Fisica III - 15 - Centro Herrera

Fisica III - 15
Fuerza eléctrica y carga eléctrica
Interacción eléctrica
Cátedra de Física Experimental II
FISICA III
http://www.herrera.unt.edu.ar/fisicaexperimentalii/consultas.html
www.facetvirtual.unt.edu.ar
Prof. Dr. Victor H. Rios
e-mail : vhrios@uolsinectis.com.ar
2015
Fisica III - 15
Cap. 1
Interacciones Electrostáticas
Contenidos
0. Motivación
1. Interacción electrostática.
2. Ley de Coulomb.
3. Modelo atómico de Bohr, estados energéticos.
4. Aplicaciones y Problemas.
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0. Motivación
Las fotocopiadoras y las impresoras laser usan modernas partículas de toner en
tonos magenta, cian, amarillo y negro, hechas en forma esférica, con un recubrimiento de polímero. Una fuerza eléctrica de atracción las mantiene sujetas a la placa
detrás de ellas; también las partículas ejercen fuerzas eléctricas de repulsión entre
si.
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Con las propiedades de la fuerza eléctrica y la carga eléctrica que se presentan en este
capitulo, será posible contestar preguntas como:
¿Cual es la fuerza que ejerce una partícula de toner sobre otra?
¿ Cual es la fuerza total sobre una partícula rodeada por varias otras
partículas?
¿ Como se transfieren las partículas de toner para formar una imagen?
La sociedad humana depende de la electricidad. Con una falla de la
energía eléctrica se demuestra esa dependencia:
a) se paran los trenes subterráneos,
b) las luces de los semáforos,
c) el alumbrado de las calles y las luces de los hogares;
d) los refrigeradores dejan de funcionar;
e) no se puede cocinar;
f) la casa no puede calentarse;
g) no funcionan radios, televisores ni computadoras.
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Pero la dependencia de la electricidad es mas profunda que lo que sugiere la dependencia
de maquinaria y utensilios eléctricos.
•
La electricidad es un ingrediente esencial de todos los átomos en el organismo humano
y en el medio ambiente.
•
Las fuerzas que mantienen unidas las partes de un átomo son fuerzas eléctricas.
•
También son eléctricas las fuerzas que unen los átomos para conformar una molécula, y
unen a gran escala las moléculas, elementos constructivos que forman estructuras
macroscópicas como rocas, arboles, el cuerpo humano, rascacielos y los grandes
buques-tanque.
•
Todas las fuerzas mecánicas “de contacto” de la cotidianidad, como:
a) el empuje de una mano contra una puerta,
b) la tensión de un cable de elevador,
c) la presión del agua contra el casco de un barco,
No son mas que fuerzas eléctricas combinadas sobre muchos átomos.
Entonces, el entorno inmediato esta dominado por fuerzas eléctricas.
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Experimentos de electrostática.
a)
b)
c)
Los objetos cargados negativamente se repelen entre sí.
Los objetos cargados positivamente se repelen entre sí.
Los objetos con carga positiva se atraen con los objetos que tienen carga negativa.
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En la fig.3 tres podemos explicar los resultados obtenidos en las experiencias
anteriores, observándose que cargas de distinto signos se atraen y las del mismo
signo se repelen.
F
F
F
F
F
F
Fig. 3 Fuerzas entre cargas de igual y de diferente signo.
Electroscopio
¿Existe algún instrumento para detectar si un cuerpo está cargado?
Si, existen varios. El más popular se llama electroscopio como se detalla en Fig 4
Electroscopio cargado
por Inducción y por
Conducción
Electroscopio
Un electroscopio cargado
previamente se puede emplear para determinar el
signo de una carga
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Conclusiones
a) Dos cuerpos con la misma clase de carga (  ,  ) se repelen pero si tienen
diferentes clases de cargas (+, - ) ó (-, +) se atraen.
b) De la comparación del tipo de interacciones, se observa que, Fig. 5:
Interacciones
Gravitatoria
Eléctrica
Siempre Atractiva
Atractiva
Repulsiva
Esquemáticamente
F
F
m1
F
F
F
+
-
+
+
-
+
-
-
F
m2
F
F
F
F
VIDEO
Electricidad Estática
Dr. David L. Goodstein
California Institute of Technology
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Cargas iguales
A este cuerpo lo denominaremos carga de prueba, ahora si ubicamos otro
cuerpo cargado “Q” a una distancia “r” ( Fig. 7)
r
q ( Carga de Prueba)

F
Q
Como resultado de la interacción eléctrica, se detecta entonces una fuerza
F sobre la carga Q.
Luego si reemplazamos Q por una nueva carga Q’ a la misma distancia (Fig. 8),
en vez de Q y medimos la fuerza se obtiene que su valor es
Si F = F'  Q = Q' decimos que
los cuerpos Q y Q' tienen la misma
carga eléctrica
r

F'
q (Carga de Prueba)
Q’
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Conservación de la carga eléctrica
La carga eléctrica satisface el principio de conservación que lo
podemos enunciar como, la carga total de un cuerpo o sistema es
la suma algebraica de las cargas de sus componentes.
 q  q
i
i
f
f
A partir de la conservación de la carga y definición de igualdad de cargas
podemos definir múltiplos (y submúltiplos) de una carga dada.
Algunas reacciones que ilustran la conservación de la carga son:
n  p + e- +  e




0 = {e + (-e) + 0} = 0
a) Decaimiento beta
del neutrón
e+ + e-   +



e + (-e) = { 0 +


0} = 0
b) Aniquilación del electrón y
positrón
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Unidad de carga eléctrica
Hasta hoy , se conoce una carga eléctrica mínima negativa llamada carga electrónica. Su valor es:
e- = - 1.6 * 10 -19 C
De manera análoga, la carga del protón, es la unidad más pequeña de carga
positiva y su valor
e+ = 1.6 * 10 -19 C
Mientras que el neutrón, que es eléctricamente neutro posee carga nula.
¿Qué significa el Coulomb? ¿Cómo lo definiría?
Cuantización de la carga
Las cargas de las demás partículas elementales son “0” o múltiplos enteros de “e-” y las cargas de los iones / núcleos atómicos son “0” o múltiplos
enteros de “ e+”.
A esta afirmación se conoce como cuantización de carga.
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Tabla 1. Algunas partículas elementales, cargas y masas
Nombre de la
Partícula
Símbolo
Carga
Masa
en
unidades de la
masa del protón
Protón
P
e
1.000
Neutrón
N
0
1.001
Electrón
e-
-e
0.000545
Positrón
e+
e
0.000545
Muón
Mesón Pi
-, +
- , +
0
Fotón
Neutrino
Antineutrino
Lambda
Mesón rho
Mesón omega
+e, -e
0




