Organizador Gráfico de la Unidad

Temas Selectos de Física II
Organizador Gráfico
de la Unidad
MÉCANICA ONDULATORIA
CARACTERÍSTICAS
DE UNA ONDA
Y
TIPOS
S DE
E ONDAS
™ Características
™ Tipos de Ondas
™ Fenómenos
Ondulatorios
70
MOVIMIENTO
ARMÓNICO
SIMPLE
(MAS)
™ Conceptos
Fundamentales
™ Ley de Hooke
™ Cálculo de
posición,
Velocidad y
Aceleración del
MAS
PÉNDULO SIMPLE
Y
COMPUESTO
Mecánica Ondulatoria
CARACTERÍSTICAS DE UNA
ONDA Y TIPOS DE ONDA.
2. 1
En nuestra infancia, la mayoría de nosotros dejamos caer una piedra en un
estanque y podíamos observar como se formaban pequeñas perturbaciones
(ondas) en el agua, que se iban alejando del punto donde entró la piedra en el
agua. (ver figura no. 1). Si analizamos el movimiento de un pedazo de madera
que flota cerca de la perturbación, veremos que sube y baja en un movimiento de
vaivén alrededor de su posición original, pero no experimenta un desplazamiento
neto apreciable en comparación con la perturbación. Esto significa que la onda
que se genera se mueve de un lugar a otro, pero con ella no se mueve el agua,
es decir, una Onda es una perturbación que se desplaza a través de un medio
mientras éste permanece básicamente en reposo en comparación con la
velocidad de propagación de la onda. El medio en que se propagan puede ser:
aire, agua, tierra, metal, vacío, etc.
Figura 1. Onda superficial
del agua.
Los diferentes sonidos musicales que escuchamos, los sismos producidos por
un terremoto, etc., todos estos son fenómenos ondulatorios. Una característica
muy importante de la onda es que da información de que ha ocurrido una
perturbación en un medio por un efecto vibratorio el cual genera energía. La
energía que se transfiere de una partícula a otra es la que se propaga, no el
medio material a esto se le llama movimiento ondulatorio.
2.1.1. Tipos de onda.
El movimiento ondulatorio estudia las ondas mecánicas y electromagnéticas.
Las ondas mecánicas y electromagnéticas tienen mucho en común y se
describen en un lenguaje muy parecido. Por lo que para comprender mejor el
estudio de las ondas empezaremos por entender las ondas mecánicas, porque
sus principales características nos servirán más adelante para el análisis de las
ondas electromagnéticas.
EJERCICIO 1
Como te habrás dado cuenta nuestro mundo está lleno de ondas. En equipo de
cuatro miembros, anota en tu cuaderno cinco diferentes casos en donde se
presentan las ondas y clasifícalas.
Las ondas mecánicas son aquellas que necesitan de un medio (sólido, líquido o
gaseoso) para poder propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de
un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio.
Sin embargo, para poner en movimiento una onda se debe aportar energía para
que se pueda realizar un trabajo mecánico, por lo tanto, en todo tipo de onda no
se transporta materia sino lo que se transporta es energía.
71
Temas Selectos de Física II
Las formas de propagación (frente de onda) se clasifican en lineales,
superficiales y tridimensionales, dependiendo del medio en el que se presentan.
a
b)
Las ondas lineales o planas son las que se propagan en una dirección, por
ejemplo: las que se propagan sobre una cuerda, un alambre, un resorte, etc. Las
ondas Superficiales se propagan en dos dimensiones como las que se presentan
en la superficie de agua, sobre la superficie de un pupitre, etc. y las
tridimensionales que se propagan en tres dimensiones, como las de un sismo, un
tsunami, una onda sonora, etc.(figura 2)
Cuando se estudia el tema de ondas es necesario utilizar la siguiente
terminología:
Frente de onda: Es el lugar donde todos los puntos adyacentes en los cuales el
estado de movimiento o fase de vibración de una magnitud física, asociado con
la onda es la misma. Los frentes de onda pueden darse en forma esférica o
plana. (ver figura 3 y 4).
c)
Figura 2. Tipos de ondas: a)
lineal,
b)
superficial
y
c) tridimensional.
