Modulo 1 2013 2do cuatri
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Módulo 1: Conceptos introductorios y Mecánica Física e Introducción a la Biofísica Licenciatura en Kinesiología y Fisiatría Año 2013 2º cuatrimestre 1 1. Introducción y conceptos útiles 1.1 Acerca de la física y la biofísica La física es el estudio de las propiedades medibles de las cosas. Su motivación es encontrar la naturaleza fundamental de cosas básicas como el movimiento, las fuerzas, la energía, la materia, el calor, el sonido, la luz y la estructura de átomos y galaxias. Para esto se basa en investigar sistemas simples o complejos por medio de la experimentación y el análisis matemático. Es el lenguaje de la matemática el que nos permite que enunciemos leyes de forma concreta, más fáciles de comprobar o de rechazar a través del experimento. Veamos un ejemplo. Un físico muy importante, Galileo Galilei (1564 – 1642), estudió el movimiento de los objetos que se deslizan por planos inclinados. Buscó la relación entre sus medidas y de expresar éstas en lenguaje matemático. La conclusión de su investigación fue la siguiente: La distancia recorrida a lo largo de una pendiente es proporcional al cuadrado del tiempo empleado. En términos matemáticos, esto puede escribirse como: Distancia = Constante × (Tiempo)2 O sea, D Ct 2 Vemos entonces que el comportamiento de los objetos se expresa en este caso por una ley y su lenguaje es la matemática. ¿Por qué es importante entender algo de física? En este curso vamos a estudiar resultados, propiedades, leyes, que son importantes para cualquiera que se interese por la naturaleza de las cosas, puesto que estos resultados son de aplicación universal en todo el mundo material, incluidos los seres vivos. La física, como veremos a lo largo del curso, es esencial para comprender como funcionan muchos procesos biológicos, tales como el movimiento del cuerpo o el flujo de la sangre. Como un ejemplo, el estudio de las fuerzas musculares para producir movimiento y equilibrio es de importancia para atletas y terapeutas físicos, que necesitan saber qué fuerzas se necesitan para producir movimientos específicos en el cuerpo. La física se ocupa del movimiento, fuerzas, energías, la materia, el calor, el sonido, las radiaciones, etc.; conceptos que aparecen a diario en el ejercicio de una profesión como puede ser la kinesiología y que por lo tanto resulta importante tener un conocimiento de ellos para el buen desenvolvimiento de nuestro trabajo. Más específicamente, la biofísica es un puente entre la física y la biología. Abarca el campo del conocimiento que utiliza los principios de la física para comprender cómo funcionan los mecanismos de los sistemas biológicos. 1.2 Medida y dimensiones La física trata de las cosas que pueden ser medidas, por ejemplo la longitud, el tiempo, la temperatura, etc. Las medidas se hacen siempre con respecto a un patrón, denominado unidad. Para la longitud una unidad puede ser el metro (m). Esta unidad se puede convertir a otras, si se conoce la longitud del metro en función de otras unidades. ¿Cómo se mide la longitud? De manera directa, por medio de una varilla o regla graduada. En otros casos de interés no es posible la medida directa (no podemos poner una varilla entre los dos puntos que queremos medir) y debemos utilizar métodos indirectos. Por ejemplo, se presentan situaciones en las que es preciso tener conocimientos de trigonometría para poder relacionar magnitudes que se miden directamente de aquéllas que se hallan de forma indirecta. Otra cantidad que puede ser medida es el tiempo. Para medir el tiempo es necesario un dispositivo que repita de manera continua cierto suceso, tal que el intervalo entre dos sucesos pueda tomarse como la 2 unidad del tiempo. Un ejemplo de estos dispositivos son los relojes. La unidad normal de tiempo es el segundo (s). La longitud y el tiempo son dos de las cantidades fundamentales en la física. Solamente vamos a introducir otras tres cantidades fundamentales a lo largo del curso: la masa, la temperatura y la carga eléctrica. Todas las demás se definirán en función de éstas. Por ejemplo, la velocidad media de un auto en una carrera es el desplazamiento d efectuado por el auto dividido por el tiempo total empleado (t). Las dimensiones de una magnitud física son los símbolos de las magnitudes fundamentales que la definen. Designamos las dimensiones de una magnitud escribiendo dichos símbolos entre corchetes. Así, las dimensiones de longitud y tiempo son simplemente [l] y [t], y las