-e,+ e
0.1126
0.1488
0.1488
0
0
0
0
0
0
0
1.189
0
+,  , 
+e, 0, -e
0
¿Qué conclusiones saca de esta tabla? Sugiera algunas
0.082
0.0836
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3. Medición de la fuerza
Charles A. Coulomb ( 1736 -1806), físico francés investigó las fuerzas eléctricas
alrededor del año 1780, utilizando una balanza de torsión muy similar a la CAVENDISH
Fig. 9 Charles Agustín Coulomb
Fig.10 Balanza de torsión
como la de la Fig. 10 empleada en los primeros estudios experimentales de la
electrostática.
¿ Desea saber algo más de Charles Coulomb? Puede consultar a la siguiente dirección en
la Web : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Coulomb.html
VIDEO « LEY DE COULOMB »
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En la Fig. 11 se muestra esquemáticamente la balanza de torsión:
0

A
F
++
D++
+
Fig. 11 Vista esquemática de la
balanza de torsión
r
+
B
F
¿Como se pueden determinar fuerzas a partir de la Balanza de torsión?
¿Explique?
Aunque no se disponían instrumentos precisos para medir carga eléctrica
en la época de Coulomb, este fue capaz de preparar pequeñas esferas con
cantidades diferentes de carga en las que conocía la proporción de dichas
cargas.
¿Como piensa que pudo hacerlo? ¿Que suposiciones hizo? ( produjo
cargas iguales a ½, ¼, etc de la carga original).
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Ley de Coulomb
En el vacío, para cargas puntuales, los experimentos de Coulomb para la electrostática los podemos esquematizar
q2
F2
F1
q1
Fig. 12 Fuerzas eléctricas para dos cargas puntuales
Los resultados de Coulomb pueden resumirse para el módulo de la fuerza
eléctrica sobre la carga q2 debido a q1 es, F21 dada por:

q q
F21  k ( 1 2 2 )
r21
análogamente para F12, así

q q
F12  k ( 1 2 2 )
r12
la magnitud de la fuerza es directamente proporcional al producto de las
cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia y la fuerza se
ejerce a lo largo de la recta que une las cargas.
Podemos concluir que la fuerza de Coulomb:


F12   F21
satisface la 3ra Ley de Newton y que



F12  F21  F
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Constante k
En general es arbitraria, ya que depende de la unidad de carga utilizada.
 En el Sistema Internacional (SI), donde la fuerza [F] se mide en Newton y la distancia [r] en m, en este caso el valor de “k” igual a:
k = 10 - 7 c 2 = 8,987 * 109  9 * 109 [ N m2 / C2 ]
¿Desea conocer algo más sobre las constantes electromagnéticas?. Consulte en
este caso en:
www.chemie.fuberlin.de/chemistry/general/constants.htm
ó http://wulff.mit.edu/constant.html
Podemos definir la unidad de carga, como:

q q
F 9*109 1 22
r1 2
Si r = 1 m y
q1 = q2 = 1 C se tiene para la fuerza:
F = 9 * 109 (Nm2/C) * 1 (C2/m2) = 9 * 109 N
Concluímos que :
El Coulomb es la carga colocada en cada una de las esferas puntuales,
separadas a 1 m de distancia ( en el vacío ) cuando la fuerza de
repulsión o atracción entre ellas es de F = 9 * 109 N.
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Por razones prácticas y de cálculo numérico es conveniente expresar “k” como:
k
1
4 0
(1)
donde 0 se llama permitividad de vacío.
 107 
12

 0  

8
.
854
*
10
2 
 4 c 
N 1 m 2 C 2
(2)
Por lo tanto, la magnitud de la fuerza de Coulomb puede escribirse como:

 1
F12  
 4 0



 q1 q2

 r 2
 12




(3)
y en forma vectorial puede ser escrita como:

1
q q
F12  (
) ( 1 22 ) rˆ12
4 0
r12

r1 2
donde rˆ1 2 
r1 2
(4)
es el versor unitario.
Si q1 y q2 son del mismo signo la fuerza es repulsiva y si tienen distinto signo la
fuerza es atractiva.
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El exponente de la Ley de Coulomb

¿Es exactamente 2 el exponente de la ecuación F12  (
1
4 0
) (
Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma
entonces
0.02 ( Cavendish, 1772)
 
5*10-5 ( Maxwell, 1870 )
2*10-9 ( Plimptom y Lawton, 1936)
3*10-16 (William, Faller, Hill, 1971)
10-16 hoy en día
q1 q2
) rˆ12 ?
2
r12