Rayos: Son líneas imaginarias que indican la dirección de propagación de una
onda y se representan por medio de flechas. Siempre son perpendiculares a los
frentes de ondas. (ver figura 3 y 4).
A su vez las ondas mecánicas se clasifican según su dirección de
propagación en transversales y longitudinales.
Figura 3: Frente de onda y
rayo.
Una forma muy sencilla de demostrar la formación de una onda
transversal es a través de una cuerda larga donde un extremo está
bajo tensión y tenga un extremo fijo como se muestra en la figura no.
5. Cuando se realiza un movimiento lateral rápido de la muñeca va a
provocar una protuberancia llamada pulso que viaja hacia la derecha a través de
la cuerda donde se puede observar que la dirección de las partículas del medio
se desplazan en una dirección perpendicular a la dirección de propagación de la
onda, cuando esto sucede se le conoce como: onda transversal.
Si una onda tiene un movimiento repetitivo o periódico al propagarse por un
medio se le conoce como onda periódica.
.
Figura 4: Frente de onda y
rayos de una onda plana.
72
Figura 5. Onda transversal
Mecánica Ondulatoria
Las ondas longitudinales son aquellas donde la dirección del movimiento de las
partículas del medio es paralela a la dirección de propagación de la onda. Las
ondas longitudinales se denominan también ondas compresionales. Un ejemplo
típico es cuando las espiras de un resorte tenso están comprimidas en un
extremo y se sueltan, un pulso de onda viaja por el resorte, donde se puede
observar en la figura no. 6, que las “partículas del resorte se mueven de un lado a
otro en dirección paralela a la dirección de propagación de la onda.
TAREA 1
Página 93.
Figura 6. Onda longitudinal.
2.1.1. Características de onda.
Todos los fenómenos ondulatorios, sin importar su naturaleza, presentan un tipo
de onda sinusoidal y comparten algunas propiedades y características, como nos
muestra la siguiente figura 7.
Figura 7. Onda armónica lineal de tipo transversal.
73
Temas Selectos de Física II
Cresta : Parte de la onda que se encuentra por encima de la línea de equilibrio y
se simboliza con la letra “C
C”.
Valle: Parte de la onda que se encuentra por debajo de la línea de equilibrio y se
simboliza con la letra “V
V”.
Elongación: Son las alturas que se encuentran de la línea de equilibrio hacia
cualquier punto de la onda y se simboliza con la letra “e
e”.
Amplitud: Es la máxima altura de una cresta o un valle. En cualquier tipo de onda
A”.
y se simboliza con la letra “A
Nodo: Son lugares donde la amplitud es cero y se simboliza con la letra “N
N”.
Frecuencia: Es el número de veces que se repite una onda completa y se
representa con la letra “f”. En toda onda periódica, la frecuencia permanece
constante desde que nace hasta que muera. La unidad de frecuencia en el
Sistema Internacional es de 1/seg que se e conoce como Hertz (Hz).
Período: Es el tiempo de duración de una onda y se simboliza con la letra “T
T”. Por
lo tanto, el período y la frecuencia se relacionan con la siguiente ecuación:
1
f
T
Ec. No. 1
Longitud de onda: Es la distancia entre una cresta a la siguiente cresta o de un
valle al siguiente valle o de cualquier punto de la onda al siguiente punto
correspondiente, la longitud de onda se representa por la letra griega llamada
“lambda” ( O ).
Rapidez de Propagación: Se define como el cociente de la distancia que
experimenta un pulso entre el tiempo en que se realice y se representa con la
letra
”
v ”. Su valor depende de las propiedades mecánicas del medio.
TAREA 2
donde:
d
t
v
O y t
d
Página 95.
