FIS120: FÍSICA GENERAL II GUÍA #3: Potencial Eléctrico. I

Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
FIS120: FÍSICA GENERAL II
GUÍA #3: Potencial Eléctrico.
Objetivos de aprendizaje
Esta guı́a es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos:
Aplicar conceptos de trabajo y energı́a al estudio de la electrostática.
Comprender, calcular y aplicar los conceptos de potencial eléctrico, tanto para distribuciones
de cargas puntuales como continuas.
Comprender relación entre campo eléctrico y potencial eléctrico.
I. Preguntas conceptuales
Responda usando argumentos técnicos las siguientes preguntas. Apóyese en gráficos y ecuaciones
según corresponda. Sea preciso y claro en sus respuestas. Ver capı́tulo 30 del libro1
a) ¿Cuál es la diferencia entre potencial eléctrico y energı́a potencial eléctrica?
b) Una carga negativa se mueve en la dirección de un campo eléctrico uniforme. ¿La energı́a
potencial de la carga se incrementa o disminuye?
c) Una campo eléctrico uniforme es paralelo al eje x. ¿En qué dirección se puede desplazar una
carga eléctrica sin tener que realizar ningún trabajo externo sobre la carga para moverla?
d ) Explique porqué, bajo condiciones de equilibrio estático, todos los puntos sobre un conductor
deben estar al mismo potencial.
e) ¿Cómo cambia la diferencia de potencial entre dos puntos cualquiera A y B, cuando se cambia
el punto de referencia?
f ) Describa la relación entre trabajo, energı́a potencial y potencial eléctrico.
g) Describa la relación entre las lı́neas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales.
h) Los electrones ¿tienden a ir a regiones de elevado potencial o de bajo potencial?
i) Dos puntos A y B se encuentran al mismo potencial, ¿significa necesariamente esto que no se
efectúa trabajo para llevar una carga positiva de prueba de un punto a otro? ¿Significa que
no tendrá que ejercerse fuerza para llevar la carga de prueba de un punto a otro?
j ) Si el potencial es igual a una constante en toda una región del espacio, V (x, y, z) = cte, ¿que
~ en esa región?
se puede decir con respecto a E
1 Haliday, Resnick and Krane, volumen 2 cuarta edición. Y/O los capı́tulos correspondientes de cualquiera de los otros
libros de consulta.
1
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II. Problemas propuestos.
(1) En la F igura 1 se muestra una varilla cargada positivamente (de forma uniforme). Desde el punto A se libera
(desde reposo) una partı́cula de masa
M = 1, 5 · 10−7 [kg] y carga q = 2 · 10−6 [C].
Se observa que su rapidez al pasar por el
punto B es 40[m/s]. No hay actuación de
agentes externos.
La diferencia V (B) − V (A) del potencial
eléctrico, es:
a) Una carga de prueba q0 , con masa m,
es puesta en reposo en el punto P indicado en la F igura 3a. Las tres cargas
fuentes quedan clavadas (fijas). Luego
de un largo tiempo ¿Cuál es aproximadamente la magnitud de la velocidad
de la carga de√prueba?
Dato: qm0 = − 2 · 10−9 [C/kg]
b) Un agente externo cambia la configuración de la F igura 3a, moviendo
lentamente las cargas q2 y q3 , a las
posiciones T4 y T5 , como muestra la
F igura 3b. ¿Cuál es el trabajo que debe realizar el agente externo?
Figura 1
Varilla
A
B
(2) La F igura 2 representa las lı́neas de campo
y superficies equipotenciales (lı́neas punteadas) de un sistema de cargas que genera
un campo eléctrico uniforme de magnitud
E0 . Si la distancia entre los puntos A y B es
20[cm] ¿Cuál es la magnitud de campo E0 ?
Para ser consistentes con el potencial de las
superficies, ¿qué dirección deben tener las
lı́neas de campo, izquierda o derecha?
(4) Dos cargas eléctricas positivas puntuales de
igual magnitud, están ubicadas sobre el eje
y como muestra la figura. Determine en
que ubicaciones sobre el eje x el potencial
eléctrico creado por estás cargas, en esos
puntos, es la mitad del potencial eléctrico
en el origen.
Figura 4
Figura 2
y
Q
a
P
B
A
x
a
Q
200 V
450 V
700 V
(5) Tres placas de material aislante (A, B y
C) muy delgadas (despreciar su espesor)
están dispuestas como muestra la F igura.
