Apuntes de N. Scoccola sobre la parte de física nuclear de la materia

Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
NOTAS DE FISICA NUCLEAR
Dr. Norberto N. Scoccola
Cap. 3, 4, 5
V2.2 (24-3-08)
Comentario: Estas son notas de clase en un formato aun preliminar. Para el
tratamiento más detallado de los temas conviene referirse a la bibliografía indicada
al principio del curso
1
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
3. EL NÚCLEO ATÓMICO: SUS PROPIEDADES Y
CONSTITUYENTES
3.1 Introducción
En el capítulo anterior hemos reseñado la manera en que se llegó a tener una idea de la
existencia del núcleo atómico y de su tamaño. Hemos visto también que la carga nuclear
está vinculada con el número atómico Z, el cual determina la posición del elemento
correspondiente en la tabla periódica. Dicho valor puede ser determinado a partir de las
frecuencias de las rayas observadas en el espectro de rayos X. Otra manera de medir Z es a
través de la dispersión de Rutherford discutida también en el capítulo anterior. Por
supuesto, estos métodos dan valores que son consistentes entre sí y proveen una
verificación experimental del postulado de que la carga nuclear es (en modulo) igual a Z
veces la carga del electrón. Un problema que se presentó una vez que se descubrió la
existencia del núcleo fue determinar que tipo de fuerza mantiene unidas a las cargas
positivas dentro del núcleo. Las únicas dos fuerzas fundamentales de la naturaleza
conocidas hasta el momento eran la fuerza electromagnética y la gravitatoria. La primera
actúa de manera de hacer que las cargas positivas se separen entre si mientras que se
encontró que la segunda era muy débil como para justificar el hecho de que permanecieran
unidas. Por lo tanto, se llegó a la conclusión de que debía existir una tercera fuerza
fundamental, la fuerza nuclear, que mantuviera al núcleo unido. Discutiremos esta fuerza
más en detalle en el próximo capítulo. Aquí nos concentraremos en estudiar de qué están
compuestos los núcleos atómicos y en describir las propiedades generales de los mismos.
3.2 Isótopos e isóbaros
Hemos visto que cuando los átomos son calentados emiten electrones. Esto hace que se
formen átomos cargados positivamente que reciben el nombre de “iones”. Estos iones
pueden ser acelerados y luego dirigidos hacia un dispositivo similar a los utilizados para
determinar el valor de e/m del protón. Si los átomos de un elemento dado están
simplemente ionizados (es decir si cada uno pierde un solo electrón), cada ion de ese
elemento tendrá la misma carga e. Por lo tanto es de esperar que uno encuentre el mismo
valor de e/M para todos los iones de cada elemento, donde M es la masa del ion. Esto sería
correcto si las masas de todos los átomos de un dado elemento (o sea de un dado Z) fueran
idénticas, tal como fue asumido por Dalton. Aceptando esta suposición es de esperar que,
calibrando el dispositivo experimental de manera que el radio de curvatura del haz indique
directamente la masa en unidades atómicas 1 , el análisis de, por ejemplo, un haz de iones
de neón de como resultado 20.2 amu, es decir el valor determinado quimicamente. Este
tipo de experimentos fue realizado por J.J. Thompson en 1913. Encontró que en verdad
existían dos radios de curvatura distintos, uno correspondiente a aproximadamente 20 amu
y el otro a 22 amu. Actualmente sabemos que existe un tercero asociado a 21 amu cuya
intensidad es mucho más debil por lo cual no fue identificado en su momento.
Experiencias similares con otros elementos dan resultados del mismo tipo. Por ejemplo
para un haz de iones de xenón en lugar de un solo radio se encuentran nueve radios
Recordemos que 1 unidad atómica de masa (amu) = 1.66 x 10-27 kg = 931.49 MeV/c2.
1
2
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
distintos correspondientes a aproximadamente 124, 126, 128-132, 134 y 136 amu. Resulta
por lo tanto evidente que todos los átomos de un mismo elemento no son necesariamente
idénticos. La propiedad que es común a todos los átomos de un elemento y que permite
clasificarlo con un nombre químico es la carga positiva del núcleo Z y no la masa del
átomo M. También resulta de las experiencias mencionadas que no cualquier valor de
masa es posible: sólo múltiplos casi enteros de 1 amu están permitidos. Estos valores
enteros están agrupados alrededor del peso atómico relativo que se determina en forma
química 2 . Como ya se ha mencionado en el caso del neón este valor es 20.2. Como este
valor debe resultar del promedio pesado de los valores 20 y 22 (ignoramos aquí la débil
componente con masa 21) es posible determinar que fracción de cada tipo de neón está
presente en el “átomo promedio de neón”. Estas fracciones reciben el nombre de
abundancias relativas. Cada tipo de átomo de neón recibe el nombre de isótopo del neón.
Es decir que los isótopos son átomos que tienen las mismas propiedades químicas pero
distinta masa, o sea que dos isótopos tienen igual Z pero distinto M. Mediciones muy
precisas indican que las masas de los distintos isótopos de un dado elemento no son
precisamente números enteros. Por ejemplo la masa del hidrógeno es 1.0079 amu.
Introduciremos aquí el número de masa A como el número entero más cercano a la masa
de un isótopo en amu. Mostraremos más adelante que A es el número de partículas en el
núcleo. Un isótopo se designa indicando el número de masa como supraíndice del símbolo
químico. Por ejemplo, 22Ne es el símbolo para el isótopo del neón con masa
aproximadamente igual a 22 amu.
Los isótopos del hidrógeno tienen una importancia especial en la física nuclear por
lo que los núcleos correspondientes reciben nombres especiales. El núcleo de 1H recibe el
nombre de protón, el de 2H deuterón y el de 3H tritón. El hidrógeno compuesto de 2H puro
se denomina deuterio y el de 3H tritio.
Así como los núcleos de igual Z reciben el nombre de isótopos, aquellos con igual
valor de A se denominan isóbaros. Existe también, aun que no es muy utilizado, el nombre
isótonos para núcleos que tienen igual valor de N = A – Z. Un núcleo con números A y Z
determinados recibe el nombre de nucleido. Por ejemplo, 17O es un nucleido.
3.3 Los constituyentes del núcleo: protones y neutrones.
El hecho de que todas las masas isotópicas son casi múltiplos enteros de 1 amu
junto con el hecho de que la masa del átomo de hidrógeno es casi 1 amu parecería indicar
que los núcleos de todos los átomos están de alguna manera compuestos por protones, es
decir núcleos de hidrógeno. Antes de ver que esto no es completamente correcto
estudiaremos en detalle las propiedades del protón. Como sabemos tiene una unidad de
carga positiva y su masa es de Mp=1.0073 amu = 938.3 MeV/c2. Se ha determinado
también que el espín es / 2 . Se podría esperar que en analogía con el electrón el
momento magnético dipolar estuviera dado por
μN =
1 e
= 3.152 × 10 −18 MeV / gauss
2 Mp
,
(3.1)
es decir, la expresión correspondiente al electrón en que se ha reemplazado la masa del
electrón por Mp. El momento dipolar calculado de esta manera recibe el nombre de
magnetón nuclear. Sin embargo, se ha encontrado experimentalmente que en verdad
2
Recordemos que esta cantidad esta definida como el peso de un átomo promedio de un elemento dado
relativo a un doceavo del peso de un átomo promedio de carbono.
3
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
μ p = 2.793 μ N
(3.2)
Las razones para que el protón tenga este momento magnético dipolar “anómalo” aún hoy
no han sido completamente entendidas pero ciertamente este hecho está relacionado con la
estructura interna del protón en términos de quarks.
En un primer intento por describir los núcleos de A arbitrario a partir de las
partículas mencionadas hasta el momento (protones y electrones) se puede suponer que los
mismos sólo están compuestos de A protones. Por ejemplo, en el caso de los isótopos del
oxigeno podríamos imaginar que están formados por 16, 17 y 18 protones,
respectivamente. Sin embargo, como todos los átomos de oxígeno deben tener las mismas
propiedades químicas, los núcleos de los tres isótopos deben tener la misma carga nuclear
lo cual evidentemente no es posible con la suposición anterior. Una posible solución para
este problema es suponer entonces que además de protones puede haber electrones en el
núcleo. En ese caso el núcleo de, por ejemplo, el 16O debería estar formado por 16
protones y 8 electrones. Similarmente el de 17O tendría 17 protones y 9 electrones, y el de
18
O tendría 18 protones y 10 electrones. Con esta nueva hipótesis el inconveniente de la
carga se soluciona. Sin embargo un nuevo problema aparece. Como es bien sabido, el
momento angular total de un sistema de muchas partículas de espín semientero es un
número semientero de veces si el número de partículas es impar, mientras que es un
número entero de veces
si el número de partículas es par. Por lo tanto si tomamos el
14
caso del N que tiene Z=7, el modelo de núcleo compuesto por electrones y protones
indica que el espín de dicho núcleido debería ser un número semientero de veces , ya
que según dicho modelo debería estar compuesto por 14 protones y 7 electrones. Sin
embargo, experimentalmente se observa que el espín del 14N es cero. Este ya es un fuerte
argumento contra el modelo propuesto. Existen también otros argumentos basados en los
momentos magnéticos dipolares, etc. .
Esta era la situación cuando, hacia 1930, se comenzaron hacer experimentos en los
cuales se bombardeaban núcleos de berilio con partículas α. Se encontró entonces que en
dichos experimentos se producía una radiación muy penetrante que tenía entre otros
efectos el arrancar protones de una delgada lámina de parafina. En un principio se pensó
que dicha radiación, que resultaba no tener carga eléctrica, era de tipo electromagnética.
Es decir que los protones eran arrancados de la parafina debido a la absorción de un fotón
muy energético. Sin embargo, rápidamente ciertos cálculos basados en balances de energía
indicaron que no era posible que en la reacción berilio-partícula α se produjeran fotones
suficientemente energéticos. En una serie de experimentos realizados en 1932 Chadwick
demostró que estas dificultades desaparecían si se suponía que la radiación estaba
compuesta por partículas neutras con una masa aproximadamente igual a la del protón.
Esta partícula neutra pesada recibió el nombre de neutrón. Haciendo la semejanza con la
situación en que una bola de billar choca frontalmente contra otra en reposo se puede
entender el hecho de que el neutrón sea tan efectivo en arrancar protones de la parafina:
como ambas bolas tiene la misma masa después del choque la bola que estaba inicialmente
quieta sale con toda la energía de la bola incidente mientras que esta última queda en
reposo. Se encuentra que la masa del neutrón es de 1.00867 amu = 939.6 MeV/c2 y su
espín igual a / 2 . Como el neutrón no tiene carga eléctrica se podría pensar que la
existencia de un momento angular asociado al espín no implica movimientos de carga y
que, por lo tanto, el momento magnético dipolar de esta partícula debería ser cero. Sin
embargo se ha determinado experimentalmente que
4
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
μ n = −1.913 μ N
.
(3.3)
Nuevamente, tal como en el caso del protón, esto sólo puede entenderse si se considera
que el neutrón es una partícula compuesta 3 .
El descubrimiento del neutrón hizo posible formular una descripción consistente de
la composición del núcleo atómico. Este debe estar compuesto de protones y neutrones (y
no de electrones). Por ejemplo el núcleo del 16O esta compuesto de 8 protones y 8
neutrones. Los 8 protones dan cuenta de la carga nuclear + 8e característica del oxigeno y
los 8 neutrones proporcionan las 8 amu adicionales necesarias para hacer que la masa sea
16 amu. Los 17O y 18O tienen 9 y 10 neutrones, respectivamente. De esta manera es
posible reformular la definición de isótopos: son aquellos núcleos que tienen el mismo
número de protones pero difieren en el número de neutrones. Es de notar también que la
descripción del núcleo en término de protones y neutrones soluciona los problemas
relacionados con el espín nuclear. Por ejemplo, en el caso del 14N hay 7 protones y 7
neutrones, es decir un total de 14 partículas de espín ½ . Esto hace que el espín total deba
ser un número entero de veces , lo cual es consistente con el valor cero que se observa
experimentalmente.
3.4 Radios nucleares
Hemos visto en el capítulo anterior que ya a través de los experimentos de dispersión de
partículas α Rutherford había sido capaz de estimar el radio del núcleo de plata en unos
10 fm. Con el pasar del tiempo distintos métodos han sido utilizados para determinar los
radios nucleares con mayor precisión. Ellos se basan en la dispersión de electrones,
protones o neutrones de suficiente energía. Los neutrones y protones tienen la ventaja de
que energías de alrededor de unos 20 MeV ya son suficientes para que las longitudes de
onda asociadas a dichas partículas sean del orden del radio nuclear. Para el caso de los
electrones se requieren en cambio energías del orden de los 100 MeV, lo cual
evidentemente es más difícil de obtener. Sin embargo, con el desarrollo dispositivos
adecuados (estos dispositivos reciben el nombre de aceleradores y serán discutidos en
detalle más adelante) ha sido posible alcanzar las energías necesarias. La ventaja de
utilizar electrones es que su interacción con el núcleo es bien conocida (es la interacción
electromagnética). Por lo tanto los resultados más precisos se basan en la dispersión de
electrones. El experimento en sí consiste en enviar electrones muy energéticos sobre una
delgada lámina del material bajo estudio y estudiar la distribución angular de los
electrones dispersados. Resultados típicos de este tipo de experimento se muestran en la
Fig.3.1. Suponiendo que los núcleos son mas o menos simétricos y que las distribuciones
de neutrones y protones son iguales, se asume una cierta distribución densidades ρ (r )
para los nucleones y se calcula para dicha distribución la sección eficaz diferencial. Si esta
no coincide con la observada se modifica ρ (r ) hasta obtener un buen ajuste de los datos
experimentales. Este tipo de experimento ha sido realizado y analizado para un gran
número de núcleos y para distintas energías incidentes. Se ha encontrado que los
resultados pueden ser explicados si la distribución de carga esta dada por
3
Notar, sin embargo, que es claro que sus componentes no pueden ser un protón y un electrón ya que esto
implicaría que el espín del neutrón debería ser un número entero de veces / 2.