T
Ec. No. 2
Por lo tanto:
O
v
Sustituyendo la ecuación No. 1
tenemos:
T
en la ecuación No. 3,
Ec. No. 3
v
O f
Las ondas electromagnéticas:
Son aquellas que pueden
Ec. No. 4
viajar tanto en el vacío como en un
medio;
son
de
tipo
transversal, es decir, sus campos eléctricos y magnéticos son perpendiculares
entre sí y a la dirección de propagación. (ver figura No. 8)
74
Mecánica Ondulatoria
Figura 8. Onda electromagnética.
Toda onda electromagnética tiene una rapidez de propagación en el vacío de
300 000 Km/s (3 X 108 m/s) y cuando penetran a medios de diferentes densidad
su valor va disminuyendo, entre más denso es el medio, menor es su rapidez de
propagación.
Como la rapidez de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío es
la misma rapidez definida y constante en que viaja la luz, entonces, la ecuación
de rapidez de propagación para ondas electromagnéticas, se puede expresar de
la siguiente forma:
Ec. No. 5
C
O f
TAREA 3
Donde: C = velocidad de la luz
O = Longitud de onda
f = frecuencia
Página 97.
Ejemplos:
1.Determina la longitud de una onda sonora con frecuencia de 784 Hertz que
corresponda a la nota Sol de la quinta octava de un piano. Si la rapidez
del sonido en el aire es de 344 m/s a una temperatura de 20 0C.
Datos:
f = 784 Hz
v
O f
O
v
f
O
344 m/seg
748 Hz
v = 344 m/s
Ũ= ?
Resultado: O
0.459 m
75
Temas Selectos de Física II
2.Un radiador de microondas que presenta una longitud de onda de 25 cm,
se usa para medir las magnitudes de las velocidades de automóviles.
Determina la frecuencia que emite su radiación
Datos:
Ũ = 25 cm = 0.25 m
C = 3 X 108 m/s
f=?
C
f
f
O f
C
v
3 X 10 8
m/seg
0.25 m
Resultado: f
EJERCICIO 2
1.2 x 1 09 Hz
Utilizando la fórmula de rapidez de propagación de
electromagnéticas. Resuelve los siguientes ejercicios.
ondas mecánicas y
1.Un barco envía una onda sonora a través de un sistema de sonar hacia el fondo
del océano, donde se refleja y se regresa. Si el viaje redondo es de 0.6 seg. ¿A
qué profundidad se encuentra el fondo? Considera que la rapidez del sonido en
el agua de mar es aproximadamente 1489 m/seg.
2.La longitud de onda de la luz verde es de 5.3 manómetros. Calcula su frecuencia.
3.Determina la longitud de onda de una onda electromagnética con una frecuencia
de 5.70 X 1014 Hz se propaga con una rapidez de 2.17 X 108 m/s en cierto
objeto de vidrio.
TAREA 4
Página 99.
2.1.2. Fenómenos Ondulatorios.
Éstos se presentan cuando las ondas viajan en un medio y se encuentran con
obstáculos u otros medios en su camino donde los efectos más comunes que se
presentan son los siguientes fenómenos ondulatorios:
Difracción: Se presenta cuando una onda viajera se encuentra con el borde de un
obstáculo y deja de viajar en línea recta para rodearlo y continuar viajando en el
medio. Se produce cuando la longitud de onda es mayor que las dimensiones del
objeto.
Reflexión: Ocurre cuando una onda al ir viajando choca o incide sobre un medio
al que no puede penetrar y cambia su dirección, es decir rebotan, volviendo al
mismo medio donde venían viajando.
76
Mecánica Ondulatoria
Refracción: Ocurre cuando una onda al ir viajando, cambia su dirección y rapidez
de propagación al pasar a otro medio de distinta densidad.
Interferencia: Se presenta cuando dos o más ondas se superponen
combinándose entre sí al encontrarse en el mismo punto en tiempo y espacio,
modificando o alterando sus características por instantes de tiempo durante sus
trayectos por el medio donde viajan, dando lugar a interferencias constructivas o
destructivas.
TAREA 5
Página 101.
