Norte veían nuevas estrellas que no se
observaban desde el Sur y viceversa: unas aparecían en
el horizonte y desaparecían otras.
• “Así que el divino Odiseo desplegó gozoso las velas
al viento y sentado gobernaba el timón con
habilidad. No caía el sueño sobre sus párpados
contemplando las Pléyades y el Bootes, que se pone
tarde, y la Osa, que llaman carro por sobrenombre,
que gira allí y acecha a Orión y es la única privada
de los baños de Océano. Pues le había ordenado
Calipso, divina entre las diosas, que navegase
teniéndola a la mano izquierda. “
Homero-Odisea, Canto V.
Las Pléyades
Otros filósofos griegos sugirieron:
* Anaximandro de Mileto (610
a.C.- 546 a.C.): La Tierra tenía forma de
cilindro curvado hacia el Norte y el Sur
(en una novela de Arthur C. Clarke los personajes habitan un
mundo cilíndrico) .
* Filolao de Tarento (siglo V
antes de Cristo): La Tierra tiene forma
esférica. Lo prueba basándose en la
forma circular que siempre produce la
sombra de nuestro planeta sobre su
satélite en los eclipses de Luna.
5
Esta concepción creaba el problema de
arriba y abajo, los que estuvieran en las
antípodas estarían cabeza abajo. Se pensó en
los conceptos de arriba y abajo como relativos,
al igual que derecha e izquierda.
En buena parte de la Edad Media la mayoría
de la gente pensaba que la Tierra no podía ser
redonda: los de las antípodas se caerían, cosa
lógica.
Eratóstenes y su cálculo
El primer cálculo bien hecho sobre las dimensiones de
la Tierra lo hizo el matemático, gramático y geógrafo
Eratóstenes, director de la Biblioteca de Alejandría,
hacia el 230 a.C.
Al parecer, conocía que en Siena (Asuán), en Egipto,
a mediodía en el solsticio de verano los rayos del Sol
iluminaban por completo el fondo de un pozo profundo:
los rayos eran perpendiculares sobre esa ciudad. A la
misma hora, en Alejandría, al Norte de Siena (más o
menos en el mismo meridiano) un obelisco proyectaba
una sombra cuyo ángulo se medía con facilidad y resultó
ser, aproximadamente, la cincuentava parte de la
circunferencia.
La distancia entre Siena y Alejandría era de unos
5000 estadios, una sencilla proporción nos da la longitud
de la circunferencia terrestre: 1/50 =5000/x, así que
longitud de la circunferencia era de unos 250000
estadios.
250000 estadios = 157,5 x 250000 metros = 39375
km, cálculo bastante aproximado al real.
6
La precesión de los equinoccios
Precesión y nutación
Como todos sabemos, la Tierra tiene dos movimientos uno de traslación alrededor
del Sol y otro de rotación sobre si misma, cuyo eje pasa por los polos y define en la
esfera celeste el eje del mundo.
La Tierra en su movimiento de rotación lo hace como una peonza o un trompo,
realizando a la vez un leve balanceo, inclinándose de un lado para otro. El eje de
rotación define o describe en el espacio una superficie cónica.
Como consecuencia de este balanceo, llamado movimiento de precesión, los polos
celestes no permanecen fijos, desplazándose de forma muy lenta a los largo de un
circunferencia. Para dar una vuelta completa se requieren 26000 años.
La estrella polar que hoy coincide, más o menos, con el polo norte dejará de
coincidir al cabo de cierto tiempo. Así cuando se construyó la Gran Pirámide de
Egipto, la estrella polar coincidía con la estrella Thuban, en la constelación del
Dragón, orientando los constructores el pasillo central de la pirámide hacia esa
estrella.
En el año 10000, la estrella polar será Deneb en el Cisne y en el 14000 será Vega en
Lira.
Precesión
Estrellas polares en la Historia (pasada, presente, futura)
Movimiento aparente de las estrellas
Como consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra tenemos las sensación
de que la esfera celeste gira alrededor del eje del mundo. Como la Tierra rota de
oeste a este, los cuerpos celestes los vemos desplazarse en sentido contrario: salen
por el este y se ponen por el oeste.
Un observador situado en el polo norte (o sur) ve la estrella polar (δ-octante) encima
de su cabeza, en el cenit, y las demás estrellas describen una trayectoria paralela al
horizonte.
