FLUJOS COMPRESIBLES ESTACIONARIOS OBJETIVOS - Presentar algunas características de los flujos compresibles. Introducción: *Repaso de conceptos de termodinámica. *Características de la dinámica de gases compresibles. - Analizar flujos compresibles en conductos de sección variable. Desarrollo: *Velocidad del sonido y velocidad de propagación de perturbaciones.. *Flujo estacionario en un gas compresible. *Parámetros críticos. *Efectos de la variación del área en flujos unidimensionales compresibles. *Flujo en una tobera convergente. *Flujo en una tobera Laval. Aspectos salientes de flujos Compresibles Aspectos salientes de flujos Compresibles Flujos Incompresibles >>> ρ constante Flujos Incompresibles >>> T constante Flujos Compresibles >>> ρ varía Flujos Compresibles >>> T varía • Cambios en la densidad en función del número de Mach • La energía interna y la energía cinética alcanzan similar importancia • Ma=2 – En cinética= 2.3 105Joules – En Interna= 2.0 105 Joules • Es necesario incorporar en el análisis la ecuación de conservación de la energía Descripción de un GAS PERFECTO h = ei + ei = ei (T ) Esta ecuación es válida para todo proceso termodinámico ( isóbaro, isotermo, etc. ) Considerando esta definición, el cambio en la energía interna en un proceso cualquiera: T2 Δei = ∫ Cv dT T1 ⎛ de ⎞ calor específico a volumen constante Cv = ⎜ i ⎟ ⎝ dT ⎠V =cte Tomando como hipótesis gas perfecto: Se define entalpía : Se puede definir como gas perfecto a aquella sustancia cuya energía interna es función solo de la temperatura. p ρ = ei + RT T2 El cambio de entalpía para un gas perfecto: Δh = ∫ C p dT T1 Donde ⎛ ∂h ⎞ Cp = ⎜ ⎟ ⎝ ∂T ⎠ p =cte Existe una relación entre es el calor específico a presión constante, y esta expresión es válida aun para procesos no isobaros. Cp y Cv dada por: Cv = Cv ( p, T ) C p − Cv = R Cvo = Esta ecuación es válida para cualquier proceso, a volumen cte. o no. ei = ei (T ) pV = NRT p R= = cte ρT En general se pueden definir valores medios: C po = 1 ΔT T2 1 ΔT T2 ∫ C dT v T1 ∫ C dT p T1 1 Surge la relación entre los calores específicos que es independiente de la temperatura: k= k = 1,67 Gases monoatómicos k = 1,4 Mayoría gases poli atómicos Distintos tipos de procesos: C po Cvo Cuando consideramos los cambios que ocurren durante un proceso, para gases ideales se puede aplicar la ecuación politrópica: ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜⎜ ρ n ⎟⎟ = ⎜⎜ ρ n ⎟⎟ = cte ⎝ ⎠1 ⎝ ⎠ 2 La entropía de un gas perfecto se puede expresar como : ⎛ p S = ln⎜⎜ k ⎝ρ ⎛ p1/ k ⎞ ⎟⎟ = Cp ln⎜⎜ ⎠ ⎝ ρ ⎞ ⎟⎟ ⎠ Se reconocen los siguientes casos: Los gases perfectos tienen como gran ventaja que se conocen todas las relaciones entre variables termodinámicas, y ellas adoptan una forma simple. En virtud de lo anterior es posible la resolución completa de las ecuaciones generales de la dinámica de gases perfectos. n=0 n =1 Procesos isotérmicos n=k Procesos isoentrópicos También se puede rescribir la ecuación como: ⎛ p2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠ Características de la dinámica de gases compresibles: Cuando la velocidad de movimiento de un fluido se hace comparable a la velocidad del sonido, los efectos inherentes a la compresibilidad del fluido avanzan al primer plano. Remarquemos que los flujos compresibles toman lugar a elevados números de Reynolds. υ = viscocidad