5
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
ρ (r) =
ρ0
1 + exp[( r − R ) / a ]
.
(3.4)
Fig. 3.1: Distribuciones angulares de
electrones de 185 MeV dispersados
por distintos núcleos. Las curvas
que pasan a través de los datos
experimentales corresponden
a
ajustes teóricos.
La Fig.3-2 muestra un gráfico de esta expresión para la densidad, indicando el significado
de los distintos parámetros que en ella aparecen. Vemos ρ 0 es la densidad de nucleones
cerca del centro del núcleo, R es el radio al cual la
densidad ha disminuido a la mitad del valor en el
centro y a es una medida del espesor de la
superficie. La distancia en la cual la densidad cae
del 90 % del valor central al 10 % de este valor es
4.4 a.
Fig. 3.2: Gráfico de ρ ( r ) vs r donde se ilustra el
significado de los distintos parámetros que aparecen en
Ec.(3.4)
Los ajustes realizados utilizando la Ec.(3.4) corresponden a las líneas llenas en la
Fig.(3.1). Es interesante ver que información sistemática se puede obtener de estos ajustes.
Resulta que los resultados para todos los núcleos pueden ser razonablemente reproducidos
tomando
6
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
ρ 0 ≈ 0.165 nucleons / fm 3
R ≈ 1.2 A1 / 3 fm
a ≈ 0.6 fm
Estos resultados son muy simples e indican que la densidad de nuclear en la región central
y el espesor de la superficie son aproximadamente iguales para todos los núcleos. La
dependencia en A1/3 del radio nuclear, nombre que se utiliza usualmente para designar a R
es consecuencia del hecho de que ρ o es independiente de A ya que esto implica que el
volumen debe ser proporcional a esta cantidad. Vale la pena notar el valor
extremadamente grande de ρ o , que en unidades SI resulta ser del orden de 1018 kg/m3.
Cabe finalmente señalar que estrictamente hablando lo que se determina mediante
la dispersión de electrones es la densidad de carga (que es obviamente debida a los
protones) y no la densidad de materia ( a la que contribuyen tanto protones como
neutrones). Lamentablemente la determinación experimental de esta última magnitud esta
sujeta a muchas mas incertezas.
3.5 Espín y momentos nucleares.
En la sección anterior hemos supuesto que los núcleos se comportan como distribuciones
estáticas de carga esféricamente simétricas. En verdad eso no es completamente correcto.
Las posibles deformaciones del núcleo así como los movimientos internos de carga dan
lugar a propiedades que son posibles de determinar experimentalmente. Una de ellas es el
espín nuclear que ya hemos mencionado anteriormente. Aquí discutiremos en algún
detalle varias de estas propiedades.
El espín del núcleo J está determinado por la composición del espín intrínseco de
cada una de las partículas que componen el núcleo (es decir, protones y neutrones cada
uno de los cuales aporta / 2 ) y el momento angular correspondiente al movimiento
relativo de estas partículas dentro del núcleo. El momento angular correspondiente al
movimiento relativo está cuantizado en unidades de . Por lo tanto un nucleido con A par
debe tener espín nuclear dado por un número entero de veces . Experimentalmente se
observa que si además Z y N son separadamente pares el espín del núcleo es cero. En el
caso en que A es impar siempre se encuentra que el espín es un número semientero de
veces .
El movimiento dentro del núcleo de las partículas cargadas da lugar a la existencia
de un momento magnético dipolar. Además hemos visto que las partículas que lo
componen tienen un momento magnético intrínseco. En general, ambos tipos de
contribuciones aportan al momento magnético dipolar nuclear μ. Usualmente éste se
expresa en términos del magnetón nuclear μ N ya definido con anterioridad.
Experimentalmente se encuentra que los momentos magnéticos dipolar nucleares van de 0
a unos pocos magnetones nucleares. Es muy frecuente expresar el momento magnético en
términos del factor giromagnético g , definido por la relación, μ = g μ N J .
Es bien sabido que una configuración de carga arbitraria ρ ( r ) produce un
potencial eléctrico que a largas distancias R en la dirección z puede expandirse como
V=
1 ⎛1
⎜
4πε 0 ⎝ R
∫ dV
ρ +
1
R2
∫ dV
ρ z +
7
1
R3
∫ dV
⎞
⎠
ρ (3 z 2 − r 2 ) +.... ⎟
(3.5)
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Para valores de R grandes esta serie converge rápidamente. La integral en el primer
término corresponde a la carga neta. Para valores de R extremadamente grandes éste es el
único término relevante y por lo tanto el potencial es igual al que se obtendría si toda la
carga estuviera concentrada en un punto. La integral en el segundo término recibe el
nombre de momento dipolar eléctrico, la integral en el tercer término momento
cuadrupolar eléctrico, etc. Es posible mostrar que debido a consideraciones de paridad el
momento dipolar eléctrico debe anularse en el caso nuclear. Por lo tanto las desviaciones
de orden más bajo respecto del campo de una carga puntual se deben al momento
cuadrupolar eléctrico. En la Fig.3.3 aparecen algunas típicas distribuciones de carga que
poseen momento cuadrupolar eléctrico Q distinto de cero.
Fig. 3.3: Momentos cuadrupolares. (a)
momento
cuadrupolar
positivo
(prolado); (b) momento cuadrupolar
negativo (oblado).
La Fig.3.3a muestra distribución con forma de “cigarro” (Q > 0, prolada), mientras que la
Fig.3.3b una distribución con forma de “disco”( Q < 0, oblada). La idea de momento
cuadrupolar es muy utilizada en física nuclear ya que indica la distorsión de un núcleo
respecto de una esfera perfecta.
3.6 Masas nucleares
El modelo de átomo desarrollado en el capítulo anterior indica que la mayor parte de la
masa del átomo está localizada en el núcleo. Los átomos neutros contienen un electrón por
cada protón. Por otra parte, en promedio, hay un neutrón por cada protón para un nucleido
típico. Como cada nucleón tiene una masa del orden de 2000 veces mayor que la del
electrón, resulta entonces que sólo 1 parte en 4000 de la masa del átomo está fuera del
núcleo. El resto es debido a los neutrones y protones y reside por lo tanto dentro del radio
nuclear. Si se mide con mucha precisión la masa nuclear resulta sin embargo que esta es
menor que la suma de las masas de las partículas que la componen. Esta diferencia se debe
a la energía de interacción que mantiene unido al núcleo. Para entender mejor esta
cuestión vamos a considerar como ejemplo el núcleo de helio 4 y calcularemos su masa en
detalle. Este núcleo tiene Z=2 por lo que esta formado por dos protones y dos neutrones
(es decir, A=4). En principio, es de esperar que la masa nuclear sea precisamente la suma
de la masa de dichas partículas. En los cálculos referentes a las masas nucleares es
conveniente utilizar la masa del átomo neutro (masa atómica) en lugar de las masas
nucleares mismas. En este caso para que el cálculo sea correcto cuando se substrae la masa
de los componentes por separados en lugar de considerar la masa del protón se debe tomar
la del hidrógeno. De esta manera la masa extra de los Z electrones que contiene la masa
del átomo neutro respecto de la nuclear se cancela con la de los Z electrones asociados a
los átomos de hidrógeno. En el caso del helio compararemos la masa de átomo neutro con
la masa de dos átomos de hidrógeno más dos neutrones
8
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
2 protones + 2 electrones = 2 MH = 2 x 1.00794 amu = 2.01588 amu
2 neutrones = 2 Mn = 2 x 1.00867 amu = 2.01734 amu
Masa total = 4.03322 amu
Sin embargo, este valor es mayor que la masa atómica del helio mat (4He) = 4.0026 amu.
Por lo tanto la masa del núcleo de 4He es menor que la de sus componentes, es decir que
existe un faltante de masa de 0.03062 amu. Este faltante se denomina defecto de masa.
Utilizando la relación relativista E = m c 2 este defecto de masa se puede expresar
en términos de un faltante de energía que en este caso resulta ser de 28.5 MeV. Esta es la
llamada energía de ligadura B del núcleo de helio. Esta energía indica que cuando dicho
núcleo se forma a partir de sus cuatro partículas constituyentes se liberan 28.5 MeV de
energía. Otra manera de entender la cuestión es decir que para poder romper el núcleo de
helio, de manera de liberar todos
sus constituyentes, hace falta
entregar una energía de 28.5 MeV.
En este sentido es semejante a la
energía de ionización necesaria
para separar a los electrones de un
átomo. Usualmente es más
conveniente utilizar la energía de
ligadura por nucleón B/A en lugar
del valor completo de la misma.
Para el caso del helio, B/A = 7.13
MeV. Repitiendo este cálculo para
todos
los
núcleos
estables
conocidos resulta que todos ellos
tienen una energía de ligadura y,
por lo tanto, un defecto de masa.
La Fig.3.4 muestra el valor de B/A Fig. 3.4: Energía de ligadura media por nucleón para los
como función de A para diversos núcleos más estables como función del numero de masa
núcleos. Vemos que, salvo para los
núcleos muy livianos, la curva es relativamente plana. Esto indica que la mayor parte de
los núcleos tienen una energía de ligadura prácticamente igual, y esta resulta ser de unos 8
MeV por nucleón. Notemos también que la curva tiene un máximo para A
aproximadamente igual a 50, valor a partir del cual comienza lentamente a decrecer.
3.7 Estabilidad de los núcleos
En la Fig.3.5 se muestra un diagrama de Z en función de N para un gran número de
nucleidos. Dicho diagrama recibe usualmente el nombre de tabla de nucleidos. Es muy
importante notar que los nucleidos estables parecen agruparse a lo largo de la recta Z=N.
Por supuesto hay desviaciones respecto de dicha recta. Por ejemplo para Z grande los
nucleidos estables tienden a tener un mayor número de neutrones que de protones.
También vemos que para un Z cualquiera puede haber varios isótopos estables y por lo
tanto varios valores N posibles.
9
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Fig. 3.5: Forma esquemática de la tabla de nucleidos. Aparecen en ella los nucleidos estables y aquellos
que pueden decaer mediante distintos tipos de procesos. Las "drip lines" de protones y neutrones
indican los puntos a partir de los cuales el proceso de emisión de nucleones empieza a ser
energéticamente posible y, por lo tanto precede al decaimiento beta.
Otro aspecto importante es que más de la mitad de los núcleos estables que se
conocen contienen un número par de neutrones y de protones. Estos núcleos se conocen
como par-par. Alrededor de un 20 % tiene Z par y N impar, y número casi igual tiene N
par y Z impar. Sin embargo, sólo cuatro núcleos estables tienen Z impar y N impar. Los
14
núcleos impar-impar son 12 H, 36 Li, 10
5 By 7 N.
Respecto de los núcleos inestables es posible hacer algunos comentarios generales.
Primeramente, si las partículas que componen el núcleo pueden pasar a un estado de
menor energía, éstas lo harán ya sea emitiendo partículas o radiación. Es decir, al igual
que en el caso del átomo, terminarán en el estado de menor energía posible. Sin embargo,
mientras que un átomo solo puede desexcitarse emitiendo un fotón, un núcleo inestable
puede hacerlo de muchas maneras diferentes. Los decaimientos por medio de la emisión
de rayos α, β o γ constituyen algunos de estos mecanismos posibles. Estudiaremos estos
procesos en mayor profundidad más adelante.
10
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
4. La Interacción Nuclear
4.1 Introducción
Hemos visto en el capítulo anterior que el núcleo atómico está formado por
protones y neutrones situados dentro de un volumen que tiene, típicamente, algunos pocos
fm de radio. Cabe preguntarse cómo estas partículas, en particular los protones que tienden
a repelerse por la interacción Coulombiana, se mantienen ligadas entre sí dentro de un
volumen tan pequeño. Claramente esto no puede deberse a la interacción gravitatoria ya
que para las masas y distancias en juego ésta es muy débil. Debe existir por lo tanto otra
fuerza en la Naturaleza además de las dos interacciones que acabamos de mencionar. Esta
interacción debe ser más fuerte que la electromagnética (por lo que se la conoce como
“interacción fuerte”) y de corto alcance ya que sólo actúa a distancias nucleares. En este
capítulo describiremos las características de esta interacción.
Es claro que para estudiar un nuevo fenómeno conviene comenzar por la situación
más sencilla en que el mismo tiene lugar. Para el caso de la interacción nuclear esto
ocurre cuando hay solamente dos nucleones presentes. Existen dos situaciones de este
tipo, a partir de las cuales se puede obtener información de la interacción nuclear: (1)
cuando dos nucleones están ligados entre sí, como en el deuterón; (2) en las colisiones
entre dos nucleones, o sea en los llamados procesos de dispersión nucleón-nucleón. Para
comprender cómo es que se obtiene dicha información nos referimos al caso del átomo
que hemos tratado en el Cap. 2. En dicho caso sabemos que los electrones están ligados al
núcleo debido a la interacción electromagnética. Sin embargo, si no lo supiéramos
deberíamos recurrir al análisis de las dos situaciones antes mencionadas para saber como
es la interacción. Lo análogo de (1) sería utilizar el conocimiento de los niveles del átomo
de hidrógeno. Asumiendo que conocemos las ecuaciones de la mecánica cuántica
probaríamos con distintos potenciales de interacción hasta encontrar aquél que dé el
espectro de energías correcto. Lo análogo de (2) sería hacer el equivalente de la dispersión
de Rutherford. Es decir, enviar electrones de suficiente energía sobre láminas delgadas y
observar cómo se reflectan. Luego habría que ir proponiendo distintos potenciales,
calcular las correspondientes secciones eficaces y compararlas con el resultado
experimental hasta obtener un buen acuerdo. Por lo tanto, es de esperar que estudiando los
niveles de energía del sistema de nucleones ligados y midiendo la sección eficaz de
dispersión nucleón-nucleón sea posible determinar la naturaleza de la interacción nuclear.