Sus densidades de carga son las mostradas
en la figura.
(3) Tres cargas fijas ”fuentes”q1 , q2 y q3 , cuyos
valores están mostrados en la figura, están
ubicadas en los puntos T1 , T2 y T3 , como
muestra la F igura 3a.
Datos: Q = 4[C] y a = 2[m] Use:
k ≡ 1/(4πǫ0 ) = 9 · 109 [N m2 /C 2 ].
y
T
q = -Q
Figura 3a
y
T
T
a
a
q = -Q
a
q = +Q
T
-σ
σ
2
1
3
x
q = +Q
x
x
T
σ
q = -Q
P
a
T
Figura 3b
Figura 5
-σ
σ
q = -Q
2
A
σ
B
σ
d1
C
σ
d2
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a) Sı́, un electrón se deja en reposo en el
punto 1 (justo fuera de la placa A),
¿Cuál debe ser la relación entre las distancias d1 y d2 , para que llegue con velocidad nula al punto 3?
Hint: Asuma que el electrón puede
atravesar todas las superficies sin resistencia alguna.
b) Sı́, las placas A y C, son cambiadas por
placas conductoras de carga neta cero.
¿Cuál será el la magnitud del campo
eléctrico en el punto 2?
(6) Una bola (esfera llena) conductora, de
radio a = 2[m], está cargada con carga
Qa = −4[C]. Esta carga está rodeada por
una lámina esférica (cascarón muy delgado) conductora, de radio b = 4[m] y de
carga Qb = +6[C]. El origen del sistema
de coordenadas se pone en el centro de la
bola.
Use: k ≡ 1/(4πǫ0 ) = 9 · 109 [N m2 /C 2 ].
~ r ) = E(r) · r̂.
a) Por simetrı́a esférica, E(~
Determine E(r) para todo r en el espacio.
b) Determine el potencial eléctrico V (r)
en todo el espacio, 0 ≤ r ≤ b. [usando
la convención V (r = ∞) = 0]
c) Se conecta la bola a la Tierra2 . La nueva carga Q′a de la bola es (en unidades
de C)
(7) Una bola esférica de material aislante de
radio R tiene una carga neta Q. La bola
está rodeada por un cascarón esférico conductor (concéntrico con la bola) de radio
interno 2R y externo 3R y carga neta Q.
Figura 6
R
a
2R
Q
P
S
a) Determine la diferencia de potencial
entre los puntos P (rP = R) y Q
(rQ = 2, 5R).
b) Determine la diferencia de potencial
entre los puntos Q (rQ = 2, 5R) y S
(rS = 5R) indicados en la figura2, es:
(8) Las lı́neas de campo eléctrico de una carga puntual (lı́neas radiales) y dos superficies equipotenciales (representadas por las
lı́neas punteadas) de niveles 10[V] y 20[V]
son mostradas en la Figura. Entonces de
las siguientes aseveraciones ¿cuáles son correctas?
20[V]
10[V]
C
A
B
D
I: La carga puntual es negativa.
II: Las lı́neas de campo eléctrico apuntan
hacia afuera.
III: Si una carga de prueba se mueve de A
hasta D, el trabajo de la fuerza eléctrica
sobre la carga es el mismo que al moverse
de B a C.
(9) Una bola esférica de material aislante tiene
radio R y carga eléctrica distribuida uniformemente, con densidad ρ(r) = ρ0 . El origen del sistema de coordenadas está en el
centro de la bola.
Nota: Para esta pregunta es necesario que
tenga el resultado de la pregunta (2) de la
guı́a 2, si no lo tiene deberá determinarlo.
a) Determine el potencial eléctrico a una
distancia r = R/3 del centro de la bola. Use referencia V (∞) = 0.
b) Determine la diferencia de potencial
eléctrico entre los puntos A y B (VB −
VA ), donde rA = 0 y rB = R/2.
3R
2 Nota: Un conductor conectado a tierra, implica dos cosas: 1) que siempre está a un potencial constante, igual al de la
tierra, que podemos considerar como cero y 2) la tierra es una fuente infinita de carga.
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(10) Los centros de dos esferas metálicas cada
una de radio 10[cm] están separados por
50[cm]. Las esferas son inicialmente neutras pero una carga Q se transfiere de una
esfera a la otra, creando una diferencia
de potencial entre ambas de 100[V ]. Una
partı́cula de carga q0 > 0 y masa m, donde
q0 /m = 2 · 10−4 [C/kg], se libera desde el
reposo en la superficie de la esfera cargada
positivamente y se mueve hacia la esfera
cargada negativamente. ¿A qué velocidad
choca contra esta última esfera?
