Analíti ak

k
Analíti a
Algunas herramientas matemáticas para la economía y las finanzas. . .
Entonces, su solución está dada por el proceso estocástico
Xt = xeYt +
+
Z t
0
Z t
0
eYt −Ys [ g(s) − θ (s)σ (s)]ds
eYt −Ys θ (s)dBs
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
3
• Precio del producto: Este producto tiene un precio que
notaremos P. Este precio de la cobertura depende de
muchos factores: tiempo t, strike K, valor del precio
del producto subyacente Xt , etc. Notaremos, entonces, P = P( Xt , t).
De esta manera, la empresa A se protege de una subida repentina de los precios del combustible pues ha negociado
en donde
por adelantado comprar su combustible a un cierto precio
Z t
Z t
1
K. Este tipo de producto financiero es muy común y es de2
[ f (s) − σ (s) ]ds +
Yt =
σ (s)dB(s).
2
nominado un Call.
0
0
¿Qué sucede el 1ero de junio? Para verlo, notamos Xt
Nótese que este teorema permite estudiar ecuaciones la evolución del precio del petróleo y sea X el precio del
T
más generales que las consideradas en la fórmula (26). La barril en el tiempo final T=1ero de junio.
principal diferencia radica en la presencia del término Xt
en la parte derecha de la ecuación (28). Podemos darnos
• Si XT > K: El precio del barril de crudo, el 1ero de
cuenta que para realizar la demostración de este problema,
junio, es mayor que el precio negociado K. La emprees necesario considerar una integral más general que la insa A tiene entonces todo interés en ejercer su opción:
tegral de Wiener: en efecto, en la definición de esta integral
comprar N barriles al precio K, que es inferior al predada en la fórmula (18), sólo habíamos considerado intecio observado en el mercado, y de esta forma se ha
grales de la forma
protegido de una fuerte alza de los precios de esta
Z b
materia prima.
f (t)dB(t),
a
• Si XT < K: El precio del barril de petróleo, el 1ero
en donde f era una función determinista. Es, por lo tanto,
de junio, es menor que el precio negociado K. En este
necesario generalizar la noción de integral de Wiener. El
caso la empresa A no tiene interés en comprar al banobjeto matemático que corresponde a esta generalización
co B algo que está más barato si lo puede conseguir
es la integral de Itô y se puede encontrar una descripción
directamente en el mercado. Al no ejercer su opción,
detallada de esta integral en [6] o [7]. Consideramos que
la empresa pierde la cantidad P que ha pagado para
la integral de Wiener es suficiente para un primer contacto
cubrirse de la alza de precios.
con los objetos matemáticos que intervienen en la modeliEs interesante notar que, en ambos casos, la empresa A se
zación financiera.
Tenemos, gracias al teorema 6, una descripción de la ha protegido de las fluctaciones del precio del petróleo.
Observemos que la situación el 1er de junio es la sidinámica seguida por variables económicas, como son los
precios del petróleo, cacao, flores o banano. Pero los merca- guiente:
dos financieros van mucho más allá y utilizan estas variaP( XT , T ) = máx{ XT − K; 0}
bles como elementos de base para la construcción de nuey ésta es la condición al límite cuando t = T.
vos productos.
Indiquemos que, mientras más elevado sea el precio fiVamos a dar ahora un ejemplo que nos permitirá prenal
XT , mayor será el ahorro realizado por la empresa A,
cisar el uso de las ecuaciones diferenciales estocásticas en
mientras
que mayor será el riesgo del banco B quien tenlas actividades económicas. Supongamos que una empresa
drá
que
comprar
a un precio elevado los barriles de petróde transporte aéro A desea planificar sus tarifas de boletos
leo
para
venderlos
a un precio más bajo a la empresa A.
para el verano 2012. Evidentemente, el precio de los boleEn
los
dos
gráficos
de la figura 5 se muestra la situatos dependerá del precio del petróleo, y es natural que la
ción
de
la
empresa
A
a
la
izquierda (Short Call), y del banco
empresa A desee protegerse ante una subida repentina de
B
a
la
derecha
(Long
Call).
El Premium corresponde al prelos precios de los combustibles.
cio
de
la
cobertura;
se
observa
claramente que si el precio
Existen mecanismos financieros para lograr este objetidel
barril
comienza
a
aumentar,
el ahorro y el riesgo genevo: la empresa A puede buscar un banco B y comprar un
rados
por
este
producto
pueden
ser substanciales. Es por
producto financiero con las siguientes características:
esta razón que es muy importante conocer, en todo tiempo
• Duración del producto: empieza el 1ero de enero 2012 0 < t < T, el precio de la cobertura P.
En efecto, contrariamente a los seguros para autos, esy termina el 1ero de junio 2012.
tos seguros de tipo Call pueden venderse y comprarse en
• Descripción del producto: la empresa A tiene la opción, los mercados financieros internacionales en los que intery no la obligación, de comprar el 1ero de junio al banco vienen una gran cantidad de actores distintos. Como los
B una cantidad determinada N de barriles de petró- bancos no poseen reservas de barriles de petróleos, para
leo a un precio fijo K llamado el strike del producto.
cumplir el contrato el banco B está obligado a comprar en
Analítika, Revista de análisis estadístico, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19
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