4.2 La interacción nuclear a partir del sistema ligado de dos
nucleones.
4.2.1 Rango e intensidad de la interacción.
El único estado ligado de dos nucleones que se encuentra en la Naturaleza es el
deuterón, el cual consiste de un neutrón y un protón. Las otras dos posibles
configuraciones, es decir el di-neutrón y el di-protón, no dan lugar a estados ligados.
Como veremos, esto de por sí ya provee una información útil. Por otra parte estudios
detallados del deuterón revelan que éste no tiene estados excitados que no separen
rápidamente en un neutrón y un protón. Es decir, que entre todos los estados posibles de
dos nucleones hay solamente un estado ligado: el estado fundamental del deuterón. Esta
11
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
situación es muy distinta de la del átomo de hidrógeno donde, como se mencionó en el
Cap. 1, existe un número infinito de estados ligados.
La energía del estado fundamental del deuterón puede determinarse, por ejemplo, a
partir de experimentos en los cuales se hace incidir neutrones de baja energía sobre un
material que contiene hidrógeno, como parafina. Los neutrones incidentes son capturados
por los protones del blanco dando lugar a la formación de núcleos de deuterio. En este
proceso se libera energía en forma de radiación γ. Midiendo la energía de los rayos
γ emitidos se puede determinar en forma sencilla la energía de ligadura del deuterón. El
resultado experimental es Ed = 2.23 MeV . Por otro lado a través de los experimentos de
dispersión de electrones mencionados en el Cap. 3 es posible determinar el radio
cuadrático medio del deuterón. Se encuentra que la distancia cuadrática media neutrón-
(
protón en el estado fundamental del deuterón | d > es rd = < d | rp − rn
)
2
| d > = 4.2 fm .
Veamos ahora como estudiar el deuterón desde el punto de vista teórico. Si
suponemos que la interacción entre los nucleones es independiente del tiempo este
problema consiste en dos cuerpos (un neutrón y un protón) interactuando por medio de un
potencial V ( rp - rn ) . Es bien conocido de la mecánica clásica que mediante un cambio de
coordenadas el problema de dos cuerpos se puede separar en dos problemas
independientes. Uno corresponde al movimiento de traslación libre del centro de masa. El
otro consiste en el de un cuerpo de masa reducida μ dada por
M
M
p n
μ=
M +M
p
n
(4.1)
moviéndose en el potencial V (r ) , donde r para la coordenada relativa r = rp - rn .
Comenzaremos por asumir que el potencial tiene la forma más sencilla que
podemos imaginar. Para un potencial de corto alcance esto corresponde a un pozo
cuadrado esférico con radio R y profundidad V0 . Tratándose de un potencial con simetría
esférica es posible reducir el problema tridimensional al de uno unidimensional con un
potencial efectivo dado por Veff ( r ) = V pc ( r ) + ( 2 / 2 μ ) l (l + 1) / r donde r =| r | y V pc ( r )
es
⎧−V
V pc ( r ) = ⎨ 0
⎩ 0
, 0≤r≤ R
,
r≥R
(4.2)
Por lo dicho anteriormente en el estudio del deuterón sólo estamos interesados en el estado
más bajo de energía del sistema, que debe tener l = 0. Por lo tanto en este caso
Veff0 (r ) = Vpc (r ) . Este potencial se ilustra en la Fig.4.1.a.
12
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Fig. 4.1: (a) Potencial efectivo correspondiente a un pozo cuadrado
de profundidad V0 y ancho R. (b) Función de onda correspondiente.
De los cursos elementales de mecánica cuántica sabemos que la correspondiente función
de onda esta dada por
⎧ A sin kr
⎪⎪ r
ψ rel ( r ) = ⎨
−κ r
⎪ Be
⎪⎩
r
, 0≤r ≤ R
(4.3)
r≥R
,
donde
k=
2 μ (V0 − E )
2
κ=
y
2μ E
2
(4.4)
Esta función de onda se ilustra en la Fig.4.1.b. Para el caso del deuterón los valores de
μ ≈ M / 2 y E=Ed son conocidos por lo que también lo es el de κ. Por otro lado de las
p
condiciones de continuidad de ψ y ψ ' en r = R se obtiene que
cot k R = −
κ
k
B = A eκ R sin k R
13
(4.5)
(4.6)
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Conociendo el valor de κ, la Ec. (4.5) proporciona una relación entre R y V0. Es
decir si supiéramos el valor de R podríamos calcular el de V0 y viceversa. Para obtener una
segunda relación que nos permita determinar ambos valores en forma unívoca se puede
utilizar la condición de normalización de la función de onda
∞
R
A2 ∫ dr sin 2 k r + B 2 ∫ dr e - 2 κ r = 1
(4.7)
R
0
junto con la Ec. (4.6) y la ecuación para el radio cuadrático medio
∞
R
rd2 = r 2 = A2 ∫ dr r 2 sin 2 kr + B 2 ∫ dr r 2 e -2κ r
(4.8)
R
0
Conociendo el valor de rd, este conjunto de tres ecuaciones nos proporciona una
segunda relación entre R y V0. Junto con la Ec. (4.5) esta segunda relación da lugar a un
sistema de dos ecuaciones para las cantidades R y V0. Resolviendo este sistema
para Ed = 2.23 MeV y rd = 4.2 fm se obtiene R = 2.4 fm y V0 = 27 MeV. Este valor de
R nos proporciona una primera estimación del rango de la fuerza nuclear, es decir que es
de corto alcance. Por otra parte, vemos que en verdad V0 es mucho mayor que el potencial
coulombiano, que es del orden de menos de 1 MeV para esas distancias. Finalmente,
vemos también que V0 >> Ed por lo que el deuterón esta apenas ligado.
4.2.2 Rol del espín.
El momento angular total J del sistema de dos nucleones esta dado por la suma del
momento angular orbital L y el espín S ,
→
→
→
J =L +S
(4.9)
Si se asume que el potencial de interacción es puramente radial, siendo el único estado
ligado del deuterón el estado fundamental, éste debe tener l=0. Dado que tanto el neutrón
como el protón tienen espín ½ resulta que dicho estado puede tener, en principio, dos
valores distintos de momento angular total
→
→
→
→
J = S = s p + s n = 0, 1
(4.10)
Experimentalmente, sin embargo, se encuentra que el único estado ligado del
deuterón tiene Jd = 1. Si la única componente de la interacción nuclear es la descripta en la
subsección anterior esto resulta muy difícil de comprender. De la solución general del
problema del pozo cuadrado en mecánica cuántica se sabe que los estados con impulso
angular l > 0 y/o número cuántico radial n > 1 tienen una energía considerablemente
mayor que el estado fundamental. Dado que para el deuterón éste está apenas ligado no
resulta extraño que dichos estados no estén ligados. Sin embargo, la situación para el
estado Jd = 0 es distinta. Dicho estado tiene los mismos números cuánticos ( l , n) que el
estado fundamental. Por lo tanto, dado que no hay nada en el potencial Vpc de la Ec.(4.2)
que dependa del espín S, también debería estar ligado lo cual está en contradicción con la
evidencia experimental. Experimentos de dispersión muestran que el estado Jd = 0 no
esta ligado por sólo 60 keV. La única manera de explicar estos resultados es que, además
14
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
de la componente discutida en la subsección anterior, la interacción nuclear debe tener una
contribución que depende explícitamente del espín. Es decir, una componente que haga
que la energía de un estado sea diferente según los espines de los dos nucleones sean
paralelos o son anti-paralelos. La forma que debe tener dicha componente del potencial
nuclear es
Vss (r ) = Vˆss (r ) S ⋅ S
(4.11)
Concluimos por lo tanto que, a diferencia de las interacciones coulombiana y gravitatoria,
la interacción nuclear depende no sólo de la separación entre los nucleones sino también
de ciertos números cuánticos intrínsecos de los mismos.
4.2.2 Rol del “Principio de exclusión de Pauli”.
Nos referiremos ahora a la cuestión de porqué el sistema de dos protones (o dos
neutrones) no tiene estados ligados. En un primer momento se podría pensar que esto
implica que la interacción nuclear entre dos nucleones de un mismo tipo es diferente de la
que existe entre un protón y un neutrón. Es decir que así como acabamos de ver que la
interacción nuclear depende de los espínes de los nucleones también depende de la carga
de los mismos. Sin embargo, veremos en lo que sigue que esto no es así.
En física cuántica, toda la información acerca de un sistema está contenida en su
función de onda. Si dicho sistema está formado por partículas idénticas la función de onda
debe ser tal que las mismas sean completamente indistinguibles entre sí. Para el caso
particular de un sistema de dos partículas idénticas 1 y 2, como p. ej. dos protones, esto
implica que la distribución de probabilidad | ψ (1, 2) |2 debe ser igual a | ψ (2,1) |2 . Por lo
tanto, la función de onda del sistema debe satisfacer
ψ (1, 2) = ± ψ (2,1)
(4.12)
En esta igualdad el signo positivo corresponde a partículas de espín entero (bosones)
mientras que el negativo a partículas de espín semientero (fermiones). Ahora bien como en
el presente caso las partículas relevantes son los nucleones, que tienen espín ½, debemos
considerar el signo negativo. Es decir, que la función de onda del sistema de dos nucleones
debe ser antisimétrica ante el intercambio de los mismos. Si estos nucleones son
independientes entre sí y sólo consideramos las coordenadas espaciales, la forma explícita
de dicha función de onda debe ser entonces
1
⎡ψ γ (r1 ) ψ γ ' (r2 ) −ψ γ ' (r1 ) ψ γ (r2 ) ⎤⎦
(4.13)
2⎣
donde γ y γ’ representan conjuntos de números cuánticos, como por ejemplo γ =(n,l,m).
Es evidente que si intercambiamos r1 y r2 en la Ec.(4.13) tenemos que ψ → −ψ . Por otro
lado, si γ = γ’ entonces ψ (1, 2) = 0 . Este último resultado es lo que se conoce como
“Principio de exclusión de Pauli” que establece que no es posible poner dos fermiones en
un mismo estado.
Ahora bien, para estudiar el caso del sistema de dos nucleones debemos tener en
cuenta, además de las funciones de onda espaciales, las funciones de onda de espín.
ψ (1, 2) =
15
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Recordemos entonces cuales son dichas funciones. Dado que se trata de dos partículas de
espín ½ existen cuatro posibles estados que son
↑↑
,
↓↓
,
↑↓
,
↓↑
(4.14)
En los dos primeros casos los dos nucleones están en el mismo estado de espín ya que
ambos tienen proyección de espín +1/2 en el primer caso y -1/2 en el segundo. En el tercer
caso el nucleón 1 esta en el estado de proyección +1/2 y el nucleón 2 en el de proyección 1/2, mientras que lo opuesto ocurre en el cuarto caso. Es claro que mientras las dos
primeras funciones de onda de espín tienen un comportamiento bien definido ante el
intercambio de los nucleones 1 y 2, la tercera y cuarta no lo tienen. Sin embargo, es
posible definir combinaciones lineales de las mismas que sí lo tengan. En ese caso se
pueden clasificar los cuatro posibles estados de espín en tres simétricos dados por
1 1 = ↑↑
;
10 =
1
⎡ ↑↓ + ↓↑ ⎤ ;
⎦
2⎣
1 -1 = ↓↓
(4.15)
y uno antisimétrico
1
⎡ ↑↓ − ↓↑ ⎤
(4.16)
⎦
2⎣
En los miembros izquierdos de las definiciones que aparecen en las Ecs.(4.15) y (4.16)
hemos usado la notación S S z ya que las mismas corresponden a los distintos estados
posibles de espín total. Notar que para el caso de dos espínes ½ , las funciones de onda con
S=1 son simétricas mientras que la que tiene S=0 es antisimétrica.
Teniendo en cuenta tanto la parte espacial como de espín una posible función de
onda total para el sistema de dos nucleones es
00 =
ψ (1, 2) =
1
⎡ψ γ (r1 ) ψ γ ' (r2 ) −ψ γ ' (r1 ) ψ γ (r2 ) ⎤⎦ |1 S z >
2⎣
(4.17)
donde S z = 0, ±1 . Claramente esta función de onda total satisface el requerimiento de ser
antisimétrica ante intercambio de los dos nucleones, ya que la función de onda espacial es
antisimétrica y la de espín simétrica. Sin embargo, esta no es la única posibilidad.