F12  r122
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Ej.1
¿Cuánta carga negativa y positiva hay en los electrones y los protones de un vaso de agua (0.25 kg)?
Solución
La “masa molecular” del agua es 18 g; por lo
tanto, 250 g de agua equivalen a 250/18 moles.
Cada mol tiene 6.02x1023 moléculas, que resultan
(250/18) x 6.0 x 1023 moléculas en el
vaso.
Cada molécula esta formada por dos átomos de
hidrógeno (con un electrón cada uno) y un atomo
de Oxígeno (con 8 electrones cada uno).
Entonces, en cada molécula hay 10 electrones, y la
carga total negativa de todos los electrones es:
(250 g)(1 mol/18 g)(6.02 × 1023 moléculas/mol)
× (10 electrones/molécula)(−1.60 × 10−19 C/electrón) = - 1.3x107 C
La carga positiva de los protones es esta misma, pero con signo positivo
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Ej. 2 ¿Cual es la magnitud de la fuerza de atracción que ejercen los electrones en un vaso de agua sobre los protones en otro vaso de agua que
esta a 10 m de distancia?
SOLUCIÓN:
De acuerdo con el ejemplo anterior, la carga de los electrones en el vaso es −1.3 × 107 C, y la
carga de los protones es +1.3 × 107 C. Si se considera que las dos son cargas puntuales, la
fuerza sobre los protones es
10m
Es aproximadamente !el peso de 1018 toneladas! Esta enorme fuerza de atracción sobre los
protones se anula exactamente por una fuerza de repulsión igualmente grande, que ejercen los
protones de un vaso sobre los protones del otro. Así, los vasos ejercen fuerza neta entre ellos.
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Ej. 3 Dos partículas de tóner separadas por 1.2x10-5 m; cada una tiene
una carga negativa de −3.0 × 10−14 C. ¿Cual es la fuerza eléctrica que
ejercen las dos partículas entre si?. Considérese que las partículas de
tóner son aproximadamente partículas puntuales.
Solución
Como se puede considerar que las partículas son aproximadamente cargas puntuales, la fuerza que una partícula ejerce sobre la otra es:
El signo positivo nos recuerda que la fuerza es de repulsión, que tiende a alejar directamente a
las partículas entre si, a lo largo de la línea que las une (véase la figura). Esta repulsión mutua
ayuda a mantener dispersas las partículas de tóner, y esto evita que se aglomeren en una
región.
Principio de Superposición
El principio de superposición es una herramienta matemática
que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se
obtiene como "superposición" o "suma" de estos subproblemas más
sencillos.
Técnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las
ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico
son lineales, entonces:
• el resultado o la solución de un problema práctico, cuando están
presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B.
EJEMPLOS EN FISICA
Campos de fuerzas en mecánica newtoniana
Los campos electrostático y magnetostático, que tanto en mecánica
clásica como en teoría de la relatividad resultan lineales; es decir, el
potencial eléctrico y el potencial vector, fijada una distribución de
cargas, es proporcional al valor de éstas.
Problemas en mecánica de sólidos
Las ecuaciones de equilibrio de un sólido resistente que relacionan
las fuerzas exteriores sobre un sólido con las tensiones internas son
lineales; eso significa que para cualquier sólido que no plastifique, si
se duplica el valor de las fuerzas se duplicará el valor de las
tensiones.
Problemas en teoría de la elasticidad
Para un amplio rango de tensiones y deformaciones, en los
materiales elásticos la tensión es proporcional a la deformación (es
decir, que las componentes de los tensores de deformación y
tensión están relacionadas linealmente).
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Naturaleza vectorial de la interacción eléctrica
Consideremos el sistema de cargas puntuales, (Fig.13), se desea obtener el valor de la
fuerza resultante de las fuerzas debido a la interacción eléctrica de las cargas:

Fac

Fab

Fad

rda
qd

rba
qa
qb , qc , qd ,... sobre la carga qa
La fuerza resultante sobre “qa”, será la suma vectorial de las fuerzas
componentes.
Por ejemplo, la fuerza que ejerce
“qb” sobre “qa” es:

q q
qq
Fab  k a2 b rˆab  k a 2 b
r ab
rab

rca

q q 
 rab 
   k a3 b rab (5)
r ab
 rab 
y en forma análoga para las fuerzas que ejercen qc, qd, .... sobre qa.
qb
qc
La fuerza resultante sobre
“qa”, será la suma vectorial de
las fuerzas componentes.
 


Fa  Fab  Fac  Fad  ..

Fa 

i
k qa qi 
rai
3
rai
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Comparación entre la Ley de Coulomb y la Ley de la Gravitación Universal
La ley de la gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas, es:
F
F
m1
m
r
2
donde m1 y m2 son las masas, r la la distancia entre los centros de las masas y G la constan-
te de gravitación universal = 6,67·10-11 N m2/ kg2
A pesar del parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias:
1) Fuerzas entre masas siempre atractiva, mientras que en las eléctricas pueden
ser repulsivas y atractivas.
2) Los órdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica, son
muy diferentes.
Para aclararlo analizaremos como actúan ambas entre un protón y un electrón en el núcleo de
hidrógeno.
La separación promedio entre el electrón y el protón es
de 5,3·10-11 m
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La carga del electrón y la del protón valen:
Las masas electrónica y protónica son:
Sustituyendo los datos:
Fuerza eléctrica
Fuerza gravitatoria
Al comparar resultados se observa que la fuerza eléctrica es de unos 39 órdenes de magnitud
superior a la fuerza gravitacional.
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Cálculos de fuerzas
a) Distribuciones discretas
Consideremos tres cargas positivas "q" (Fig.14) . Se desea determinar la magnitud
y dirección de la fuerza resultante que actúa sobre la carga en "a".

F

Fab

Fab

Fac
60
60
qb


kq rab
Fab  2
l l
2
l
60
l
son las fuerzas de repulsión elecdebidas a “qb” y “qc” sobre “qa”
Ya que -> qa=qb=qc=q
qa
l
y

Fac
tenemos
:


kq2 rac
Fac  2
l l
qc
Fig. 14 Diagrama esquemático
de las fuerzas y cargas
La fuerza resultante sobre qa será:
 

F  Fab  Fac
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Descomponiendo las fuerzas en las direcciones "x" o "y" se tiene para los ejes

F

Componente OX

Fx


Fac ( Fac ) y

( Fab ) y
 0

Componente OY

Fab

2kq2
kq2
Fy 
(l cos 30)  1.732 2
l3
l

( Fac ) x

( Fab ) x

F

Por lo tanto la fuerza resultante está en la dirección del eje “y” igual a:

