controlador de temperatura para un diodo l´aser

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Fı́sica
Departamento de Fı́sica
CONTROLADOR DE TEMPERATURA
PARA UN DIODO LÁSER
POR
SERGIO JUAN PABLO GODOY MONTECINOS
Informe de Práctica presentado a la Facultad de Fı́sica
de la Pontificia Universidad Católica de Chile,
como uno de los requisitos para optar al
grado académico de Licenciado en Fı́sica
Profesor Guı́a
:
Dr. Sascha Wallentowitz
Comisión Informante
:
Dr. Birger Seifert
Dr. Heman Bhuyan
Agosto, 2011
Santiago, Chile
AGRADECIMIENTOS
Quiero agradecer al profesor Sascha Wallentowitz por el tiempo que destinó a
ayudarme y guiarme en el desarrollo del presente trabajo y a mi familia por el
apoyo brindado.
Resumen
En el presente trabajo se desarrolló un dispositivo que permite controlar la temperatura de
un diodo láser instalado en un montaje óptico. El funcionamiento de este dispositivo se basa en
medir la temperatura del diodo y luego regularla mediante un elemento Peltier para mantener
una temperatura deseada de forma estable.
Índice general
1. Introducción
2
1.1. El Láser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Láser tipo semiconductor y dependencia de la temperatura . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Proyecto a realizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2. Implementación en el montaje óptico
14
2.1. Configuración Littrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Medidor de Temperatura
16
22
3.1. Termistores y PT1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2. Linealización de voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3. Circuito, amplificación y ajuste de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.4. Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4. Control de temperatura
33
4.1. Efecto Peltier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2. Fuente de corriente variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.3. Montaje medidor de temperatura y Elemento Peltier . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.4. Modelo de conducción térmica
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Conclusiones
53
1
Capı́tulo 1
Introducción
En el campo de la óptica una de las herramientas más usadas es el láser. Esta
herramienta genera una fuente de luz coherente y monocromática, la cual permite
realizar estudios precisos para diversos intereses en investigación. En esta ocasión
nos centraremos en la dependencia que tiene la luz de un láser semiconductor
respecto de la temperatura, con el objetivo de construir un dispositivo controlador
de temperatura.
Para comenzar se explicará brevemente los principios teóricos de como funciona
un láser, como funciona un láser semiconductor y luego se tratará la dependencia
de alguna de sus propiedades con respecto a la temperatura.
1.1.
El Láser
La palabra láser es una abreviación del ingles “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation”, que quiere decir: “amplificación de luz por emisión
estimulada de radiación”. Para poder entender esto de una manera simple, se
puede pensar en un átomo con dos niveles electrónicos no degenerados de energı́as
E1 < E2 . Los niveles electrónicos del átomo interactúan con los fotones del campo
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
eléctrico cuantizado cuya frecuencia vendrá dada por la diferencia de energı́a entre
los estados, lo que puede ser representado según la expresión:
ω0 =
E2 − E1
.
~
(1.1)
Los estados |1i y |2i son autoestados del Hamiltoniano del átomo Ĥ0
Ĥ0 |1i = E1 |1i
Ĥ0 |2i = E2 |2i .
(1.2)
La interacción del dipolo eléctrico del átomo con el campo eléctrico de la luz
está dada por
V̂ = −dˆÊ.
(1.3)
Ĥ = Ĥ0 + V̂ .
(1.4)
Ası́ el Hamiltoniano completo es
El vector de estado del átomo se puede obtener como una combinación lineal de
sus dos estados |1i y |2i
|Φatom i = c1 |1i + c2 |2i ,
(1.5)
Mientras que el campo eléctrico cuantizado puede ser expresado en su vector de
estado como una superposición de sus n fotones cuya frecuencia esta dada por
la ecuación (1.1) (pensamos en fotones con la misma frecuencia mencionada para
simplificar la idea).
|Φcampo i =
3
X
n
cn |ni.
(1.6)
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
|2i
|2i
|2i
~ω
|1i
|1i
B)
A)
|1i
C)
Figura 1.1: Transiciones de los estados atómicos debido a la interacción del átomo con el campo
electromagnético cuantizado. A) Absorción, B) Emisión estimulada, C) Emisión espontánea
El sistema acoplado es representado con un vector de estado que contiene la información del campo y de los estados del átomo:
|Φa−c i =
X
n
[c1,n |1i |ni + c2,n |2i |ni],
(1.7)
dada la interacción dipolar, expresada en la ecuación (1.3), entre el átomo y el
campo cuantizado[1]. en el cuadro de interacción se presentan tres tipos de interacciones, como se presenta en la figura (1.1). El primer proceso es la absorción de
un fotón y la transición del estado |1i al estado |2i; el segundo proceso es la emisión
estimulada, en donde un fotón interactúa con un átomo en su estado electrónico
|2i haciéndolo decaer al estado |1i, esto produce un nuevo fotón con propiedades
4
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
idénticas al incidente. Por último, está el proceso de emisión espontánea, donde
un electrón en el estado |2i cae al nivel |1i, produciendo un fotón. Este proceso
es una “emisión estimulada” producida por las fluctuaciones cuánticas del vacı́o
electromagnético.
El proceso de emisión estimulada, al generar más fotones, puede llegar a producir gran intensidad de radiación que tiene una frecuencia caracterı́stica dada por
la ecuación (1.1), por lo cual tiene la propiedad de ser monocromática en un cierto
grado. Usualmente en la emisión espontánea el átomo decae en una vida media
caracterı́stica, la cual limita la precisión con la cual podemos medir la energı́a del
fotón. Especı́ficamente el tiempo de medicion puede ser hecho aproximadamente
a la vida media τ , con lo que se obtiene una incerteza en la diferencia de energı́as
entre los niveles representada como:
∆E =
~
,
τ
(1.8)
lo cual mediante la relación entre frecuencia y energı́a ∆ω = ∆E/~, y la expresión
(1.8), se obtiene un ancho de banda en el espectro de frecuencias que se puede
medir, y está dado por:
∆ω =
2π
.
τ
(1.9)
Esto muestra que la luz emitida no es perfectamente monocromática, si no que
tiene un rango de frecuencias que está determinado por la vida media del átomo,
en torno a una frecuencia principal ω0 . Múltiples emisiones espontáneas dentro
de un ensemble de átomos son estadı́sticamente independientes si ocurren con un
lapso de tiempo mas grande que τ . Ası́ τ es el tiempo de coherencia y
Lc = cτ,
5
(1.10)
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
es el largo de coherencia. Dentro de este rango el haz de luz tiene la propiedad de ser
coherente, es decir puede mostrar interferencia. Este proceso es caracterı́stico para
la generación de luz en ampolletas o LED(Light-Emitting Diode: “diodo emisor de
luz”).
Para generar un láser se necesita un medio activo, el cual puede ser lı́quido,
gaseoso o sólido, confinado en una cavidad resonante de radiación donde se pueda
generar el proceso de emisión estimulada de forma estable. Para esto es necesario entregar energı́a al medio constantemente para producir una inversión en la
población de estados, aumentando la población de átomos con electrones en el
estado |2i, lo cual permite hacer una transición al estado |1i generando radiación.
Viéndolo de una manera más realista se necesita excitar estados electrónicos que
puedan realizar transiciones dipolares con otros estados de menor energı́a lo cual
producirá fotones dentro de la cavidad. La entrega de energı́a de manera continua
es llamada bombeo y mantiene los átomos en niveles excitados produciendo gran
cantidad de fotones en el interior de la cavidad. La energı́a en la onda estacionaria,
se amplifica y produce una fuerte intensidad de radiación.