También la función de onda total
ψ (1, 2) =
1
⎡ψ γ (r1 ) ψ γ ' (r2 ) + ψ γ ' (r1 ) ψ γ (r2 ) ⎤⎦ | 0 0 >
2⎣
(4.18)
satisface la condición de antisimetría, ya que este caso la función de onda espacial es
simétrica y la de espín antisimétrica. Para analizar cuales son en general las
combinaciones de números cuánticos que satisfacen las condiciones de antisimetría para el
sistema de dos nucleones conviene reescribir la función de onda espacial en términos de la
coordenada relativa y de centro de masa (CM). Es claro que la función de onda
correspondiente al CM es simétrica ante intercambio de los nucleones. Por otra parte, la
coordenada relativa r = r1 − r2 pasa de r → −r al realizar dicho intercambio, por lo que la
16
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
función de onda relativa sí puede cambiar. La manera más sencilla de ver cual es ese
cambio es escribir dicha función en la base esférica
rel
ψ nlm
(r ) = f nl ( r ) Ylm (θ , φ )
(4.19)
donde f nl ( r ) es la función de onda radial y Ylm (θ , φ ) es un armónicos esférico. Ahora
bien, es fácil ver que el intercambio r → −r implica θ → π − θ . Por lo tanto, utilizando
las propiedades de los armónicos esféricos, resulta que Ylm (θ , φ ) → (−1)l Ylm (θ , φ ) . En
resumen, para funciones de onda espaciales de dos nucleones con momento angular bien
definido el intercambio de los mismos produce una fase (−1)l . Por lo tanto, estados con l
par son simétricos mientras que estados con l impar son antisimétricos. Combinando estos
resultados con lo que se ha visto anteriormente acerca de las funciones de onda de espín,
vemos que para nucleones idénticos ocurre que
l par, S = 0 ⎫
l impar, S = 0 ⎫
⎬ prohibidos
⎬ permitidos ,
l impar, S = 1⎭
l par, S = 1 ⎭
(4.20)
Es importante recalcar que estas restricciones se aplican sólo para un sistema de dos
nucleones idénticos (pp ó nn). Para el sistema pn todas las combinaciones están
permitidas. Ahora bien, ocurre justamente que el estado fundamental del deuterón (sistema
pn) tiene l = 0 y S = 1 por lo que dicho estado esta prohibido para los sistemas pp y nn.
Recién el primer estado excitado del deuterón, que según hemos visto en la subsección
anterior tiene números cuánticos l = 0 y S = 0, está permitido para el di-neutrón o el diprotón. Sin embargo, el mismo no es un estado ligado. Por lo tanto, el hecho de que no
haya estados ligados pp o nn no significa que la interacción nuclear depende de que las
partículas sean protones o neutrones, sino que es una consecuencia de la interacción espínespín y el principio de exclusión de Pauli.
Una manera más formal y elegante de formular estas cuestiones es introducir el
concepto de isospin T . Esto se basa en el hecho de que, exceptuando la carga, las
propiedades del protón y del neutrón, p.ej. la masa, espín, etc, son prácticamente iguales.
Por lo tanto es posible pensar que estas dos partículas son en realidad dos estados posibles
de una misma partícula denominada nucleón. En analogía con el concepto de espín, se
introduce el concepto de isospín, correspondiendo al nucleón el valor de isospin ½. Así, el
protón corresponde al estado de proyección de isospín ½ y el neutrón al de proyección – ½
lo que se representa como
⎛ p⎞
N =⎜ ⎟
⎝n⎠
(4.21)
Por lo tanto para el sistema de dos nucleones el análogo de isospín de los estados
simétricos que aparecen en la Ec.(4.15) es
1 1 = pp
;
10 =
1
⎡⎣ pn + np ⎤⎦ ;
2
mientras que el antisimétrico análogo de la Ec.(4.16) es
17
1 -1 = nn
(4.22)
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
00 =
1
⎡⎣ pn − np ⎤⎦
2
(4.23)
Es claro que en las Ecs.(4.22) y (4.23) la notación para los miembros izquierdos de las
igualdades corresponde ahora a | T Tz > . Vemos que, en forma análoga a lo que ocurre con
los espines, para el caso de dos isoespines ½ , las funciones de onda con T=1 son
simétricas mientras que la que tiene T=0 es antisimétrica. Por lo tanto, si tratamos los
protones y neutrones como partículas idénticas, y agregamos en consecuencia a la función
de onda total una componente de isospín, es fácil ver que sólo las siguientes
combinaciones de números cuánticos del sistema de dos nucleones están permitidas por el
“Principio de exclusión de Pauli”
l par, S = 1, T = 0
l par, S = 0, T = 1
l impar, S = 0, T = 0
(4.24)
l impar, S = 1, T = 1
Dado que según hemos visto el estado fundamental corresponde a l=0, S=1 resulta que el
estado de isospín debe ser T=0, estado que sólo contiene la combinación antisimétrica de
protón-neutrón. Recién el estado no ligado l=0, S=0 admite T=1 y por lo tanto estados pp
o nn.
4.2.3 Momento dipolar magnético y cuadrupolar eléctrico del deuterón.
Interacción tensorial.
Como hemos visto, para un sistema de dos nucleones el momento angular total está
dado por la suma del momento angular orbital y el de espín. Lo mismo sucede con el
momento dipolar magnético. Por lo tanto, en general tenemos
→
→
→
μ = μ orbital + μ espin
(4.25)
Hasta aquí hemos supuesto que el estado fundamental del deuterón es un estado puro con l
= 0. Por lo tanto el momento dipolar magnético orbital se anula para dicho estado. En
consecuencia,
→
→
→
→
μ d = μ espin = μ p + μ n
(4.26)
Dado que además dicho estado tiene S=1, o sea que los espines están alineados, se obtiene
que
μ d = μ n + μ p = 0.8797 μ N
(4.27)
Sin embargo, experimentalmente se encuentra μ dexp = 0.8574 μ N . Aunque la
diferencia con el valor de la Ec.(4.27) no es grande, no es posible explicar dicha
discrepancia si se insiste en que la función de onda espacial del deuterón sólo tiene
18
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
componentes con l=0. Esto implica que debe existir una (pequeña) contribución a la
función de onda con momento angular orbital distinto de cero.
Otra fuerte evidencia de que deben existir componentes con l > 0 se obtiene de
analizar el momento eléctrico cuadrupolar del deuterón. Si el deuterón está en un estado
con l = 0, su función de onda espacial no tiene dependencia angular y por lo tanto sólo es
función de r. Por lo tanto, posee simetría esférica lo cual implica momento cuadrupolar
eléctrico nulo (ver Eq.(3.5)). Sin embargo, experimentalmente se encuentra que el
momento cuadrupolar del deuterón Qd es
Qdexp = 0.0028 e fm 2
(4.28)
Aunque como veremos en el Cap.5 este valor es pequeño comparado con el de otros
núcleos, es distinto de cero. Esto indica que el deuterón no es un estado simple de l = 0.
Tampoco es posible pensar tiene algún l bien definido pero distinto de cero ya que en
dicho caso el valor de Qd debería ser mucho mayor que el que se encuentra
experimentalmente. La única posibilidad que resta es que la función de onda del deuterón
sea una combinación lineal de componentes con distintos valores de l. Ahora bien, como
el momento angular total es Id = 1 y S sólo toma los valores S = 0,1 es claro que para que
se cumpla la Ec.(4.9) el momento angular orbital l sólo puede tomar los valores 0, 1 o 2.
Dado que el deuterón tiene paridad positiva el valor l=1 no está permitido, por lo que sólo
los valores l=0,2 son admisibles. En consecuencia, la función de onda espacial relativa del
deuterón debe ser de la forma
ψ rel ( r ) = a0 ψ 1s ( r ) + a2 ψ 1d ( r )
(4.29)
Ajustando los valores de las constantes a0 y a2 de manera de reproducir los valores
experimentales de μd y Qd se encuentra que
a0 = 0.96 ,
a2 = 0.04 ,
2
2
(4.30)
es decir que el 4% del tiempo el deuterón se encuentra en el estado con l = 2 y el otro 96%
se encuentra en el estado de l = 0. En ambos casos el valor del espín es S = 1.
Discutiremos ahora las implicancias de este resultado en lo que respecta a la
interacción nuclear. Está claro que el hecho de que la función de onda no tenga l bien
definido implica que el momento angular L no es una cantidad conservada (notar que
J = L + S sí lo es). Ahora bien, ésto sólo puede ocurrir si sobre el sistema actúa un torque
τ dado por τ = − r × ∇V ( r ) . Es evidente que para que el torque no sea nulo el potencial
V ( r ) no puede ser sólo función r, sino que también debe depender al menos de una de las
coordenadas esféricas θ y ϕ . Un potencial que depende sólo de la coordenada r es
llamado potencial central, mientras que uno que depende de, al menos, una de las
coordenadas angulares se lo denomina potencial tensorial. En el caso particular del
sistema de dos nucleones, la única dirección espacial privilegiada es la dirección del espín
S . Eligiendo un sistema de coordenadas tal que el eje z esté en la dirección de S el único
ángulo relevante del cual puede depender el potencial tensorial es el ángulo azimutal θ .
Alternativamente el potencial tensorial puede expresarse como función del producto
19
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
escalar S i r , ya que S i r = r | S | cos θ . La forma de la componente tensorial del potencial
nuclear que da lugar a una función orbital del tipo de la Ec. (4.29) es
⎛ S ir S ir
⎞
VT (r ) = VˆT (r ) S12 ; donde S12 = 2 ⎜ 3
− S iS ⎟
2
r
⎝
⎠
(4.31)
Por conveniencia se ha incluido en S12 un término proporcional a S2, o sea independiente
de la dirección del espín. Este término hace que para un estado esféricamente simétrico el
valor medio de VT (r ) sea nulo. Es evidente que para S = 0 la interacción tensorial es nula
ya que en este caso no hay dirección preferencial en el espacio. Para un valor de r dado la
interacción tensorial hace que la autoenergía correspondiente a la configuración de la Fig.
4.2.a sea diferente de la de la Fig. 4.2.b. Para el caso del deuterón se encuentra que en el
primer caso la interacción tensorial es repulsiva mientras que en el segundo atractiva.
Fig. 4.2: Posibles configuraciones de un sistema de dos espines ½ . En el caso
nuclear la configuración (a) es repulsiva mientras que la (b) es atractiva.
4.3 Características generales de la interacción nuclear.
En la sección anterior hemos encontrado la forma que debe tener el potencial
nuclear para poder explicar ciertas propiedades del sistema ligado de dos nucleones. Para
obtener más información acerca de dicho potencial es necesario estudiar la dispersión
nucleón-nucleón. Estos estudios permiten determinar con mayor precisión las
características de los potenciales central, espín-espín y tensorial, así como saber si es
necesario incluir nuevas componentes en el potencial para poder también describir
correctamente el resto de los estados del sistema. Sin embargo, dado lo complejo que
resulta interpretar en términos del potencial nuclear el resultado de los experimentos de
dispersión nucleón-nucleón, conviene determinar primero algunos requerimientos
generales que debe satisfacer dicho potencial.
4.3.1 Algunos requerimientos que debe satisfacer la interacción nuclear.
Lo primero a determinar es de que propiedades o variables del sistema de dos
nucleones puede depender la interacción. Aunque la mayoría de estas cantidades ya han
sido introducidas en la sección anterior conviene listarlas nuevamente aquí. Ellas son
20
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
r = r1 − r2 , el vector que indica la posición del nucleón 1 respecto del 2; el momento lineal
relativo p = p1 − p2 y el espín total S = s1 + s2 . Si bien estas tres cantidades ya forman un
conjunto completo de variables del sistema, para facilitar el análisis es de utilidad agregar
el momento orbital L = r × p . Podemos ahora enunciar los requerimientos generales en
cuestión:
1. El potencial debe ser un escalar. Por ejemplo, contribuciones proporcionales al
operador L ⋅ S están permitidas mientras que las proporcionales a L × S están
prohibidas.
2. Como dos protones (o dos neutrones) son indistinguibles entre sí el potencial debe
ser invariante ante el intercambio de la partícula 1 con la 2. En principio este
requerimiento no es aplicable al caso del sistema protón-neutrón, sin embargo es
de suponer que también valga para este caso. Al intercambiar 1 → 2 las variables
r y p cambian de signo mientras que L y S no lo hacen. Por lo tanto, para ser
invariante ante el intercambio 1 → 2 el potencial no puede contener contribuciones
proporcionales a los operadores r ⋅ S o p ⋅ S . Por otro lado, otros tales como el
operador ( r ⋅ S ) 2 que aparece en la contribución tensorial sí están permitidos. Es
interesante notar que los operadores de la forma (r ⋅ S ) 2 n con n entero n ≥ 2 , si bien
están permitidos, no son relevantes para la interacción nuclear dado que es posible
mostrar que ya son tenidos en cuenta por los potenciales central y tensorial.
3. Debe ser invariante ante una inversión temporal, es decir cambio de t → −t . La
existencia de esta invariancia ha sido verificada experimentalmente en todos los
procesos conocidos en los cuales interviene la interacción fuerte. Es fácil ver que
ante la operación de inversión temporal r no cambia de signo mientras que p , L
y S si lo hacen. Como consecuencia de este requerimiento el potencial nuclear no
puede tener contribuciones proporcionales a, por ejemplo, operadores de la forma
r⋅p.
Teniendo en cuenta estos requerimientos podemos discutir ahora qué forma general
puede tener el potencial nuclear. Conviene en este punto distinguir entre las interacciones
independientes de la velocidad, o sea las llamadas interacciones estáticas y las que no son.
4.3.2 Interacciones estáticas.
En este tipo de interacciones no puede haber términos que dependan de los
operadores p o L . Por lo tanto si se tienen en cuenta los requerimientos enunciados
arriba sólo podemos tener contribuciones proporcionales a los operadores r 2 , S 2 y
( r ⋅ S ) o productos y/o potencias de los mismos. Es posible mostrar que otro tipo de
operadores permitidos, como por ejemplo ( r × S ) , se reducen a combinaciones de ellos.
2
2
Ahora bien, el operador r 2 , junto con potencias del mismo, da lugar al potencial central.