2.2.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.
Muchos tipos de movimientos se repiten una y otra vez en el tiempo, como por
ejemplo: un péndulo oscilante de un reloj de pedestal, las vibraciones sonoras
producidas por un clarinete, el movimiento de los pistones del motor de un
automóvil, una cuerda que se agite constantemente hacia arriba y hacia abajo,
etc. A este tipo de movimiento se le llama Movimiento Periódico u Oscilación.
Un movimiento periódico se caracteriza porque un cuerpo oscila de un lado y al
otro de un punto o su posición de equilibrio en una dirección determinada y en
intervalos iguales de tiempo. Cuando la partícula se aleja de su posición de
equilibrio y se suelta entra en acción una fuerza o un momento de torsión para
volverlo al punto de equilibrio. Sin embargo, para cuando llegue al punto central
ya habrá adquirido cierta energía cinética que lo hace pasarse hasta detenerse
del otro lado, de donde será impulsado otra vez al punto de equilibrio
repitiéndose así sucesivamente con respecto al tiempo.
Por ejemplo, un cuerpo con masa m se mueve horizontalmente sin fricción, de
modo que solo puede desplazarse en el eje x. El cuerpo esta conectado a un
resorte de masa despreciable que puede estirarse o comprimirse. Si el cuerpo se
desplaza respecto a su posición de equilibrio, la fuerza del resorte tiende a
regresarlo a su posición central. A una fuerza con esta característica se le conoce
como fuerza de restitución o restauradora (ver figura 9).
Figura 9. Ejemplo del movimiento armónico simple.
77
Temas Selectos de Física II
Por lo anterior, un Movimiento Armónico Simple (MAS) es el tipo de movimiento
más sencillo de oscilación y se define como un movimiento vibratorio bajo la
acción de una fuerza de restitución F la cual es directamente proporcional al
desplazamiento x respecto al equilibrio. Es un movimiento idealizado, donde se
considera que sobre el sistema no existen las fuerzas de fricción.
2.2.1Conceptos fundamentales.
x
Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza
neta sobre la partícula oscilante.
x
Amplitud: Es la magnitud máxima del desplazamiento respecto al punto
de equilibrio, es decir el valor máximo de IxI; siempre es positivo y se
denota por la letra “A“.
x
Período: Es el tiempo requerido para que se realice una oscilación
completa o un ciclo, está dado por:
Ec. No. 6
23
T
m
k
donde k es la constante del resorte y m la masa del objeto.
x
Frecuencia: Es el número de veces en que se repite una oscilación en la
unidad del tiempo.
f
x
1
entonces: f
T
Frecuencia angular: Es la rapidez de un cambio de un desplazamiento
angular y siempre se mide en radianes/segundo.
Ec. No. 8
x
1 k
Ec. No. 7
23 m
Z
2S f
Fase: Es el estado de vibración inicial.
2.2.2.Ley de Hooke.
Cuando un objeto es sometido a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de
forma; o de ambos. Estos cambios dependen de las fuerzas intermoleculares que
existen en el interior del material; es decir, sufre un esfuerzo o tensión en el
interior del material, que provoca la deformación del mismo. Obsérvese la figura
10.
78
Mecánica Ondulatoria
Donde la Ley de Hooke se enuncia de la siguiente manera: “La fuerza que ejerce
el resorte sobre un cuerpo (fuerza de restitución) es directamente proporcional al
desplazamiento respecto al equilibrio”.
Ec. No. 9
F
- kx
donde “k” es la constante de resorte y “x” el desplazamiento. El valor de la
constante depende de la forma del resorte y del material que ha sido construido.
Figura 10. Ley de
Hooke.
EJERCICIO 3
En equipo de dos determinen las unidades de la constante de resorte en el sistema
internacional y preséntenlas al profesor.
El signo menos de la Ley de Hooke indica que la fuerza tiene sentido opuesto al
desplazamiento. Por ejemplo, cuando un resorte se estira o comprime, su fuerza
se opone al desplazamiento, es decir, se trata de una fuerza restauradora. Por lo
que resulta que: una vibración ondulatoria requiere siempre una fuerza
restauradora.