Un observador situado en el ecuador ve a la estrella polar en el horizonte, mientras
que las demás estrellas describen una trayectoria vertical, salen hacia arriba, llegan
hasta una cierta altura sobre el horizonte y después bajan.
Un observador situado entre el polo y el ecuador verá a la polar (δ-octante ) en un
punto situado a una cierta altura sobre el horizonte (su latitud). Las estrellas
cercanas al polo describirán circunferencias alrededor del polo, mientras que las
demás estrellas salen por el este, describen un arco de circunferencia y se ponen
por el oeste.
7
• img9.gif
8
Geometría sobre la superficie esférica
Otras partes de la esfera
Es importante el estudio de la Geometría esférica para resolver
problemas de la Astronomía y de la Geodesia, muchos de ellos
fundamentales para las Geografía, Cartografía, Navegación aérea y
marítima, Medición del tiempo y otras materias.
Geometría sobre la esfera
Coordenadas geográficas
En cada época las necesidades han cambiado,
necesitándose más información y más precisión en los
datos. Con los largos viajes, la navegación y otros
menesteres el ser humano tuvo la necesidad de conocer
las estrellas, los planetas y su movimiento en la esfera
celeste: los ciclos, los ritmos, la siembra, la cosecha, el
calendario,… todo dependía en cierta manera de los
cielos.
Necesitamos saber con exactitud dónde nos
encontramos sobre la superficie terrestre. Para ello, se
tenía que tomar unas líneas de referencia.
9
La Tierra rota sobre sí misma y el eje imaginario de
rotación pasa por dos puntos terrestres, uno llamado
Polo Norte (PN) y el otro llamado Polo Sur (PS).
Tomamos un plano perpendicular al eje de rotación y
que pase por el centro de la Tierra, ese plano dibuja
sobre la Tierra una circunferencia máxima llamada
Ecuador.
Las circunferencias sobre la superficie terrestre
paralelas al ecuador se les denominará paralelos. Las
circunferencias máximas que pasan por los polos
(perpendiculares al ecuador) se les llamará meridianos.
Para definir unas coordenadas sobre la Tierra
tomaremos como referencia el ecuador y el meridiano
que pasa por Greenwich.
N
Meridiano
Polo Norte = Latitud 90° N
Paralelo
Latitud
180°
O
Longitud
0°
Ecuador
E
Meridiano
de Greenwich
S
A cada punto sobre la superficie de la Tierra le
asociaremos dos números:
La latitud se expresa con un ángulo entre 0º y 90º, latitud Norte
o latitud Sur, dependiendo de que el lugar esté en el hemisferio
norte o en el hemisferio sur.
LATITUD: distancia angular existente entre el
ecuador y el paralelo que pasa por ese punto o
lugar, medido sobre el meridiano del lugar.
La longitud se expresa con un ángulo entre 0º y 180º, longitud
este o longitud oeste, dependiendo de que el punto esté al este o al
oeste del meridiano origen.
LONGITUD:
LONGITUD: distancia angular entre el meridiano
que se toma como referencia, meridiano de
Greenwich y el meridiano que pasa por el punto o
lugar.
Hay varios métodos para el cálculo de las coordenadas
geográficas, necesitamos a los cielos para este menester.
10
Coordenadas geográficas de
algunas ciudades españolas
Almería 36.50 N 2.28 O
Granada 37.11 N 3.35 O
Jaén 37.46 N 3.47 O
Málaga 36.43 N 4.25 O
Motril
36.44 N 3.31 O
Barcelona 41.23 N 2.11 E
Castellón de la Plana 39.59 N 0.02 O
Oropesa 40.06 N 0.09 E
LA ESFERA CELESTE
Como en la antigüedad se creía que la Tierra estaba
inmóvil en el centro del Universo se suponía que las
estrellas fijas estaban sobre la superficie de una esfera.
Esta esfera giraba alrededor de la Tierra, los planetas
giraban en órbitas circulares y lo mismo hacía el Sol y la
Luna. Incluso en la Edad Media la gente sospechaba
que esa esfera era algo sólido y firme, de ahí
firmamento, con agujeritos, a través de los cuáles la luz
del divino cielo, las estrellas, llegaba hasta nosotros.
Cuadrante
De cualquier forma, los astrónomos antiguos idearon
conceptos y artilugios para localizar los astros en
cualquier momento en esa esfera sólida que giraba
alrededor de la Tierra.