dimensiones de velocidad se obtienen de su definición como longitud dividida por tiempo, o [l/t]. Las dimensiones de área y volumen también están relacionadas con [l]. Para medir el área (o el volumen) de alguna cosa se requieren ciertas medidas de longitud y algunos cálculos matemáticos. Así, el área de un círculo requiere la medida de su radio r. Si r = 2,5 m, el área A es A = πr2= π × (2,5 m)2 = 19,6 m2 La unidad en este caso es el metro cuadrado (m2) y la dimensión es [l2]. Análogamente, la unidad de volumen es el metro cúbico (m3) y la dimensión es [l3]. Se pueden utilizar diversas unidades para medir el área y el volumen, pero la dimensión de cada una de estas magnitudes es siempre la misma. 1.3 Cifras significativas y redondeo El número de cifras significativas es el número de dígitos dignos de confianza en los resultados de una medición. Veamos en la siguiente tabla las reglas más importantes: Algunas Reglas… Ejemplo Son significativos todos los dígitos distintos de cero. 8723 tiene cuatro cifras significativas Los ceros situados entre significativas son significativos. 105 tiene tres cifras significativas dos cifras Los ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son. 0,005 tiene una cifra significativa Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos. 8,00 tiene tres cifras significativas 0,01020 tiene cuatro cifras significativas Operaciones Suma/resta: el número de cifras decimales del resultado debe ser igual al de la cantidad con el menor número de ellas 320,04+80,2+20,020+20,0=440,260 redondeo a 440,3 División/multiplicación: el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras 2,51 x 2,30 = 5,773, redondeado es 5,77 2,4 x 0,000673 = 0,0016152, redondeado es 0,0016 Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a la centésima, se aplicará las reglas de redondeo: Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica. Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales se debe tener en cuenta el tercer decimal: 12,612 ≈ 12,61. 3 Dígito mayor o igual que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad. Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales se debe tener en cuenta el tercer decimal: 12,618 ≈ 12,62 Ejercicios 1) Expresar con tres cifras significativas a cada uno de los siguientes números: a) 10,061 b) 0,003538 c) 765,3 d) 34,1 e) 34 1.4 Notación científica La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez. Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal. Es más fácil entender con ejemplos: 732,5051 = 7,325051 × 102 (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda) −0,005612 = −5,612 × 10−3 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha). Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente. Nota: Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será positivo. Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 será negativo. Otro ejemplo: representar en notación científica: 7.856,1 1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7. 7,8561 Notamos que la coma se desplazó 3 lugares. 2. El número de cifras desplazadas indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103. 3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recordar que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende. Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es: 7,8561 × 103 Multiplicar en notación científica Para la operación de multiplicación, se multiplican las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica el producto de potencias para las potencias de base 10. Cuando se realiza una 4 multiplicación de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) los exponentes se suman. Ejemplo: (5,24 × 106) × (6,3 × 108) = 5,24 × 6,3 × 106 + 8 = 33,012 × 1014 = 3,3012 × 1015, Al considerar el redondeo según el número de cifras significativas, el resultado final es: 3,3 × 1015, Dividir en notación científica Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica la división de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notación científica. Hagamos una división: (5,24 × 107) (6,3 × 104) = (5,24 ÷ 6,3) × 107−4 = 0,831746 × 103 = 8,31746 × 10−1 × 103 = 8,3 × 102 Suma y resta en notación científica Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este ejemplo: 5,83 × 109 − 7,5 × 1010 + 6,932 × 1012 = ? lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las potencias de 10, en este caso el factor será 109 (la potencia más pequeña), y factorizamos: 109 (5,83 − 7,5 × 101 + 6,932 × 103) = 109 (5,83 − 75 + 6932) = 6.862,83 × 109 Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos queda: 6,86283 × 1012, al redondear según el número de decimales, tenemos que considerar solo un decimal (el mismo número de decimales que 7,5), éste quedará 6,9 × 1012 Ejercicios 2) Convertir los siguientes números a notación científica: a) 4.300.000 (Rta: 4,3 x 106) b) 0,0004 c) 920.000.000 f) 0,000005 d) 0,02 e) 88.000.000.000 3) Pasar a representación numérica los siguientes números expresados en notación científica: a) 6,21 x 10-5 b) 9,7 x 106 c) 4,2 x 10-4 d) 3 x 10-8 e) 8,127 x 102 f) 1,3 x 10-3 4) Calcular las expresiones siguientes: a) (1,3 x 105) × (3,5 x 103) (5,2 x104 ) ; c) (1,3x102 ) b) (9,2 x 10-3) × (4,1 x 107) (8,2 x102 ) d) (6,3x105 ) 1.5 Conversión de unidades Hay situaciones en las que es preciso convertir las unidades en las que se expresa una magnitud física. Las unidades se pueden tratar como magnitudes algebraicas que pueden cancelarse entre sí. Para convertir unidades, una magnitud puede multiplicarse por el factor de conversión, c, para proporcionar las unidades deseadas en el resultado final. El factor de conversión es una fracción igual a 1, cuyo denominador y numerador tienen unidades diferentes. Ejemplo: una de las equivalencias entre unidades de longitud en los sistemas SI y británico es: 1 milla =1,609 km, el factor de conversión se expresa como: c= 1,609km 1milla 1 1milla 1,609km 5 ¿a cuántas millas equivalen 30 km? 1milla 30km = 30km 18, 64millas 1, 609km Ejercicios 5) Una milla equivale a 1,609 kilómetros. ¿A cuántos kilómetros equivalen 500 millas? 6) Una caloría, unidad de energía, equivale a 4,186 joules. (a) ¿A cuántos joules equivalen 4.500 calorías? (b) ¿A cuántas calorías equivalen 200 joules? 7) (a) ¿Cuál es la conversión de 200 metros cuadrados (m2) en centímetros cuadrados (cm2)? (b) ¿Cuál es la conversión de 0,3 metros cúbicos (m3) en centímetros cúbicos (cm3)? 8) (a) ¿Cuál es el área de un círculo de 3.5 cm de diámetro? (b) Convertir el área en m2 (Rta: 9,6 cm2; 9,6 x 10-4 m2) 9) (a) ¿Cuál es el volumen de un cubo de 4 metros de lado? (b) ¿Cuál es el volumen de una célula esférica de 2 x 10-3 cm de diámetro? 10) (a) ¿A cuántos litros de agua equivalen 350 cm3? (b) ¿A cuántos m3 equivalen 300 litros? (1 litro = 1.000 cm3) 11) (a) ¿A cuántos kilómetros por hora (km/h) equivalen 23 m/s? (b) ¿A cuántos m/s equivalen 230 km/h? 12) El corazón bombea sangre a un ritmo de 0,083 litros/seg. (a) ¿Cuáles son las dimensiones de la velocidad del flujo de la sangre? (b) Convertir esta velocidad en metros cúbicos por hora. (Rta. (a) [l3/t]) 1.6 Ecuación lineal Una ecuación es una relación de igualdad entre cantidades, alguna de ellas desconocidas llamadas incógnitas. La aplicación de leyes físicas en lenguaje matemático nos lleva a resolver ecuaciones, de las que podemos obtener el resultado o dato que estemos buscando. Para resolverlas debemos utilizar operaciones elementales de pasajes de términos y las propiedades de las operaciones con números reales. Las ecuaciones lineales con una incógnita son ecuaciones del tipo: ax b cx d o cualquier otra forma equivalente a ésta, donde a, b, c, d serán números conocidos y x la incógnita. La solución de esta ecuación es: x (d b) /(a c) siempre que a – c ≠ 0 Ejemplo: Resolvamos la ecuación 3 x +1 = x – 3 1) Agrupamos todo lo que tenga x a un lado de la igualdad (por ejemplo, a la izquierda) y lo que no tenga x en el otro lado (derecha). En este caso, sumamos -1 (o restamos 1) en ambos miembros: 3 x +1–1= x – 3– 1; reagrupando resulta 3 x = x – 4 y sumamos – x (o restamos x) en ambos miembros, 6 3 x– x = x – 4 – x, reagrupando términos se obtiene 2 x = – 4 3) Para obtener el valor de la incógnita x, dividimos ambos miembros por 2, y obtenemos: 2 x/2 = – 4/2 Por lo que x = – 2 Ejercicios 13) Hallar el valor de la incógnita x en las siguientes ecuaciones: a) 8 x + 3 = - 2 b) 43 = 5 x c) 4 x = 9 x + 3 d) - 5 x + 2 = 12 e) 2 x + 1 = - 3 - 7 x g) 36 = 5 x + 4 x g) 12 x = - 6 x + 9 h) - 4 x + 2 = - 11 + 6 x 1.7 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Son las ecuaciones de la forma ax by c dx ey f donde a, b, c, d, e, f serán números conocidos y x e y son las incógnitas. Veamos un ejemplo resuelto por el método de sustitución. Consideremos el sistema de dos ecuaciones: x–y=4 2x+y=5 1) Despejamos la incógnita x de la primera ecuación: 2) Reemplazamos este valor en la segunda ecuación: x=y+4 (1) 2(y + 4) + y = 5 3) Si resolvemos esta ecuación con una incógnita obtenemos el valor de y: y=-1 4) Para hallar el correspondiente valor