La teoría cinética de gases nos indica que: υ ≅ cl c = vel. sonido l = libre camino medio Procesos isobáricos n −1 n ⎛ρ ⎞ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ ρ1 ⎠ n −1 = T2 T1 Velocidad del sonido y propagación del perturbaciones: Analizamos la propagación de una perturbación en una geometría unidimensional: Supongamos que el fluido esta en reposo en el conducto y que el émbolo se pone en movimiento de repente con una velocidad pequeña (ΔV) r ΔV r c ρ 0 + Δρ ρ0 p0 p0 + Δp a) - OBSERVADOR ESTATICO Si la velocidad característica del sistema es del orden de la velocidad del sonido: Lc L ≅ Re = υ l r c r r c − ΔV valor que resulta muy alto casi siempre Como para Re elevados los efectos viscosos pueden ser despreciados El comportamiento del gas puede ser descripto con las ecuaciones de un flujo perfecto en la mayoría de los casos. r c ρ 0 + Δρ ρ0 p 0 + Δp p0 b) – Observador que se mueve con la onda de presión A pesar de compartir las ecuaciones, los flujos compresibles son muy distintos de los incompresibles. Analicemos el movimiento desde un referencial que se mueve con la onda generada. En este referencial el flujo es estacionario y unidimensional. Planteando la ecuación de continuidad: ∫∫∫ V (t ) ∂ρ dV + ∫∫ ρ (v • n )dS = 0 S (t ) ∂t De lo anterior se obtiene: ΔV = c (1) ρSC c = (ρ + Δρ )SC (c − ΔV ) Δρ 1 =c ρ ρ + Δρ +1 Δρ Surge entonces que si los cambios en V son pequeños, también los cambios en la densidad deben ser pequeños. Despreciando las fuerzas volumétricas y las fuerzas viscosas se obtiene: Observar entonces que a menor ΔV, menor Δp SC ρc((c − ΔV ) − c ) = pSC − ( p + Δp )SC Combinando (1) y (2): c2 = Δp = ρcΔV (2) Δp ⎛ Δρ ⎞ ⎜1 + ⎟ Δρ ⎜⎝ ρ ⎟⎠ Para movimientos que impliquen un Δρ/ρ más elevados tendremos que la velocidad Consideremos ahora la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento: ( ) ( )( ) de propagación será más grande que la que se corresponde con Δρ/ρ moderados . ( ) ∂ ρa ∫∫∫V (t ) ∂t dV + ∫∫S (t ) ρ a w • n dS + Ω∫∫∫V (t ) ρ adV = ∫∫∫V (t ) ρf v dV + ∫∫S (t ) σ • n dS Donde: a= velocidad absoluta = velocidad desde terna fija w= velocidad relativa = velocidad desde terna móvil Ω= velocidad de giro de terna = 0 En el límite de Δρ → 0, tendremos lo que hemos definido como velocidad del sonido: c2 = Δp Δρ 2 Analizamos a continuación la propagación de una perturbación puntual en un gas en movimiento. o v CASO Nº1 Entonces, en un flujo supersónico la perturbación originada en un punto cualquiera se propaga según un cono cuyo ángulo de apertura decrece si aumenta v. α Existen 2 configuraciones posibles: Este ángulo se lo llama ángulo de Mach y la superficie del cono superficie de Mach o superficie característica. c•n o v<c v c•n v>c CASO Nº2 En ambos casos la perturbación es transportada por el fluido pero además es propagada por el mismo a una velocidad c en todas las direcciones. En el CASO Nº1 la velocidad de propagación de la perturbación producida en “O” (v + c.n) tiene distintos valores conforme a la dirección “n” considerada. Los vectores v y c.n pueden aquí tener cualquier dirección en el espacio. Esto significa que en un flujo subsónico la perturbación se propaga en todas direcciones. Caso en que la fuente se mueve en un fluido en reposo En el CASO Nº2 la dirección de los vectores v + c.n se circunscriben a un cono de vértice “O” cuyo