Para ese fin localizador de cuerpos celestes, era
necesario definir algunos puntos, líneas, y planos
especiales en la esfera celeste. Estos objetos especiales
servirían como referencia y punto de partida.
11
El astrolabio es un instrumento que permite determinar las
posiciones de las estrellas sobre la bóveda celeste.
La palabra astrolabio significa etimológicamente "el que
busca estrellas" y debe su procedencia al griego ("Astro",
estrella y "Labio", el que busca). Sinesio de Ptolemais
atribuye su invención a Hiparco de Nicea, alrededor de 150
adC. Para el siglo VIII ya era ampliamente conocido en el
mundo islámico y en Europa en el siglo XII.
herramienta matemática que podía ser usada para
resolver todos los problemas comunes de astronomía
esférica de cinco formas diferentes.
La parte delantera de la madre sirve para saber en
qué parte del mundo se está y que hora es. Una pieza
gira encima de la placa madre, que se llama araña o
red, y sirve para saber en que posición del cielo está
el Sol. Esta pieza representa al firmamento visible de
todo el mundo. Una aguja representa, por un extremo,
al Sol, y por el otro, la hora que es.
Durante los siglos XVI hasta el XVIII el astrolabio
fue utilizado como el principal instrumento de
navegación hasta la invención del sextante.
Los astrolabios eran usados para saber la hora y
podían usarse también para determinar la latitud a
partir de la posición de las estrellas. Los marineros
musulmanes a menudo los usaban también para
calcular el horario de oración y encontrar la dirección
hacia la Meca.
El astrolabio se basa en la proyección
estereográfica de la esfera. En su forma original
requería una placa de coordenadas de horizonte
distinta para cada latitud, pero en el siglo XI el
astrónomo al-Zarqallu, en al-Andalus, inventó una
placa cónica que servía para todas las latitudes. La
obra maestra de la técnica de fabricación de
astrolabios fue la del sirio ibn al-Shatir, una
herramienta matemática que podía ser usada para
resolver todos los problemas comunes de astronomía
esférica de cinco formas diferentes.
Sextante
12
El sextante es un instrumento que permite medir
ángulos entre dos objetos tales como dos puntos de una
costa o un astro -tradicionalmente, el Soly el horizonte. Conociendo la elevación del Sol y la hora
del día se puede determinar la latitud a la que se
encuentra el observador. Esta determinación se
efectúa con bastante precisión mediante cálculos
matemáticos sencillos de aplicar.
Este instrumento, que reemplaza al astrolabio por tener
mayor precisión, ha sido durante varios siglos de gran
importancia en la navegación marítima, incluso en la
navegación aérea también, hasta que en los últimos
decenios del siglo XX se impusieron sistemas más
modernos, sobre todo, la determinación de la posición
mediante satélites. El nombre sextante proviene de la
escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60
grados, o sea, un sexto de un círculo completo.
Una mira telescópica.
Filtros de protección ocular.
Uso del sextante:
En la medición de la altura de un astro se
coloca el sextante perpendicularmente y se orienta el instrumento
hacia la línea del horizonte. Acto seguido se busca el astro a través
de la mira telescópica, desplazando el espejo móvil hasta
encontrarlo. Una vez localizado, se hace coincidir con el reflejo del
horizonte que se visualiza directamente en la media parte del
espejo fijo. De ese modo se verá una imagen partida, en un lado el
horizonte y en el otro el astro.
A continuación se hace oscilar levemente el sextante (con un
giro de de muñeca) para tangentear la imagen del sol con la del
horizonte y de ese modo determinar el ajuste preciso de ambos. Lo
que marque el limbo será el ángulo que determina la Altura
Instrumental u Observada de un astro a la hora exacta medida al
segundo. Tras las correcciones pertinentes se determina la altura
verdadera de dicho astro, dato que servirá para el proceso de
averiguar la situación observada astronómicamente.
Forma de operar el sextante. Para determinar el
ángulo entre dos puntos, por ejemplo, entre el horizonte
y un astro, primero es necesario asegurarse de utilizar
los diferentes filtros si el astro que se va a observar es el
Sol (muy importante por las graves secuelas oculares
que puede generar). Además, es necesario proveerse
de un cronómetro muy preciso y bien ajustado al
segundo, para poder determinar la hora exacta de la
observación y, de ese modo, anotarla para los
inmediatos cálculos que se van a realizar.