Con la condición
mλ = L ,
(1.11)
donde L es el largo de la cavidad, se determinan las longitudes de onda λ, seleccionando un cierto tipo de transición de estados, dado que se ha invertido la población
de los estados eléctricos correspondientes. La cavidad está formada por espejos que
reflejan la luz generando una cavidad resonante de radiación. Uno de los espejos
tiene una reflectividad menor a 100 % por lo que se transmite una pequeña fracción de la intensidad al exterior, donde se genera un haz de luz monocromático
y coherente. Este proceso activo resulta en una de luz con un ancho de lı́nea ∆ω
6
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
mucho menor que el ancho natural de la transición. En esta manera el largo de
coherencia, se obtiene combinando las ecuaciones (1.9) y (1.10)
L=
2πc
,
∆ω
(1.12)
aumenta de centı́metros a cientos de metros y más.
1.2.
Láser tipo semiconductor y dependencia de la temperatura
En este trabajo se utilizara un tipo de láser cuyo medio activo esta constituido
por un semiconductor. La diferencia de energı́a que existe entre las bandas de
conducción y de valencia en un semiconductor marca la región prohibida donde no
puede haber electrones, estos solo se pueden ubicar en las bandas de valencia y de
conducción según la distribución de Fermi-Dirac
f=
1
,
1 + e(E−EF )/kB T
(1.13)
donde E es la energı́a de los estados electrónicos, kB es la constante de Boltzmann,
EF es la energı́a del nivel de Fermi y T es la temperatura absoluta del sistema. El
paso de electricidad a través del semiconductor se explica por los electrones que
son promovidos a la banda de conducción, dado un voltaje necesario, y por los
agujeros generados en la banda de valencia a causa de esto mismo. Este proceso
produce una tasa de recombinación entre los agujeros y los electrones que decaen
de la banda de conducción generando la emisión de fotones.
La diferencia entre la energı́a mı́nima de la banda de conducción EM y el máximo
7
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Banda de conduccion
Ec
EM
E = ~ω
Eg
Em
Ev
U =0
Banda de V alencia
U >0
Figura 1.2: Recombinación y emisión de fotones en un semiconductor con dopaje. Al aplicar un
voltaje se generan nuevas energı́as de Fermi en las bandas de conducción y de valencia. Esto
produce que se generen electrones en la banda de conducción que pueden recombinarse con los
agujeros de la banda de valencia, produciendo fotones.
de energı́a en la banda de valencia Em es llamada energı́a de “band gap”
Eg = EM − Em ,
(1.14)
y corresponde al mı́nimo de energı́a que debe ser entregada a un electrón para que
pueda pasar de la banda de valencia a la banda de conducción. Los electrones que
son promovidos a la banda de conducción dejan huecos en la banda de valencia lo
que determina un nuevo nivel de Fermi para los electrones dentro de la banda de
valencia, llamado nivel de Fermi para la banda de valencia Ev . De igual manera los
electrones que ocupan parte de la región dentro de la banda de conducción determinan un nuevo nivel de Fermi para esta banda llamado Ec , esto se ve representado
en la figura (1.2).
La banda de conducción tiene mı́nimos como función del vector de onda del
electrón, al igual que la banda de valencia tiene máximos. Cuando un máximo y un
8
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
E
E
Ec
EM
EM
fonon
∆E = ~ω
~k
~k
Em
Em
Semiconductor
Ev
Semiconductor
indirecto
directo
Figura 1.3: Bandas de conducción y valencia en semiconductores.
mı́nimo respectivamente coinciden para el mismo momentum del electrón se habla
de un semiconductor directo y cuando no coinciden se habla de un semiconductor
indirecto. En el último caso, las transiciones electrónicas generan fonones en la red
cristalina que se traduce en un calentamiento del material, ver la figura 1.3. En
los semiconductores directos los procesos de recombinación producen fotones cuya
frecuencia aproximada se obtiene de las expresiones (1.1) y(1.14)
ω=
Eg
.
~
(1.15)
El semiconductor usado para diodos láser esta hecho del material GaAs. Este material se convierte en un semiconductor “tipo n” mediante la adición de impurezas
de telurio o selenio, de modo de aumentar la densidad de donadores alcanzando 1017 a 1018 cm−3 [2] y se convierte en un semiconductor “tipo p”por medio de
la difusión de átomos de zinc como elemento aceptor, con lo que la cantidad de
aceptores suele alcanzar entre 1018 a 5 · 1019 cm−3 . Los cristales son cortados según
planos de corte paralelos y se los emplea como interferómetros de Fabry-Perot para
9
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Zona
Activa
p
n
I
Figura 1.4: Unión p-n de semiconductores dopados
construir la cavidad resonante. Como el ı́ndice de refracción del GaAs es 3,6, las
caras libres del diodo tienen una reflectividad del 32 % por lo que no se necesitan
recubrimientos para aumentar la reflectividad.
El diodo láser se construye con la unión p-n de semiconductores, como se muestra en la figura (1.4), donde se aplica una diferencia de voltaje para producir
una región activa donde se recombinan electrones y huecos de los semiconductores
dopados. A través de la juntura se determina la región activa donde se produce
radiación producto de la recombinación, ver figura (1.4). La energı́a eléctrica que
se entrega a la región determina el bombeo que hace la inversión en la población de
electrones, luego la cavidad determina la longitud de onda que sera finalmente amplificada. Dados los niveles de ocupación de los electrones en la banda de conducción y los huecos generados en la banda de valencia en la región de recombinación,
la frecuencia de radiación emitida cumplirá con la condición
Eg < ~ω < Ec − Ev ,
10
(1.16)
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
p
p
n
n
Ec
Eg
Eg
Ec
Ev
Ev
U >0
U =0
Figura 1.5: Bandas de conducción y valencia en semiconductores, en unión p-n. 1) sin voltaje
aplicado 2) con un voltaje aplicado que determina la región de recombinación.
ya que existe una densidad de electrones sobre el mı́nimo de la banda de conducción, que pueden recombinarse con la densidad de huecos que están bajo el máximo
de la banda de valencia, ver figura (1.5). Esto determina un ancho de banda para
las frecuencias emitidas por la region activa del semiconductor. La región activa
de la unión p-n tiene un grosor aproximado de 100nm, lo cual se ve en la figura
(1.6). Al aplicar un voltaje a la juntura p-n los electrones se moverán de la región
n a la región p y los agujeros de la región p a la n. Al ocurrir esto la juntura se
convierte en una fuente de radiación y a su vez también se convierte en una fuente
de calor, debido a la corriente que pasa se genera una potencia P con la cual se
calienta el material mediante el efecto joule P ∝ I 2 , lo que produce una variación
de la temperatura generando una expansión térmica en el material:
∆L
= α∆T,
L
11
(1.17)
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
∆U
I
p
Hazlaser
Region activa
100nm
n
L
Figura 1.6: Cavidad resonante donde se genera el proceso de emisión estimulada.
donde α = 2,6 · 10−6◦ C−1 es el coeficiente de expansión térmica. Ası́ la cavidad
resonante cambia sus caracterı́sticas con la temperatura. Dado que la longitud
de onda depende del tamaño de la cavidad (1.11) un cambio en la temperatura
produce un cambio en la longitud de onda. Como el medio sigue siendo el mismo
se cumple que λν = c/nGaAs donde nGaAs es el ı́ndice de refracción del GaAs y c
es la velocidad de la luz, con lo que se genera un cambio en la frecuencia del láser
en función de la temperatura:
∆ν(T )
= −α∆T,
ν
(1.18)
lo que muestra que la frecuencia disminuye cuando aumenta la temperatura.
