Fundamentos de la Gravitación Universal (Selectividad)

Problemas de Selectividad
1. La órbita de Plutón en torno al Sol es notablemente excéntrica. La relación entre las distancias máxima y mínima entre su centro y el del Sol (afelio y perihelio) es Ra/Rp = 5/3. Razonando tus respuestas, calcula la relación (cociente) entre los valores en el afelio y en el perihelio de las siguientes magnitudes
de Plutón:
a) Momento angular respecto al centro del Sol.
b) Energía cinética.
c) Energía potencial gravitatoria.
Propuesto en junio de 2007.
a) Todos los planetas y satélites se mueven bajo la acción de fuerzas centrales. Así,
Plutón se mueve bajo la acción de fuerzas centrales, en este caso, bajo la acción
de la fuerza gravitatoria del Sol, que está siempre dirigida hacia el centro de este.
8
Por tanto, el momento, M , de esta fuerza es siempre 0, ya que la fuerza tiene la dirección del vector posición:
8
8
8
8
8
M = r × F 8 M = r · F · sen (r , F ) = 0
F
Sol
Plutón
r
8
Como sabemos, la variación temporal del momento angular, L , de un cuerpo en
movimiento coincide con el momento de la fuerza que actúa sobre él:
8
8
dL = M
dt
Como en este caso el momento de la fuerza es nulo, deducimos que el momento
angular es constante:
8
8
8
M = 0 8 dL = 0 8 L = cte
dt
Por tanto, el momento angular de los planetas y satélites en movimiento es igual en
el afelio, en el perihelio y en cualquier punto de su órbita, y la relación pedida es:
L
La = Lp 8 a = 1
Lp
b) La energía cinética de Plutón será mayor en el perihelio, ya que es en este punto
en el que su velocidad es mayor (debido a la mayor atracción gravitatoria del Sol).
El momento angular de Plutón en el afelio y en el perihelio es:
8
8
8
8
8
8
L a = r a × m · v a 8 La = ra · m · va · sen 90o = m · ra · va
L p = r p × m · v p 8 Lp = rp · m · vp · sen 90o = m · rp · vp
Dado que el momento angular se conserva:
La = Lp 8 m · ra · va = m · rp · vp
10
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
Como conocemos la relación entre las distancias al Sol en el afelio y en el perihelio, resulta:
ra
vp
5
=
rp
va = 3
Con ello, podemos calcular la relación entre las energías cinéticas en el afelio y en
el perihelio:
1
1
Eca =
· m · va2 ; Ecp =
· m · vp2
2
2
()
Eca
v2
3
= a2 =
Ecp
vp
5
2
=
9
25
c) La energía potencial gravitatoria será menor en el perihelio:
Epa = –G ·
M · MPlutón
MSol · MPlutón
; Epp = –G · Sol
rp
ra
Por tanto:
Epa
Epp
=
rp
3
=
ra
5
2. Se consideran dos satélites, uno en órbita circular alrededor de Marte, y otro
alrededor de la Tierra:
a) ¿Cuál es la relación entre los radios de las órbitas si ambos tienen el mismo
período?
b) Si ambos satélites están en órbitas del mismo radio, cada uno alrededor de
su planeta, calcula la relación entre los momentos angulares orbitales correspondientes, si las masas de los satélites son iguales.
Datos: MM = 0,11 · MT ; RM = 0,5 · RT.
Propuesto en junio de 2004.
a) El período de la órbita circular de un satélite se puede obtener como el cociente
entre la longitud de la órbita y la velocidad con que la recorre:
T=
2·π·R
v
La velocidad orbital se obtiene teniendo en cuenta que un satélite en órbita circular está sometido a la fuerza gravitatoria, que le obliga a describir un m.c.u.:
Fg = G ·
M·m
v2
=m·
2
R
R
de donde despejamos la velocidad orbital:
v=
√
G·M
R
Así, el período de un satélite de masa m alrededor de Marte, T1, y alrededor de la
Tierra, T2, sería:
T1 =
Unidad 1. Teoría de la gravitación universal
2 · π · R1
√
G · MM
R1
; T2 =
2 · π · R2
√
G · MT
R2
11
Como los períodos son iguales, podemos escribir:
T1 = T2 8
2 · π · R1
√
G · MM
=
R1
2 · π · R2
√
G · MT
R2
De donde, simplificando y sustituyendo los datos de que disponemos, obtenemos
la relación entre los radios de las órbitas:
R 12
R 22
=
G · MM
G · MT
R1
R2
R 13
R 23
=
0,11 · MT
MT
8
R 13
R 23
8
R 13
R3
= 2
MM
MT
= 0,11 8
R1
= 0,48
R2
Es decir, el radio de la órbita del satélite en Marte es 0,48 veces el radio de la órbita en la Tierra.
b) El momento angular del satélite en órbita viene dado por la expresión:
8
8
8
L = m · (r × v )
Como se trata de órbitas circulares, los
8
8
vectores r y v son perpendiculares en todos los puntos de la trayectoria, por lo
que:
Z
L
ω
8 8
L = m · r · v · sen (r , v ) = m · r · v
O
Por tanto, el momento angular del satélite
de masa m en órbita en torno a Marte, L1,
y a la Tierra, L2, vale:
L1 = m · R1 · v1 ; L2 = m · R2 · v2
r
v
Y
m
X
Teniendo en cuenta que los radios de ambas órbitas son iguales y las expresiones
de las velocidades orbitales obtenidas en el apartado anterior, la relación entre los
momentos angulares resulta:
√
√
m · R1 · v1
v1
L1
L1
=
=
8
=
m · R2 · v2
v2
L2
L2
L1
=
L2
√
MM
=
MT
√
G · MM
R1
G · MT
R2
0,11 · MT
L
= √0,11 8 1 = 0,33
MT
L2
Es decir, el momento angular del satélite en Marte es 0,33 veces el momento angular del satélite en la Tierra.
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Unidad 1. Teoría de la gravitación universal