Fy

1.732 k q 2
l2
¿Cómo se hace para mantener el sistema planteado, en el mismo estado inicial? Es decir, sin
modificar las distancias entre cargas.
¿Cuál fue la energía necesaria para generar esta distribución de cargas? ¿Cómo haría para
calcularla? Explique
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Modelos atómicos
https://www.youtube.com/watch?v=0UW90luAJE0
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Evolución de los Modelos atómicos
https://www.youtube.com/watch?v=OhjjXbI0MV8
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Modelo Atómico de Bohr
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Introducción previa - Teoría cuántica de Planck (1858-1947)
La teoria cuántica se refiere a la energía:
Cuando una sustancia absorbe o emite energía, no
puede absorberse o emitirse cualquier cantidad de
energía, sino que definimos una unidad mínima de
energía, llamada cuanto (que será el equivalente en
energía a lo que es el átomo para la materia);
O sea cualquier cantidad de energía que se emita o
se absorba deberá ser un número entero de
cuantos. Premio Nobel 1918
Cuando la energía está en forma de radiación electromagnética (es decir, de una radiación similar a la luz), se denomina energía radiante y su unidad mínima recibe el
nombre de fotón. La energía de un fotón viene dada por la ecuación de Planck:
ΔE = h · ν
h: constante de Planck = 6.62 · 10-34 Joule · segundo
ν: frecuencia de la radiación
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POSTULADOS DE BOHR (1913)
El modelo atómico de Rutherford llevaba a unas
conclusiones que se contradecían claramente
con los datos experimentales.
Premio Nobel 1922
Para evitar esto, Böhr planteó unos postulados
que no estaban demostrados en principio, pero
que después llevaban a unas conclusiones que
sí eran coherentes con los datos experimentales; es decir, la justificación experimental de este modelo es a posteriori.
Primer postulado
El electrón gira alrededor del núcleo en órbitas
circulares sin emitir energía radiante.
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Segundo postulado : Cuantización del Momento Angular
Sólo son posibles aquellas órbitas en las que el electrón tiene un momento angular que
es múltiplo entero de h /(2 · π)
Puesto que el momento angular se define como L = m v r, tendremos:
m v r = n · h / (2 · π)
—>
r = a 0 · n2
2
h
8
donde : a0 