Los ejemplos comunes en que se utiliza La Ley de Hooke son: una masa
suspendida en un resorte, las oscilaciones pequeñas de un péndulo simple, las
de un péndulo torsional, etc. Donde no es válida, si la fuerza externa supera el
límite de resistencia que ofrece una material para no quedar deformado
permanentemente. Al máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de
quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.
79
Temas Selectos de Física II
Ejemplos:
1.Un objeto de masa de 20 Kg que cuelga de un resorte que cumple con la Ley
de Hooke, presenta una constante de elasticidad de 300 N/m. Determina la
deformación en centímetros que causa el objeto.
Datos:
m = 20 Kg
k = 300 N/m
x=?
F
kx
x
F
k
En este caso
x
x
F equivqale al peso del cuerpo
mg
k
20 Kg 9.8 m s 2
300 N
Resultado:
x
m
65.33 cm
2. ¿Cuál es el período de oscilación de una masa de 0.2 Kg. que oscila en un
resorte con una constante 16 N/m?
Datos:
m
1
k T 2
m = 0.2 Kg
f
k
23 m
k = 16 N/m
T=?
f
f
EJERCICIO 4
1 16 N / m
T
23 0.2 Kg
2–
1.42 Hz Resultado: T
0.2 KG
16 N
M
0.702 s
En forma individual resuelve el siguiente ejercicio y muéstrale tu resultado al
profesor.
Un cuerpo de masa desconocida se une a un resorte ideal con constante de fuerza
de 140 N/m. Se observa que vibra con una frecuencia de 8 Hz. Calcula: a) el
período, b) la frecuencia angular y c) la masa del cuerpo.
TAREA 6
Página 103.
80
Mecánica Ondulatoria
2.2.3.
Cálculo de Posición, Velocidad y Aceleración en el MAS.
2.2.3.1. Calculo de Posición.
Una partícula presenta un MAS como se muestra en la figura No. 8. Se puede
observar que cuando se coloca una masa oscilante presentando un Movimiento
Circular Uniforme (MCU), de tal manera que el movimiento se pueda graficar o
proyectar en un papel describiendo un movimiento en términos de una función
senoidal, es decir, de un Movimiento Armónico Simple (MAS). Relacionando que
como los valores máximos y mínimos de la función seno son: +1 y -1, el
movimiento se realiza en una región del eje x comprendida entre –A y +A, donde
A es el radio de giro del mcu
Figura 11. Relación de MCU y MAS
El MAS de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la
“proyección” (sombra que se proyecta) de un cuerpo que describe un MCU de
radio igual a la amplitud y velocidad angular, sobre el diámetro vertical de la
circunferencia que recorre. Lo cual nos permite encontrar más fácilmente las
ecuaciones del MAS sin tener que recurrir a cálculos matemáticos complejos.
TAREA 7
Página 105.
La ecuación general de posición de cualquier movimiento armónico simple es:
Ec. No. 10
xt AsenZt ) donde:
x: es la posición en cualquier instante, respecto de la posición de equilibrio, de la
partícula que vibra. (la elongación)
t: Es el tiempo, en segundos.
A: es la amplitud.
Z : es la frecuencia angular y se mide en radianes/seg, que determina el
movimiento y se relaciona con la constante del resorte de la siguiente forma:
81
Temas Selectos de Física II
Ec. No. 11
Z
k
m
) . Es el ángulo de fase y su valor depende del instante que se selecciona como
cero en la escala del tiempo, es decir:
Cuando t = 0, ) = 0.
Ejemplo:
1. La posición de una masa fija de un resorte se determina por la siguiente
ecuación:
x 0.25 Sen52.3 t Donde x se expresa en metros y t en segundos. ¿Cuál es la frecuencia de
oscilación y el período?
