EJERCICIOS Cálculo de integrales definidas Cálculo de áreas CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS Se incluyen aquí los ejercicios para calcular integrales definidas y sus respuestas Ejercicio 1 Calcule las siguientes integrales definidas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) Respuesta a) s: 2 b) c) d) e) f) g) 24, 2 h) i) 1 j) k) Ejercicio 2 Sabiendo que: halle: a) b) c) d) e) f) l) m) 0 Respuestas: a) 4,6 b) 10,8 c) 21,9 d) 11,95 e) 3,45 f) 7 Ejercicio 3 a) Calcule siendo . b) Encuentre el valor de b tal que . c) Calcule Respuestas: b) a) b 1, b 2 c) Ejercicio 4 En la función definida gráficamente por: 8 y se sabe que 6. Halle: a) b) e indique qué representa. Respuestas: a) 6 b) 2, representa el área de la región entre la gráfica de f, el eje x, las rectas xa, x c. Ejercicio 5 En la función definida gráficamente por: se sabe que a) . Halle: e indique qué representa b) CÁLCULO DE ÁREAS Se incluyen aquí los ejercicios para calcular áreas y sus respuestas Ejercicio 6 Escriba, sin calcular, una integral definida que indique el área de la región sombreada. a) b) c) d) Respuestas: Ejercicio 7 En los siguientes gráficos determine el valor del área sombreada: a) Respuestas: b) a) b) c) c) Ejercicio 8 Dada la siguiente gráfica halle: a) las ecuaciones de las curvas, b) el área de la zona sombreada. Respuestas: b) 10 Ejercicio 9 Grafique la región limitada por las curvas y calcule el área determinada por ambas. a) y x2 con la recta y 2x + 3 b) el eje de abscisas, la recta y x + 1 y la recta x 4 c) el eje de abscisas, la curva y x2 1 y la recta x 2 d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1 e) y2 4x con la recta y 2x 4 f) y lnx, el eje de abscisas y las rectas x 2, x 10 g) y x2 con la recta y 3 2x h) con y x2 i) y 4 x2 con la recta y x + 2 Respuestas: a) b) c) d) e) 9 f) 13,64 g) h) i) Ejercicio 10 Halle el área limitada por la parábola y 6 + 4x x2 y el segmento determinado por los puntos A( 2, 6) y B(4, 6). Respuesta: 36 Ejercicio 11 Determine el área sombreada en las siguientes gráficas: a) Respuestas: b) a) b) Ejercicio 12 Halle el área encerrada por las curvas y x2 4x Grafique. e y 6x x2 . Respuesta: el área vale Ejercicio 13 Dada la siguiente gráfica halle: a) las ecuaciones de las rectas b) el área de las zonas I y II indicadas en el gráfico. Respuesta: b) AI6 AII Ejercicio 14 a) Calcule b) Determine el área de la región comprendida entre la curva y sen x, el eje x y las rectas x yx . Grafique. c) Analice por qué no se obtiene el mismo resultado en a) y b). a) 0 b) el área c) No se puede calcular el área como la integral planteada en (a) ya que da 0 pues las dos tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo,geométricamente la región consta de dos partes simétricas respecto del eje x. Respuesta: vale 2 Ejercicio 15 Calcule el área bajo la curva f(x) gráficamente. desde 0 hasta 3. Interprete Respuesta: el área vale Ejercicio 16 Escriba la integral definida que proporciona el área de la región (no calcule el valor del área) Respuesta: Ejercicio 17 Halle el área limitada por la parábola y x2 x y la recta que une los puntos P(1, 2) y Q( 3, 6). Grafique. Respuesta: Ejercicio 18 Halle, utilizando integrales, el área del triángulo limitado por las rectas de ecuación y 3x 0; x 3y 0 y x + y 4. Respuesta: el área vale 4 Ejercicio 19 Calcule el área de la zona limitada por la curva y x3 3x2 x + 3 y el eje de abscisas. Respuesta: el área vale 8 Ejercicio 20 Halle el valor de las áreas sombreadas. Obtenga conclusiones teniendo en cuenta que la suma de las áreas de las dos regiones coincide con el área del cuadrado de medida de lado una unidad. 