0
.
529
*
10
cm es el radio de Bohr
2
2
4 me
Así, el Segundo Postulado nos indica que el electrón no puede estar a cualquier distancia del núcleo, sino que sólo hay unas pocas órbitas posibles, las cuales vienen
definidas por los valores permitidos para un parámetro que se denomina número
cuántico, n.
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Tercer postulado : constancia de la energía total en una orbita permitida
Cuando el electrón se mueve en una órbita permitida, no irradia energía electromagnética a
pesar de ser acelerado constantemente y por lo tanto su energía total E permanece constante
El tercer postulado resuelve el problema de la estabilidad debido a la radiación del electrón acelerado,
mediante el simple expediente de postular que esta caracteristica de la teoría clásica no vale para el
electron cuando se mueve en una orbita permitida. Este postulado se basa en la observación experimental de que los átomos son estables, a pesar que la teoría clásica predice lo contrario.
Cuarto postulado : Emisión de fotón cuando el electrón pasa de una orbita permitida a otra.
Un electrón que se mueve inicialmente en una órbita de energía Ei puede cambiar discontinuamente su movimiento y pasar a moverse en otra órbita de energía Ef ; cuando esto ocurre se
emite un fotón cuya frecuencia es ν = (Ei − Ef ) / h.
El cuarto postulado está ligado al postulado de Einstein sobre la
energía de un fotón.
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Teoría de Bohr del átomo con un electrón
Consideremos un átomo formado por un núcleo de masa M y carga +Ze, y un electrón de masa
me y carga –e (por ej. un átomo de hidrogeno, un átomo de helio ionizado una vez, uno de litio
doblemente ionizado, etc.) que gira alrededor del núcleo en una orbita circular de radio r con la
velocidad v.
Por ahora, supongamos que el núcleo se puede considerar fijo (o sea, M = ∞). Se cumple entonces que la
fuerza de Coulomb debe ser igual a la fuerza centrípeta
(1)
Puesto que la fuerza de Coulomb es central, se conserva el momento angular
(2)
A partir de (1) y de (2) obtenemos:
(3)
Despejando “r” de (3), obtenemos:
(4)
Aplicando la regla de cuantificación
2 Postulado en (4) :
Encontramos que las orbitas permitidas tienen radios
dados por :
donde
(5)
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(5)
Los radios de las orbitas permitidas son proporcionales al
cuadrado del número cuántico “n”.
La orbita mas pequeña ( n = 1) del
átomo de hidrogeno ( Z = 1) tiene
un radio igual a
(6)
Radio
de Bohr
Cuantización de las velocidades en el átomo de Bohr.
La velocidad del electrón también esta cuantificada, y su valor es, a partir de (5) y de la cuantización de L, esta dado por:
𝑛ℏ = 𝑚𝑒 𝑣 𝑟
𝑣=
𝑛ℏ
𝑚𝑒 𝑟
𝑣𝑛 =
𝑛ℏ
𝑛2 ℏ2
𝑚𝑒
𝑚𝑒 𝑍 𝑒2
𝑣𝑛 =
𝑍 𝑒2
𝑛ℏ
Cuantización de las velocidades en el átomo de Bohr.
donde
Constante de
estructura fina
Dicha constante es una medida de la fuerza de la interacción electromagnética y juega un rol muy
importante en la electrodinámica cuántica.
Para la orbita mas pequeña ( n = 1) del átomo de
hidrogeno , la velocidad del electrón, será:
que es menos del 1% de la velocidad de la luz, por lo tanto esta bien haber usado en nuestros
cálculos la mecánica clásica no relativistica.
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Cuantización de la energía en el átomo de Bohr.
La energía total del electrón es:
Prueba
𝑍 𝑒2
𝑣𝑛 =
ℎ
𝑛 2𝜋
Ya que
2
𝑚𝑒 𝑣𝑛 =
2
𝑣𝑛 =
𝑍2 𝑒4
𝑚𝑒 𝑍2 𝑒4
2
𝑚𝑒 𝑣𝑛 =
ℎ 2
2
𝑛 (2𝜋)
ℎ 2
𝑛2 (2𝜋)
𝑍2 𝑒4
𝑛 2 ℏ2
𝑚𝑒
2
𝑚𝑒 𝑣𝑛 =
𝑍𝑒2 𝑟𝑛
=
𝑛2 ℏ2
𝑚𝑒
𝑍2 𝑒4
𝑍𝑒2 𝑟𝑛
2
𝑚𝑒 𝑣𝑛 = 𝑍
𝑒2
𝑟𝑛
Fisica III - 15
Cuantización de la energía en el átomo de Bohr.
Sustituyendo :
Obtenemos :
(7) con
Por lo tanto la cuantificación del momento angular implica la cuantificación de la energía total.
La información contenida en la ecuación para En se suele presentar en un diagrama de niveles
de energía.
El estado estable, o sea el de energía mínima, corresponde a n = 1 y su energía es :
E1 = −13.6 eV para el átomo de hidrogeno.
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Prueba
𝐸𝑛 = −
1
2
𝑚𝑒 𝑣2𝑛
𝐸𝑛 = −
2
𝑣𝑛 =
𝑍𝑒
𝑛ℏ
𝐸𝑛 =
𝑍2
𝑛2
(−
1
𝑚
2 𝑒
(
𝑍 𝑒2 2
)
𝑛ℏ
1 𝑚𝑒 𝑒4
)
2 ℏ2
=
𝑍2
𝑛2
𝐸1
donde
𝐸1 = −
1 𝑚𝑒 𝑒4
2 ℏ2
= -13.6 eV
Fisica III - 15
Calculo de la frecuencia del fotón emitido
Podemos calcular la frecuencia νm,n del fotón emitido por el electrón al pasar del estado n al estado
m (m < n).
De acuerdo con el cuarto postulado de
Bohr:
(7)
El correspondiente número de onda km,n = 2π / λ = 2π νm,n / c ya que : λ = c / ν ; asi km,n es:
donde
y
( es la longitud de onda Compton del electrón
Las ecuaciones (7) y (8) contienen las predicciones
principales de la teoría de Bohr.
Ejercicio: Demuestre las Ecuaciones (7) y (8)
(8)
Átomo Modelo de Bohr
https://www.youtube.com/watch?v=3ZqN1gcvwbY&hl=es
Fisica III - 15
El espectro atómico
En contraste con el espectro continuo de la radiación térmica, la radiación electromagnética emitida
por un átomo libre consiste de un conjunto discreto de longitudes de onda. Cada una de estas longitudes de onda recibe el nombre de línea, pues asi es como aparece en las placas fotográficas
obtenidas con los espectrógrafos.
Cada especie atómica tiene su propio espectro, integrado por un conjunto de líneas características. Este hecho tiene gran importancia practica, pues permite identificar los elementos presentes en una fuente de luz. Por esta razón durante el siglo XIX se dedico mucho esfuerzo a medir
con precisión los espectros de los diferentes átomos. Tales espectros son muy complicados y
generalmente constan de centenares de líneas.
Fisica III - 15
La observación del espectro y de sus características se ha realizado durante muchos años
a partir del siglo XVIII, pero su interpretación física y química, no se dio hasta finales del
siglo XIX. Wollaston, a principios del siglo XIX, observó varias líneas oscuras en el espectro solar y Fraunhofer, en 1814 y 1815, las clasificó y su nomenclatura sigue vigente. (línea
A, B, C,…etc.). Estas líneas son conocidas como “líneas de Fraunhofer”.
Fisica III - 15
En 1868, durante la observación de un eclipse de Sol, se detectaron unas líneas que no habían