Para llevar a cabo estas mediciones, el sextante
dispone de:
Un espejo móvil, con una aguja (alidada) que
señala en la escala (limbo) el ángulo medido.
Un espejo fijo, que en media parte permite
ver a través de él.
Coordenadas celestes
Si queremos fijar la posición de un astro en la esfera
celeste debemos utilizar algún sistema de coordenadas.
Nosotros utilizaremos algunos de ellos.
Características:
- El
punto origen de estos sistemas
es el centro de la esfera celeste.
- Cada sistema tiene un plano
fundamental y un radio vector.
13
Coordenadas Horizontales
- Mediremos a partir de un dirección
fija del plano fundamental de 0º a
360º. La otra coordenada se mide a
uno y a otro lado del plano
fundamental de 0º a 90º.
En el primer sistema que estudiaremos, las
coordenadas se llamarán azimut y altura. El plano
fundamental es el HORIZONTE y el radio vector es la
MERIDIANA (dirección Norte-Sur).
N
´
E
O
En la figura NOSE representa el plano del horizonte.
NZS representa el plano meridiano y NS que es la
intersección entre el plano meridiano y el horizonte es la
meridiana.
El punto Z es el cenit del lugar y Z´ el nadir.
La estrella representa el astro, el ángulo sobre el
paralelo entre el plano meridiano del lugar y el plano
meridiano del astro (Z-estrella) es el Azimut. En
astronomía los azimutes se miden a partir del sur hacia
el oeste, de 0º a 360º.
14
La otra coordenada en este sistema es el ángulo
entre el plano del horizonte y la estrella sobre el
meridiano del astro. Esta coordenada se llama Altura.
Se mide de 0º a 90º. El complemento de la altura se
llama distancia cenital del astro.
Este sistema se adapta a la determinación de las
coordenadas del astro por medio del teodolito y otros
instrumentos. Estas coordenadas debido al movimiento
diurno irán variando de forma continua y nos hará falta
la “hora”.
La latitud del lugar será la altura del polo,
aproximadamente, la altura de la estrella polar.
Coordenadas Ecuatoriales Horarias
En este segundo sistema a estudiar las coordenadas se
llamarán Ángulo Horario y Declinación. El plano
fundamental será el Ecuador y el radio vector la
Meridiana.
δ
15
Como se puede observar en la figura, el ángulo formado
por el plano meridiano superior (contiene al cenit),
contiene a la dirección norte-sur y el círculo horario de la
estrella es el Ángulo Horario, H (en la segunda figura
viene representado por t). En atención al movimiento
aparente de la esfera celeste, la estrella y su círculo
horario girará, alrededor de la línea de los polos, eje del
mundo, efectuando un giro completo en 24 horas,
pudiéndose expresar los ángulos horarios en unidades
de tiempo:
360º = 24 h; 15º = 1 hora; 15’ = 1 minuto; 15´´ = 1
segundo.
El ángulo horario se mide en sentido retrógrado de 0º a
360º (0h a 24h) desde el punto Sur.
La segunda coordenada es la declinación,δ. Es el
arco de meridiano desde el ecuador a la estrella. Se
mide de 0º a 90º en ambos sentidos. La declinación será
positiva si el astro está en el hemisferio boreal y será
negativa si se encuentra en el hemisferio austral. Esta
coordenada es fija para una estrella dada.
El inconveniente de este sistema es que se necesita
para fijar las coordenadas un instrumento especial. Éste
se llama Ecuatorial y su eje es paralelo al eje polar.
Coordenadas Ecuatoriales absolutas
Las coordenadas que usaremos serán: Ascensión
recta y Declinación. El plano fundamental es el
ecuador y el radio vector es la línea de equinoccios. El
punto fundamental es el punto Aries, γ (gamma), y el
sentido de medición es el directo, el sentido contrario a
las agujas de reloj.
6
9
ή
o
16
Puntos Aries y Libra
La ascensión recta, α, es el ángulo o arco formado
sobre el Ecuador desde el punto vernal o punto Aries, γ,
(equinoccio de primavera), hasta el meridiano que
contiene a la estrella. Se mide en sentido directo (hacia
el este) de 0º a 360º o de 0h a 24h.
La declinación ya la conocemos.