21
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
El operador S 2 junto con su producto con potencias del operador r 2 corresponde a la
contribución espín-espín Vss (r ) . Es importante notar que dado que el espín total sólo
puede tomar los valores S =0,1 las potencias del operador S 2 no dan lugar a
contribuciones independientes de la que corresponde a Vss (r ) . Por otro lado, el operador
(r ⋅ S )
2
junto con su producto con potencias del operador r 2 corresponde a la
contribución tensorial VT (r ) . Como se ha mencionado al enunciar el requerimiento de
(
invariancia ante el intercambio de nucleones, las potencias de r ⋅ S
)
2
ya son tomadas en
cuenta por combinaciones de las contribuciones central y tensorial. Finalmente, hay que
(
notar que productos de la forma S 2 r ⋅ S
)
2
son irrelevantes ya que también se reducen a
operadores ya incluidos. Por lo tanto, vemos que la forma más general del potencial
estático consiste en una combinación lineal arbitraria de las contribuciones central, espínespín y tensorial. Dicha combinación puede depender, sin embargo, de una propiedad
adicional del estado del sistema nucleón-nucleón que es la paridad de la función de onda
relativa. La razón de la existencia de esta dependencia va a ser discutida en la sección
l
siguiente. Dado que la paridad de la función de onda relativa es P = ( −1) tenemos
distintas interacciones según l sea par o impar. Por lo tanto la forma general de la
interacción nuclear estática es
⎧⎪ Vc p (r ) + Vssp (r ) S ⋅ S + VTp (r ) S12 ; l par
V (r ) = ⎨ i
i
i
⎪⎩ Vc (r ) + Vss (r ) S ⋅ S + VT (r ) S12 ; l impar
(4.32)
expresión que contiene seis funciones radiales arbitrarias. Es claro, que el estado ligado
correspondiente al deuterón sólo da información acerca de las funciones radiales que
aparecen en el caso l par.
4.3.3 Interacciones dependientes de la velocidad.
Uno podría esperar que al igual que la interacción gravitatoria la interacción
nuclear resultara independiente de la velocidad. Sin embargo, esto no es así. Como en el
caso del electromagnetismo, donde p.ej. la fuerza de Lorentz que actúa sobre una partícula
sometida a un campo magnético depende del momento de la misma, la interacción fuerte
depende del momento relativo de las partículas interactuantes. En general dicha
dependencia puede ser muy compleja. Sin embargo, es de esperar que para describir la
estructura nuclear sea suficiente con incluir sólo los términos de orden más bajo en p , ya
que en este contexto los momentos de interés son relativamente bajos no superando los
pocos cientos de MeV. En función de la discusión general realizada más arriba estos
operadores están formados por los productos de p o L con r o S . Uno de dichos
productos es el llamado “operador de espín-orbita” L ⋅ S . Según veremos en la Sec.4.5
existe buena evidencia experimental de la existencia de un término proporcional a este
operador en el potencial nuclear. En general, es posible formar otros productos lineales en
p . Sin embargo, dichos productos violan alguno de los requerimientos enunciados en la
subsección 4.3.1, o son equivalentes al operador de espín-orbita. Desgraciadamente para
describir adecuadamente los datos de dispersión nucleón-nucleón existentes no basta con
22
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
incluir sólo la dependencia en la velocidad dada por el operador L ⋅ S sino que es
necesario recurrir, al menos, a operadores de orden cuadrático en p . Algunos de los
(
operadores permitidos de este tipo son p 2 , L2 , L ⋅ S
)
2
, etc. Como el número de estos
operadores es muy grande, lo que se hace en general es considerar sólo aquellos más
simples que den lugar a un ajuste razonable de los datos.
4.4 Teoría mesónica de la interacción nuclear.
Como hemos visto en la sección anterior el número de contribuciones distintas al
potencial nuclear es grande. Teniendo en cuenta que cada una de ellas contiene una
función radial arbitraria, es evidente que el determinar dichas funciones sólo a partir de la
información experimental disponible y sin usar algún modelo teórico, constituye un
problema prácticamente imposible de resolver. Por lo tanto, para avanzar en el análisis de
la interacción nuclear es necesario recurrir a alguna teoría sobre la naturaleza de la misma.
En esta sección describiremos brevemente la teoría mesónica de la fuerza nuclear. Si bien
hoy día se sabe que dicha teoría no es la teoría fundamental de las interacciones fuertes, la
teoría mesónica es de suma utilidad para entender la fuerza nuclear a la escala de energías
relevante para la Física Nuclear.
En la actualidad las fuerzas fundamentales de la Naturaleza se describen en
términos de teorías cuánticas de campos (QFT). Dichas teorías involucran conceptos
físicos y matemáticos sumamente elaborados que escapan al alcance del presente texto.
Sin embargo, trataremos en lo que resta de esta sección de describir de manera elemental
algunas de las ideas básicas en que se basan las QFT, y su relación con la teoría mesónica
de las fuerzas nucleares.
En las QFT la interacción se realiza mediante el intercambio de “partículas de
campo” entre las partículas interactúantes. Estas partículas de campo tienen carácter
bosónico. El ejemplo paradigmático de una de estas teorías es la teoría cuántica del
electromagnetismo (QED). En QED “la partícula de campo” recibe el nombre de fotón.
Los fotones tienen masa nula y, por lo tanto, viajan a la velocidad de la luz. En 1935,
Yukawa sugirió que la interacción nuclear tal vez también pudiera derivarse de una QFT .
Propuso que la correspondiente “partícula de campo” debía tener masa no nula dándole el
nombre de mesón π (pión). Según Yukawa el potencial de interacción estático, es decir en
el límite cuando el momento lineal de las partículas interactúantes es muy pequeño, es de
la forma
V (r ) = −
g 2 e− μ r
4π r
(4.33)
donde μ es proporcional a la masa del pión y g es la constante de acoplamiento, cuyo
equivalente en QED es la carga eléctrica. Este potencial difiere del electroestático por la
presencia del factor exponencial.
Una manera esquemática de justificar la dependencia radial indicada en la
Ec.(4.33) para el potencial nuclear originado por el intercambio de un pión es la siguiente.
Las teorías cuánticas de campos se comenzaron a desarrollar a partir de los años 1930’s y
se basan en la unión de la teoría de la relatividad especial y la mecánica cuántica. Según
la primera de estas teorías la relación entre la energía de una partícula libre de masa m y
el correspondiente momento lineal es
23
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
(4.34)
E 2 = p 2c 2 + m2c 4
donde c es la velocidad de la luz. Por otro lado, según la mecánica cuántica una manera
simple de obtener la ecuación que debe satisfacer la función de onda de una partícula es
hacer los reemplazos
p → −i ∇ ; E → i
∂
∂t
(4.35)
Consideremos ahora el caso de una partícula sin masa, tal como es el caso de un fotón.
Utilizando Ecs. (4.34) y (4.35) obtenemos que la correspondiente ecuación para la función
de onda del fotón φ ( r , t ) (que en este contexto se suele llamar “campo del fotón”) es
∇ 2φ −
1 ∂ 2φ
=0
c 2 ∂t 2
(4.36)
Esta es precisamente la ecuación de Maxwell para el potencial eléctrico en el vacío, es
decir en ausencia de densidad de cargas eléctricas ρ ( r , t ) . Es sabido que en caso de existir
dichas cargas la Ec.(4.36) debe modificarse efectuando el reemplazo 0 → − 4π ρ (r , t ) en el
lado derecho de la igualdad. En el caso en que la densidad de carga corresponde a una
carga estática y puntual de valor e ubicada en el origen, la ecuación para el campo φ se
reduce a la ecuación de Gauss
∇ 2φ ( r ) = −
e
ε0
δ (r )
(4.37)
cuya solución es
φ (r ) =
e 1
4πε 0 r
(4.38)
Por lo tanto el potencial electrostático tiene la bien conocida forma
e2 1
V (r ) = e φ (r ) =
4πε 0 r
(4.39)
Supongamos ahora que la partícula de campo tenga masa m . A partir de las Ecs. (4.34) y
(4.35) es fácil ver que la ecuación equivalente a Ec.(4.36) es
1 ∂ 2φ
∇ φ − 2 2 − μ2 φ = 0
c ∂t
2
(4.40)
donde μ = m c / . Por lo tanto, en presencia de una carga “fuerte” g puntual y estática la
ecuación para el campo φ es
∇ 2φ (r ) − μ 2φ (r ) = g δ (r )
24
(4.41)
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
No es difícil verificar que la solución de esta ecuación es
φ (r ) = −
g e− μ r
4π r
(4.42)
Lo que lleva a que el potencial “fuerte” V ( r ) = g φ ( r ) sea de la forma que aparece
en la Ec.(4.33). Dicho potencial es conocido como el potencial Yukawa. Como ya ha sido
mencionado este difiere del potencial electrostático Ec.(4.39) por la presencia del término
exponencial. Es justamente este factor exponencial el que hace que la interacción nuclear
sea de corto alcance. En otras palabras, en el marco de las teorías mesónicas el potencial
nuclear es de corto alcance debido al que la correspondiente partícula de campo (también
llamada “mediadora”) tiene masa no nula. Una estimación del valor de la masa del pión
surge de determinar el μ para el cual el numerador en Ec.(4.33) para r = R es
aproximadamente un 37 % del valor correspondiente a r = 0 . Aquí R es el rango de la
interacción nuclear. Utilizando R = 2 fm resulta mπ ≈ 100 MeV / c 2 lo cual está en
razonable acuerdo con el valor experimental mπ
exp
= 139 MeV / c 2 . El pión tiene espín
cero y existe en tres estados de carga eléctrica: positiva, negativa y cero, es decir que su
isospín es Tπ = 1 .
De un cálculo más detallado basado en la teoría mesónica surge que el potencial
nuclear debido al intercambio de un pión, llamado usualmente OPEP (“one-pion exchange
potencial”), es
VOPEP (r ) =
g 2 mπ3 c 2 ⎛ → → 3 ⎞
⎜T ⋅T − ⎟
6 M p2 ⎝
2⎠
⎧⎪⎛ → → ⎞
⎡
3
3 ⎤ ⎫⎪ e- μ r
2
3
1
S
S
S
⋅
−
+
+
+
⎢
⎨⎜
⎟ 12
2 ⎥⎬
μ
r
⎝
⎠
μ
r
(
)
⎢
⎥⎦ ⎭⎪ μ r
⎣
⎩⎪
(4.43)
donde S12 ha sido definido en la Ec.(4.31). Utilizando las relaciones que impone el
“Principio de exclusión de Pauli” al isospín total de los nucleones interactúantes T en
términos del espín y momento angular relativo de los mismos, Ec.(4.24), es fácil ver que el
OPEP da lugar a una forma definida de las funciones Vc p ,i , Vssp ,i y VTp ,i que aparecen en
Ec.(4.32).
En cuanto al valor de constante de acoplamiento g , a partir de resultados
experimentales se encuentra que
encuentra para su análogo
e2
g2
4π c
4πε 0 c exp
exp
≈ 0.3 . Este valor es mucho mayor que el que se
= 1/137 . Vemos entonces que, tal como ya se ha
mencionado en este al igual que en capítulos anteriores, la interacción nuclear es en verdad
mucho más fuerte que la electromagnética.
Cabe recalcar que la descripción del potencial nuclear en términos del OPEP tiene
validez hasta una escala de momentos de no más de unos 50 a 100 MeV/c. A partir de allí
se debe incluir el intercambio de mesones más masivos para obtener un potencial nuclear
que describa razonablemente bien los resultados de los experimentos de dispersión que se
describirán en la próxima sección. Típicamente los mesones que se incluyen, además del
pión, son el mesón η cuya masa, espín e isospín son mη = 549 MeV / c 2 , Sη = 0 y Tη = 0
ρ y ω cuyas masas y números cuánticos son
mρ = 769 MeV / c , S ρ = 1, Tρ = 1 y mω = 769 MeV / c 2 , Sω = 1, Tω = 0 . Finalmente para
y
los
mesones
2
25
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
momentos que van más allá de algo menos de 1 GeV/c, la descripción de las interacciones
fuertes en términos de intercambio de mesones comienza a carecer de sentido ya para esos
momentos transferidos la estructura interna de los nucleones interactúantes comienza a
hacerse evidente. De allí en más es necesario recurrir a una teoría que describa las
interacciones entre quarks. En la actualidad existe una gran cantidad de evidencia
experimental que indica que dicha teoría es una teoría cuántica de campos llamada
“Quantum Cromo Dynamics” (QCD). El estudio de QCD excede, sin embargo, el marco
del presente texto.
4.5 Dispersión nucleón-nucleón y potenciales que la ajustan.
Tal como se ha mencionado en la Sec. 4.1 existen fundamentalmente dos fuentes
de información acerca del potencial nuclear: las propiedades del deuterón y los resultados
de los experimentos de dispersión nucleón-nucleón. Como se ha descrito en la Sec. 4.2 a
partir de las propiedades del deuterón hemos podido conocer varias de sus características
fundamentales, como por ejemplo su rango y magnitud, su dependencia del espín y la
existencia de contribuciones no centrales. Sin embargo, es a través de los experimentos de
dispersión nucleón-nucleón que es posible obtener un conocimiento detallado de la
interacción nuclear.
Un experimento de dispersión simple nucleón-nucleón consiste básicamente en
hacer incidir un haz de neutrones o protones sobre un blanco de hidrógeno y detectar los
nucleones salientes para distintos ángulos de deflexión. En la práctica un blanco de
hidrógeno equivale a un blanco de protones, ya que los electrones del hidrógeno al tener
una masa mucho menor no pueden deflectar al nucleón incidente. Esto da lugar a dos tipos
de experimentos posibles: dispersión np y dispersión pp. La dispersión nn no es
experimentalmente factible, ya que resulta difícil obtener blancos suficientemente
concentrados de neutrones. En el caso de la dispersión pp, dado que se trata de estados
T = 1, solamente tres combinaciones independientes ( Vc p , Vci + 2 Vsis y VTi ) de los seis
potenciales que aparecen en Ec.(4.32) son activas. Sin embargo, mediante la dispersión np
se puede obtener información adicional, ya que por tratarse de estados con componentes T
= 0 y T = 1, los seis potenciales son efectivos. Debe recordarse además que en el caso de
la dispersión pp debe incluirse el efecto del potencial coulombiano, dado que se trata de
partículas cargadas.
