Función Exponencial del Péndulo

::. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO .::
XX CONCURSO UNIVERSITARIO FERIA DE LAS CIENCIAS
MATEMÁTICAS
ÁREA
LOCAL
CATEGORÍA
INVESTIGACIÓN EXPERIMENTAL
MODALIDAD
FUNCIÓN EXPONENCIAL DEL PÉNDULO
TÍTULO DEL TRABAJO
0548211
FOLIO DE INSCRIPCIÓN
AJEM
PSEUDÓNIMO DE INTEGRANTES
1 XX Concurso Universitario
Feria de las Ciencias
Función Exponencial del Péndulo.
Área: Matemáticas
Categoría: Local
Modalidad: Investigación experimental
Pseudónimo: AJEM
Abril 2012
2 XX Concurso Universitario
Feria de las Ciencias
Función Exponencial del Péndulo
Resumen:
La utilización del “Cálculo Gráfico” ha sido muy importante
en la solución de problemas que se presentan en el trabajo
del estudiante, al técnico y al profesional.
Muchas fórmulas que se emplean en las ciencias y en los
procesos industriales son empíricas, ya que nos ayudan a
descubrir leyes que relacionan las variables que
intervienen en un fenómeno.
En el trabajo experimental que realizamos sobre el
movimiento pendular, efectuamos medidas de la amplitud
contra tiempo de oscilación con la finalidad de encontrar
una relación matemática entre las variables mencionadas.
Pseudónimo: AJEM
3 Función Exponencial del Péndulo
Introducción
Marco teórico
En el tema de estudio que realizaremos se encuentran
involucrados los conocimientos siguientes:
• Amplitud del péndulo.- Máxima separación de su
posición de equilibrio.
• Periodo del péndulo.- Tiempo de una oscilación
completa.
O 02: Posición de equilibrio
L : Longitud del péndulo
T12321: Periodo
• Función.- Relación entre dos variables, tal que a
cada valor de la primera variable le corresponde uno
y sólo un valor de la segunda variable.
4 Función Exponencial
(Lipka, p.179)
C •
Leyes de los Logaritmos
Log AB = log A + log B
Log A/B= log A – log B
Log Aⁿ = nlog A
• Trazado de gráficas en papel: milimétrico, logarítmico y
semilogarítmico
5 Pendiente y ecuación de la recta.
m= b y‐y1= m (x‐x1) punto ‐ pendiente y= mx + b pendiente ‐ ordenada al origen Pendiente y ecuación de la recta en papel semilogarítmico
m= Método de Mínimos Cuadrados
Recta representativa de los datos experimentales Y =bx+a Donde: b= pendiente a= Ordenada al origen 6
Resolución de ecuaciones simultaneas.
Métodos: •
•
•
•
Suma y resta Igualación Sustitución Determinantes Relación entre los logaritmos de Brigg (base 10) y neperianos o
naturales
(Base e= 2.718281828…..)
log N = log e ln N
Objetivo.
Encontrar una relación matemática entre la amplitud de
un péndulo largo y el tiempo de una oscilación completa.
Planteamiento del problema.
Después de enterarnos que existen varias relaciones
matemáticas que relacionan las diferentes variables que
intervienen en el movimiento del péndulo, como son:
amplitud (A), periodo (T), longitud (L), etc. Y que algunas
de estas relaciones están representadas por fórmulas
matemáticas incluidas en la unidad 3 (la derivada ubicada
en el programa de matemática 6o año (área III) de la ENP,
nos interesamos en investigar si existe alguna relación
matemática entre la amplitud y el periodo de un péndulo.
7 Hipótesis
Comprobar que entre la amplitud y el periodo de un
péndulo largo existe una relación "Función exponencial"
Metodología (Procedimientos)
Desarrollo experimental
Se coloca un clavo de concreto en la pared y un
transportador de madera, como se muestra en la figura.
Luego con un hilo se improvisa un péndulo simple de 1m de
longitud y una pesa pequeña.
A continuación se coloca el péndulo con una amplitud de
80° (posición A) y se toma el tiempo en segundos en que
realiza la 1ra oscilación completa ABCBA, así como los
tiempos correspondientes a las nueve oscilaciones
consecutivas siguientes.
8
A continuación se muestran las mediciones obtenidas, en donde T es
el tiempo de duración de cada oscilación y A es la amplitud en
grados. Se dan las tabulaciones T - A, las graficas en papel
milimétrico, logarítmico y semilogarítmico, así como la función
exponencial que representa la relación entre la amplitud (A) y el
periodo T.
Tabulación de la amplitud (A) y el periodo (T) obtenidos de la
actividad experimental.
Trazado de gráficas.
A continuación graficamos la amplitud (A) contra el periodo
(T), en el papel milimétrico, logarítmico, y semilogarítmico.
9 11 Log A
12 Análisis Matemático
Método de Mínimos Cuadrados
Corrección de los puntos experimentales, por el método de
los mínimos cuadrados, para obtener la mejor curva
representativa y su ecuación.
La recta representativa de los datos
experimentales está dada por la ecuación:
LogA = mT + a ………………….
E Siendo “m” la pendiente de la recta y “a” la
ordenada al origen.