ángulo de apertura máximo α es: sin(α ) = c v Flujo estacionario de un gas compresible: Esta propiedad del flujo supersónico le confiere un carácter totalmente distinto al de un flujo subsónico. Cuando vimos la ecuación de la conservación de la energía para un flujo perfecto obtuvimos: En un flujo subsónico, la presencia de un objeto se hace sentir aguas abajo y agua arriba del objeto. ρ Dh Dp = Dt Dt Como el flujo es estacionario ρu∇h = u∇p Considerando la ecuación de EULER: Du 1 = f v − ∇p Dt ρ Por ser el flujo estacionario y despreciando fuerzas en volumen: En un flujo supersónico, el fluido ataca al objeto en forma “ciega”, la influencia del objeto se produce solo aguas abajo, en tanto que en la zona aguas arriba el fluido no se entera de la presencia del objeto. Para un flujo irrotacional tenemos: 1 u∇u = − ρ ∇h = ∇p = −∇h ⎛ u2 ⎞ ∇⎜⎜ + h ⎟⎟ = 0 ⎝ 2 ⎠ ∇p ρ Considerando: u∇u = ∇ u2 +ω ∧u 2 u2 + h = cte 2 cte es la misma para todos los fluidos si es flujo irrotacional. Si el flujo es no irrotacional, esta expresión es válida a lo largo de una línea de corriente donde ω∧u=0 se verifique siempre. Si aplicamos esta expresión a un flujo compresible, tendremos entre 2 secciones sobre una misma línea de corriente: 2 h1 + Considerando ahora que: u1 u = h2 + 2 2 2 ∴ u2 − u1 = 2 2 2 h = C pT = 2 Si cambia v →cambian los parámetros termodinámicos y viceversa. Volviendo a la ecuación (4) tenemos: 2 (5) 2 u1 u + C pT1 = 2 + C pT2 = C pT0 2 2 C p p0 R ρ J = ρu (4) Cp p Cp p = R ρ C p − Cv ρ ⎛ T ⎞ 2k ⎛ p1 p2 ⎞ 2k ⎜ − ⎟= RT1 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ k − 1 ⎜⎝ ρ1 ρ 2 ⎟⎠ k − 1 ⎝ T1 ⎠ u1max = 2C pT0 = 2 Consideremos a continuación como es la variación de densidad de flujo másico a lo largo de una línea de corriente: (3) u2 − u1 = 2(h1 − h2 ) = 2C p (T 1−T2 ) Δh = C p ΔT Si es gas es perfecto, entonces De la ecuación (5): 2 T0 es la temperatura del punto de estancamiento o de reposo. La ecuación (3) muestra que la velocidad es mayor donde la entalpía es menor, para una línea de corriente dada o para el todo el flujo en caso irrotacional. La ecuación de Euler nos permite escribir a lo largo de una línea de corriente que la relación entre du y dp es: udu = − dρ ρu =− 2 du c dp ρ Recordando que: Considerando que el diferencial ⎛ u2 ⎞ dJ d (ρu ) = = ρ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ du du ⎝ c ⎠ dp = c2 dρ d (ρu ) = ρdu + udρ Lo que muestra que en flujo subsónico (Ma<1) si nos desplazamos a lo largo de una línea de corriente la densidad del flujo crece si aumenta la velocidad. En el dominio de flujos supersónicos, la densidad de flujo decrece al aumentar la velocidad. Esta diferencia de comportamiento puede interpretarse como que en flujos subsónicos las líneas de corriente se acercan al aumentar la velocidad y divergen para flujos supersónicos. 3 Parámetros críticos: J p = cte.ρ k Si el proceso es isoentrópico: J* 1.0 Para el caso de gases perfectos: ⎛ p⎞ ∂p = cte.k .ρ k −1 = k .⎜⎜ ⎟⎟ ∂ρ ⎝ρ⎠ ⎛ p⎞ ∂p = k .