Según la ecuación:
Datos:
A = 0.25 m
Z = 52.3 rad/s
a) f = ?
b) T = ?
a)
T
52.3 rad
f
1
f
1
8.32 Hz
b) T
Z
2S
f
f
EJERCICIO 5
Z 2Sf
s
2S
T
0.12 seg
8.32 Hz
Resuelve individualmente este ejercicio y expónselo a tu profesor.
1. La posición de un objeto se determina por la siguiente ecuación:
x 3.0 Sen20St cm
Determina la amplitud, la frecuencia y el período de las oscilaciones.
2.Un sistema oscila con una frecuencia de 50 Hz y con una amplitud de 3.0 cm.
Escriba una ecuación para la posición del objeto en función del tiempo para
cuando: a) X0 = 0 y b) X0 = 2.0 cm
2.2.3.2. Cálculo de Velocidad
La velocidad se obtiene derivando la ecuación 10, referente a la posición de
cualquier movimiento armónico simple.
82
Mecánica Ondulatoria
V
dx
, entonces:
dt
V AZ cosZt ) Ec. No. 12
Cuando el objeto pasa por la posición de equilibrio, se encuentra que la
velocidad máxima es:
ZA
Vmáx
Ec. No. 13
Cuando se conocen las condiciones de posición inicial x0 y rapidez inicial v0 en el
instante t=0, tenemos que:
X0
A Sen)
V0
A Cos)
La amplitud A y la fase inicial ij se determina:
x02 A
tan )
v02
Z2
Ec. No. 14
x0 Z
Ec. No. 15
v0
Ejemplo:
Una masa de 0.6 Kg, fija a un resorte ideal, ejecuta un MAS de 0.5 m de
amplitud. La velocidad máxima de la masa durante este movimiento es de 7 m/s.
Determine: a) La frecuencia del MAS y b) la constante del resorte.
Datos:
m = 0.6 Kg
A = 0.5 m
v = 7 m/s
a) f = ?
b) k = ?
Según la función del coseno presenta su magnitud se
encuentra entre los valores de 0 y 1. La velocidad
máxima nos queda como:
a)
v máx
Z
b)
AZ
vmáx
A
7m
Z
k
s
0 .5 m
Z 14 rad s
como : Z 2Sf
Z
k
k
m
2
Z m
14 rad s 0.6Kg k 117.6 N
2
m
tenemos :
14 rad
f
s
2S
f
2.23Hz
83
Temas Selectos de Física II
EJERCICIO 6
En equipo de tres, resuelvan el siguiente ejercicio y coméntenlo con su profesor.
Una masa de 800 gr se sujeta a un resorte. El sistema se pone a vibrar a su
frecuencia natural de 5 Hz con una amplitud de 6.0 cm. Encuentra la constante de
resorte y la velocidad máxima de la masa.
2.2.3.3. Cálculo de aceleración
Como la aceleración no es constante ya que depende de la posición de la
partícula y ésta varía con respecto al tiempo; la aceleración se obtiene con la
segunda derivada de la ecuación de posición con respecto al tiempo o derivando
la ecuación de velocidad (ec. No. 13) con respecto al tiempo:
a
d 2x
dt
a
Z 2 AsenZt ) Ec. No. 16
dv
dt
Recuerda que el signo menos de la aceleración, indica que es proporcional pero
con sentido contrario al desplazamiento.
Cuando el ángulo de fase ( Ɏ ) es cero, la aceleración queda:
a
Z 2 x
- kx
Ec. No. 17
m
Ejemplo:
1. Un objeto está vibrando a lo largo de una línea recta con un movimiento
armónico simple. Cuando está a 10.0 cm de su posición promedio tiene una
aceleración de 0.6 m/s2. Determine su frecuencia de oscilación.
Z
Z 2 x
a
Z
x
a
Datos:
x = 10 cm
a = - 0.6 m/s2
a) f = ?
Z
Z
84
0.6 m
0.10m
2.45 rad
s
2Sf
Z
2S
f
2.45 rad
s
f
2
f
2S
0.389 Hz
s
Mecánica Ondulatoria
En equipo de tres resuelvan el siguiente ejercicio y coméntenlo con su profesor.