Los mejores valores de las constantes ”m” y
“a” se pueden obtener con las ecuaciones
siguientes:
∑ logA = an + m∑ T
∑TlogA = a∑T + m∑T²
1 Donde n = al número de observaciones
13 OSCILACIÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∑
T
1.93
3.74
6.06
8.30
10.50
12.74
14.97
17.21
19.32
21.51
116.28
log A
1.86923172
1.857332496
1.838849091
1.826074803
1.806179974
1.79239169
1.77815125
1.763427994
1.748188027
1.73239376
18.01222081
T log A
3.607617219
6.946423537
11.14342549
15.15642086
18.96488973
22.83507012
26.61892422
30.34859577
33.77499268
37.26378977
206.6661494
T²
3.7249
13.9876
36.7236
68.89
110.25
162.3076
224.1009
296.1841
373.2624
462.6801
1752.1112
Sustituyendo los valores de la tabla anterior en 1
18.01222081 = 10a + 116.28m…………………………………………….2
206.6661494 = 116.28a + 1752.1112m………………………………..3
Resolviendo estas ecuaciones por el método de sustitución:
De
2:
a = 1.801222081 – 11.628m………………………………..4
y sustituyendo de “a” en
3:
206.6661494 = 116.28(1.801222081 – 11.628m) + 1752.1112m
= 209.4461036 – 1352.10384m + 1752.1112m
= 209.4461036 + 400.00736m
14 m=
= −6.94957624 x10-3
= −0.00694957624…………………………………5
Sustituyendo 5 en 4:
a = 1.801222081 – 11.628(−0.00694957624)
= 1.801222081 + 0.080809672
= 1.882031754
Ahora sustituyendo “a” y “m” en E nos queda:
log A = −0.00694957624T + 1.882031754
log A = 1.882031754 – 0.00694957624T
La Ecuación de la recta en papel semi‐logarítmico. Sustituyendo log A = log e ln A tenemos:
log e ln A = 1.882031754 – 0.00694957624 T
Despejando ln A:
ln A =
15 =
ln A = 4.33353827 – 0.01600199T
Considerando el antilogaritmo natural de 4.33353827 que es 76.21347391 nos
queda:
ln A = ln 76.21347391– 0.01600199
y aplicando las propiedades de los logaritmos:
ln A = ln 76.21347391 – 0.01600199T ln e
= ln 76.21347391 + ln e-0.01600199T
Que resulta al aplicar antilogaritmos:
Ecuación exponencial del péndulo A = 76.21347391 e-0.01600199T
16 Resultados
1) De la actividad experimental tenemos como resultados valores
de la amplitud (A) en grados y el tiempo de oscilación (periodo
t) en segundos correspondientes al movimiento pendular.
2) De las gráficas nos dimos cuenta que los puntos
experimentales corresponden y de manera aproximada a una
línea recta en el papel semilogarítmico la cual tiene por
pendiente y ecuación las expresiones matemáticas siguientes:
Pendiente (m)= log74 – log56
1.93 – 19.32
Log A – log74= log74 – log56 (T - 1.93)
1.93 - 19.32
3) Del análisis matemático obtuvimos que la ecuación
representativa de la recta en el papel semilogarítmico es:
Log A = 1.882 – 0.00695T Expresado con logaritmos decimales Ln A = 4.33 – 0.016T Expresado con logaritmos neperianos 17 4) De la corrección realizada con el “Método de mínimos
cuadrados” y las leyes de los logaritmos obtuvimos como
resultado la función exponencial del péndulo.
A= 76.21 e‐0.016T 18 Análisis e interpretación de resultados.
• Los valores de amplitud (A) y periodo (T) que obtuvimos
fueron medidas al ser captados (fotografiados) por medio de
una cámara digital por lo que estuvieron sujetos a la habilidad
de quienes caparon las imágenes, así como de quien tomó los
tiempos con cronómetro.
• En la gráfica en el papel semilogarítmico se consideró que los
puntos estaban en la dirección de la línea recta, ya que la
mayoría de los puntos coinciden sobre una misma dirección.
• Con la finalidad de evitar algún error en la obtención de la
ecuación de la gráfica (considerada en el papel
semilogarítmico) por exceso de confianza al considerar que
todos los puntos experimentales están en una línea recta y dar
por hecho que su pendiente es realmente la que puede
obtenerse con dos de sus puntos nos avocamos a rectificarlos
por medio del “método de mínimos cuadrados”.
• Los resultados que obtuvimos, consideramos son congruentes
y verifican las hipótesis planteadas, ya que se obtuvo la
ecuación empírica que representa “La función exponencial del
péndulo.
19 Conclusiones.
Consideramos que:
1. Se ha cumplido con el objetivo planeado.
2. Hemos logrado satisfacer nuestro interés a través de
la investigación, de que existe una relación
matemática entre la amplitud de un péndulo largo y el
periodo del mismo.
3. Comprobamos la hipótesis de que la relación entre la
amplitud y el periodo de un péndulo es una “Función
Exponencial”
20 Fuentes de información.
o Serway, A.R. Faughn S.T física. Prentice. México 1995
o Fuenlabrada, S. Geometría Analítica. Mc Gyaw Hill.
México 2009
o Fippens, E.P. Conceptos y aplicaciones. Mc Gyaw Hill.
México 2008
o Lipka, T. Computaciones Gráficas y Mecánicas.
CFCSA. México 1995
o Kleiber-Karsten. Tratado de Física. Gustavo Gili, S.A,
España 1980
o Fuenlabrada, S. Aritmética y algebra. Mc Gyaw Hill.
México 2009
21