Debido a la distribución de los estados energéticos segun la expresión (1.13)
las bandas de conducción y de valencia se aproximan disminuyendo la energı́a Eg
debido al aumento de temperatura [3], esto trae una disminución en la frecuencia
12
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
del láser como se ve en la expresión (1.15).
Los procesos de expansión térmica y de disminución del band gap debido a la
temperatura disminuyen la frecuencia del láser, lo que genera una motivación para
hacer un sistema de control de temperatura.
1.3.
Proyecto a realizar
Ya con una introducción del funcionamiento de un diodo láser y su relación
con la temperatura, se podrá entender el objetivo propuesto para el proyecto que
se pretende realizar en el laboratorio de óptica, que consiste básicamente en la
creación de un dispositivo electrónico para el control automatizado de la temperatura de un diodo láser, con el fin de mantener estable su frecuencia. Para esto se
hará necesario la construcción de un circuito que permita medir la temperatura del
diodo y a la vez regularla mediante un proceso de enfriamiento, ambos procesos
funcionando de manera simultanea.
13
Capı́tulo 2
Implementación en el montaje
óptico
El controlador de temperatura fue construido para ser usado en una configuración óptica donde se pretende estudiar el espectro de frecuencia del láser. El
uso del controlador de temperatura permite reducir los cambios producidos en la
frecuencia del láser por efecto de las variaciones de la temperatura, con lo que se
obtiene un ancho de banda en la frecuencia del láser bien determinado (dadas las
caracterı́sticas de la cavidad, como ya se explicó en el capı́tulo 1).
El ancho de banda del láser puede ser modificado mediante un montaje óptico
que consiste en generar una cavidad resonante externa conocida como “configuración Littrow” [4], que además permite tener control sobre la frecuencia principal
del láser. Al hacer una cavidad externa utilizando en un extremo una rejilla de
difracción se pueden seleccionar longitudes de onda que reingresen a la cavidad,
disminuyendo el ancho de banda del láser. La superficie de una red de difracción
está cubierta por un patrón de surcos con espejos los cuales se convierten cada
uno en una nueva fuente de radiación al reflejar el haz incidente, como se muestra
14
CAPÍTULO 2. IMPLEMENTACIÓN EN EL MONTAJE ÓPTICO
Luz incidente
θi
θm
B
C
θi
θm
A
d
Figura 2.1: Esquema de una red de difracción. Al incidir ondas planas sobre la red cada punto
en la rejilla genera un nuevo frente de onda. En el esquema, θi representa el ángulo entre el haz
incidente y la normal de la red y θm representa el ángulo del orden m.
en la figura (2.1). En la figura se puede ver que los desfaces producidos por la red
son representados por los trazos
AB = d sin θi
AC = d sin θm ,
(2.1)
donde d es del orden de λ; θm corresponde al ángulo del orden m y θi corresponde
al ángulo entre la normal a la red y el haz incidente. Las nuevas ondas elementales
se superponen generando un patrón de interferencia con máximos y mı́nimos de
intensidad en función del ángulo. Cuando se cumple que AB − AC = mλ, se
15
CAPÍTULO 2. IMPLEMENTACIÓN EN EL MONTAJE ÓPTICO
obtienen máximos de interferencia en el orden m, segun:
mλ = d(sin θi − sin θm ).
(2.2)
Como bien se aprecia en la ecuación los máximos de intensidad para θm dependen
de la longitud de onda [5], por lo que distintas longitudes de onda generan distintos
patrones de difracción, con lo que al crear una cavidad resonante externa se pueden
filtrar aun mas las longitudes de onda que se mantengan en la cavidad.
2.1.
Configuración Littrow
La cavidad de un diodo esta formada por dos espejos con un determinado
ı́ndice de reflectividad, encerrando las ondas amplificadas por el proceso de emisión
estimulada, lo que es conocido como interferómetro de Fabry-Perot [5], mostrado
en la figura (2.2). En la cavidad un espejo tiene un ı́ndice de reflectividad R = 1
mientras el otro tiene un ı́ndice R < 1, por lo que una parte de la radiación puede
salir de la cavidad como luz del láser. En el interior de la cavidad de un láser se
amplifican las ondas cuya longitud de onda cumpla con la condición (1.11), por lo
que la distancia entre los espejos es determinante en la selección de la longitud de
onda que produce el láser. Pequeñas variaciones en la temperatura pueden producir
que se amplifiquen otras longitudes de onda.
Se coloca un lente colimador de tal manera que el diodo este ubicado en su foco
para colimar el haz de luz. Luego se coloca la rejilla de difracción de tal forma que el
primer orden de difracción entre al diodo generando una nueva cavidad resonante.
La condición que se debe cumplir es que θ1 = −θi para m = 1, imponiendo esta
16
CAPÍTULO 2. IMPLEMENTACIÓN EN EL MONTAJE ÓPTICO
R=1
n1
n 2 > n1
R<1
11
00
00
11
n
>1
naire = 1
00
11
00 GaAs
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
1111111
0000000
00
11
L
00
11
00
11
n1
Figura 2.2: Interferómetros de Fabry-Perot. A la izquierda interferómetro con espejos de ı́ndices
de refleccion menores a uno y con un ángulo agudo de incidencia. A la derecha interferómetro
en la cavidad de un láser, uno de los espejos tiene reflectividad uno mientras que el otro tiene
menor que uno. La luz tiene un ángulo de incidencia igual a cero grados.
17
CAPÍTULO 2. IMPLEMENTACIÓN EN EL MONTAJE ÓPTICO
orden m = 0
R=1
11
00
00
11
00 Diodo
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
R<1
θ0
θ1
orden m = 1
Red de
difraccion
Colimador
L0
L
Figura 2.3: Configuración Littrow.
condición en la ecuación (2.2) se obtiene que
sin θ1 =
λ
,
2d
(2.3)
esta configuración es conocida como configuración ”Littrow“ [5]. Como se aprecia
en la figura (2.3). De esta manera se logra reducir el ancho de banda de la cavidad
del diodo láser ∆ν a un ancho de banda menor ∆νext con la cavidad externa y a su
vez permite fijar la frecuencia principal ν0 al variar el ángulo θ1 como se expresa
en la ecuación (2.3).
Para que se amplifique un modo en la cavidad externa se necesita que se cumplan
las condiciones dadas por las ecuaciones (1.11) y (2.3), de no ser ası́ se producirı́a
un salto entre modos dentro de la cavidad, viéndose dos frecuencias distintas alternándose a través del tiempo. Este problema hace inestable la configuración por
lo que se debe tener especial cuidado al variar θ1 , ya que este cambio tiene que producir un largo adecuado de la cavidad para que se cumplan las dos condiciones.
18
CAPÍTULO 2. IMPLEMENTACIÓN EN EL MONTAJE ÓPTICO
Figura 2.4: Montaje de la configuración Littrow.
Esta configuración fue montada en el laboratorio en donde se usaron piezas de
acero para sostener la red de difracción y el espejo, como muestra la foto del montaje en la figura (2.4). Para poder fijar la base del conjunto diodo y controlador
de temperatura, dando un grado de libertad para poder adecuar la altura a la que
sale el haz del láser, se diseño una pieza de aluminio que permite sujetar la base
óptica de forma mecánica mediante pernos que ejercen presión, como se ve en la
figura (2.5). La pieza ya implementada se muestra en la figura (2.6) del montaje,
donde se ve que la pieza regula la altura del diodo permitiendo que el haz salga
recto en el mismo plano que el colimador y la red.
