Series Temporales. Colección manuales UEx (EEES). Práctica 7: Introducción al análisis espectral Objetivo: Conocer, comprender y saber interpretar el periodograma de una serie temporal. Problema 1 Considera el proceso {Xt }t∈T definido como Xt = M X (αj cos(ωj t) + δj sen(ωj t)), t ∈ T, (1) j=1 M donde M es un número entero positivo, {ωj }M j=1 son frecuencias distintas en [0, π], {αj }j=1 y M {δj }j=1 son variables aleatorias incorreladas de media cero y mutuamente incorreladas. a) Simula, utilizando el software estadı́stico y lenguaje de programación R, una trayectoria de longitud n = 128 del proceso (1), considerando M = 3, α1 = 2, α2 = 4, α3 = 6, δ1 = 3, δ2 = 5, δ3 = 7, ω1 = 12π/100, ω2 = 20π/100 y ω3 = 80π/100. b) Calcula y representa el periodograma de la serie simulada en a) e interprétalo. c) Repite a) y b) con n = 100, sumádole a Xt un proceso de ruido blanco, i.e. el proceso Yt = Xt + Zt , t ∈ T, donde {Xt }t∈T viene definido como en a) y {Zt }t∈T es una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según una distribución N (0, 25). (Problema resuelto en el archivo R-practica7.txt) Problema 2 El archivo sunspots contiene la serie suavizada (media móvil centrada de orden 12) del número bianual de manchas solares desde junio de 1749 a diciembre de 1978. Representa el periodograma de los datos e identifica las frecuencias dominantes, obteniendo intervalos de confianza para los periodos identificados. Interpreta los resultados. (Problema resuelto en el archivo R-practica7.txt) Problema 3 Simula 100 observaciones de un proceso de ruido blanco gaussiano. Utiliza los test de Fisher y de Kolmogorov para contrastar la hipótesis nula de que tales datos proceden de un proceso de ruido blanco gaussiano, frente a la hipótesis alternativa de que proceden de un proceso de ruido blanco gaussiano más una componente periódica determinista de frecuencia no especificada. Problema 4 a) Calcula y representa la función de densidad espectral del proceso estacionario {Xt }t∈T definido como Xt − 0.99Xt−3 = Zt , t ∈ T, donde {Zt }t∈T es un proceso de ruido blanco de media cero y varianza unitaria. ¿Sugiere la densidad espectral que las trayectorias del proceso {Xt }t∈T exhibirán un comportamiento oscilatorio? Si la respuesta es afirmativa, ¿con qué periodo? b) Simula una muestra de tamaño 60 del proceso descrito en a) y represéntala. ¿Concuerda lo que muestra el gráfico de la muestra con las conclusiones obtenidas en el apartado a)? Miguel González e Inés Ma del Puerto