En la Fig.4.3 se muestran resultados típicos de simple dispersión nucleón-nucleón.
El análisis de estos resultados se realiza utilizando la teoría cuántica de dispersión. Los
detalles de dicha teoría están más allá del nivel del presente texto. Podemos decir sin
embargo que lo que se hace es, partiendo de un potencial nuclear dado, encontrar la
función de onda del estado de dispersión y luego, utilizando dicha función de onda,
determinar la sección eficaz en función del ángulo de dispersión. Esta sección eficaz
calculada se compara con la que se encuentra experimentalmente. De no haber buen
acuerdo entre ambas se modifica el potencial y se repite el proceso hasta obtenerlo. La
ventaja de tener una cierta teoría, como por ejemplo la teoría mesónica, para el potencial
nuclear es que en ese caso el número de parámetros a variar para obtener un buen acuerdo
con los datos experimentales es relativamente pequeño y, por lo tanto, el procedimiento
recién descrito es factible de ser realizado.
26
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Fig. 4.3: (a) Distribución angular de las secciones eficaces de dispersión pp para
varias energías incidentes (en Mev). (b) Distribuciones angulares para np.
Aparte de los de dispersión simple existen también otro tipo de experimentos de
dispersión, tales como los de doble dispersión, los experimentos con haces o blancos
polarizados, etc. Dichos experimentos permiten determinar más componentes del potencial
nuclear en forma independiente.
Discutiremos ahora los resultados que se obtienen del análisis de los distintos tipos
de experimentos de dispersión recién mencionados. Primeramente hay que aclarar que
estos resultados no definen completamente la interacción nuclear sino una aproximación a
la misma. Ellos explican la información que se obtiene a partir de las propiedades del
deuterón más la correspondiente a los experimentos de dispersión hasta energías de
alrededor de 350 MeV. Esta limitación viene del hecho de que a energías más altas
comienzan a ser importantes efectos que no son tenidos por las teorías utilizadas en los
análisis. De todos modos aún limitándose a ese rango de energías hace falta incluir
términos que dependen lineal y cuadráticamente del momento. Por lo tanto, en general, se
tienen numerosas funciones radiales a determinar. Cómo no existe suficiente información
experimental para determinar dichas funciones sin ningún preconcepto teórico, se utiliza la
teoría mesónica descripta en la sección anterior. Esto se puede hacer de dos maneras
distintas. La primera consiste en suponer que cada función radial tiene la forma
f (r ) =
∑ (−1)ki
i =1, N
gi2 e− μi r
4π r
(4.44)
y determinar el valor de los parámetros que mejor ajusten los datos para un cierto valor
fijo de N. Un segundo método, en principio más formal y ambicioso, consiste en utilizar
sólo los términos que provienen del intercambio de un mesón conocido y del cual existe
evidencia experimental, tal como por ejemplo los ya citados mesones π , η , ρ y ω . Esto es
lo que se conoce como “potencial de intercambio de un bosón” (one boson exchange
potencial, OBEP) y que ignora el intercambio múltiple de mesones. Lamentablemente
27
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
para obtener un ajuste razonable de los resultados experimentales es necesario incluir
mesones tales como el mesón σ cuya existencia es controversial. En consecuencia, esta
aproximación no resulta ser mucho más fundamental que la primera. Otra limitación que
aparece al tratar de determinar la dependencia radial de los potenciales surge del hecho
que la longitud de onda de de Broglie de un nucleón a 350 MeV es aproximadamente 1.4
fm. Por lo tanto no es posible determinar con mucha precisión el potencial a distancias
menores debido a efectos de difracción. Con todas las limitaciones mencionadas es posible
determinar la forma del potencial nuclear que da lugar a un buen ajuste a los datos
obtenidos mediante los experimentos de dispersión. En verdad, existen diversos análisis
que llevan a potenciales que proveen ajustes de calidad equivalente. Algunos de ellos son:
el “potencial de Hamada-Johnston”, el “potencial de París”, el “potencial de Bonn”, el
“potencial de Nijmegen”, etc. La característica más importante que todos estos análisis
tienen en común es la existencia de un carozo repulsivo para distancias menores de
rc = 0.5 fm , lo cual implica que dos nucleones no pueden acercarse a una distancia menor
que rc . Como ejemplo de estos potenciales tomaremos aquí el potencial de HamadaJohnston que aparece en la Fig.4.4. Este potencial tiene en total 14 componentes: las 6
componentes estáticas ya mencionadas, dos componentes proporcionales al operador L i S
(una para l par y la otra para l impar), y cuatro proporcionales a L2 (dos para l par según S
sea cero o uno, y sus análogas para l par). Dado que todas las componentes centrales
tienen un carozo duro y que alguna de ellas siempre se aplica, el potencial total también lo
tiene.
4.6 Interacciones de muchos cuerpos
Hasta aquí hemos supuesto que las interacciones nucleares sólo son de dos cuerpos. En
general esta suposición no es completamente válida. En otras palabras, en caso de haber
tres o más nucleones presentes, estos no necesariamente interactúan de a pares. Por
ejemplo, dentro del modelo mesónico de las interacciones nucleares uno de los nucleones
puede emitir simultáneamente dos mesones, alcanzando luego cada uno de ellos un
nucleón diferente. Dentro de este esquema, dado que la energía necesaria para crear un par
de mesones es mayor que la que se necesita para crear sólo uno, el rango de la interacción
de tres cuerpos es menor que el correspondiente a la de dos cuerpos. Dado que los
nucleones dentro del núcleo están en promedio bastante separados, la interacción de más
de dos cuerpos es menos efectiva. En general se estima que las interacciones de tres
cuerpos tienen una magnitud del orden del 15 % al 20 % de la de dos cuerpos.
28
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Fig. 4.4: Distintas componentes del potencial de Hamada-Johnston. La contribución
L-S debe ser multiplicada por CLS mientras que la L-L por CLL. Estos coeficientes
están definidos por
|L+S |
L+1
L-1
L(S=1)
L(S=0)
CLS
l
-(l+1)
-1
29
CLL
l
-(l+1)
2 l2+ 2 l - 1
-2 l ( l + 1 )
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
5. MODELOS NUCLEARES
5.1 Introducción
En los capítulos anteriores se ha descrito en cierto detalle las propiedades de las
partículas que forman el núcleo y las interacciones entre ellas. Desafortunadamente dicho
conocimiento no alcanza para determinar directamente el comportamiento de un sistema
nuclear de muchos cuerpos. Esto se debe a la gran complejidad matemática del problema.
Por supuesto este tipo de inconveniente no es exclusivo del problema nuclear. Algo
similar ocurre al considerar una gota líquida, un volumen de gas, el sistema planetario, un
átomo pesado, etc. Sin embargo, en casos tales como los dos primeros el número de
partículas es tan grande que uno puede aplicar métodos estadísticos. En otros, como por
ejemplo en los dos últimos, existe un centro de fuerzas de manera que la interacción de las
partículas con dicho centro es mucho más fuerte que las fuerzas entre ellas y, por lo tanto,
estas últimas pueden entonces ser tratadas como una perturbación de la fuerza de
interacción con el centro. En el caso nuclear (y esto es lo que hace el problema
particularmente difícil) hay muy pocas partículas como para tratar al sistema en forma
estadística y no existe un centro de fuerzas que permita tratar la interacción entre las
partículas como una perturbación.
Si bien en los últimos 50 años ha habido grandes progresos en el desarrollo de
métodos matemáticos para tratar el problema nuclear desde un punto de vista de “primeros
principios”, ha sido principalmente a través de la propuesta de distintos modelos que se
llegó a comprender buena parte de la física nuclear. La idea de un modelo es buscar una
situación física que sea conocida y cuyas propiedades se asemejen a las del sistema de
interés (un núcleo en nuestro caso). Entonces se estudia el modelo en detalle esperando
que las nuevas propiedades que se puedan descubrir también sean propiedades del sistema.
Este proceso de extrapolación tiene, por supuesto, que fallar en algún punto, pero es
sorprendente hasta cuan lejos se puede llegar mediante él. Es importante destacar que aún
cuando el modelo comience a fallar, el entender porqué esto sucede puede ser de gran
interés permitiendo la modificación y mejora del modelo. Por supuesto, ningún modelo
puede explicar todas las características conocidas de los núcleos y por lo tanto es necesario
recurrir a distintos tipos de modelos según lo que nos interese describir.
Los modelos desarrollados a lo largo del tiempo cubren una gran gama de
posibilidades: desde modelos donde los nucleones interactúan débilmente (modelos de
partícula independiente), hasta modelos con nucleones fuertemente correlacionados
(modelos colectivos). Claramente, la situación real está en algún punto intermedio entre
estas aproximaciones extremas y contradictorias entre sí. Modelos que intentan conciliar
ambas situaciones extremas han sido desarrollados (modelos unificados).
Los modelos de partícula independiente que trataremos en este capítulo son el
modelo de gas de Fermi y el modelo de capas. Entre los modelos colectivos describiremos
el modelo de la gota líquida y el modelo rotacional-vibracional. Al final del capítulo
daremos una breve descripción del así llamado modelo unificado.
5.2 Modelo del gas de Fermi
Tal vez uno de los primeros modelos nucleares fue el propuesto por H. Bethe en
1935. En este modelo se considera que si se desprecian las fuerzas entre pares de
30
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
nucleones y se toma en cuenta una fuerza promedio sobre cada nucleón representada por
el hecho de que todos estos están contenidos en una esfera de volumen Ω y radio R = r0
A1/3, entonces el núcleo puede tratarse como un gas cuántico.
Hay que notar que un gas cuántico de fermiones tiene propiedades muy distintas a
las de un gas clásico. En un gas clásico real las interacciones entre partículas crecen en
importancia a medida que se baja la temperatura a presión constante. Por lo tanto el
comportamiento del sistema se aparta cada vez más del comportamiento de un gas ideal.
En el caso del gas de Fermi, en cambio, todos los niveles más bajos están ocupados. De
esta manera, la transferencia de energía y momento entre partículas, que son una
consecuencia normal de las fuertes fuerzas de interacción existentes entre partículas, están
prohibidas por el principio de exclusión de Pauli. Consecuentemente, a bajas temperaturas
el sistema tiende a comportarse como un gas cuántico ideal. Este hecho da una
justificación para despreciar la interacción entre partículas en este tipo de modelo.
Para calcular la distribución de partículas vamos a suponer que las mismas se
encuentran encerradas en un cubo de lado a, y por lo tanto, de volumen Ω = a3. Las
soluciones de la ecuación de Schroedinger correspondiente son
ψ ( x, y,z ) = N sin ( k x x ) sin ( k y y ) sin ( k z y )
(5.1)
donde N es una constante de normalización y
k x a = mx π ; k y a = m y π ; k z a = mz π
(5.2)
con mx, my, mz enteros positivos. Cada conjunto de enteros define una energía
Emx my mz =
2 2
k
⎡⎣ k x2 + k y2 + k z2 ⎤⎦ =
2M
2M
2
(5.3)
Si representamos cada conjunto de enteros como un punto en un espacio
tridimensional, para un dado k, estos puntos se ubican dentro de un octante de esfera de
radio m = ka/π. Si k es suficientemente grande el total de puntos puede aproximarse muy
bien por el volumen de dicho octante. Por lo tanto el número de estados posibles es
(aproximadamente) dos veces (debido al espin) por el volumen del octante
n=2
14
Ω
π m3 = 2 k 3
83
3π
(5.4)
Si se tiene un gas de Fermi compuesto por np partículas, en el estado fundamental
los np estados de energía más baja estarán llenos. Es decir, estarán ocupados aquellos
estados con k ≤ kmax , donde kmax está dado por
( )
k max = 3π
2 1/ 3
⎛ np
⎜⎜
⎝Ω
1/ 3
⎞
⎟⎟
⎠
o equivalentemente los estados con energía E ≤ EF , donde
31
(5.5)
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
EF =
2
2M
k
2
max
= ( 3π
)
2 2/3
⎛ np ⎞
⎜ ⎟
2M ⎝ Ω ⎠
2
2/3
(5.6)
Esta energía EF. recibe usualmente el nombre de energía de Fermi. La densidad de
estados en función de la energía es
ρ (E ) =
dn
3 n p 1/ 2
E
=
dE
2 E F3 / 2
(5.7)
por lo que la energía promedio es
ε=
EF
3
∫ dE E ρ ( E ) = 5 n E
p
(5.8)
F
0
Aplicaremos ahora el formalismo recién desarrollado al caso nuclear. En este caso
el volumen esta dado por Ω = 4/3 π R3 con R = r0 A1/3. Por otro lado, np es el número de
protones Z o de neutrones N. Por lo tanto,
1 ⎛ 9π Z ⎞
= ⎜
⎟
r0 ⎝ 4 A ⎠
1/ 3
k
prot
max
1 ⎛ 9π N ⎞
= ⎜
⎟
r0 ⎝ 4 A ⎠
1/ 3
y
k
neut
max
(5.9)
Si definimos
⎛ 9π ⎞
C=
⎟
2 ⎜
2 M p r0 ⎝ 4 ⎠
2
2/3
(5.10)
obtenemos
E
prot
F
⎛Z⎞
=C⎜ ⎟
⎝ A⎠
2/3
y
E
neut
F
⎛N⎞
=C⎜ ⎟
⎝ A⎠
2/3
(5.11)
Para r0 =1.2 la constante C toma el valor C = 53.09 MeV . Por lo tanto, si
consideramos un núcleo liviano standard, es decir con Z = N = A/2, resulta
E F ≅ 33.44 MeV . Usando este valor junto con el hecho de que la energía de ligadura por
nucleón es ≈ 8 MeV, podemos pensar que las partículas (n y p) se están moviendo en un
pozo de aproximadamente 41 MeV de profundidad. Por otro lado la energía cinética media
por nucleón es
ε
3
3
⎡⎣ Z E Fprot + N E Fneut ⎤⎦ = C 2 −2 / 3 ≈ 20 MeV
=
5
A 5A
(5.12)
Finalmente, veremos que el núcleo standard Z = N = A/2 es en verdad el más
estable para un dado A. Si definimos Δε = ε ( Z , N ) − ε ( A / 2, A / 2 ) y reemplazamos por las
expresiones anteriormente obtenidas resulta
32
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Δε =
3 C ⎡
Z
5 A2 / 3 ⎢⎣
5/ 3
+(A− Z)
5/ 3
−
A5/ 3 ⎤
22 / 3 ⎥⎦
(5.13)
Definiendo δ = ( N − Z ) / A , reemplazando en la Ec.(5.13) y expandiendo a segundo orden
en δ (asumiendo en este último paso que δ << 1) se obtiene
Δε =
(Z − N )
1 C
1
Aδ 2 = E Fδ =0
2/3
32
3
A
2
(5.14)
Por lo que se deduce que energéticamente la situación más favorable es aquella con
N = Z . Este efecto es un efecto netamente cuántico ya que es una consecuencia del
carácter fermiónico de los nucleones.