19
CAPÍTULO 2. IMPLEMENTACIÓN EN EL MONTAJE ÓPTICO
Tornillo
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
5
111
000
000
111
000
111
=45,22
Base
Tornillo 48
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
32
50,8
50,8
Figura 2.5: Pieza de aluminio para la base del conjunto controlador de temperatura y diodo láser,
todo en mm.
20
CAPÍTULO 2. IMPLEMENTACIÓN EN EL MONTAJE ÓPTICO
Figura 2.6: Pieza de Al construida para la base del control de temperatura y diodo.
21
Capı́tulo 3
Medidor de Temperatura
Para tener un controlador de la temperatura del diodo es necesario tener un
dispositivo que pueda medir la temperatura en cada momento. Para optimizar la
construcción del medidor de temperatura acotaremos el rango en que deseamos
medir, el cual será de 0◦ C a 100◦ C ya que la temperatura del diodo, por las
caracterı́sticas de este, siempre estará contenida en este rango. Por lo anterior
se hace necesario utilizar algún tipo de dispositivo que sea capaz de medir la
temperatura en el rango deseado y poder integrarlo a un circuito de control.
3.1.
Termistores y PT1000
Los materiales cuya resistividad eléctrica es sensible a la variación de temperatura son llamados termistores. Hay dos tipos de termistores[6]: los que su resistividad eléctrica aumenta con el incremento de la temperatura(“PTC”, positive
temperature coefficient) y los que su resistividad disminuye con el incremento de
la temperatura(“NTC”, negative temperature coefficient).
La resistencia de los metales aumenta con el incremento de temperatura, los
mas usados son el Pt y el Acero-Nickel. El rango de medición para el Pt es de
22
CAPÍTULO 3. MEDIDOR DE TEMPERATURA
0◦ C ≤ θ ≤ 850◦ C y para el acero-nickel −50◦ C ≤ θ ≤ 150◦ C donde θ es la
temperatura en grados Celsius. De los materiales ya mencionados es más fácil
encontrar dispositivos de platino por lo cual este será el material empleado para
medir temperatura.
Existen distintos medidores a base de Pt y estos se diferencian en la resistencia
eléctrica que tienen a θ = 0◦ C, un valor usual es 100Ω (PT100), pero también se
puede encontrar de 200Ω (PT200), 500Ω (PT500) y de 1000Ω (PT1000). Dentro
del mercado chileno el dispositivo mas accesible para la realización del medidor
fue el PT1000.
La variación de la resistencia del Pt según la temperatura se puede modelar
hasta segundo orden en la temperatura (ordenes superiores son despreciables) con
la ecuación:
Rθ = R0 [1 + αθ − (βθ)2 ],
(3.1)
donde R0 es la resistencia a cero grados Celsius (para nuestro caso 1000Ω) y los
coeficientes son α = 3, 9 · 10−3 ◦ C−1 y β = 0, 76 · 10−3 ◦ C−1 [6].
Se uso el termistor PT1000 ya que su rango de medición se ajusta al rango
deseado siendo mas simple de utilizar en comparación a otros termistores como
por ejemplo una termocupla, y su precio en el mercado es mas conveniente que
otro tipo de Pt.
3.2.
Linealización de voltaje
Para poder medir las variaciones de temperatura mediante el PT1000 se utilizó un circuito divisor de voltaje, con un voltaje de referencia Uref constante como
muestra la figura (3.1). En este circuito la resistencia Rlin tiene que tener un valor especifico para que el voltaje de salida tenga un comportamiento lineal con la
23
CAPÍTULO 3. MEDIDOR DE TEMPERATURA
Rlin
Uref
Uθ
Rθ
Figura 3.1: Circuito divisor de voltaje. La resistencia Rlin es utilizada para linealizar el voltage
de salida Uθ con respecto a la temperatura; la resistencia Rθ representa al termistor PT1000 y
Uref representa un voltaje de referencia constante.
variación de temperatura en el rango de temperaturas deseado. La dependencia
del voltaje de salida Uθ y la variación de la resistencia por la temperatura Rθ en
el PT1000 viene dada por la expresión:
Uθ =
Rθ
Uref .
Rθ + Rlin
(3.2)
Para obtener una dependencia lineal con la temperatura es necesario expandir la
dependencia de Uθ en diferentes ordenes de θ y luego encontrar el valor de Rlin
necesario para poder despreciar los terminos de ordenes iguales o superiores a
dos. Reordenando y reemplazando la expresión de Rθ en el denominador por la
expresión obtenida de la ecuación (3.1) se obtiene
Rθ
Rθ
=
Rθ + Rlin
R0 + Rlin
24
1
1+
R0 αθ−R0 (βθ)2
Rlin +R0
!
.
(3.3)
CAPÍTULO 3. MEDIDOR DE TEMPERATURA
Expandiendo en series la expresión (3.3) resulta
"
Rθ
Rθ
R0 (αθ − (βθ)2 )
=
1−
+
Rθ + Rlin
R0 + Rlin
R0 + Rlin
R0 (αθ − (βθ)2 )
R0 + Rlin
!2 #
+ ϑ(θ3 ),
(3.4)
reordenando y reemplazando Rθ que faltaba en el numerador genera
"
!#
Rθ
R0 (1 + αθ − (βθ)2 )
R0
R0
2
2
=
1−
αθ − (βθ) −
(αθ)
.
Rθ + Rlin
R0 + Rlin
R0 + Rlin
R0 + Rlin
(3.5)
Para simplificar la expresión se utilizó
x=
R0
,
R0 + Rlin
(3.6)
lo cual al reordenar queda
Rθ
= x[1 + (1 − x)αθ + x(β 2 θ2 + xα2 θ2 ) − xα2 θ2 − β 2 θ2 ].
Rθ + Rlin
(3.7)
Como se busca el factor de θ2 , se factorizó la expresión (3.7) quedando como
Rθ
= x[1 + (1 − x)αθ + x(x − 1)α2 θ2 + (x − 1)β 2 θ2 ],
Rθ + Rlin
(3.8)
imponiendo la condición de anular el factor de θ2 , se obtiene la siguiente ecuación
cuyas soluciones son:
x(x − 1)α2 + (x − 1)β 2 = 0,
(3.9)
2
β
x+ = −
y x− = 1 .
α
(3.10)
Vemos que en ambos casos las soluciones no dan la posibilidad de anular el factor
de θ2 , ya que el cuociente dado en la expresión (3.6) no puede ser negativo con lo
que se descarta x+ y tampoco se puede tener que R0 o Rlin sea igual a cero, por lo
25
CAPÍTULO 3. MEDIDOR DE TEMPERATURA
Rlin
Rlin
Uout
Uref
Rθ
R1
R3
Figura 3.2: Circuito linealizador de voltaje y medidor de temperatura.
que se descarta también x− . De esta manera se prueba que el circuito no se puede
linealizar completamente mediante Rlin . La manera de solucionar el problema de
la no linealidad se propone en un libro de electrónica [6], donde se reduce el factor
cuadrático en un rango de temperaturas utilizando tres puntos de la curva para
Uθ . Dentro de un rango de 0◦ C ≤ θ ≤ 100◦ C se propone Rlin = 28kΩ, con lo que
se espera un comportamiento lineal de Uθ con la temperatura [6].
3.3.
