12 1.7. Modelado en variables de estado de un sistema RLC Con el

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1.7. Modelado en variables de estado de un sistema RLC
Con el objeto de asociar estas definiciones a la modelación de un sistema físico, se toma como
ejemplo un circuito elemental RLC; representado en la Fig. 1-5.
Fig. 1-5. (a) Esquemático del circuito RLC; (b) Modelo entrada-Salida del circuito RLC
Se toma u=ve(t) como señal de entrada al sistema y la tensión vr(t) sobre el resistor R como
salida.
Por relaciones físicas es conocido que la evolución de las distintas variables físicas en este
circuito, tales como tensiones y corrientes, quedará definida para todo t≥t0 si se conoce para un
instante de tiempo t=t0, la corriente que fluye en el inductor L, la tensión que exista sobre el
capacitor C y la tensión de entrada desde t0 en adelante.
En base a la definición que se ha dado de variables de estado es posible elegir a la corriente en
el circuito y a la tensión sobre el capacitor como variables de estado, ya que éstas definen el
estado dinámico del circuito. La evolución del estado dinámico para t≥t0 se podrá determinar
si se conoce para t=t0 las variables de estado i(t0), vc(t0) y además la tensión de entrada ve(t)
para t≥t0.
Para analizar la evolución del circuito se pueden plantear las ecuaciones diferenciales del
mismo como,
R
1
1
 di
 dt = − L i − L vc + L ve
(1-32)

1
dv
 c= i
 dt C
Las Ec. (1-32) se pueden expresar en una ecuación matricial-vectorial.
 R
 di  −
 dt   L
 dv  = 
 c  1
 dt  
 C
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1
− 
L  i  1 

+  L  [ ].
  v    ve
0  c   0

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(1-33)
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Definiendo a i, vc como variables de estado y a x como vector de estado, la Ec. (1-33) se
convierte en
x& = A x(t) + b u(t)
(1-34)
 - R/L - 1/L
1/L
A=
 , b =  ,
0
 1/C
 0
(1-35)
con
siendo A la matriz del sistema y b el vector de entrada. La variable de salida y=vR puede a
partir del vector de estado mediante
y = cT x(t)
(1-36)
cT = [R 0].
(1-37)
con el vector de salida c definido como
De esta forma el circuito RLC de la Fig. 1-5 queda modelado en el espacio de estado por
x& (t) = Ax(t) + b u(t)
y(t) = c T x(t)
(1-38)
con x(t) = [i v c ]T , u(t) = ve (t), y(t) = vr (t) siendo A, b, c definidas por las ecuaciones
(1-35) y (1-37).
1.8. Modelación de un sistema monovariable de orden n.
El sistema monovariable representado en la Fig. 1-6. Fig. 7 de orden n se puede representar
como
y(n) + a1 y(n-1) + ... + a n -1 y& + a n y = u(t).
(1-39)
Fig. 1-6. Fig. 7. Sistema monovariable de orden n.
Conociendo los parámetros ai del sistema, los valores de la variable de salida y sus derivadas
hasta la de orden n-1 en t=t0, y( t o), y& ( t o), ..., y(n -1) ( t o) , y la entrada u(t) para t≥t0, puede
determinarse el comportamiento futuro de la salida del sistema y(t) para t≥t0. Para hacer la
modelación en el espacio de estado se puede realiza la siguiente asignación:
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x1 = y
x 2 = y&
.
(1-40)
.
.
(n-1)
xn = y
.
De esta forma la ecuación diferencial de orden n (1-39), se puede transformar en un sistema de
n ecuaciones diferenciales de primer orden
x&1 = x2
x& 2 = x3
.
.
(1-41)
.
x& n-1 = xn
x& n = - a n x1 - an-1 x2 - ... - a1 xn + u(t).
El sistema (1-41) se puede expresar matricialmente como
 x& 1
0
 0 1 0 K
 


0
 x& 2 
 0 0 1 K
 

.
 . =  . . . K

 

. . . K
.
 .