⎜⎜ ⎟⎟ = kRT ∂ρ ⎝ρ⎠ c = kRT = k p ρ Se ve que la velocidad de propagación del sonido es función de la Temperatura absoluta. u 1.0 2.5 La velocidad del sonido en un flujo supersónico puede diferir de un punto a otro en función de los valores de estas magnitudes termodinámicas locales. c* El flujo J adopta su valor máximo cuando la velocidad del gas iguala la velocidad del sonido local. En ese caso: J = J * = ρ*c* Considerando: El asterisco indica magnitudes correspondientes a este punto. ρ ⎛⎜ T = ρ 0 ⎜⎝ T 1 0 ⎞ k −1 ⎟ ⎟ ⎠ 1 p ⎛ ρ ⎞ k −1 =⎜ ⎟ p0 ⎜⎝ ρ 0 ⎟⎠ Se obtiene las siguientes expresiones T* = 2 Considerando que: como 2 c = 2 p ρ dh = C p dT 2 u1 = h0 2 y que sobre una línea de corriente: 2 u2 2 2 h2 + = h0 k p c 2 h = C pT = = h1 + 2 k −1 ρ ⎛ k −1 2 c* c c + * = 0 k −1 2 k −1 0 pto de reposo o estacionario c* = c0 de lo anterior ρ = ρ 0 ⎜⎜1 − Independiente de la geometría del tubo. 2 k +1 ⎛ k −1 u 2 ⎞ ⎛ k −1 u2 ⎞ ⎟ = T0 ⎜1 − T = T0 ⎜⎜1 − ⎜ k + 1 c 2 ⎟⎟ 2 c0 2 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎝ ⎛ k −1 u2 ⎞ k − 1 u 2 ⎞ k −1 ⎟ = ρ 0 ⎜1 − ⎜ k + 1 c 2 ⎟⎟ 2 c0 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ k −1 u 2 ⎞ ⎟ p = p0 ⎜⎜1 − 2 c0 2 ⎟⎠ ⎝ k k −1 ⎛ k −1 u 2 ⎞ ⎟ = p0 ⎜⎜1 − 2 ⎟ ⎝ k +1 c ⎠ ∴ No ocurre lo mismo para un flujo compresible donde: ρ .u. A = cte Vamos a ver a continuación que el comportamiento de un fluido compresible depende del valor que adopta el valor del número de Mach. Considerando la ecuación de continuidad, tomando logaritmos y diferenciando tendríamos: Para flujos isoentrópicos: c2 = dp dρ 1 du 1 dA 1 dρ + + =0 u dx A dx ρ dx X es la dirección de la línea de corriente 1 du 1 dA 1 dp + + =0 u dx A dx c 2 ρ dx Considerando la ecuación de Euler sobre la línea de corriente: ( 1 du 1 dA u du + = u dx A dx c 2 dx 3 – FLUJO SÓNICO ( Ma = 1 ) ρu ∂u dp =− dx ∂x ) 1 du 1 dA 1 − Ma 2 = − u dx A dx Es necesario que dA =0 dx Esta condición se produce en la garganta de un conducto conv – div o div – conv. Sin embargo el flujo será sónico solo si el Δp entre aguas arriba y aguas debajo de la garganta es suficientemente grande como para acelerar el fluido, caso contrario, en la garganta se tiene una situación de Ma < 1. ⎛ 2 ⎞ k −1 p* = p0 ⎜ ⎟ = p0 .0,528 ⎝ k +1⎠ 1 ⎛ 2 ⎞ k −1 ⎟ = ρ 0 .0,634 ⎝ k +1⎠ ρ* = ρ 0 ⎜ k k −1 ( k Si u = c* se obtienen los parámetros críticos: Valores para el AIRE Los parámetros críticos son independientes de la geometría. ) 1 du 1 dA 1 − Ma 2 = − u dx A dx Efectos de la variación del área en flujo unid. Compresible: En flujo unidimensional “incompresible” la velocidad de un fluido varia inversamente proporcional al área transversal de la corriente: u. A = cte 1 k −1 2T0 = T0 .0,83 k +1 1 – FLUJO SUBSÓNICO ( Ma < 1 ) dA <0 dx du >0 dx dA >0 dx du <0 dx X u↑ p↓ u↓ X p↑ 2 – FLUJO SUPERSÓNICO ( Ma > 1 ) dA <0 dx du <0 dx dA >0 dx du >0 dx X u↓ p↑ u↑ X p↓ Flujo compresible a través de una tobera convergente: Supongamos el flujo compresible a través de la tobera de la figura conectada en su entrada a un recipiente muy grande donde se dan las condiciones de reposo: Los posibles flujos en canales o conductos convergentes divergentes se indican en la figura. Estos flujos se logran si las presiones de ensayo se ajustan correctamente. Para flujos que tengan lugar en toberas en turbomáquinas, existen 2 problemas: 1- Se conoce A(x) y se desconocen las magnitudes del flujo en función de x (problema directo). 2- Se especifica u(x) y se desea determinar A(x) (problema indirecto). Si la velocidad inicial es despreciable, la presión en un punto cualquiera de la sección (1) va a prácticamente coincidir con la presión de reposo (o estacionaria) p0 . 