Circuito, amplificación y ajuste de rango
Además de la variación de voltaje con respecto a la temperatura, se hace necesario fijar el rango de voltaje que se quiere obtener, para esto al valor obtenido se
le resta un voltaje constante destinado a fijar el “mı́nimo voltaje” se amplifica la
señal mediante el uso de un amplificador operacional (Opa.). El circuito empleado
se presenta en la figura (3.2). Por definición el Opa amplifica con un factor A 1
la diferencia de los voltajes que entran en él, lo que se expresa en:
Uout = A(U+ − U− ).
26
(3.11)
CAPÍTULO 3. MEDIDOR DE TEMPERATURA
De la figura (3.2) se obtienen los voltajes de entrada al Opa que determinan la
salida:
U− = R1
Uref
Uout
+
R1 + R2 R1 + R3
, U+ = Uθ .
(3.12)
Juntando las ecuaciones (3.11) y (3.12) se obtiene el valor de la salida del circuito,
en función de la temperatura:
Uout
!
Rθ Uref
R1 Uref
R1 Uout
=A
−
−
,
Rθ + Rlin R1 + R2 R1 + R3
(3.13)
despejando Uout de la expresión anterior resulta
Uout =
Rθ
1
− R1R+R
Rθ +Rlin
2
R1
1
+ R1 +R3
A
Uref
,
(3.14)
y usando que A 1 se obtiene
Uout ≈
R3
1+
R1
Rθ
R1
−
Rθ + Rlin R1 + R2
Uref .
(3.15)
Ya con el circuito pensado es necesario calcular los valores necesarios de las resistencias y luego calibrarlo para poder tener una relación clara entre el voltaje de
la salida y la temperatura a la cual hace referencia. Para esto se necesita que el
circuito a 0◦ C entregue un voltaje de 0V en la salida. Viendo el valor de la salida
en la ecuación (3.15), de la condición anterior se obtiene que:
R0
R1
=
.
R0 + Rlin
R1 + R2
(3.16)
Para que lo anterior se cumple se deben cumplir las condiciones siguientes.
R1 = R0 , R2 = Rlin .
27
(3.17)
CAPÍTULO 3. MEDIDOR DE TEMPERATURA
Con esto obtenemos los valores para las primeras cuatro resistencias ya que R1 =
R0 = 1kΩ , y que R2 = Rlin = 28kΩ. Estos son los valores esperados para las resistencias pero son valores ideales ya que no se pueden obtener valores tan precisos.
Los valores reales que se colocaron para estas resistencias, dado las resistencias que
se pueden obtener en el mercado, son: R2 = Rlin = 25, 2kΩ y para R1 se hace una
resistencia variable mediante un potenciómetro para poder calibrar con precisión
el circuito, obteniendo un valor entre 953 Ω ≤ R1 ≤ 1003 Ω:
Con el objetivo de que circule una corriente . 1mA a través del sensor PT1000
(para no calentarlo con la corriente que pasa mediante el efecto joule [7]), se calculo el valor necesario para Uref , el cual se obtiene de la ley Ohm junto con la
expresión (3.2). Utilizando los valores ya mencionados se obtiene un valor para el
voltaje de referencia de Uref = 1V aproximadamente, el cual se logró utilizando un
estabilizador de voltaje modelo LM385Z-1 que genera 1, 24(15)V.
Como Uθ es una función lineal con la temperatura, se puede expresar
Uθ =
R0
+ γθ,
R0 + Rlin
(3.18)
donde γ es un factor de proporcionalidad. Combinando (3.15) y (3.18) se obtiene
Uout =
!
R3
1+
γθ,
R1
(3.19)
usando una resitencia R3 R1 , la expresión anterior se reduce a
Uout ≈
R3
γθ,
R1
(3.20)
donde se expresa que Uout ∝ R3 . En un principio se utilizó una resistencia de
R3 = 575kΩ, pero no fue suficiente para alcanzar la tasa de cambio deseada que era
28
CAPÍTULO 3. MEDIDOR DE TEMPERATURA
tener 1V por cada 10◦ C. Faltando un 20 % del voltaje deseando a una temperatura
θi , se uso la expresión (3.20) para determinar una variación del voltaje con respecto
a R3
∆Uout ≈
∆R3
γθi ,
R1
(3.21)
de manera que para ajustar el voltaje también se tiene que aumentar en un 20 %
el valor de R3 , obteniéndose R3 = 690kΩ. Esta resistencia fue construida mediante
dos resistencias en serie, una de valor fijo 680kΩ más un potenciómetro de 25kΩ,
de esta manera se llego a la tasa de cambio deseada.
3.4.
Calibración
Para poder tener información de la temperatura se busca que el circuito genere
0V a 0◦ C y 10V a 100◦ C por lo que hay que variar los potenciómetros usados en R1
y R3 para poder fijar los parámetros que determinen el rango de voltaje deseado.
Para esto fue necesario un punto de referencia confiable para estas temperaturas.
Lo primero que se pensó fue usar una mezcla de agua con hielo para poder tener una
referencia de 0◦ C y usar agua hirviendo para una referencia de 100◦ C calculando
las correcciones provocadas por la presión atmosférica existente.
Para hacer esto se construyó una pequeña pieza de Al en cuyo interior se
colocó el sensor PT1000 para protegerlo del contacto con el agua. La elección
de Al se debe principalmente a que es un buen conductor del calor. Luego de esto
se hicieron mediciones con el circuito para 0◦ C introduciendo la pieza de aluminio
con el sensor adentro en agua con hielo. Posteriormente se utilizó la misma pieza
con el sensor en su interior para una prueba con un calentador de agua que tenı́a
un medidor interno de temperatura, el cual fue usado para tomar datos del voltaje
y su dependencia con la temperatura. Para comenzar se hizo un primer ajuste para
29
CAPÍTULO 3. MEDIDOR DE TEMPERATURA
8
7
6
Uout /V
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
T /◦ C
Figura 3.3: Mediciones del circuito para la calibración de Uout con respecto a T . El ajuste lineal
de los datos se representa en la linea discontinua, mientras que la linea continua representa el
resultado deseado.
R1 utilizando la mezcla de agua con hielo, luego de esto se intento calibrar con
agua hirviendo el circuito manipulando el potenciómetro de R3 para obtener 10V
en la salida, pero la calibración con agua hirviendo no fue posible. Los resultados
se muestran en el gráfico de la figura (3.3) y el resultado es una variación no lineal con la temperatura. La no linealidad se explica debido a que el calentador de
agua siempre estuvo aportando calor al sistema, lo que era un impedimento para
alcanzar el equilibrio térmico. También fue perjudicial la presencia del vapor de
agua a alta temperatura que disminuyó el voltaje de referencia del circuito, lo cual
afectó en el voltaje de salida. Esto se hace altamente notorio desde los 70◦ C en
adelante.
Para solucionar los problemas que se generaron en el primer intento de calibración se cambio el calentador de agua; se utilizó un termómetro a base de alcohol
30
CAPÍTULO 3. MEDIDOR DE TEMPERATURA
7
6
Uout /V
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
T /◦ C
Figura 3.4: Mediciones del circuito para la calibración de Uout con respecto a T . La toma de
mediciones se realizo esperando el equilibrio térmico en el sistema.
con un error de ±0, 5◦ C como referencia; se utilizó una cubeta para echar el agua
con el fin de sacarlo del calentador al momento de medir y se hicieron medidas
hasta los 70◦ C para evitar que el vapor de agua afectara al circuito. En este segundo intento se hizo el mismo proceso que en el primero pero con la diferencia de
que antes de medir se daba un tiempo para que el sistema alcanzara un equilibrio
térmico. Luego de estos cambios se hizo una nueva calibración del circuito y posteriormente una nueva toma de datos que se exponen en el gráfico de la figura (3.4).
