práctica 12

Ecuaciones Diferenciales
Curso 15-16
Cálculo II
Prácticas Matlab
Práctica 13 (17/05/2016)
Objetivos
o
Determinar la dependencia lineal de una familia de funciones.
o
Resolver ecuaciones diferenciales de orden 2 con coeficientes constantes.
Comandos de Matlab
Los comandos utilizados en esta práctica se han visto en prácticas anteriores.
Ejercicios
1
Determinar si las siguientes familias de funciones son linealmente
independientes:
ax
(a) y1 ( x) e=
=
y2 ( x) ebx
ax
(b) y1 ( x) e=
=
y2 ( x) xe ax
Encontrar, para cada caso, la ecuación diferencial que tiene por soluciones
y1 ( x) e y2 ( x) y escribir la solución general. Tomar a=3, b=2
Solución a)
syms x a b
y1=exp(a*x)
y2=exp(b*x)
w=det([y1 y2;diff(y1,x) diff(y2,x)])
%Observa w es distinto de cero si a es distinto de b
%Polinomio característico si a distinto b
syms r
a=3;
b=2;
pol=expand((r-a)*(r-b))
%Ecuación diferencial
solu=simplify(dsolve('D2y-5*Dy+6*y=0','x'))
Solución b)
syms x a
y1=exp(a*x)
y2=x*exp(a*x)
w=det([y1 y2;diff(y1,x) diff(y2,x)])
%Observa w es distinto de cero para cualquier valor de a
%Polinomio característico para a=3
PÁGINA 2
MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES
syms r
a=3;
pol=expand((r-a)*(r-a))
%Ecuación diferencial
solu=simplify(dsolve('D2y-5*Dy+6*y=0','x'))
Método de coeficiente indeterminados
Este método se aplica únicamente cuando los coeficientes son constantes, su utilización
permite construir una solución particular de la ecuación
y′′( x) + py′( x) + qy ( x) = r ( x)
cuando r ( x) es combinación lineal o producto de funciones polinómicas, exponenciales,
cosenos y senos.
•
La idea del método es buscar una solución particular del mismo tipo que el término
r ( x) , puesto que la parte izquierda de la ecuación es únicamente una combinación
lineal de y ( x) y sus derivadas.
•
Es imprescindible haber resuelto la ecuación característica de la homogénea asociada y
disponer ya del sistema fundamental de soluciones de esa ecuación.
•
El primer paso del método es el diseño de una propuesta de solución particular, y p ( x) ,
del mismo tipo que la función r ( x) (Ver cuadro). Esta función y p ( x) dependerá de
unos coeficientes aún por determinar 1.
•
El segundo paso es el cálculo de esos coeficientes, para lo cual hay que derivar dos veces
y p ( x) e imponer que cumpla la ecuación; se obtendrá un sistema lineal de ecuaciones
de la misma dimensión que el número de coeficientes a determinar.
•
En el diseño de y p ( x) es muy importante tener en cuenta que no debe contener ningún
sumando que sea solución de la homogénea asociada.
r ( x)
y p ( x)
ae kx
Ax s e kx
b0 + b1 x +  + bm x m
x s ( B0 + B1 x +  + Bm x m )
a0 cos kx + a1 sen kx
x s ( A0 cos kx + A1 sen kx)
en todos los casos
s
sumando de
sea solución de la homogénea asociada.
y p ( x)
es el menor entero no negativo tal que ningún
Cuadro 1.- Diferentes soluciones particulares según diferentes valores de
1
De aquí el nombre de este método.
r ( x) .
MATLAB: PRÁCTICA 12
2
PÁGINA 3
Obtener una solución particular de la ecuación diferencial
(a) y ''+ 3 y '− 4 y =
3sen( x)
(b) y ''+ 3 y '− 4 y =
ex
(c) y ''+ 3 y '− 4 y =
xe x
(d) y ''+ 3 y '− 4 y =
x 2e x
yH C1e x + C2 e −4 x
y ''+ 3 y '− 4 y =
0 . La solución de la ecuación homogénea es =
Solución particular a
ensayar
R ( x ) = 3sen( x)
R ( x ) = ex
R ( x ) = xe x
R ( x ) = x 2e x
Solución particular
y=
yH + y p
G
=
y p A cos ( x ) + B sen ( x )
y p = Axe x
=
y p x ( Ax + B ) e x
(
Solución
general
)
y=
x Ax 2 + Bx + C e x
p
Solución a)
%Resolvemos la ecuación diferencial homogénea
yH=simplify(dsolve('D2y+3*Dy-4*y=0','x'))
%Consideramos como solución particular
syms x A B
yp=A*cos(x)+B*sin(x)
%Cálculo de A y B
ecu=diff(yp,2)+3*diff(yp)-4*yp-3*sin(x)
ecua1=subs(ecu,x,0)
ecua2=subs(diff(ecu),x,0)
[A B]=solve(ecua1,ecua2)
%Calculamos la solución de la EDO
yG=simplify(dsolve('D2y+3*Dy-4*y=3*sin(x)','x'))
%Observa que yG es yH+yp
Solución b)
clear all
%Resolvemos la ecuación diferencial homogénea
yH=simplify(dsolve('D2y+3*Dy-4*y=0','x'))
%Consideramos como solución particular
syms x A
yp=A*x*exp(x)
%Cálculo de A
ecu=diff(yp,2)+3*diff(yp)-4*yp-exp(x)
ecua1=subs(ecu,x,0)
A=solve(ecua1)
%Calculamos la solución de la EDO
solu_G=simplify(dsolve('D2y+3*Dy-4*y=exp(x)','x'))
%Observa que yG es yH+yp
PÁGINA 4
MATLAB: ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución c)
clear all
%Resolvemos la ecuación diferencial homogénea
yH=simplify(dsolve('D2y+3*Dy-4*y=0','x'))
%Consideramos como solución particular
syms x A B
yp=x*(A*x+B)*exp(x)
%Cálculo de A B
ecu=diff(yp,2)+3*diff(yp)-4*yp-x*exp(x)
ecua1=subs(ecu,x,0)
ecua2=subs(diff(ecu),x,0)
[A B]=solve(ecua1,ecua2)
%Calculamos la solución de la EDO
yG=simplify(dsolve('D2y+3*Dy-4*y=x*exp(x)','x'))
%Observa que yG es yH+yp
Solución d)
clear all
%Resolvemos la ecuación diferencial homogénea
yH=simplify(dsolve('D2y+3*Dy-4*y=0','x'))
%Consideramos como solución particular
syms x A B C
yp=x*(A*x^2+B*x+C)*exp(x)
%Cálculo de A B C
ecu=diff(yp,2)+3*diff(yp)-4*yp-x^2*exp(x)
ecua1=subs(ecu,x,0)
ecua2=subs(diff(ecu),x,0)
ecua3=subs(diff(ecu,2),x,0)
[A B C]=solve(ecua1,ecua2,ecua3)
%Calculamos la solución de la EDO
yG=simplify(dsolve('D2y+3*Dy-4*y=x^2*exp(x)','x'))
%Observa que yG es yH+yp
Resumen de comandos
Se recogen aquí los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las
prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas
pruebas de evaluación. También se supondrán conocidos los comandos que fueron utilizados
en prácticas anteriores y en las prácticas de Cálculo I.
•
•
Para resolver ecuaciones diferenciales:
Para resolver ecuaciones algebraica:
dsolve
solve