Respuestas a ejercicios propuestos:
(1) ∆V = −60[V ]
(2) E0 = 2500[V /m] dirección izquierda.
(3) a) vf inal = 6[m/s];
√
b) WA.E = −7, 2 2 · 1010 [J].
√
(4) x = ± 3a
(5) a) d1 = d2 ; b) E2 = 2εσ0

, Si 0 ≤ r ≤ a
 0
kQa
, Si a ≤ r ≤ b
(6) a) E(r) =
r2
 k(Q
a +Qb )
, Si b < r
2
 kQa r kQb
, Si 0 ≤ r ≤ a
 a + b
kQa
kQa
b) V (r) =
+
, Si a ≤ r ≤ b
r
b
 k(Q
a +Qb )
, Si b < r
r
b
′
c) Qa = −Qb a = −3[C]
4kQ
(7) a) ∆VP →Q = − kQ
2R ; b) ∆VQ→S = − 15R
(8) I y III
(9) a) V (R/3) =
(10) v = 0, 2[m/s]
13ρ0 R2
27ε0 ;
2
0R
b) ∆V = − ρ24ε
0
III. Problemas resueltos.
(1) Determine la veracidad3 de cada una de las siguientes aseveraciones. Justifique todas sus
respuesta.
a) Se disponen ocho cargas puntuales de magnitud y signo desconocidos (sólo sabemos que
la magnitud es distinta de cero), están fijas en los vértices de un cubo imaginario de lado
L. Entonces: “Si todas las cargas son de igual magnitud y signo, entonces el potencial
eléctrico en el centro del cubo será cero”.
Respuesta: INCIERTO. El potencial eléctrico en un punto se determina a partir del trabajo
por unidad de carga de la fuerza eléctrica desde una cierta referencia hasta el punto: ∆V =
R−
→
− E · d~l. Luego, el valor del potencial depende de donde está la referencia, por lo tanto:
la aseveración es verdadera si la referencia cero está en el centro del cubo, pero será Falsa si
está en otra ubicación (por ejemplo en el infinito).
b) Suponga una zona del espacio donde sólo existe una carga puntual positiva. Luego, la
carga se rodea primero por una superficie gaussiana esférica de radio R, la cual se sustituye posteriormente por otra superficie gaussiana cúbica de arista R. En ambos casos
la carga está ubicada en el centro de las superficies. Entonces: “Si un electrón se mueve
sobre la superficie gaussiana cúbica desde un vértice del cubo hasta el vértice opuesto,
entonces el trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre el electrón es cero”.
Respuesta: VERDADERO. Acá hay (a lo menos) dos formas de justificar:
i) La fuerza es conservativa, por lo tanto el trabajo es independiente√de la trayectoria. Por
consiguiente, si movemos la carga por una esfera imaginaria de radio 23R , la trayectoria del
electrón es siempre perpendicular al campo eléctrico que es radial, por lo tanto el trabajo
eléctrico será nulo.
3 Para
cada una diga si es: Verdadera, Falsa o Incierta (Verdadera en algunos casos, falsa en otros).
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ii) La fuerza es conservativa, por lo tanto el trabajo es: W = −∆U y a su vez la energı́a
potencial es U = qe V donde V es el potencial eléctrico. Ahora, el potencial eléctrico de una
carga puntual depende de la distancia a la cual estamos de la carga, en ambos vértices la
distancia es la misma por lo tanto el potencial es el mismo, diferencia de potencial cero y
consecuentemente trabajo cero.
(2) En el plano x − y hay dos cargas “fuentes”fijas: q1 = 6[C] y q2 = 10[C] (ver figura 8).
Figura 8
y
q
P2
b= 4 [m]
b/2
q
P1
x
a = 3[m]
a) Calcule el potencial eléctrico V (P1 ) en el punto P1 = (3, 0, 0) y V (P2 ) en el punto
P2 = (0, 2, 0). Use como referencia potencial cero en el infinito.