Se aprecia claramente la linealidad del cambio del voltaje de salida con respecto a
la temperatura. Para la medición de voltaje se empleó un multimetro que dentro
del rango de medición en el cual fue usado (19, 99V) tiene un error de ±(0, 5 %
del valor +1 dı́gito). Con los datos obtenidos se obtiene una relación lineal para
el cambio de voltaje en la salida con respecto a la temperatura Uout = aT + b,
donde a = 0, 1006(1)V · ◦ C−1 y un valor de b = −0, 047(5)V datos que muestran
31
CAPÍTULO 3. MEDIDOR DE TEMPERATURA
la precisión del instrumento construido.
32
Capı́tulo 4
Control de temperatura
En este capı́tulo se estudiara la manera en que se estabilizará la temperatura
del diodo láser. En láseres comerciales el aumento de temperatura producido por la
eficiencia no unitaria del diodo se compensa usualmente con un disipador de calor
y con un control de la corriente eléctrica a través del diodo. Mientras ası́ la temperatura del diodo está estable, la intensidad, siendo proporcional a la corriente,
puede variar. Para evitar esto, en este trabajo se saca calor del diodo directamente
con un elemento Peltier. El flujo de calor de este elemento Peltier se controla con
una fuente de corriente eléctrica variable.
4.1.
Efecto Peltier
Para controlar la temperatura del diodo es necesario generar un flujo de calor
que salga de él, ya que la propia potencia que éste genera aumenta la temperatura a
través del tiempo de operación. Para esto se hace uso del llamado efecto de Peltier
[8]. Suponga dos conductores con densidades de portadores de carga diferentes que
se conectan, y corre una corriente eléctrica que va de la zona de alta densidad a
la de baja densidad. El gas de electrones que atraviesa la juntura se expande en el
33
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
∆Q
T2
T1
IP
Π2
Π1
C1
C2
Figura 4.1: Esquema que representa la unión de dos materiales conductores o semiconductores
por los cuales pasa una corriente, generando un flujo de calor.
material de baja densidad lo que lleva consigo un enfriamiento en este medio, ver
figura (4.1).
Este efecto es mas fuerte en el caso de materiales semiconductores que están
dopados. La diferencia en el tipo de dopaje también determina el sentido del flujo
de calor a través de la unión por lo que se hace sumamente importante conectar
el dispositivo que se pretende emplear de la forma correcta, de otra forma se
estará realizando el proceso inverso al deseado. Todo lo anterior se resume en
Q̇ = (Π2 − Π1 )IP ,
(4.1)
donde Π1 y Π2 son los coeficientes de Peltier de los materiales respectivos, IP es la
corriente que pasa a través vez de ellos y Q̇ el flujo de calor a través de la unión.
34
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
4.2.
Fuente de corriente variable
Lo primero que hay que desarrollar es un circuito que permita variar la corriente
que pasa a través de un elemento Peltier. En el presente trabajo se propone un
circuito que genere una relación lineal entre el voltaje de la entrada y la corriente
que se pretende controlar.
El circuito construido se muestra en la figura (4.2), que permite controlar la
corriente que pasa por el elemento Peltier. En en este circuito se puede ver que la
corriente solo puede pasar en una sola dirección la cual está determinada por el
voltaje aplicado. En equilibrio el Opa por la retroalimentación iguala los voltajes
de entrada, por lo que
U+ = UP = U− ,
(4.2)
la corriente que corre por el elemento Peltier vendrá dada por:
IP =
(U− − 0)
UP
=
.
R1
R1
(4.3)
donde UP es el voltaje de control, IP es la corriente que pasa a través del elemento
Peltier y R1 una resistencia que determina la proporcionalidad entre el voltaje
aplicado y la corriente. El circuito fue probado para verificar su comportamiento
lineal utilizando dos resistencias diferentes para R1 de 1Ω y 4Ω, las cuales determinan la pendiente de las rectas, los resultados se muestran en la figura (4.3).
En ambos casos se obtiene una relación lineal dada por IP = aUP + b. Utilizando
una resistencia de 1Ω y un 5 % de tolerancia, se obtiene a = 0, 9942(35)A · V−1 y
b = 1, 27(18)mA, valores que están dentro del 5 % de tolerancia de la resistencia,
y con una resistencia de 4Ω se obtiene a = 0, 2488(10)A · V−1 y b = 0, 308(54)mA.
En ambos casos b 6= 0, debido a que se utilizo un opamp modelo OP741 que no es
35
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
+15V
Elemento Peltier
UP
IP
+
−
R1
Figura 4.2: Fuente de corriente variable. En este circuito el voltaje de la salida del opamp LM741
regula la resistencia eléctrica del mosfet IRF740A, por lo que a mayor voltaje de salida del opamp
menor es la resistencia del mosfet. Con UP se controla la corriente a través del elemento Peltier.
36
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
100
80
R1 = 1Ω
60
IP /mA
40
R1 = 4Ω
20
0
0
20
40
60
80
100
UP /mV
Figura 4.3: Corriente Peltier como función del voltaje aplicado en el circuito fuente de corriente
variable. La secuencia de datos representados por la linea representada por puntos fueron sacados
con una resistencia R1 = 1Ω, mientras que los datos representados por las lineas discontinuas
fueron sacados con una resistencia R1 = 4Ω.
37
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
Figura 4.4: Comparación del tamaño y superficie entre elemento Peltier y el diodo láser.
tan preciso dado que tiene un determinado voltaje “offset”.
4.3.
Montaje medidor de temperatura y Elemento Peltier
El elemento Peltier no se puede poner en contacto directo con el diodo láser,
ya que el diodo tiene poca superficie de contacto, ver figura (4.4). Por esto se
diseñó una pieza de aluminio que en su interior llevarı́a sujeto el diodo y en una
de sus superficies se colocara el elemento Peltier para el control de temperatura,
como muestra la figura (4.6). En la misma pieza de aluminio se colocara cerca del
diodo el PT1000 ya mencionado en el capitulo 3 para medir la temperatura del
sistema y luego regularla mediante el elemento Peltier. Para disminuir los errores
asociados al retardo en el tiempo de la detección del cambio de temperatura en el
diodo debido a la conducción térmica del aluminio, se busca que las dimensiones
de la pieza sean proporcionales al tamaño del elemento Peltier para mejorar su
38
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
PT1000
Diodo
Pieza de aluminio
Elemento Peltier
Disipador
Figura 4.5: Montaje pensado para medir y controlar la temperatura del sistema. Con un termistor
PT1000 se mide la temperatura del aluminio y se enfrı́a con un sistema compuesto por un
elemento Peltier, junto al aluminio con el diodo en su interior, conectado a un disipador de calor.
eficiencia, que tenga un volumen mı́nimo para disminuir su calor especifico y que
pueda juntar en lo posible al diodo con el PT1000. El montaje se muestra en la
figura (4.5), en el se muestra que el elemento Peltier está conectado con la pieza
de aluminio por un lado y por el otro está conectado a un disipador de calor. La
pieza tiene una ranura que mediante un tornillo, sera usada para apretar el diodo
y ası́ dejarlo sin movimiento dando estabilidad al sistema. En la figura (4.7) se
muestra la pieza de aluminio implementada en el montaje óptico con los elementos
en su interior.
4.4.