La eclíptica es el plano donde se mueve la Tierra
alrededor del Sol en su movimiento de traslación. Este
plano corta al ecuador en dos puntos: el punto Aries y el
punto Libra, comienzo de la primavera y comienzo del
otoño, respectivamente. La eclíptica y el ecuador forma
un ángulo de 23º 27´ aproximadamente. Este ángulo no
es fijo y se designa por la letra ε.
En este sistema las coordenadas son fijas y es el que se
utiliza de forma generalizada.
El Sol alcanza su máxima declinación cuando está
en 69, llamado Trópico de Cáncer y corresponde al 21 de
junio y alcanza su valor mínimo cuando alcanza el punto
ήo, llamado Trópico de Capricornio y corresponde al 21
de diciembre (más o menos). El máximo valor para la
declinación del Sol es la oblicuidad de la eclíptica, ε.
La declinación del Sol varía entre los valores - ε < δ < 0
< δ < ε. El primer tramo hasta cero corresponde a otoño
e invierno y el otro a primavera y verano.
17
La ascensión recta de una estrella, α, es constante
al igual que la declinación,δ, pero como la Tierra está
girando H varía constantemente. El valor α+H es lo que
llamaremos hora sidérea y la representaremos por θ. La
hora sidérea de un lugar es igual al ángulo horario más
la ascensión recta del astro. También se puede definir
como el ángulo horario de punto Aries.
La igualdad
θ=α+H
es
fundamental en Astronomía de Posición.
la
Con la relación fundamental θ=α+H podemos pasar
de coordenadas ecuatoriales absolutas a horarias y
viceversa, para lo que se necesita conocer la hora
sidérea en el momento de la observación.
relación
Cada vez que al girar la Tierra el meridiano
de un lugar pasa por el punto Aries, decimos que en ese
lugar empieza un día sidéreo, es decir, son las 0 horas
de tiempo sidéreo.
También podemos pasar de coordenadas horizontales a
ecuatoriales absolutas, haciéndolo a través de las
horarias resolviendo el triángulo de posición de vértices
el Polo Norte, el cenit y el centro del astro.
Coordenadas Eclípticas
La órbita sobre la que se mueve la Tierra o el Sol,
según se mire, es una curva que se encuentra sobre un
plano:
la eclíptica. Realmente esa órbita no es
totalmente plana y eso es debido a la atracción de los
demás planetas, en particular a Júpiter y Saturno.
La eclíptica corta a la esfera celeste en una
circunferencia máxima que pasa por los puntos Aries y
Libra, línea de equinoccios, formando con el ecuador un
ángulo de 23º 27’ = ε, aproximadamente.
18
El eje de la eclíptica, perpendicular al plano por el
centro de la Tierra ( o el Sol), dependiendo de que
consideremos el sistema geocéntrico o heliocéntrico,
corta a la esfera celeste en dos puntos π y π´, son los
polos de la eclíptica.
π es el polo norte de la eclíptica.
π´es el polo sur de la eclíptica.
Las coordenadas en este sistema son la longitud
celeste, λ, y la latitud celeste, β.
La longitud celeste, λ, de un astro es el arco de la
eclíptica contando desde el punto vernal, γ, hasta el
máximo de longitud ( meridiano que pasa por los polos
de la eclíptica y por el centro del astro: λ = γE1).
La latitud celeste, β, es el arco máximo contado
desde la eclíptica hasta el centro del astro: β = E1E.
La longitud se mide de 0º a 360º y la latitud entre 0º
y ± 90º, dependiendo del hemisferio en que se
encuentre.
Coordenadas eclípticas y ecuatoriales absolutas
19
Relación con las ecuatoriales
Las coordenadas ecuatoriales absolutas : α,δ.
Las coordenadas eclípticas : λ, β.
πP = 23º 27’= ε.
PE = 90º - δ.
πE = 90º - β.
^P = 90º + α
^π = 90º - λ.
Como ε es conocido, podemos determinar unas
coordenadas en función de las otras.
Transformación de coordenadas
horizontales en horarias
Nuestro cometido actual es conocer las
coordenadas ecuatoriales horarias en un momento
determinado, dadas las coordenadas horizontales y la
latitud del lugar.
Coordenadas Horizontales:
A = azimut
h = altura
φ = latitud geográfica
Coordenadas horarias:
H = Ángulo horario
δ = Declinación
Para resolver el problema consideraremos el
triángulo esférico PZE y calcularemos lo necesario.