& 


.
.
K
a
a
n
1

x
 n
 x1 0
   
 x 2   0
   
 . +  . [u ].
   
 .  .
   1
x n 
(1-42)
La Ec. (1-42) se puede escribir en forma compacta
x& (t) = Ax(t) + bu(t).
(1-43)
De igual modo la salida del sistema queda expresada
 x1
 
 x 2
y = [1 0 K 0] 
(1-44)
 M
 
x n 
T
y(t) = c x (t).
(1-45)
El sistema monovariable de orden n representado por la ecuación diferencial Ec. (1-39) queda
modelado en el espacio de estado por las siguientes ecuaciones diferenciales vectorialesmatriciales de primer orden
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x& (t) = A x(t) + b u(t)
y(t) = cT x (t)
(1-46)
siendo u la entrada al sistema, y la salida del sistema, x el vector de estado, A la matriz del
sistema, b el vector de entrada y c el vector de salida.
1.8.1. Representación de sistemas multivariables
Cuando se requiere considerar varias entradas y varias salidas de un sistema simultáneamente,
se recurre a la representación mostrada en la Fig. 1-8, en la cual existen interacciones
múltiples de las r entradas con las m salidas. Si se desea modelar con ecuaciones diferenciales,
conduce a un sistema de m×r ecuaciones diferenciales, de distinto orden que contemplan las
relaciones dinámicas de todas las entradas con las distintas salidas. La de mayor orden define
el orden n del sistema multivariable. Además, el orden del sistema está dado por el número
mínimo de variables de estado necesarias para describir la evolución del sistema.
Fig. 1-8. Sistema Multivariable.
El sistema de las m×r ecuaciones diferenciales transformadas al dominio de la frecuencia
en variable compleja s permite modelar al sistema multivariable a través de la matriz de
transferencia G(s),
y(s ) = G(s ) u (s )
(1-47)
donde y(s) es el vector de salida de dimensión m, u(s) es el vector de entrada de dimensión r, y
G(s) es la matriz de transferencia de dimensión m×r. Cada elemento de la matriz G(s)
representa la Función de Transferencia Gij(s) de la entrada uj(s) respecto de la salida yi(s).
De la misma forma que para el caso monovariable, aunque con un mayor grado de
complejidad, resulta posible a través de una adecuada elección de las variables de estado,
transformar todas las ecuaciones diferenciales en conjuntos de ecuaciones diferenciales de
primer orden, y compactar la notación para obtener una ecuación diferencial matricialvectorial de primer orden de la misma forma que las Ecs. (1-21) y (1-22),
x& (t ) = A x (t ) + B u (t )