Modelo de conducción térmica
Para obtener una estimación del tiempo en que tarda en transmitirse la información sobre la temperatura a la cual se encuentra el diodo se usará un modelo
39
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
12,0
1,0
6,0
10,0
=2,8
=5,0
12,5
25,0
12,0
10,0
Diodo
Aluminio
Figura 4.6: Pieza de aluminio fabricada, todo medido en mm. Arriba: vista a lo largo, donde se
ve un agujero para el PT1000 y otro para el diodo; abajo: vista lateral, mostrando la cavidad
donde entra el diodo.
40
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
Figura 4.7: Controlador de temperatura. Se muestra el circuito medidor de temperatura instalado
sobre el disipador de calor, con el termistor PT1000 en el interior de la pieza de aluminio cercano
al diodo. La pieza de aluminio se encuentra sobre el elemento Peltier.
41
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
A
Aluminio
Diodo
P eltier
0
L
z
∆T
Figura 4.8: Modelo de conducción del calor en un bloque de aluminio.
de conducción de calor, el cual esta dado por la ecuación
cp (~r)ρ(~r)
∂T (~r, t)
~ · [λ(~r)∇T
~ (~r, t)] ,
= Ṗ (~r, t) + ∇
∂t
(4.4)
donde cp (~r) es calor especifico, ρ(~r) es la densidad de masa, λ(~r) es la conductividad
térmica, P es la densidad potencia que se entrega o se disipa del sistema y T es
la temperatura. Lo que se desea saber es cuanto tiempo toma para que el diodo
llegue a una temperatura estable, debido a la potencia entregada por el diodo PD
y por la potencia disipada por el elemento Peltier PP . Para esto se uso un modelo
simplificado de conducción térmica en una sola dirección espacial, como se muestra
en la figura (4.8). De esta forma la ecuación (4.4) se reduce a la forma más simple
cAl ρAl
∂ 2 T (z, t) PD δ(z) − PP δ(z − L)
∂T (z, t)
= λAl
+
,
∂t
∂z 2
A
42
(4.5)
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
donde cAl , ρAl y λAl corresponden a valores del aluminio. Se propone el cambio de
temperatura
T (z, t) → T (z, t) + ∆T (z, t) ,
(4.6)
donde T (z, t) ya es solución de (4.5), para calcular el cambio de temperatura dado
un cambio en la potencia del diodo láser
PD → PD + ∆PD ,
(4.7)
con potencia PP constante. Dado que queremos saber cuando la temperatura se
estabiliza suponemos que PD representa la potencia que genera el diodo en un
sistema en equilibrio térmico y ∆PD representa un cambio en la potencia del diodo.
En esta transformación también se supone que T (z, t) es la solución cuando PD y
PP se encuentran en equilibrio. Reemplazando (4.7) y (4.6) en (4.5) se obtiene:
cAl ρAl
∂ 2 T (z, t) ∂ 2 ∆T (z, t)
= λAl
+
∂z 2
∂z 2
PD δ(z) − PP δ(z − L) ∆PD δ(z)
+
+
.
A
A
∂T (z, t) ∂∆T (z, t)
+
∂t
∂t
(4.8)
La ecuación anterior se puede separar en dos partes, una parte para T (z, t) y otra
para el cambio de temperatura ∆T . De esta manera ∆T representa un cambio
fuera del equilibrio térmico dado por el cambio en la potencia que entrega el diodo
∆PD . Restando (4.5) a (4.8) se llega a la ecuación de movimiento
∂ 2 ∆T (z, t)
a∆PD δ(z)
∂∆T (z, t)
−a
=
2
∂t
∂z
λAl A
43
(4.9)
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
donde a es:
a=
λAl
.
cAl ρAl
(4.10)
Se supone que la solución homogénea de la ecuación (4.9) esta incluida en T (z, t).
Ası́ queda obtener la solución particular, por lo que es necesario obtener la función
de Green definida por
∂G(z, t)
∂ 2 G(z, t)
−a
= δ(z)δ(t) .
∂t
∂z 2
(4.11)
Usando la transformada de Fourier se hace un cambio de variables en la ecuación
que permite simplificar su desarrollo
G(z, t) =
1
2π
ZZ
G(k, ω)e−iωt e−ikz dω dk .
(4.12)
Luego de esto la ecuación (4.11) se transforma en
1
.
2π
(4.13)
,
(4.14)
−iωG(k, ω) + k 2 aG(k, ω) =
Despejando G de (4.13) se obtiene
G(k, ω) =
1
2π(ak 2 − iω)
y luego reemplazando (4.14) en (4.12) se obtiene la función de Green en las variables originales:
G(z, t) = − √
44
−z 2
1
e 4at .
4πat
(4.15)
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
Para obtener la solución final de (4.9) se hace uso de la función de Green mediante
la expresión
∆T (z, t) =
Z
+∞
−∞
Z
t
−∞
G(z − z 0 , t − t0 )
a∆PD δ(z 0 ) 0 0
dz dt ,
λAl A
(4.16)
cuyo desarrollo genera:
∆T (z, t) =
a
λAl A
Z
t
−∞
−z 2
∆PD (t0 )e 4a(t−t0 ) 0
p
dt .
4πa(t − t0 )
(4.17)
La solución depende del comportamiento que tenga ∆PD con respecto al tiempo.
Pensando en el caso en que el diodo aumenta su intensidad de luz, se estudiar el
cambio de la temperatura de equilibrio, mediante la función Heaviside
∆PD (t0 ) = ∆P0 Θ(t0 ).
(4.18)
Esto quiere decir que en un momento determinado el diodo empieza a entregar un
aumento de calor al sistema, ∆Q = ∆PD · t, lo que hace que el sistema aumente
su temperatura constantemente debido a que ∆T ∝ ∆Q. Reemplazando (4.18) en
(4.17) da la expresión
a∆P0 Θ(t)
√
∆T (z, t) =
λAl A 4πa
Z
0
t
−z 2
e 4a(t−t0 ) 0
√
dt .
t − t0
(4.19)
Para simplificar la integral se hace el siguiente cambio de variables:
x2 =
z2
,
4a(t − t0 )
45
(4.20)
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
de esta manera la ecuación (4.19) queda como
∆P0 Θ(t)z
√
∆T (z, t) =
2λAl A π
Z
∞
√z
4at
2
e−x
dx .
x2
(4.21)
Desarrollando por partes la integral contenida en la expresión (4.21)
Z
∞
√z
4at
2
e−x
e−x
dx
=
−
x2
x
2
∞
Z ∞
2
+
e−x dx ,
z
z
√
√
4at
(4.22)
4at
y reemplazando (4.22) en (4.21), se obtiene
∆P0 Θ(t)z
√
∆T (z, t) =
2λAl A π
"√
4at −z2 √
e 4at + π 1 − erf
z
z
√
4at
!#
.
(4.23)
Para estudiar el comportamiento de ∆T de una manera más simple, se considera
el tiempo a dimensional τ que viene definido por:
τ=
at
,
z2
(4.24)
∆P0 z
,
λAl A
(4.25)
y considerando la constante T0 como:
T0 (z) =
se obtiene una expresión mas sencilla para ∆T .
"r
∆T (z, τ ) = T0 (z)
τ −1 1
e 4τ +
1 − erf
π
2
1
√
2 τ
!#
Θ(τ )
(4.26)
En el gráfico de la figura (4.9) se muestra la función de la expresión (4.26) que representa la conducción del calor en el aluminio, para estudiar su comportamiento.
46
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
4
3.5
3
2.5
∆T /T0 (z) 2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
τ
Figura 4.9: Gráfico de ∆T /T0 como función de τ .