20
Problema 1
Datos: A y h , azimut y altura
del astro E.
El observatorio Astronómico de Cartuja tiene de
latitud φ = 37º 11´13´´ N. Desde allí se observa una
estrella con coordenadas horizontales A = 80º 25´34´´ y
h = 61º 46´9´´. ¿Cuáles serán en el instante de la
observación sus coordenadas ecuatoriales horarias.
^P = H
^Z = 180-A
c = 90-φ
b = 90-h
a = 90-δ
Incógnitas: H y δ, ángulo
horario y declinación.
Solución: Resolvemos el triángulo PZE.
φ = 37º 11´ 13´´
A = 80º 25´ 34´´
h = 61º 46´ 9´´
c = 90º - φ = 52º 48´ 47,2´´
a = 90º - δ
b = 90º - h = 28º 13´ 50,9´´
^Z = 180º - A = 99º 34´ 26´´
Problema 2
Desde el Observatorio de Oslo de latitud 60º
12´42´´,5 N se ha observado la estrella γDraconis. Las
coordenadas ecuatoriales horarias de las estrella son
H = 11h 10m 38s y δ = 51º 29´23´´,64.
Calcula las coordenadas horizontales.
Utilizando las fórmulas adecuadas obtenemos :
H = 31º 53´ 48,5´´
δ = 28º 1´ ´27´´
21
Datos:
Resolviendo obtenemos:
H =11h 10m 38s
A = 171º 44´ 20.2´´
δ = 51º 29´ 24´´
h = 22º 8´ 34.5´´
Transformación de coordenadas ecuatoriales
absolutas en horarias y viceversa
Para resolver este tipo de transformaciones
usaremos la relación fundamental θ=α+H.
Podemos pasar de horizontales a ecuaciones
absolutas, pasando por las horarias, utilizando la
relación fundamental y resolviendo el triángulo PZE.
θ = hora sidérea del lugar
α = ascensión recta
H = ángulo horario
δ = declinación, que es la misma para ambos sistemas.
22
Los elementos del triángulo PZE los conocemos:
PZ = 90 – φ = colatitud
PE = 90 – δ = distancia polar
Transformación de coordenadas eclípticas en
coordenadas ecuatoriales absolutas
α, δ son las coordenadas ecuatoriales absolutas de
la estrella, E.
λ, β son las coordenadas eclípticas.
ZE = 90 – h = distancia cenital
^Z = 180 – A ( A es el azimut)
Resolvemos el triángulo esférico PπE
^P = H (ángulo horario)
23
Problemas
Elementos del triángulo:
πP = ε = 23º 27´
1.- Halla la longitud de un grado del paralelo
PE = 90 – δ = distancia polar
que corresponde a Granada, 3º 35´O,37º 11´N.
Situación:
πE = 90 – β
^P = 90+α
^π = 90 – λ
Solución:
En primer lugar calcularemos el radio, R , del
paralelo correspondiente a Granada. Una vez calculado
se halla fácilmente la longitud de un grado de paralelo
granadino:
G
360 2π R G
=
,
L
1
L=
2π R G
.
360
Calculamos el radio, fijémonos en la segunda figura:
α = 90 − 37º11´13´´= 52º 48´47´´.
R T = radio ecuatorial o radio de la Tierra.
Luego
senα = R G / R T ; R G = R T ⋅ senα .
2.- Un avión se dirige de Madrid a Nueva York
con una velocidad de 990 km / h. Halla las
coordenadas geográficas del punto donde se
encuentra el avión al cabo de 3 horas de vuelo
(como es natural suponemos que la trayectoria
es un arco de circunferencia máxima).
Coordenadas geográficas de Madrid: 40º 24´N, 3º 40´O
Coordenadas geográficas de N.York: 40º 34´N, 76º 21´O
Utiliza como radio de la esfera sobre la que se mueve el
avión una longitud de 6371 km.
R G = 6371⋅ 0.796667662km = 5075,57km; L = 88.585km.
24
Situación:
Datos:
M representa a Madrid.
P representa al Polo Norte.
N representa a Nueva York.
n = 90 – 40º 24´ = 49º 36´.
m = 90 – 40º 34´= 49º 26´.
C = Lugar donde se encuentra el avión
a las tres horas de vuelo.
p = es el arco de circunferencia
máxima que une a Madrid con
Nueva York.