EJERCICIO 7
Un objeto de 0.50 Kg presenta un movimiento armónico simple tiene una
aceleración de – 3.0 m/s2 cuando x = 45 cm. ¿Cuánto tarda una oscilación?
TAREA 8
PÉNDULO SIMPLE Y
COMPUESTO.
2.3.
Página 107.
Péndulo Simple: Es un ejemplo del MAS, que consiste en una masa puntual
suspendida de un hilo con masa despreciable y no estirable; donde si la masa se
mueve de su posición de equilibrio, ésta oscilará alrededor de dicha posición.(
Ver fig. 12)
Figura 12. Movimiento de un Péndulo Simple
Como se observa en la figura anterior, la trayectoria de la masa puntual, no es
recta, sino es el arco de una circunferencia con radio L igual a la longitud del hilo.
En base a la dinámica del péndulo simple, las fuerzas que actúan sobre la lenteja
(masa del cuerpo suspendida en el hilo) son dos: el peso de la masa y la tensión
del hilo (T).
85
Temas Selectos de Física II
El peso de la masa m se descompone vectorialmente, la componente en el eje Y
se equilibra con la tensión del hilo (T) :
mg Cos T
T
Ec. No. 18
La fuerza que actúa sobre el eje X es la fuerza de restitución que es la que origina
el movimiento oscilatorio:
Ec. No. 19
Es decir:
Ec. No. 20
- mg sen T
F
mg
F
x
L
Para oscilaciones pequeñas, cuando el ángulo ș, toma valores pequeños, se
cumple que: senT # T ; cuando ș se mide en radianes.
EJERCICIO 8
Con ayuda de tu calculadora, comprueba para que valores pequeños del ángulo
se cumple la afirmación anterior.
T en grados
0
2
5
10
15
20
T en radianes
Sen T
Diferencia en %
0.0872
0.0871
0.11
Relacionando la Ley de Hooke con la ecuación No. 14, tenemos:
k
mg
L Ec. No. 21
Por lo anterior la frecuencia angular ( Z ), para amplitudes pequeñas nos da:
Z
g
L Ec. No. 22
De la misma forma la frecuencia y el período nos dan las siguientes ecuaciones:
86
Mecánica Ondulatoria
Frecuencia:
f
1
23
g
L Ec. No. 23
T
23
L
g Ec. No. 24
Período:
Se puede observar, que si las oscilaciones son pequeñas, el valor del período y
de la frecuencia de un péndulo para un valor dado de la gravedad (g) depende
solamente de su longitud (L); es decir; si analizamos la ecuación No. 24 vemos
que si aumenta su longitud aumenta el período.
TAREA 9
Página 109.
87
Temas Selectos de Física II
Ejemplos:
1. ¿Cuál debe ser la longitud de un péndulo simple cuyo período es de un
segundo?
Datos:
T=1s
g = 9.8 m/s2
L=?
T
L
L
L
EJERCICIO 9
L
g
23
T 2g
4S 2
1s 2 9.8 m s 2
4S 2
0.248 m 24.8 cm
En equipo de tres resuelvan los siguientes ejercicios y muestren los resultados a tu
profesor:
1. Un péndulo consiste de una lenteja de masa de 3 Kg y una cuerda de longitud
L. ¿Cuál debe ser el valor de L para que el período del péndulo sea de 2 s?.
2. La aceleración de la gravedad varía ligeramente sobre la superficie de la Tierra.
Si un péndulo tiene un período de 3.0 s en un lugar donde la g = 9.803 m/s2 y
en otro lugar presenta un período de 3.0024 s. ¿Cuál es el valor de la gravedad
en este último lugar?
Péndulo Físico o Compuesto: Es un cuerpo rígido capaz de girar libremente
alrededor de un eje fijo. La diferencia del péndulo simple es que es idealizado y el
péndulo compuesto es un péndulo real no puntual. Ver figura 13.