4 Entonces tendríamos: u2 = 2 2 k ⎛ p0 p 2 ⎞ ⎜ − ⎟ k − 1 ⎜⎝ ρ1 ρ 2 ⎟⎠ Si el proceso es isoentrópico: p0 = ρ1k p2 ρ2k Supongamos ahora que Ma2=1,0 sustituyendo para la relación de presiones entrada - salida nos queda: c2 = k p2 ρ2 k −1 ⎡ ⎤ ⎛ u2 ⎞ 2 ⎢⎛ p0 ⎞ k 2 ⎥ ⎜⎜ c ⎟⎟ = Ma2 = k − 1 ⎢⎜⎜ p ⎟⎟ − 1⎥ ⎝ 2⎠ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 p2 ⎛ 2 ⎞ k +1 =⎜ ⎟ p0 ⎝ k + 1 ⎠ ⎛p ⎞ ⇒ ρ1 = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ρ 2 ⎝ p2 ⎠ Y entonces se obtiene la formula de Saint Venant – Wantzel: Teniendo en cuenta que: k 1 k u2 = 2 2 k p2 k −1 ρ2 ⎡ ⎢⎛⎜ p0 ⎞⎟ ⎢⎜⎝ p2 ⎟⎠ ⎢⎣ k −1 k ⎤ − 1⎥ ⎥ ⎦⎥ Como Independiente de la geometría del conducto. J . A = m& = cte ⇒ J max . Amin = cte Por lo tanto Jmax solo puede ocurrir donde la garganta es mínima, en Amin. Entonces el único punto donde la velocidad puede ser sónica es en la garganta ya que J max ≤ J * Se obtiene: Existen 2 configuraciones posibles para toberas: Si la diferencia de presiones entre p0 y la presión de salida es suficientemente grande, se alcanza la velocidad sónica en la sección 2. Si: patm > p* p0 = patm Si el flujo en la garganta es subsónico la presión en la garganta coincide con la presión aguas debajo de la tobera. Si el flujo en la garganta es sónico la presión en la garganta puede ser = ó generalmente mayor que la presión aguas abajo. El flujo másico en la tobera es Si: patm < p* p0 = patm m& subs = A2 Expansión, ondas después de la tobera. k −1 2 ⎡ ⎤ ⎛p ⎞ k ⎛p ⎞k 2k p0 ρ 0 ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ ⎢⎝ p0 ⎠ k −1 p0 ⎠ ⎥ ⎝ ⎣⎢ ⎦⎥ Expresión válida mientras la velocidad en la garganta sea menor que la sónica. Si la velocidad en la garganta es sónica entonces: k +1 El valor máximo de Δp Para el aire m& = ρuA = J . A Reemplazando en S. V. W. tendremos si la sección de la garganta es Ai ( p2>p* ): 2 ⎞ ⎛ Δp = p0 − pc = p0 − p* = p0 ⎜1 − ⎟ ⎝ k +1⎠ p* = 0,53. p0 ⎛ 2 ⎞ k −1 m& son = A2 kp0 ρ 0 ⎜ ⎟ = J * . A2 ⎝ k +1⎠ k k −1 Expresión que corresponde al caudal máximo y puede rescribirse como k +1 m& son = A2 p0 T0 k ⎛ 2 ⎞ k −1 ⎟ ⎜ R 0 ⎝ k +1⎠ Estas expresiones son independientes de la presión en la atmósfera a la que sale el flujo. Δpmax = 0,47. p0 El caudal depende del Δp entre el recipiente y el ambiente hasta que se alcanza el valor máximo. Mas allá de este valor, el flujo másico no depende de Δp, por lo que disminuir la presión ambiente por debajo de p* no implica mayores caudales. Se dice que la tobera “se atora”. Caso en que la presión ambiente coincide con la presión en el extremo de la tobera. Toberas convergentes – divergentes (toberas Laval): Las toberas convergentes – divergentes surgen como consecuencia de la inaccesibilidad de velocidades supersónicas al utilizar toberas del tipo convergentes (donde la velocidad del sonido solo se alcanza en la salida). J Si la presión ambiente es aumentada, surge entonces lo que se suele llamar chorro sobreexpandido. El gas en la tobera se expande desde una presión pe<patm J* 1.0 Inicialmente el flujo en la tobera no cambia. Afuera de la tobera el flujo no es mas unidimensional. La descripción de este flujo requiere del concepto de onda de choque (que trataremos la clase que viene). x Si en la garganta se llega a flujo sónico en el difusor se produce disminución de presión y aumento de velocidad. k −1 1 ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ p⎞ k 2 k p0 ⎜ ⎛ p ⎞ k ⎟ ⎥ J = ρu = ⎜⎜ ⎟⎟ ρ 0 ⎢⎢ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ k − 1 ρ 0 ⎜ ⎜⎝ p0 ⎟⎠ ⎟⎥ ⎝ p0 ⎠ ⎝ ⎠⎦⎥ ⎣⎢ 1/ 2 Por ahora nos contentamos diciendo que la onda de choque es una superficie donde la presión y la temperatura son discontinuas. Esta onda de choque emana del borde de la tobera, permitiendo aumentar la presión de descarga a la presión ambiente. Las ondas de choque en este caso no son simples, ya que hay reflexiones y formación de ondas secundarias, llamadas ondas de expansión. 