sido observadas con anterioridad. Se trataba de las líneas producidas por el Helio. (el nombre
viene del Griego Helios=Sol). El Helio fue detectado por primera vez en la Tierra en 1895 como
producto secundario de unas muestras de Uranio radioactivo. Este descubrimiento fue fundamental para la astrofísica, porque permitió, décadas más tarde, descubrir que la energía del Sol
era producida por la fusión del Hidrógeno para formar el Helio.
Fisica III - 15
El mas sencillo de todos los espectros es el del átomo de hidrogeno, lo que no es sorprendente
puesto que se trata del átomo mas simple ya que tiene un solo electrón. Por este motivo, y también
por razones históricas y teóricas, presenta mucho interés.
En el visible (Fig.), el espectro del hidrogeno presenta una serie regular de líneas que comienza en
el rojo y termina en el violeta; el espaciado entre líneas contiguas decrece paulatinamente hasta que
se llega al limite de la serie, que se encuentra para 3645.6 A. La regularidad de este espectro llevo a
muchos a buscar formulas empíricas que representasen las longitudes de onda de las líneas.
La formula correcta fue hallada en 1885 por
Johann Jakob Balmer y es, expresada en
términos del numero de onda k ≡ 2π /λ
Constante de Rydberg para el átomo de hidrogeno
ESPECTROS DE ALGUNOS ELEMENTOS
H absorción
H emisión
He
Li
Be
B
C
N
O
Fe
Ne
Fisica III - 15
Fisica III - 15
Posteriormente, gracias al trabajo de varios espectroscopistas entre quienes tuvo un rol preponderante Johannes Rydberg (1890), se encontraron formulas semejantes para diferentes series, del
tipo
La serie de Balmer corresponde a m = 2; la serie correspondiente a m = 1 se encuentra en el ultravioleta y se denomina serie de Lyman. Las correspondientes a m = 3, 4 y 5 se encuentran en el
infrarrojo y se llaman serie de Paschen, Brackett y Pfund, respectivamente.
Las formulas para las series de los atomos alcalinos (sodio, potasio, rubidio, cesio, …) tienen la
misma estructura general:
donde R es la constante de Rydberg para el elemento, m es el entero que identifica la serie, am y
bm son constantes para la serie, y n es el entero variable. El valor de R es el mismo para todos
los elementos dentro de un 0.05% y aumenta levemente al aumentar el peso atómico.
Fisica III - 15
Espectro del átomo de H -
Fórmula de Rydberg
Permite calcular la longitud de onda de cualquiera de las líneas que forman el
espectro del hidrógeno:
1/λ = RH (1/n12 - 1/n22)
λ: longitud de onda de cada línea del espectro (1/λ: número de ondas)
n1, n2: números enteros positivos (n1< n2)
RH: constante de Rydberg = 109677, 7
cm-1
En función del valor de n1, podemos distinguir
diferentes series en el espectro del hidrógeno:
n1 = 1: serie de Lyman
n1 = 2: serie de Balmer
n1 = 3: serie de Paschen
n1 = 4: serie de Brackett
n1 = 5: serie de Pfund
n1 = 6: serie de Humphreys
La serie de Lyman
corresponde a radiación ultravioleta.
La serie de Balmer, a
radiación visible.
El resto, a radiación
infrarroja
Series espectrales
n=
n=6
n=5
n=4
Pfund
Bracket
n=3
Paschen
n=2
Balmer
E = h · 
n=1
Lyman
SERIES: Lyman Balmer Paschen Bracket Pfund
Espectro
UV Visible Infrarrojo
Fisica III - 15
Cuando irradia una sustancia con luz blanca ( radiación electromagnética
continua) los electrones escogen las radiaciones de este espectro continuo
para producir saltos a niveles superiores (estado excitado).
Si recogemos la radiación electromagnética con la que hemos irradiado después de pasar por la sustancia vemos que le faltan una serie de
líneas que corresponden con saltos electrónicos
Espectro de absorción.
Lógicamente las líneas del espectro de emisión son las que faltan en el de
absorción pues la energía para pasar de un nivel a otro es la misma suba o
baje el electrón.
Fisica III - 15
Análisis de los principales resultados del modelo de Bohr
• El estado normal del átomo es el de mínima energía o sea el estado con n = 1, que se suele denominar estado fundamental o estado base (E1 = −13.6 eV ). Puesto que no hay otro estado con
energía menor, este estado es estable. El radio de la órbita correspondiente
determina el tamaño del átomo, que resulta ser del orden de magnitud correcto.
• En determinadas circunstancias el átomo puede absorber energía (por causa de las colisiones,
como ocurre en una descarga eléctrica, o por otro mecanismo), pasando a un estado de energía
mayor, con n > 1.
• El átomo emite ese exceso de energía, obedeciendo la tendencia común de todos los sistemas
físicos, y regresa al estado fundamental. Esto se consigue mediante una serie de transiciones
en las que el electrón pasa sucesivamente a estados de energía más baja, hasta que finalmente
llega al estado fundamental.
• En la gran variedad de procesos de excitación y desexcitación que ocurren en la fuente de luz
cuyo espectro se está registrando se producen todas las transiciones posibles y por lo tanto se
emite el espectro completo. A partir de la ec. (8) podemos calcular los números de onda de todas
las líneas del espectro. Es fácil verificar que de esa manera se obtienen las fórmulas de las series
de Lyman, Balmer, Paschen, etc. El valor de R∞ concuerda con el valor experimental de la constante de Rydberg.
Fisica III - 15
Ese fue el gran triunfo de la teoría de Bohr, muy notable porque
cuando fue formulada aun no se conocían las series de Lyman,
Brackett y Pfund.
Estas series fueron predichas por la teoría y llevan el nombre de
quienes fueron los primeros en observarlas. La teoría también
funcionó bien en el caso del átomo con Z = 2 y un electrón (helio
ionizado).
Fisica III - 15
Dificultades conceptuales de la teoría de Bohr
Se puede observar que los postulados de Bohr mezclan de manera arbitraria la física
clásica con la no clásica, y en tal sentido son intelectualmente insatisfactorios.
-por ejemplo, se supone que el electrón se mueve según las leyes de la mecánica clásica, y
al mismo tiempo se afirma que su momento angular esta cuantificado;
Se supone que el electrón obedece la ley de Coulomb, pero acto seguido se lo exime
de cumplir la regla que toda carga acelerada irradia.