1. Calcula el área de las siguientes regiones planas: 1. Círculo de radio r. 2. Elipse de semiejes a y b. 3. Región limitada por la parábola y = 6 – x2 y la recta y = −2x + 3. 4. Región limitada por la parábola cúbica y = x3 y las rectas y = −x/2, y = x + 6. 5. Región limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = 2x − 4. 6. Región limitada por la curva y = −log x y las rectas x = 0, y = 0. 7. Región limitada por las curvas y = −x2 + x + 3, y = −x3 + 3x3 − 2x + 3. 8. Región limitada por la recta que pasa por los puntos (1, e), (e, 1) y las curvas y = ex, y = log x, y y = 1 − x. 9. Región limitada por la curva y = 1/(1 + x2) y su asíntota. 10. Región definida por las desigualdades x2 + y2 ≤ 36, 9x ≤ y2 . 2. Calcula los volúmenes de los siguientes sólidos: 1. Cilindro circular de radio r y altura h. 2. Cono de radio r y altura h. 3. Esfera de radio r. 4. Sólido generado al girar la región acotada por la parábola y = x2 + 2x y el eje de abscisas en torno de la recta y = 2. 5. Toro generado al girar el círculo x22+ y2 ≤ 9 en torno de la recta x = 4. 7. Sólido obtenido al quitarle a la esfera x2 +y2 +z2 _≤ 1 el cilindro x2 +y2 ≤ r2, siendo r (0, 1). 8. Sólido obtenido al girar la región limitada por la curva y = 1/(1 + x2) y su asíntota. 3. Calcula las longitudes de las siguientes curvas planas: 1. Longitud de la circunferencia de radio r. 2. Longitud de un arco de la parábola y = x2. 3. Longitud de un arco de la catenaria y =(ex +e-x)/2 4. Calcula las áreas de las siguientes superficies de revolución: 1. Cilindro circular de radio r y altura h. 2. Cono de radio r y altura h. 3. Esfera de radio r. 4. Toro generado al girar la circunferencia (x−a)2+y2 = R2 en torno de la recta x = 0, con a > R 7. Calcula el área de la región limitada por las curvas y = 1 – x2, y = |x| − 1. Plantea las integrales que habría que hacer para calcular el volumen del cuerpo de revolución generado al girar esa figura en torno (a) del eje de abscisas; (b) del eje de ordenadas; (c) del eje y = 2. 8. Calcula la longitud de la curva y = ln(sen x) en el intervalo x [a, _/2], siendo a [0, _/4]. 9. Calcula el área de la región plana acotada por las curvas y = |x2 + x − 2|, y = 2x2 + x − 11, dibujándola previamente. Plantea las integrales que habría que hacer para calcular el volumen de revolución generado al girar esa figura en torno del eje y = 15. 10. Calcula el área de la región plana limitada por las curvas y =2sen x, y = sen 2x en el intervalo [0, π/2]. Plantea las integrales que habría que hacer para calcular el volumen de revolución generado al girar esa figura en torno (a) del eje y = 5; (b) del eje x = −1. 11. Calcula el área de la región plana acotada por las curvas y = x2 − 4x + 3, y = 2x. Plantea las integrales que habría que hacer para calcular el volumen de revolución generado al girar esa figura en torno (a) del eje x = 0; (b) del eje x = −5. 12. Calcula el área de la región limitada por las curvas y = sen3 x, y = sen2 x en el intervalo [0, 2_], dibujándolas previamente. Plantea las integrales que habría que hacer para calcular el volumen y la superficie del cuerpo de revolución generado al girar esa figura en torno al eje y = b según los valores de b ≤ −1. 13. Calcula la longitud del arco de la curva y = (x − 1)3/2 que va desde el punto (1, 0) al (2, 1). 14. Calcula el área de la región limitada por las curvas y =ln x / ln 2, y = 1 − x, y =2/(1 + (x − 1)2) Plantea las integrales que habría que hacer para calcular el volumen del cuerpo obtenido al girar esa región alrededor del eje de abscisas. Idem para el cuerpo obtenido al girar alrededor del eje de ordenadas. 15. Calcula el área de la región plana acotada en el primer cuadrante por la curva (y −1)2 = 1− x y las rectas y = 1 + √2x, y = 1 − √6x, de dos maneras: (a) integrando en x; (b) integrando en y.