 y (t ) = C x (t ) + D u (t )
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(1-48)
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donde A es la matriz del sistema, B es la matriz de entrada, C es la matriz de salida y D es la
matriz de transferencia directa.
Para determinar la correcta dimensión de las distintas matrices componentes de la Ec. (1-48),
resulta útil representar los vectores y matrices de la Ec. (1-48) por rectángulos cuyas
longitudes de lados representan la dimensión considerada.
Las Ec. (1-48) pueden representarse esquemáticamente para un sistema multivariable con e
entradas y s salidas como en la Fig. 1-9.
Fig. 1-9. Representación esquemática de las ecuaciones de estado.
Se observa que para un sistema multivariable la matriz de entrada B toma la dimensión n×r, la
matriz de salida C la dimensión m×n, la matriz de transferencia directa D la dimensión m×r y
la matriz de entrada A, la dimensión n×n, igual que para el caso monovariable.
1.8.2. Sistema de orden n con derivadas en la función excitación
El sistema monovariable representado en la Fig. 1-6. Fig. 7 de orden n se puede representar
como
(n)
y
(n -1)
+ a1 y
+ ... + a n -1 y& + a n y = b 0 u (n ) + b1u (n −1) + L + b n −1u& + b n u.
(1-49)
Ahora no se puede aplicar el método mostrado, debido a que las n ecuaciones diferenciales de
(1-41) tendrían en la última ecuación un término polinómico en u, y hacer x1=y no da un
resultado único. Una solución sería resolver de tal manera el término polinómico de u que se
anulen sus derivadas, y sólo quede u en la ecuación de xn. Así, una forma sería elegir las
variables de estado restando una fracción de u y sus derivadas, como
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x1 = y − β0 u
x2 = y& − β0 u& − β1u = x& 1 − β1u
x3 = &y& − β0 &u& − β1u& − β2 u = x& 2 − β2 u
(n −1)
( n −2 )
(1-50)
M
xn = y − β0 u − β1 u − L − βn−2 u& − βn−1u = x& n−1 − βn −1u.
Con ésta selección de las variables de estado la existencia y unicidad de la solución de las
ecuaciones de estado queda garantizada. Aunque, no es única ésta característica ya que puede
haber otra selección que también garantice la existencia y unicidad. Se obtiene, entonces
x& 1 = x 2 + β1u
x& 2 = x3 + β 2 u
(n-1)
M
x& n-1 = x n + β n −1u
x& n = - a n x1 - a n-1 x 2 − L − a1 x n + β n u(t)
(1-51)
El sistema Ec. (1-51) se puede expresar matricialmente como
 x1  β1 


 
 x 2  β 2 


 
 . +  M u.


 
x n −1  β n −1 


 
 x n   β n 
De igual modo la salida del sistema queda expresada como
 x& 1
1 0 K
0
 0
 


0 1 K
0
 x& 2
 0
 

M
. . K
 M =  .

 


K
.
.
.
1
 x& n −1


 


K
a
.
−
a
a
n
1
−
n
1

&
 xn 
(1-52)
 x1
 
 x2
y = [1 0 K 0]  + β0 u ,
(1-53)
 M
 
xn 
donde se tiene una representación matricial análoga a la Ec (1-46), con los términos
derivativos de u afectando a la matriz B y a la D.
1.8.3. Ejemplo
&y& + y& + y = u + u&
(1-54)
x1 = y − β0 u ⇒ x& 1 = y& − β0 u&
(1-55)
Igualmente para x2,
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x 2 = y& − β0 u& − β1u = x& 1 − β1u
(1-56)
de aquí que
x& 1 = x 2 + β1u
(1-57)
x& 2 = &y& − β 0 &u& − β1u&
(1-58)
y también que
Por lo tanto, introduciendo la derivada segunda de y en la (1-58)
x& 2 = u + u& − (x 2 + β0 u& + β1u ) − (x1 + β0 u ) − β0 &u& − β1u&
x& 2 = − x 2 − x1
(1-59)
con β0=0 y β1=1, se anula la derivada de u, resulta el sistema
 x& 1 = x 2 + u

x& 2 = − x1 − x 2
(1-60)
de donde se obtiene
0 1
1 
A=
, b =  , C = [1 0], D = [0].

− 1 − 1
0
Con Matlab, la operación inversa es
[N,D]=ss2tf([0 1;-1 -1], [1;0],[1,0],[0])
N =
0
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
D =
que verifica la expresión (1-54).
1.8.4. Ejercicios sugeridos
Capitulo 3 de Ogata, ejercicios A.3.3, A.3.4, B.3.5, B.3.6, B.3.15.
1.9. Sumario
1.7 Modelado en variables de estado de un sistema RLC............................................................................. 12
1.8 Modelación de un sistema monovariable de orden n. ............................................................................. 13
1.8.3 Ejercicios sugeridos
1.9 Sumario .................................................................................................................................................. 17
1.10 Bibliografía........................................................................................................................................... 18
1.10. Bibliografía
[1] Ogata, K.. Modern Control Engineering. 1997. Prentice Hall.
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