Sin embargo, se puede argumentar que no nos debemos sorprender si las leyes de la física
clásica ( basadas en nuestra experiencia con sistemas macroscópicos) no son completamente validas cuando tratamos con un sistema microscópico como el átomo.
En ultima instancia, la justificación de los postulados de Bohr (y de cualquier postulado, en realidad) reside en si describen correctamente los resultados experimentales, o
no.
Fisica III - 15
Correcciones al modelo de Böhr: números cuánticos.
En el modelo original de Böhr, se precisa un único parámetro (el número cuántico
principal, n), que se relaciona con el radio de la órbita circular que el electrón realiza
alrededor del núcleo, y también con la energía total del electrón.
Los valores que puede tomar este número cuántico son los enteros positivos: 1, 2, 3...
Sin embargo, pronto fue necesario modificar el modelo para adaptarlo a los nuevos
datos experimentales, con lo que se introdujeron otros tres números cuánticos para
caracterizar al electrón:
número cuántico secundario o azimutal (l)
número cuántico magnético (m)
número cuántico de espín (s)
Modelo de Bohr
Fisica III - 15
FIN
Referencias
Libros
Alonso Marcelo, «Física Campos y Ondas»
Bueche, Frederick J. « Física para Estudiante de Ciencias e Ingeniería»
Eisberg, Robert M. « Física Fundamentos y Aplicaciones «
Feynman Richard P. « Feynman Física : Electromagnetismo y materia»
Sears, Zemansky, Young y Freedman : «Fisica universitaria»
Giancoli, Douglas: «Fisica, Principios con Aplicaciones»
Halliday David , Resnick, Robert: «Fisica II»
Hecht, Eugene : « Optica teoria y problemas»
Hewitt, Paul: «Fisica Conceptual curso de fisica para la enseñanza de nivel medio superior»
Kraus, John: «Electromagnetismo»
Serway Raymond, Jewett John : «Fisica para Ciencias e Ingenieria»
Tipler Paul : «Fisica»
Tipler P., Mosca G. : « Fisica para la Ciencia y la Tecnologia»
Paginas WEB y VIDEOS
http://www.herrera.unt.edu.ar/fisicaexperimentalii/consultas.html
Electricidad Estática – David L. Goodstein , CALTECH: https://www.youtube.com/watch?v=g1fy-Q8zCZY :
Electricidad Estática por fricción: https://www.youtube.com/watch?v=QPcyhDGD5D4
Maquina Electrostática de WIMSHURST : https://www.youtube.com/watch?v=wvw8_E1vKMs
Generador de Van de Graaff : https://www.youtube.com/watch?v=jMklJWrHq7k
Botella de Leyden : https://www.youtube.com/watch?v=D-2f8RoqLLE
Átomo Modelo de Bohr : https://www.youtube.com/watch?v=3ZqN1gcvwbY&hl=es
Adicionales
La Ley de Coulomb, más problemas : https://www.youtube.com/watch?v=rqSD9pq7PsI
Ley de Coulomb. Fuerzas entre cargas : https://www.youtube.com/watch?v=o6OwjlwMiNA
Fuerza neta sobre una carga, mas problemas : https://www.youtube.com/watch?v=ig0uXC-F8jA
Fisica III - 14
Apendice
MODELO ESTANDAR DE PARTICULAS
ELEMENTALES E INTERACCIONES
FUNDAMENTALES.
Del átomo al Quarks
David L. Goodstein , CALTECH
ttps://www.youtube.com/watch?v=_OAOH_rM0kQ
HISTORIA
Fisica III - 15
• DEMOCRITO (400 A.C): Creo la primera teoría
atómica del universo
• La materia estaba hecha de partículas indivisibles
llamadas átomos.
HISTORIA
Fisica III - 15
• A finales de 1800 y comienzos de 1900 , los
trabajos de:
Wilhelm Roentgen,
Marie Curie
Joseph Thompson,
Ernest Rutherford
Nielhs Bohr
Yukawa
etc, etc
llevaron a descubrir partículas más pequeñas
en el átomo (protones, neutrones,electrones).
• A mediados de los 1960’s:
Murray Gell-Mann y George Zweig
introducieron la idea de la existencia de
partículas fundamentales como los quarks.
Fisica III - 15
Los “building blocks” de la materia eran los
Protones, Neutrones y Electrones.
PERO ERAN …. ¿FUNDAMENTALES?
Se considera como una partícula fundamental, a
aquella que no tiene una subestructura interna
(no se subdivide)
Un “Modelo Estandar”
Fisica III - 15
Donde todos los componentes (Partículas):
1. Quarks
Fermiones
2. Leptones
3. Bosones Intermediarios  Bosones
(fotones, gluones, W+ , W- , Z)
}
son FUNDAMENTALES y todo objeto se crea
la base de INTERACCION entre ellas.
Fisica III - 15
Las Partículas se dividen en:
Fermiones y Bosones
Los fermiones cumplen el Principio de Pauli.
Los bosones no cumplen este principio
Este principio dice: dos partículas con el mismo espín no pueden estar
en el mismo estado de energía.
Fermiones
el espín es fraccionario
1/2 3/2 ……
Quark, Leptons, Protons,
Neutrons, etc
Bosones
 el espín es entero
0, 1, 2, ……
Mediadores de fuerza:
fotón, glúon, W, Z
gravitón, etc
ESCALA
Fisica III - 15
Fisica III - 15
¿COMO INVESTIGAMOS A MENOR ESCALA LA MATERIA?
 Aceleradores
- se utilizan para la
colisión de partículas
a altas energías
(y crear un proyectil
para romper otras)
- En otras palabras
aceleran particulas
cargadas.
-Fuerza de Lorentz:
F = qE + q v x B
 Detectores
- se utilizan para observar lo
que sucede en las colisiones
de alta energia.
m2c4 = E2 – P2c2
1. Cuentan partículas, miden
energia y momentum
2. Mantienen records del
“time of flight” de la
partícula.
3. Identifican la identidad
de las partículas producidas
4. Reconstrucción de vertices
ACELERADOR
Fisica III - 15
• El acelerador tiene dos partes esenciales:
• Magnetos  {que mantienen la partícula
moviendose en forma circular}
• Radio Frequency Cavity  {le proveen energía
a las partículas cada vez que pasen por la cavidad}
Fisica III - 15
FERMILAB
FERMILAB ACCELERATORS
Fisica III - 15
Pre acelerador  Acelerador Linear (500ft)
Carbon foil  Booster (20ft below ground)
Main Injector  Tevatron
El tunel
Fisica III - 15
Fisica III - 15
DETECTORES
Fisica III - 15
 Separación entre partículas Neutras y Cargadas
Partículas Neutras: , n , etc
Partículas Cargadas: e-, e+, u, u+, , , k-, k+, etc
Nota: otras partículas se detectan por sus decaimientos
Ejemplo: 0    
 Si P es muy grande entonces no hay deflección
Medición del Momento
Fisica III - 15
Siempre necesitamos encontrar (MEDIR) el cuadri-momento
De las partículas en el origen del decaimiento:
P = (E,Px,Py,Pz)
Para partículas cargadas:
F=q v X B
2
m
v
=
= dP
r
dt
r es el radio de curvatura de la trayectoria.
dP =  m dv
dt
dt
r = P sin 
qB
Necesitamos ahora medir las posiciones de las partículas