5.3 Modelo de la gota líquida
Vamos a considerar ahora un modelo del tipo de nucleones fuertemente correlacionados.
Se trata del llamado modelo de la gota líquida propuesto por N. Bohr en 1935. Como ya
hemos visto en el Cap. 3 una de las características más notables de los núcleos es que la
energía de ligadura por nucleón es aproximadamente constante (B ∝ A). Si cada partícula
del núcleo interactuara con todas las demás la energía de interacción, y por lo tanto la de
ligadura, debería ser aproximadamente proporcional al números de pares interactuantes.
Como cada una de las A partículas puede, en principio, interactuar con las A – 1 restantes,
entonces el numero de pares es A(A-1)/2. Por consiguiente en núcleos pesados se debería
encontrar que B ∝ A2, lo que está en desacuerdo con lo que se encuentra
experimentalmente. Es decir que para entender la relación B ∝ A hay que considerar que
cada partícula interactúa con un número limitado de las restantes. La situación es
semejante a lo que ocurre con una gota de líquido, donde la energía para separar una
molécula es N EB. Aquí N es el número de ligaduras a la que está sujeta cada molécula y
EB la energía necesaria para romper cada ligadura. Si cada molécula interactúa con unas
pocas vecinas se dice que la fuerza está saturada. Es claro que en el caso nuclear este
efecto de saturación se debe al corto alcance de la interacción fuerte.
El modelo que surge de considerar que el núcleo se comporta como una gota
líquida permite obtener una fórmula que resulta muy importante para entender la
sistemática de las masa nucleares . La masa de un núcleo (A,Z) está dada por
B
B
M ( A, Z ) = m p Z + mn ( A − Z ) − B ( A, Z ) / c 2
(5.15)
donde B(A,Z) es la energía de ligadura. Tal como hemos discutido al principio de esta
sección, si suponemos que el núcleo se comporta como una gota líquida, la energía de
ligadura debe contener un término de la forma
BV = aV A .
(5.16)
Este es un término de volumen ya que R = r0 A1/3 y, por lo tanto, el volumen es 4/3 π R3 ∝
A.
33
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Por otro lado, en una gota líquida también aparece una contribución a la energía
debida al término de superficie. Esta se debe a que, en realidad, las moléculas de la
superficie tienen menos vecinos con los cuales interactuar (tensión superficial). Dicha
contribución es proporcional al tamaño de la superficie. Como la superficie de una gota
esférica es 4 π R2 en el presente caso ésta resulta ser proporcional a A2/3. Luego la
contribución a la energía de ligadura es
BS = − aS A2 / 3
(5.17)
Ahora bien, como el núcleo tiene una carga eléctrica debe existir un término que
tome en cuenta la energía coulombiana. Para una esfera de carga Z y radio R dicha energía
esta dada por
3 Z 2e2
∝ Z ( Z − 1) A−1/ 3
5 R
(5.18)
BC = −aC Z ( Z − 1) A−1/ 3
(5.19)
EC =
Luego
Finalmente, para describir las características observadas de las masas nucleares es
necesario agregar otros dos términos más. Uno toma en cuenta el efecto cuántico debido al
carácter fermiónico de los nucleones y, como hemos visto en la sección anterior, hace que
haya una tendencia a que Z = N. Este término se denomina de asimetría protón-neutrón y
se expresa como
Ba = − a a
(N − Z )2
(5.20)
A
El otro término toma en cuenta el efecto mencionado en el Cap. 3 de que los
núcleos pueden dividirse en tres grupos: impar-impar, par-impar y par-par siendo los
primeros los menos abundantes. Este término se llama término de apareamiento y se
expresa como
⎧− a p f ( A)
⎪
Δ ( A) = ⎨
0
⎪ a f ( A)
⎩ p
impar − impar
par − impar
par − par
(5.21)
Existen en la literatura diversas formas funcionales para f(A), siendo f ( A) = A−1/ 2
una de las más utilizadas.
La forma completa para la fórmula de masas, llamada fórmula semiempírica de
masas o formula de Weizsaeker, es
B ( A, Z ) = aV A − aS A
Z ( Z − 1)
( N − Z ) + Δ( A)
− aC
− aa
1/ 3
A
A
2
2/3
34
(5.22)
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Para fijar los valores de las constantes que aparecen esta formula se realiza un
ajuste a las masas determinadas experimentalmente. Un buen ajuste se obtiene con el
siguiente juego de constantes
av = 15.56 MeV
aS = 17.23 MeV
aC = 0.7 MeV
(5.23)
aa = 23.29 MeV
a p = 12 MeV para f ( A) = A-1/ 2
La Ec. (5.22) permite entender, entre otras cosas, la formación del llamado valle de
estabilidad como consecuencia de la competencia entre el término coulombiano y el de
asimetría.
Es interesante observar las parábolas de masas que resultan de graficar M en
función de Z para A fijo. Algunos ejemplos aparecen en la Fig. 5.1. El número de
parábolas depende de si A es par o impar. Si A es impar Δ(A) = 0 y por lo tanto hay una
sola parábola. Si A es par, entonces hay dos parábolas. Como los decaimientos β sólo
conectan estados que difieren en una unidad de carga, resulta evidente que en el primer
caso sólo puede existir un nucleido β estable por A, mientras que en el segundo puede
haber dos o más nucleidos β estables por A.
Fig. 5.1: Energías de ligadura en función de Z para valores fijos
de A obtenidas utilizando la formula semi-empírica de masas.
35
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
5.4 Modelo de capas
El modelo de la gota líquida resultó ser extremadamente exitoso. Permitió entender
diversos procesos tales como el de fisión, numerosos decaimientos nucleares, etc. Esto
hizo que por un tiempo los modelos de partícula independiente (p.ej modelo del gas de
Fermi) quedaran relegados. Además, para muchos investigadores resultaba difícil aceptar
que los nucleones, que como hemos visto sufren fuertes potenciales de interacción,
pudieran comportarse como partículas independientes. Sin embargo, hacia fines de la
década de 1940 se había acumulado una importante cantidad de datos experimentales
(masas, momentos magnéticos, etc.) que indicaban que diversas propiedades nucleares
presentaban discontinuidades para ciertos valores de N o Z.
Un ejemplo claro son las energías de ligadura que aparecen en la Fig.5.2. En dicha
figura se comparan los resultados del modelo de la gota líquida con los valores
experimentales.
Fig. 5.2: Energías de ligadura por nucleón determinadas experimentalmente
comparadas con las predichas por la fórmula semi-empírica de masas.
Similares discontinuidades aparecen en otras propiedades nucleares, como por
ejemplo, las energías de separación de un neutrón definida por
S (N , Z ) = B( N , Z ) − B( N − 1, Z )
y que se muestran en la Fig. 5.3. Algo similar ocurre con la de protones.
36
(5.24)
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Fig.5.3: Energía de separación de neutrones en función del número de neutrones.
Los números de protones o neutrones que dan al núcleo particular estabilidad, y
que son los valores para los cuales se producen estas discontinuidades se conocen con el
nombre de números mágicos. Experimentalmente se encuentra que dichos números son
2, 8, 20, 28, 50, 82 y 126
La aparición de estos números mágicos hizo que se volviera sobre los modelos de
partícula independiente. En verdad estos números parecen indicar que los nucleones se
mueven en un potencial promedio de manera muy semejante a la que los electrones lo
hacen alrededor del núcleo. Como es bien sabido existen átomos que son particularmente
estables: los de los gases inertes. El número de electrones de dichos átomos es tal que justo
alcanza para llenar una capa de los niveles de energía del potencial coulombiano. Dado
que la separación en energía entre los niveles que forman una capa es mucho menor que la
existente entre dos niveles de capas diferentes, agregar un electrón a un átomo de un gas
inerte implica un costo de energía mucho mayor que el relacionado con agregar un
electrón a un átomo cuya última capa no este llena. Este el motivo por el cuál los átomos
de un gas inerte son particularmente estables.
Se comenzaron a hacer entonces diversos intentos para predecir los números
mágicos en forma teórica utilizando potenciales promedios adecuados. Resulta ser que el
orden de los niveles no depende demasiado de la forma del pozo. Algunos potenciales que
fueron utilizados debido a su simplicidad matemática son el pozo esférico y el oscilador
armónico. Para el pozo se obtienen los valores 2, 8, 18, 20, 34, 40, 58, etc., mientras que
para el oscilador armónico tridimensional definido por el potencial
1
V ( r ) = − V0 + m ω 2 r 2
2
(5.25)
se obtienen los números 1, 8, 20, 40, 70, 112, etc. Esto se ilustra en la Fig.5.4.
Como se ve ninguno de ellos reproduce los números mágicos experimentales. Se
probó también sin éxito con potenciales intermedios, tales como el llamado “potencial de
Wood-Saxon” cuyo espectro aparece también en la Fig. 5.4. Dicho potencial sigue la
distribución de nucleones, es decir
37
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
V0 ( r ) = − V0 f ( r )
(5.26)
donde
f (r ) =
1
1 + exp[(r − R ) / a ]
(5.27)
aunque las constantes que aparecen en Ec. (5.27) no necesariamente deben coincidir con
las utilizadas para definir la densidad nuclear.
Fig.5.4: Niveles de energía de algunos potenciales sencillos.
Fue en esta situación que Mayer y Jensen y colaboradores propusieron, en forma
independiente, incluir además del potencial central un término del tipo spin-órbita, de
manera que
→ →
V ( r ) = V0 ( r ) + Vso ( r ) l ⋅ s
(5.28)
En el caso atómico este tipo de término aparece como una corrección relativista
(término de Thomas). Sin embargo, una aplicación directa de dicha corrección al caso
nuclear da una contribución muy pequeña y de signo contrario al que se necesita para
reproducir los números mágicos nucleares. En el caso nuclear el término spin-órbita
proviene, en su mayor parte, de la componente spin-órbita del potencial nucleón-nucleón.
Normalmente se utiliza para Vso ( r ) la misma relación funcional con V0 que aparece en el
término de Thomas, es decir
38
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Vso ( r ) = V0( so )
1 d f (r )
r dr
(5.29)
pero con valor a determinar para la constante V0( ) . El espectro que se obtiene se muestra
en la Fig.5.5.
so
Fig.5.5: Esquema de niveles de protones sin y con interacción espín-orbita.
Dado que el operador espín-órbita l ⋅ s tiene autovalores
⎧ l / 2 ; si
l⋅s = ⎨
⎩− ( l + 1) / 2 ; si
j = l +1/ 2
j = l −1/ 2
(5.30)
es fácil ver que la interacción espín-órbita separa en dos todos los estados con l > 0. Por
ejemplo el estado 1p se separa en 1p1/2 y 1p3/2. La separación entre los estados depende
so
de V0( ) que se ajusta para obtener los valores experimentales. Es de notar que
dado que
d f (r )
<0
dr
resulta que, para un dado valor de l, los estados con j = l − 1/ 2 tienen mayor energía que
aquellos con j = l + 1/ 2 .
39
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Debido al principio de exclusión resulta que, al igual que en los átomos, los
núcleos de capa cerrada tienen J = 0 y simetría esférica. Por ejemplo, el espín total J de
los nucleidos 16O, 40Ca y 208Pb (núcleos de doble capa cerrada) es cero. Por otra parte, para
aquellos de capa cerrada + 1 partícula (agujero) el J es el de la partícula o agujero en
exceso. Para el caso del 15N se tiene J=1/2, para 17O J=5/2, para 39K J=3/2, 207Pb J=1/2 y
209
Bi. J=9/2. Es de notar que el valor para el 207Pb difiere de la predicción de la Fig.5.5.
Volveremos sobre esto mas abajo.
El espín j de la última partícula puede obtenerse a partir de j = l + 1/2 o de
j = l -1/ 2 . Por lo tanto, para j fijo, ambas posibilidades difieren en Δl = 1 y, como
consecuencia, defieren en su paridad. Es decir, que para un núcleo con una partícula
(agujero) fuera de capa cerrada la paridad de todo núcleo depende del l de la última
partícula.