5 Si la presión ambiente se aumenta aun más, la onda se mueve hacia el interior de la tobera y forma la onda de choque normal (curva 2). Aguas abajo de esta onda de choque normal, el flujo es subsónico. Esta parte de la tobera funciona entonces como un difusor subsónico, el cual teóricamente aumenta la presión y disminuye la velocidad. En realidad existe separación de la capa límite y la presión después de la onda de choque permanece casi igual a la presión ambiente. Si la presión ambiente aumenta aun más, la onda de choque se introduce aun más en la tobera, pero se debilita ya que el número de Ma delante de la onda es menor. Si la presión aumenta aun más, la onda de choque alcanza finalmente la garganta, la intensidad de la onda o del salto disminuye a cero y el conjunto del flujo se vuelve subsónico. (curva 5 de la página anterior). Si aun incrementamos la presión ambiente, el número de Ma es máximo en la garganta pero nunca llega a 1 (curva 4 de la página anterior). El chorro se lo llama subexpandido si la presión de salida es mayor que la presión ambiente: CONCLUSIONES La reducción a la presión ambiente se logra a partir de ondas de expansión que al reflejarse provocan ondas de compresión. El flujo en la tobera permanece sin embargo inalterado. En las toberas convergentes – divergentes también aparece el fenómeno de atoramiento. Como en la garganta Hemos visto que la velocidad de propagación de perturbaciones depende de la magnitud de la misma, y que si las perturbaciones son pequeñas el fenómeno difiere según que la propagación pueda ser en una o en todas las direcciones. En este caso la velocidad del fluido limita las direcciones en las cuales se puede propagar la perturbación. Despreciando los efectos viscosos, hallamos una relación muy útil que vincula la velocidad con la entalpía en distintos puntos del fluido. u ≤ c* J max = J * = ρ .c* En esta clase nos concentramos en analizar algunas características salientes de los flujos compresibles. Los flujos compresibles con sección del conducto variable presentan comportamiento muy distinto al de los flujos incompresibles. m& max = J * S g arg = J * .A2 Entonces en tanto que el flujo sea supersónico, el caudal queda limitado por el “atoramiento”. Las expresiones de los caudales son entonces las mismas que para los flujos en toberas convergentes. Los flujos sónicos presentan comportamiento inverso en lo que respecta a presión y velocidad, que los subsónicos. La velocidad máxima en toberas convergentes está limitada a la velocidad sónica local función de las condiciones de entrada en la tobera. En las toberas Laval el flujo puede ser supersónico, pero un fenómeno adicional de saltos bruscos de presión puede tomar lugar. En ambas toberas puede ocurrir el fenómeno de atoramiento donde el caudal másico adopta un valor que solo depende de las condiciones de entrada. 6