Camara de Burbujas
(tecnología muy antigua)
Fisica III - 15
Fisica III - 15
Detectores para medir Trayectorias
Cámaras de Alambres proporcionales
charged track
Detector de Gas
Detecta la ionización producida por una partícula
cargada usando un campo eléctrico aplicado al
alambre delgada (~20 mm)
Multiplicación cuando e- estan cerca del alambre
Geometry: muchas wires,
muchas orientaciones ~ 50000)
Fisica III - 15
Calorimetros
DETECTORES
Fisica III - 15
Fisica III - 15
Los Quarks no se encuentran aislados!!
•
•
En la naturaleza los Quarks se encuentran en
HADRONES (partículas compuestas de Quarks)
Los Hadrones se dividen en:
Bariones: partículas compuestas de
3 quarks o 3 anti-quarks
Mesones: partículas compuestas de
2 quarks
Cuando un quark esta solo este siente una fuerza
Atractiva grande y cuando esta con otro esta
como libre.
Fisica III - 15
Materia Conocida
• Hasta el momento se han identificando
“”12”” “building blocks” que son fundamentales constituyentes de la materia.
• Es esta subdivisión infinita ?  NO
• Nuestro mundo está hecho solamente de tres
constituyentes de la materia fundamentales.
• up & down quarks y el electron y neutrino
(Base de la tabla periodica de los elementos)
Fisica III - 15
MATERIA
• Existen 3 generaciones o familias de la materia.
• La naturaleza ha replicado los componentes de la primera Familia.
• Conocemos las 3 generaciones y no hay nada que indique la existencia de más sets de quarks y leptons,
pero si se especula que pueden haber otros “building
blocks” que son parte de la materia obscura o “dark
matter”
• Toda la materia visible en el universo hoy día está
hecha a base de la primera generación de materia.
GENERACIONES DE LA MATERIA
Fisica III - 15
Carga electrica
e- = - 1.60 x 10-19 C
Quarks
2/3 |e-|
-1/3 |e-|
Neutrinos
0 |e-|
Leptons
-1 |e-|
Fisica III - 15
Fisica III - 15
QUARKS y ANTIQUARKS
• Los quarks tienen carga de
(2/3) y (-1/3)
• Los antiquarks tienen carga de
(-2/3) y (1/3)
• Se categorizan por sabores,
cada quark es un sabor.
• cada antiquark es un
anti-sabor
Fisica III - 15
Los Quarks tienen Carge de Color
BARIONES
Fisica III - 15
• Son un tipo HADRON compuesto de 3 quarks o 3
antiquarks.
• Los protones se hacen de (uud)
• Los neutrones se hacen de (ddu)
Protones =(2/3 +2/3 + -1/3) = +1
Neutrones=(-1/3+ -1/3 +2/3)= 0
Fisica III - 15
MESONES
 Tipos
*
*
*
*
*
de mesones:
pion
kaon
rho
B-zero
eta-c
 Hay alrededor de 140 tipos de mesones.
 Los mesones se hacen de un quark y un antiquark.
Fisica III - 15
PARTICULAS Y ANTIPARTICULAS
• Las antimateria existe tanto como la materia.
(en el universo hay una descompensación de materia y
anti-materia. No se sabe el por que)
• Cada partícula tiene su antipartícula correspondiente.
• En el caso de los quarks, antiquarks son su antipartícula.
• La partícula y la antipartícula:
1. Ven y comportan iguales( propiedades opuestas)
2. Siempre estan en pareja.
LEPTONES
•
¿QUE ES UN LEPTON? Es un
fermion que no participa en
interacciones fuertes.
Fisica III - 15
Fisica III - 15
Leptones y Neutrinos
• Neutrinos son un tipo de lepton que son electricamente
neutros.
• No interaccionan.
• Se producen especialmente en descomposicion radioactiva o
“decay”.
Fisica III - 15
Fuerzas e Interacciones
• A nivel fundamental, LA FUERZA no es solamente
algo que le sucede a las partículas, es algo que
sucede entre dos partículas.
• La fuerza es el efecto en una partícula debido a
la presencia de otras partículas.
• Toda interacción que afecta las partículas se
debe al intercambio de partículas mediadoras.
FUERZAS E INTERACIONES
Fisica III - 15
Hay cuatro Fuerzas en la Naturaleza:
1. GRAVITACIONAL
2. ELECTROMAGNETICA
3. FUERTE
4. DEBIL
Las partículas transmiten fuerzas entre ellas al intercambiar sus
partículas mediadoras llamadas bosones.
Fisica III - 15
Fuerza GRAVITACIONAL
• Es la fuerza mas familiar para nosotros.
• No la incluimos en el Modelo Standard
(sus efectos son despreciables a nivel
fundamental, y aún no encuentran como
incluirla en el modelo)
• Cuando se pueda acoplar esta interacción al
MODELO, su partícula mediadora será
llamada GRAVITON.
Fisica III - 15
FUERZA FUERTE
• Es responsible para mantener los
quarks unidos para que se formen
protones, neutrones  NUCLEO
• EL Boson (mediadora)es: GLUON
gluon=glue=pega
• La interacción entre gluon y quarks
son las que se observan en la
Fuerza Fuerte.
• Los leptones no intervienen.
Fisica III - 15
FUERZA ELECTROMAGNETICA
Permite la unión de electrones al núcleo para formar
átomos y luego moleculas.
• Causa que cargas similares se repelen y cargas opuestas
se atraen.
•
• Fuerzas hoy en dia como: fricción, magnetismo… son
parte de la electromagnetica.
• La partícula mediadora es el fotón
(no tiene masa y al no tener masa permite la
interacción sólo de cargas eléctricas).
Viaja a velocidad de la luz.
Fisica III - 15
FUERZA DEBIL
• Responsible del “decaimiento” de partículas
más pesadas a partículas menos pesadas.
• Ejemplo: quarks y leptones (se
descomponen a quarks y leptones de la
primera generación de la materia)
•
La partícula mediadora es el W y Z
• W tiene carga electrica y Z es neutral.
Fisica III - 15
CONCLUSION
Quarks y leptones: los bloques fundamentales
Materia
Ordinaria
Rayos
Cosmicos y
Aceleradores
de Partículas
Fisica III - 15
CONCLUSION
Fisica III - 15
Quiz on What Particles are Made of ?
• What are protons made of?
Protons are made of two up quarks and one
down quark  uud.
• What are electrons made of?
Nothing!
electrons are fundamental, as far as we know.
Fisica III - 15
Para que sirve todo esto ?
ATOMOS
Fisica III - 15
• Hidrogeno (1 proton , 1 electron)
• ¿CLASIFIQUE EL ATOMO Hidrogeno DESDE SU
COMPOSICION FUNDAMENTAL? --hint
*quark,leptons
• Respuesta: uud = 2/3 + 2/3 – 1/3 = 1|e-|
Fisica III - 15
Constituyentes basicos
lepton
e  t  e 
t
quark
u d s c b t
Fisica III - 15
BIBLIOGRAFIA
• http://home.nycap.rr.com
• http://www.fnal.gov
• http://livefromcern.web.cern.ch/livefromcern/a
ntimatter/index.html
• http://wwwlapp.in2p3.fr/neutrinos/ankes.html
• www.particleadventure.org
Fisica III - 15
Coming Soon !!