El modelo de capas también da información acerca de los primeros niveles
excitados de los núcleos con una partícula (agujero) fuera de capa cerrada tal como se
puede verificar comparando los datos experimentales que aparecen en la Fig.5.6 con las
predicciones que se pueden obtener a partir de la Fig.5.5.
Fig.5.6: Interpretación de acuerdo al modelo de capas de los primeros niveles del 17O y del 17F. Se
muestran todos lo niveles por debajo de, aproximadamente, 5 MeV. Notar que los niveles de paridad
positiva se pueden explicar en forma simple en términos de excitaciones del nucleón fuera de capa,
mientras que los niveles de paridad negativa tienen estructura más complicada. Para estos últimos se
muestra una sólo una configuración posible.
Un punto a tener en cuenta es que, en general y tal como se muestra en la Fig.5.7,
la energía de los niveles depende del número de masa A. Esto hace también que, a medida
que A crece, se produzcan algunas inversiones respecto del orden de los estados indicados
en la Fig.5.5. Esto explica la diferencia antes mencionada para el caso del 207Pb.
40
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Fig.5.7: Energías de los niveles de partícula independiente en función del numero de masa A
Otra observación importante es que hay una fuerte tendencia de los nucleones de
un mismo tipo a acoplarse en pares del mismo (j, l) y m iguales en módulo pero de signo
opuesto (la interacción responsable de este comportamiento se denomina interacción de
apareamiento). Esto hace que la mayoría de los nucleidos par-par tengan un estado con
J π = 0+ como estado fundamental. En muchos casos se encuentra que los nucleidos
vecinos con N o Z impar tienen el espín total y paridad de la partícula desapareada. Hay,
sin embargo, excepciones a esta regla.
5.4.1 Momentos magnéticos y momentos cuadrupolares eléctricos
En los núcleos par-par todos los momentos magnéticos de los nucleones están
acoplados a cero, por lo tanto μ = 0. De acuerdo al modelo de capas, por lo tanto, el
momento magnético de los núcleos de A impar está dado por el nucleón desapareado. El
→
operador momento magnético μ es
→
→
→
μ = gl l + g s s
De la definición
41
(5.31)
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
μ = (l
)
1 j
2 m= j
μ3 ( l
)
1 j
2 m= j
(5.32)
y de la expresión para la funciones de onda
(l )
1 j
2 m= j
= ∑ l , l3 ; 12 , m − l3 j , m Yl ,l3 (θ , φ ) 12 , m−l
3
l3
(5.33)
se puede probar que el momento magnético μ de una partícula de espín 1/2 en un estado
(l,j,m) puede expresarse como
→ →
μ = j m μ⋅ j j m
( j + 1)
(5.34)
lo cual da lugar a
⎧
1 ⎞ gs
⎛
⎪ gl ⎜ j − 2 ⎟ + 2
⎪
⎝
⎠
μ=⎨
⎪g j − 1 ( g − g ) j
s
l
⎪⎩ l
j +1
2
j = l + 1/ 2
(5.35)
j = l − 1/ 2
donde los valores de g s y gl para protones y neutrones son
⎧ g = 5.586μ N
protón ⎨ s
⎩gl = μ N
⎧ g = −3.826μ N
neutrón ⎨ s
⎩gl = 0
(5.36)
Los valores de momento magnético obtenidos con las Ecs.(5.35) y (5.36) reciben el
nombre de valores de Schmidt y las curvas que representan μ en función de j reciben el
nombre de líneas de Schmidt. Estas se muestran en la Fig.5.8.
Fig.5.8: Momentos magnéticos experimentales comparados con la predicción del modelo de capas
42
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
A pesar de que casi todos los valores de μ caen entre los límites dados por estas líneas
sólo unos pocos (los que están cerca de capa cerrada) caen sobre las líneas o muy cerca de
ellas. Esto implica que en general los estados correspondientes no son estados de partícula
independiente puros.
También es posible evaluar los momentos cuadrupolares eléctricos que resultan de
la existencia de un nucleón desapareado. Se obtiene
Q=−
y
2 j −1 2
r
2j+2
donde j = l ± 1/ 2
(5.37)
r 2 es el radio cuadrático medio del último nucleón. Si Q < 0 se trata de un estado de
agujero y si Q > 0 se trata de estado de partícula. Los valores experimentales de los
momentos cuadrupolares de los núcleos con un número impar de protón o neutrón
aparecen en la Fig. 5.9.
Fig.5.9: Momentos cuadrupolares experimentales comparados con la predicción del modelo de capas
Las líneas llenas indican los valores que surgen de emplear la Ec. (5.37). Los datos están
dentro de los límites indicados por estas líneas, excepto en las regiones 60 < Z < 80,
Z > 90, 90 < N < 120 y N > 140 donde los valores experimentales resultan ser más de un
orden de magnitud mayores que los predichos por el modelo de capas. Volveremos sobre
esta discrepancia en la Sec. 5.5.
43
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
5.4.2 Fundamentación del modelo de capas
En esta sección daremos una breve fundamentación para el modelo de capas.
Suponiendo que solo tenemos interacciones de dos cuerpos, el hamiltoniano H del sistema
esta dado por
2
A
⎛
⎞ A
H = ∑ ⎜⎜ −
∇ i2 ⎟⎟ + ∑V (rij )
2m ⎠ i > j
i =1 ⎝
(5.38)
donde V(rij) es el potencial entre el nucleón i y el nucleón j.
Una manera de obtener el hamiltoniano del modelo de capas es introducir el
correspondiente potencial promedio de un cuerpo V(ri) de la siguiente manera
2
A
⎛
⎞
H = ∑⎜ −
∇i2 + V ( ri ) ⎟ + H '
2m
i =1 ⎝
⎠
(5.39)
donde
A
A
i> j
i =1
H ' = ∑V ( rij ) − ∑V ( ri )
(5.40)
El hecho de que el modelo de capas describa correctamente ciertas propiedades nucleares
implica que, en esos casos, H' es pequeño y puede usarse como una perturbación.
5.5 Modelos colectivos
Hemos visto que el modelo de capas nos permite predecir propiedades del espectro
de núcleos con una partícula fuera de capa cerrada. Sin embargo, si uno mira los estados
excitados de núcleos par-par es evidente que resulta muy costoso desde el punto de vista
energético crear una excitación por medio de un par partícula-agujero. Es más eficiente
realizar movimientos colectivos, que como veremos en esta sección pueden ser de
vibración o de rotación.
Consideremos primero núcleos cercanos a capa cerrada. Estos tienen una
configuración esférica por lo que no pueden rotar. En consecuencia, sólo podrán tener
modos de excitación vibracionales. Utilizando el modelo de la gota líquida es posible
modelar estas excitaciones pensando que ésta puede oscilar alrededor de su posición de
equilibrio. En general, la superficie de la gota puede expresarse en términos de armónicos
esféricos. Es decir,
∞
λ
⎡
⎤
R(θ , φ ) = R0 ⎢1 + ∑ ∑ α λμ (t )Yλμ (θ , φ )⎥
⎣ λ =0 μ = − λ
⎦
(5.41)
El modo con λ = 0 corresponde a oscilaciones radiales, lo cual es imposible en si
se supone que la materia nuclear es incompresible. El modo con λ = 1 corresponde a una
traslación del núcleo como un todo, es decir al movimiento del centro de masa. Por lo
44
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
tanto este modo tampoco corresponde a una excitación intrínseca del núcleo. La siguientes
vibraciones son la cuadrupolar (λ = 2), la octupolar (λ = 3) y la hexadepolar (λ = 4). Estos
modos corresponden a las vibraciones que se indican en la Fig.5.10.
Fig.5.10: Momentos multipolares con λ < 5. Como se explica en el texto sólo aquellos con λ > 1
corresponden a posibles modos de vibración nucleares
Para el caso cuadrupolar
2
⎡
⎤
R (θ , φ ) = R0 ⎢1 + ∑ α 2 μ ( t ) Y2 μ (θ , φ ) ⎥
⎣ μ =−2
⎦
(5.42)
es decir que las vibraciones del núcleo se pueden describir en términos de los cinco
parámetros α 2 μ ( t ) . Suponiendo que ellos dependen del tiempo es posible obtener un
hamiltoniano del tipo
2
•
1
1
H = T + V ≈ ∑ B α 2μ + ∑ C α 2μ
2 μ
2 μ
2
(5.43)
Utilizando la fórmula semiempírica de masas en la aproximación en que se supone
al “fluido” nuclear como incompresible e irrotacional es posible obtener las siguientes
expresiones para los parámetros B y C,
B=
3
A m p R02
8π
C = 4 R0 as −
3 Z 2e2
ac
10π R0
(5.44)
Es posible verificar que mientras que la expresión para C conduce a resultados que están
en buen acuerdo con los valores que se extraen del análisis de los datos experimentales, la
expresión para B no lo hace. Por dicho motivo para obtener en forma teórica valores
razonables de B es necesario, en general, ir más allá de la aproximación de “fluido”
nuclear incompresible e irrotacional.
45
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
El tipo de espectro que se obtiene a partir de este modelo de vibraciones
cuadrupolares está en buen acuerdo con el espectro de estados mas bajos observado en
ciertos núcleos par-par, como por ejemplo el 120Te cuyo espectro se muestra en la
Fig.5.11. Allí aparecen claramente los estados correspondientes a una sola excitación
cuadrupolar (primer 2+), el triplete de estados correspondientes a dos fonones
(excitaciones vibracionales) y el quintuplete de tres fonones. El estado 3- se debe
presumiblemente a una excitación octupolar.
Fig.5.11: Espectro de
bajas energías del 120Te
En los núcleos con A > 100, a medida que nos alejamos de capa cerrada el tipo de espectro
cambia tal como se puede observar en la Fig.5.12.
Fig.5.12: Espectros de bajas energías de núcleos par-par representativos con A > 120
46
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Simultáneamente se encuentra que los momentos cuadrupolares son consistentemente más
grandes que los predichos por el modelo de capas (ver Fig. 5.9). La explicación de este
comportamiento es que estos núcleos tienen una deformación permanente y, por lo tanto,
pueden rotar.
La deformación del equilibrio es el resultado de dos tendencias opuestas. Por un
lado los nucleones fuera de capa cerrada tratan de deformar el carozo y por lo tanto se
tienden a mover en un potencial deformado. Por otro lado las fuerzas de apareamiento
tienden a acoplar dos nucleones del mismo tipo a espín cero, es decir tiende a forzar una
simetría esférica. A medida que nos alejamos de capa cerrada la tendencia a la
deformación aumenta. Primero no afecta la simetría pero al ser más deformable, la
excitación del carozo a través de vibraciones resulta más fácil. Finalmente la forma
esférica se torna inestable aún en el estado fundamental y entonces el núcleo se deforma.
El Hamiltoniano de un rotor está dado por
J k2
H= ∑
2 k ℑk
2
(5.45)
donde Jk son las componentes de J en el sistema rotante y ℑk las componentes diagonales
del tensor de inercia en un sistema de ejes principales.
Las constantes de movimiento son el módulo del impulso angular J y su
proyección sobre el eje z del sistema del laboratorio M. Sin embargo es posible mostrar
que la proyección sobre el eje z del sistema rotante K también lo es. Para el caso más
habitual en que el núcleo es axialmente simétrico (deformación cuadrupolar) tenemos que
ℑ1 = ℑ2 = ℑ ≠ ℑ3 por lo que
⎛ J 2 − J 32 J 32 ⎞
H= ⎜
+ ⎟
2⎝ ℑ
ℑ3 ⎠
(5.46)
⎛ J ( J + 1) − K 2 K 2 ⎞
+
= ⎜
⎟
2 ⎝
ℑ
ℑ3 ⎠
(5.47)
2
y entonces
2
EJ , K
Para el estado fundamental de núcleos par-par resulta K = 0, ya que en este caso no hay
excitaciones intrínsecas. Por lo tanto,
EJgs =
2
2ℑ
J ( J + 1)
(5.48)
Además, si el núcleo tiene simetría cuadrupolar existe una simetría de reflexión en el
plano 1-2, por lo que sólo los J pares están permitidos.
Ahora bien, además de rotar un núcleo deformado puede vibrar. Para el caso
cuadrupolar hay dos tipos de vibraciones colectivas β y γ que corresponden a los distintos
modos que se indican en la Fig.5.13.
47
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
Fig.5.13: Posibles modos de
vibración de un núcleo con
deformación cuadrupolar
Cada una tiene su banda rotacional asociada y da lugar al tipo de espectro que
aparece en la Fig.5.14.
Fig.5.14: Estados de energía más bajos del 164Er. Se observa claramente las bandas
rotacionales del estado fundamental y de las vibraciones β y γ.
5.6 Modelos unificados
La discusión anterior de modelos colectivos se aplica a núcleos par-par. Para
núcleos con A impar se debe tener en cuenta además que existe una partícula que puede
considerarse como fuera del carozo deformado. Para describir estas situaciones se aplican
los modelos unificados donde además del movimiento colectivo se considera una partícula
48
Versión preliminar 2.2 (Cap. 3, 4, 5)-24-03-08
moviendose en un potencial promedio deformado. Para el caso de deformaciones
axialmente simétricas esto da origen a los llamados niveles de Nilsson indicados en la
Fig.5.15.
Fig.5.15: Niveles de partícula independiente en función de la deformación.
Sobre cada uno de los niveles de Nilsson puede aparecer una banda rotacional. Un
ejemplo del tipo de núcleo al cual se aplica esta descripción es el 239Pu cuyo espectro se
muestra en la Fig.5.16.
Fig.5.16: Niveles de
energía del 239Pu.
49