Figura 13. Péndulo Físico o Compuesto
88
Mecánica Ondulatoria
La figura anterior, muestra que un cuerpo de forma irregular puede girar sin
fricción alrededor de un eje que pasa por el punto de origen. Cuando el cuerpo
se desplaza de su punto de origen, el peso causa un momento de torsión de
restitución W .
mg lsenT Ec. No. 25
W
El signo negativo indica que el momento de torsión va en contra de
desplazamiento. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de
equilibrio, pero no es un MAS ya que el momento de torsión es proporcional al
SenT , no a T . Sin embargo, para valores pequeños de T , el movimiento es
aproximadamente un Movimiento Armónico Simple.
mgLT Ec. No. 26
W
Donde:
W : es el momento de torsión y su unidad en el sistema internacional es N x m.
m : masa del cuerpo
g : aceleración gravitacional.
L : distancia desde el punto de origen hasta el centro de masa.
T : ángulo.
l
Para poder analizar el tipo de ejercicios en este tema es muy importante que
recuerdes el concepto de momento de inercia y su fórmula. Para ello, antes de
empezar a estudiar este tema. Realiza la tarea no. 10
TAREA 10
Página 111.
La ecuación del movimiento de rotación con respecto a un punto, se basa en la
Segunda Ley de Newton:
W
Ec. No. 27
ID
Donde:
I = momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje de rotación.
§ d 2T
D = la aceleración angular ¨¨ 2
© dt
·
¸¸
¹
Es decir;
W
d 2T
I 2
dt
; entonces
89
Temas Selectos de Física II
d 2T
dt 2
mgL
T
I
Si comparamos la ecuación anterior con la ecuación No. 11, se puede
observar que el valor de :
a
k
en el sistema masa resorte, corresponde
m
mgL
; entonces:
I
La frecuencia angular se determina:
mgL
I
Z
Ec. No. 28
y el período:
T
2S
I
mgL
Ec. No. 29
Ejemplos:
1.Se tiene una varilla uniforme de un metro de longitud que pivota en su extremo.
¿Cuál es el período de su movimiento?
Datos:
L = 1m
T= ?
Con la fórmula del momento de inercia (I) que se obtuvo de la tarea no. 10
tenemos:
I
1 2
mL
3
Y la distancia del pivote al centro de masa es: L
90
2
Mecánica Ondulatoria
por lo tanto:
2S
I
mgL
T
2S
1 mL2
3
mg L
2
T
2S
2L
3g
T
sustituyendo :
21m 3 9.8 m 2
s
Re sultado : T 1.64s
T
2S
2. Un disco uniforme de 40 cm de radio tiene un pequeño agujero a la mitad entre
el centro y la orilla. El disco está sostenido por un clavo en la pared que pasa por
el agujero. ¿Cuál es el período de este péndulo físico para oscilaciones
pequeñas?
Datos:
R = 40 cm
T= ?
El momento de inercia según el teorema del eje paralelo es:
I
I CM mL2
Con la fórmula del momento de inercia ( I CM ) que obtuviste de la tarea no.10
tenemos:
I CM
1
mR 2 y L
2
R 2 ; entonces:
91
Temas Selectos de Física II
EJERCICIO 10
I
3
mR 2 ; entonces :
4
T
2S
I
mgL
T
2S
3
mR 2
4
R
mg
2
T
2S
6R
4g
T
2S
60.40m 4 9.8 m 2
s
T
0.247 m
24.74 cm
En equipo de tres, resuelvan el siguiente ejercicio y muestren los resultados a tu
profesor:
Un adorno navideño con forma de esfera hueca de 0.02 Kg y de radio 60 cm se
cuelga de una rama con lazo de alambre en la superficie de la esfera. Si el adorno
se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila como un péndulo físico.
Determine el período, si el momento de inercia de la esfera respecto al pivote es de
5mR 2 3 .
¡Ojo! Recuerda que debes resolver la
autoevaluación y los ejercicios de reforzamiento;
esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en
clase.
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