Respuesta: El potencial en cada punto (P1 y P2 ) es la suma del potencial debido a las
cargas q1 y q2 . Ya sabemos que el potencial (con referencia V (∞) = 0) a una distancia r de
un carga puntual, es:
kq
V (r) =
r
Luego:
6
10
9
2
V (P1 ) = kqa1 + √akq
≈ 3, 6 · 1010 [V ]
2 +b2 ≈ 9 · 10 ·
3 + 5
kq2
6
10
9
1
≈ 7, 2 · 1010 [V ]
V (P2 ) = kq
b/2 + b/2 ≈ 9 · 10 · 2 + 2
b) Una partı́cula “test”on masa m = 2[kg] y carga q = 0, 5[nC], es trasladada por un
agente externo desde P1 hasta P2 a lo largo de una cierta trayectoria, su rapidez en P1 es
v1 = 3[m/s], y en P2 es de v2 = 4[m/s]. Calcule el trabajo (We ) realizado por la fuerza
eléctrica sobre la partı́cula, y el trabajo (Wex ) del agente externo durante el traslado de
la partı́cula. Dependen We y Wex de la trayectoria que sigue la partı́cula.
Respuesta: Usando el teorema de trabajo y energı́a, tenemos:
Wneto
Wex + We
Donde
We
We
Entonces
Wex
Wex
= ∆K
= ∆K
= −∆U = −q∆V = −q(V (P2 ) − V (P1 ))
= −0, 5 · 10−9 (7, 2 · 1010 − 3, 6 · 1010 ) = −18[J]
= ∆K − We
2 · 42
2 · 32
=
−
− (−18) = 25[J]
2
2
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(3) Una bola esférica de material aislante de radio R tiene una carga neta −Q. La bola está rodeada por un cascarón esférico conductor (concéntrico con la bola) de radio interno 2R y
externo 4R y carga neta 2Q. Donde: Q > 0
Figura 9
R
a
Q
P
2R
S
4R
a) Determine el campo eléctrico para todo r > R.
Respuesta: Para determinar el campo eléctrico podemos usar la ley de Gauss (en la guı́a 2 ya
vimos como se aplica) y el conocimiento adquirido sobre el funcionamiento de los materiales
conductores. Luego, el campo eléctrico serı́a:

 kQ
 − r2 · rb si, R < r ≤ 2R 
~
0
si, 2R < r ≤ 4R
E(r)
=

 kQ
·
r
b
si,
4R < r
2
r
b) Determine la diferencia de potencial entre los puntos A (rP = 1, 5R) y C (rC = 12R)
indicados en la F igura 9. Donde: ri : distancia al centro de la esfera.
Respuesta: Sabemos que la diferencia de potencial entre dos puntos P y R cualquiera, la
podemos determinar a través del campo eléctrico, según:
Z R
→
→ −
−
∆VP →R = −
E · dl
P
→
−
En este caso si integramos desde A hacia C el vector de trayectoria es: dl = dr · rb, luego:
∆VA→C
=
∆VA→C
=
∆VA→C
=
∆VA→C
=
∆VA→C
=
∆VA→C
=
∆VA→C
=
−
Z
12R
1,5R
"Z
− −
→
→
E · dl
#
Z 4R
Z 12R kQ
kQ
−
− 2 rb · (drb
r) +
(0) · (drb
r) +
rb · (drb
r)
r
r2
1,5R
2R
4R
" Z
#
Z 12R
2R
kQ
kQ
− −
dr + 0 +
dr
2
r2
1,5R r
4R
"
12R #
kQ kQ 2R
−
+0−
r 1,5R
r 4R
1
1
1
1
−kQ
−
−
−
2R 1, 5R
12R 4R
1
2
−kQ −
− −
6R
12R
0
2R
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c) Si un electrón es dejado en reposo en el punto A (r = 1, 5R), describa el movimiento
posterior del electrón. Asuma que el electrón puede atravesar todas las superficies sin
resistencia alguna, desprecie cualquier tipo de interacción que no sea el de las fuerzas
eléctricas.
Respuesta: El electrón al tener carga negativa se mueve en dirección contraria del campo
eléctrico, luego comienza a moverse hacia afuera aumentando su velocidad hasta r = 2R,
→
−
atraviesa el cascarón a velocidad constante ( E = 0), para r > 4R el cambio de signo del
campo eléctrico hace que el electrón comience a disminuir su velocidad hasta que se detiene,
en un punto (r > 4R) donde pierda toda su energı́a cinética, pero la fuerza provocada
por el campo hace que se devuelva llegando nuevamente al punto A con velocidad nula y
ası́ repitiendo infinitas veces el mismo ciclo.
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