Esta solución es divergente siendo lo que se esperaba ya que si se entrega continuamente calor al sistema, la temperatura nunca deja de subir. Por lo tanto, es
mejor pensar en el proceso de prender el diodo por un determinado tiempo lo que
producirá una cantidad de calor finita entregada al sistema. Con esto se llegarı́a
a un nuevo equilibrio térmico. Esto se puede modelar con la función Heaviside
nuevamente:
∆PD (t0 ) = ∆P0 [Θ(t0 ) − Θ(t0 − ∆t)].
(4.27)
Representa el proceso de encender el diodo por algún tiempo ∆t y luego apagarlo,
ver figura (4.10). Utilizando el resultado obtenido en la expresión (4.26) la solución
general usando la potencia (4.27) es:
47
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
∆PD
∆P0
∆Q
t
t=0
∆t
Figura 4.10: Función ∆PD (t0 ) = ∆P0 [Θ(t0 ) − Θ(t0 − ∆t)] que representa el diodo emitiendo luz
en un tiempo ∆t. El calor entregado al sistema se representa como el área bajo la curva.
48
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
3
2.5
2
∆T /T0 (z) 1.5
1
0.5
0
−0.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
τ
Figura 4.11: Gráfico de ∆T /T0 como función de τ , para el caso en que el cambio de potencia
está definido como ∆PD (t0 ) = ∆P0 [Θ(t0 ) − Θ(t0 − ∆t)].
"r
∆T (z, τ ) = T0 (z)
"r
−T0 (z)
τ −1 1
e 4τ +
1 − erf
π
2
1
√
2 τ
!#
−1
τ − ∆τ (z) 4(τ −∆τ
1
(z)) +
e
1 − erf
π
2
Θ(τ )
(4.28)
1
p
2 τ − ∆τ (z)
! !#
Θ(τ − ∆τ (z)).
En el gráfico de la figura (4.11) se muestra la función de la expresión (4.28) para
∆τ = 20, donde se observa que el cambio de temperatura aumenta hasta que se
apaga el diodo, luego decae acercándose lentamente a cero.
Para poner a prueba la efectividad del modelo se utilizó un sencillo experimento
en el laboratorio donde se utilizo el elemento Peltier, el diodo láser y el sistema
de control de temperatura. En este experimento se hizo circular una corriente de
5mA a través del elemento Peltier, para contrastar el calor entregado al sistema
por el ambiente. Luego de que el sistema alcanzo el equilibrio a los 14, 7◦ C según
el medidor de temperatura construido, se conectó el diodo mediante un switch a
49
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
3
2.5
2
∆T /◦ C 1.5
1
0.5
0
−0.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
t/ mı́n
Figura 4.12: Gráfico de medición de ∆T en función del tiempo medido en minutos, usando el
controlador de temperatura.
una pila de 6V mediante resistencias en serie para limitar la corriente que pasa
a través de él. Al prenderlo empezó a aumentar la temperatura, luego de 20 mı́n
se apagó el diodo y se siguieron tomando datos hasta ver que la variación en la
temperatura fuera mı́nima. El resultado del experimento se muestra en el gráfico
de la figura (4.12). El resultado es bastante similar al esperado según el modelo
desarrollado. Para poder superponer el modelo con los datos obtenidos se usó la
expresión (4.28) deshaciendo la variable a dimensional τ , ver ecuación (4.24), para
que ∆T esté en función del tiempo, y se uso los valores que aparecen en la tabla
(4.1). Como en este caso no se conoce la sección transversal eficaz A de la pieza de
aluminio creada, T0 queda como parámetro libre para hacer un ajuste de la función.
El valor obtenido para T0 que mejor ajusta la curva a los datos es T0 = 0,75◦ C. De
esta manera se juntó en el mismo gráfico, los datos obtenidos en el experimento
50
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
constantes
ρAl
cAl
λAl
z
valores
2698, 4kg · m−3
900J · K−1 · kg−1
237W · K−1 · m−1
1, 08mm
Cuadro 4.1: tabla de valores utilizados para el aluminio, donde z es la distancia entre el elemento
Peltier y el diodo.
3
2.5
2
∆T /◦ C 1.5
1
0.5
0
−0.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
t/ mı́n
Figura 4.13: Datos obtenidos en el laboratorio juntó con el modelo teórico desarrollado para ∆T .
con el modelo teórico de conducción, obteniéndose el gráfico de la figura (4.13).
Dentro de los 40 minutos de medición el ambiente cambio su temperatura debido
al calor que entregábamos las personas que estábamos haciendo las mediciones en
la sala. Se piensa que el modelo y los datos obtenidos después de los 35 minutos
de medición comienzan a comportarse de manera distinta, ya que el ambiente y
el elemento Peltier llegaron a un nuevo equilibrio. El experimento no es capaz de
recrear las condiciones ideales en que se generó el modelo, pero se ve que el modelo
se ajusta bastante bien a los datos obtenidos en el experimento, por lo cual puede
51
CAPÍTULO 4. CONTROL DE TEMPERATURA
ser considerado para posteriores cálculos sobre el tiempo en que tarda en responder
el sistema para llegar a un nuevo equilibrio térmico.
52
Capı́tulo 5
Conclusiones
Se logro construir un circuito capaz de medir temperatura, con el fin de medir
la temperatura de un diodo láser en una configuración óptica. Al no poder poner
en contacto el medidor con el diodo se construyó una pieza de aluminio en donde el
medidor y el diodo están contenidos. Por esto aun falta calcular el tiempo en que el
aluminio y el diodo llegan a un equilibrio térmico para poder ajustar el tiempo en
que el circuito pueda responder de manera precisa a los cambios de temperatura.
Para poder regular la temperatura del diodo láser se construyo un circuito que
mediante un elemento Peltier quita calor del aluminio, en donde está contenido el
diodo, regulando la temperatura del conjunto. Al igual que en el caso del medidor,
falta calcular el tiempo de respuesta del circuito para poder regular la temperatura.
Para lograr una estimación del tiempo que se demora el aluminio con el diodo en
su interior en alcanzar un equilibrio térmico se desarrolló un modelo de conducción
del calor que se ajusta bastante bien a los datos obtenidos en el experimento hecho,
por lo cual puede ser considerado para posteriores cálculos sobre el tiempo en que
tarda en responder el sistema para llegar a un nuevo equilibrio térmico.
Como trabajo a futuro se desea construir e integrar un circuito PID para ajustar
53
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES
el control automático del circuito y armar una caja de aluminio con la electrónica en
su interior para su uso en el laboratorio. Con toda la electrónica lista y funcionando,
se pretende estudiar como varia la frecuencia del láser con la temperatura para
poder comparar con lo que se expuso en la teorı́a.
54
Bibliografı́a
[1] M. Sargent, M. Scully, and W. LAMB, Laser physics (Addison-Wesley, Arizona, 1987), 5th edition.
[2] O. Svelto, Principles of Laser, (Plenum Press, Milan, 1982), 2nd edition.
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(1995); T. Hof, D. Fick, and H.J. Jansch, Opt. Commun. 124, 283 (1996).
[5] E. Hecht and A. Zajac, Optics (Addison-Wesley, Canada, 1974).
[6] U. Tietze, C. Schenk, and E. Gamm, Electronic circuits (Springer, Erlangen,
2002), 2nd edition.
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Physics (The Century Co., New York, 1911), p. 508.
[8] B. Callen, Thermodynamics and an introduction to thermostatistics (Herbert,
1985).
55