3.- Calcula la superficie del triángulo esférico de
ángulos:
 = 137º
^B = 61º
^C= 57º .
El radio de la esfera mide 5 metros.
25
4.-
a´rea =
π r2
180
( A + B + C − 180 ) = 32, 725m 2 .
Como los ángulos A y B son rectos, entonces :
A = 90 ⇒ Π 2 ⊥ Π 3
B = 90 ⇒ Π1 ⊥ Π 3
⎧r ⊥ r1 ⇒ b = 90
⎩r3 ⊥ r2 ⇒ a = 90
} ⇒ r3 ⊥ Π 3 ⇒ ⎨ 3
C = ( r1 , r2 ) = c.
Demuestra que si dos ángulos de un triángulo
esférico son rectos, los lados opuestos a estos
ángulos son cuadrantes y el tercer ángulo está
medido por el lado opuesto. Si los tres ángulos de
un triángulo esférico son rectos, demuestra que la
superficie esférica del triángulo es un octante de la
esfera.
5.- Con un teodolito se ha observado una
estrella obteniéndose un acimut A = 357º
29´29´´,31 y una distancia cenital z = 14º
20´55´´,75.
Calcular
las
coordenadas
ecuatoriales absolutas de la estrella si el lugar
de observación fue La Coruña, de latitud 43º
22´12´´ y se observó a las 0h 5 m de tiempo
sidéreo local.
La segunda parte se deduce de lo anterior.
26
Datos: A = 357º 29´29´´,31
z = 14º 20´55´´,75
φ (latitud) = 43º 22´12´´
h (altura) = 90 – z = 75º39´4´´,25.
Calculamos δ.
δ = 29º 1´56´´,58.
Coordenadas ecuatoriales horarias:
⎧ H = 359º17´21´´
⎨
⎩δ = 29º1´56´´,58
Pasamos a las absolutas: θ=α+H, α = 1º57´39´´.
Coordenadas ecuatoriales absolutas: α = 1º57´39´´
δ = 29º 1´56´´,58.
La estrella que se observaba era α-Andrómeda, Sirach o
Alferatz.
6.- Sabiendo que la latitud de Madrid es φ =
40º 24´30´´ N hallar el acimut y la distancia
cenital de la estrella Procyón (α= 7h 38m 4,86s,
δ = 5º 17´ 5´´, 5 ) en el instante en el que el
punto Aries está en dirección oeste.
27
Solución:
Coordenadas ecuatoriales absolutas de
Procyón: α = 114º 31´13´´
δ = 5º 17´5´´,5.
Como el punto vernal, γ, está en dirección
oeste la hora sideral local sería 6 h, equivalente a 90º.
Luego el ángulo horario de Proción, H, sería 90 – α =
335º 28´47´´. No se puede olvidar que el ángulo horario
se pide desde el punto sur en el sentido de las agujas
del reloj.
Coordenadas ecuatoriales horarias:
H = 335º 28´47´´,
δ = 5º 17´5´´,5.
Can Menor (Proción)
Ahora calculamos las coordenadas horizontales
de la estrella utilizando las fórmulas adecuadas.
Las coordenadas horizontales son:
A = 321º 44´42´´
h = 52º 16´ 25´´.
7.- ¿A qué hora (aproximadamente) sale
una estrella que hace un mes salió a las 10 de
la noche?
Nota: A causa del movimiento de traslación de la Tierra, cada
estrella sale 3 m 56s antes que el día anterior siempre que se
cuente el tiempo corriente (solar).
28
Solución:
Como cada estrella sale por el este 3
minutos y 56 segundos antes que el día anterior. Hemos
de multiplicar ese tiempo por 30 y ese resultado es el lo
que se adelanta en un mes.
3m 36s ·30 = 1h 58m.
La estrella saldrá a las 8 horas y 2 minutos de la
tarde-noche.
Si el mes es de 31 días entonces saldrá a las 7
horas 58 minutos y 4 segundos.
8.- ¿Dónde está en el cielo Sirio (α = 6 h
41m, δ = -16º 39´) el 21 de marzo una hora
después de la puesta del Sol? ¿El 23 de
septiembre una hora después de la salida del
Sol (para latitudes medias del hemisferio
septentrional.)?
9.- La distancia polar de una estrella es de
20º 15´,¿cuál es su distancia cenital en su
culminación inferior en un lugar de latitud φ =
59º 13´?
29
Solución:
En la culminación superior de un astro
su ángulo horario es igual a cero horas y la ascensión
recta es igual al tiempo sidéreo: θ = α + H = α.
En la culminación inferior el ángulo horario es igual
a 12 horas o 180º.
Haciendo los cálculos necesarios obtenemos:
h = 38º 53´,
Y la distancia cenital, z, será igual a 90º - 38º 53´ =
51º 7´..
Por tanto, las coordenadas horarias en la
culminación inferior son : δ = 90º - 20º 15´= 69º 45´, y
H = 180º. Usamos las fórmulas de transformación de
coordenadas horarias en horizontales:
10.- Cerca del año 1100 antes de Cristo los
astrónomos chinos establecieron que el día del
solsticio de verano la altura del Sol a mediodía
era de 79º 7´, mientras que el día del solsticio
de invierno era de 31º 19´( al sur del cenit).
¿A qué latitud se hizo la observación? ¿Cuál
era la inclinación de la eclíptica con respecto al
ecuador?
30
Solución:
Como podemos observar en la figura
anterior, M representa el Sol en el solsticio de verano y
se verifica la relación:
h +φ-δ= 90; φ-δ = 90 – h;
(1)
φ – δ = 10º 53´.
La altura del Sol, h´, en el solsticio de invierno es de 31º
19´ y estará debajo del la línea del ecuador,
verificándose la relación:
φ +δ+h´= 90º ; φ +δ = 90º - h´;
(2)
φ +δ = 50º 41´.
Resolviendo el sistema (1),(2), resulta que φ = 34º 47´.
La declinación, δ, es la inclinación de la eclíptica:
ε = φ – 10º 53´ = 23º 54´.
Situación:
Problema 11
Un barco parte del punto A del paralelo de latitud
48º 35´ N con velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo
parte otro barco de la misma longitud que A, pero sobre
el paralelo 36º 52´ N y velocidad 18 nudos. Ambos
barcos siguen su paralelo en dirección oeste. Encontrar
la distancia, en millas, que los separa al cabo de 56
horas de marcha.
Nota: El arco de un minuto, de longitud 1852 metros, se
llama milla marina. La velocidad de una milla por hora se
llama nudo.
Bibliografía
* ASIMOV, Isaac : El Universo. Alianza Editorial.
Madrid, 2004.
* AZARQUIEL, Grupo: Astronomía en la Escuela.
Madrid, 1986.
* FUENTES YAGÜE, J.L. : Nociones de Astronomía.
Ministerio de Agricultura, Pesca y Alimentación,
Madrid 1987.
* Martín Asín, F. : Astronomía. Editor F. Martín Asín,
Distribuido por Paraninfo, Madrid 1982.
* OMISTE CHACÓN, Juan: Apuntes de Matemáticas
Curso Preuniversitario, Motril 1970.
31
Algunas direcciones en internet
* Unidad Docente de Matemáticas (2003):
Apuntes de Trigonometría Esférica.
Escuela Técnica Superior de Ingenieros en
Topografía, Geodesia y Cartografía
Universidad Politécnica de Madrid.
de
la
* VORONTSOV-VELIAMÍNOV, B.A. : Problemas
y ejercicios prácticos de Astronomía.
Editorial Mir, Moscú 1985.
* WEBB, E. J. : Los nombres de las estrellas.
http://sohowww.nascom.nasa.gov/
http://www.astrored.org/
http://www.xtec.es/recursos/astronom/indexs.htm
http://www.mallorcaweb.net/masm/conloc.htm
http://www.eso.cl/acerca.php
http://www.latinquasar.com/
http://www.astromia.com/index.htm
http://www.astrosurf.com/
http://160114.99.9/astrojan
Google Sky
Fondo de Cultura Económica. Mexico, 1957.
Unos programas
• Cosmos (programa antiguo pero muy bueno para ver el
cielo en un momento determinado y el movimiento de
los planetas).
• Starry Night Bundle 2.1 (presentación del cielo).
• Sky Map Pro11 (se encuentra en la última dirección
dada).
• Esféricas (programa de ordenador para resolver
triángulos ya sean planos o esféricos). Unidad Docente
de Matemáticas (2003) en la Bibliografía.
• Stellarium (Otro programa de ordenador bueno y bonito
para aprender constelaciones e informarse de la
posición de planetas y algunos asteroides en un
momento determinado).
32