de x reemplazamos el valor obtenido de y en (1): x = 3 Ejercicios 14) Hallar el valor de las incógnitas x e y en los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x + 2 y = 5 b) 3 x + 6 y = 24 5x+y=7 ` 8 x + 2 y = 22 c) 3 x + 2 y = 6 d) 4x+7y=9 3x+y=1 ` 6 x +3 y = 5 1.8 Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas La trigonometría resulta muy útil como método de medir distancias, cuando no podemos hacerlo de manera directa (por medio de una regla). Un triángulo rectángulo como el que se muestra en la figura es un triángulo en que uno de sus ángulos es de 90°. Consideremos el ángulo α del triángulo de la figura. El lado que está enfrente de α (a) recibe el nombre de cateto opuesto, mientras que el lado que está enfrente del ángulo recto (c) recibe el nombre de hipotenusa. El otro lado que falta (b) recibe el nombre de cateto adyacente. 7 Estos lados están relacionados por el Teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a 2 b2 c 2 Los cocientes de los lados de un triángulo rectángulo definen las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente: sen CB a AC b CB a ; cos ; tan AB c AB c AC b Ejercicios 15) Obtener los valores de las siguientes expresiones trigonométricas utilizando la calculadora: a) seno 30° b) coseno 20° c) tangente 75° d) arcoseno 0,3 e) arcotangente 2 16) ¿Qué longitud debe tener una escalera para poder alcanzar un estante a 2,30 m de altura, formando un ángulo de 6° con la horizontal? 17) Se desea conocer la altura de un árbol y no se puede medir directamente. Nos situamos de pie a 50 m del árbol y determinamos una línea desde el suelo hasta la copa del árbol que forma un ángulo de 25º con el suelo. ¿Cuál es la altura del árbol? (Rta.: 23,3 m) 18) Un hombre camina 100 metros hacia el norte y después, tras girar 45º, camina otros 200 metros hacia el noreste. ¿Cuál es la distancia en línea recta entre el comienzo y el final del paseo? 1.9 Magnitudes escalares y vectoriales Magnitud escalar: son magnitudes físicas, como la masa, el volumen, la temperatura, entre otras, que pueden especificarse por medio de una magnitud y su correspondiente unidad. No tienen dirección. Estas magnitudes satisfacen las reglas usuales de suma, resta, multiplicación y división. O sea, si de un tanque que contiene 10 litros de agua, retiramos 2 litros, quedarán en el tanque 8 litros. No intervienen la dirección para nada, es decir, no tiene sentido decir que retiramos 2 litros de agua en dirección oeste, lo que importa es que quedaron 8 litros en el tanque. Magnitud vectorial: estas magnitudes, además de estar descriptas por su magnitud y su unidad, se requiere tener información acerca de su dirección. Son magnitudes vectoriales la fuerza, la velocidad, la aceleración, el campo eléctrico, entre muchas otras. Cuando decimos que un auto marcha a 100 km/h, estamos refiriéndonos a su rapidez. Pero dando solo su rapidez, nada informamos sobre su dirección. Si agregamos que circula a 100 km/h en dirección Norte, estamos hablando de su velocidad, que es una magnitud vectorial (magnitud + unidad + dirección). 1.10 Vectores Las magnitudes vectoriales se representan a través de vectores. En los libros de texto un vector se lo indica con una flecha encima, A , o en letras negritas, A. En una representación gráfica al vector se lo indica con una flecha que indicaría su magnitud (cuánto) y su dirección (hacia dónde). Las reglas de operaciones entre vectores difieren de las operaciones aritméticas usuales y hay que recurrir a otros métodos operacionales. Dos vectores son iguales si tienen las mismas unidades, la misma dirección, la misma magnitud. Todos los vectores de la figura son iguales aunque sus puntos de partida sean distintos. Un vector A en el plano queda completamente descrito por sus componentes, Ax y Ay, siendo Ax A cos y Ay Asen , y es el ángulo entre esa línea 8 y el eje x positivo, midiendo en el sentido contrario a las agujas del reloj. También se puede indicar como: A ( Ax , Ay ) Suma de vectores: a) Gráficamente mediante la regla del paralelogramo: Se dibujan dos vectores con un mismo punto inicial. Luego se traza una recta comenzando en el punto final de un vector paralela al otro vector. Se repite el procedimiento, cambiando los vectores. Luego se une el punto inicial con el punto de intersección entre las dos rectas paralelas y se encuentra el vector resultante o suma R. a) Regla del paralelogramo b) Polígono b) Gráficamente mediante la construcción del polígono: El vector resultante R A B es el vector dibujado desde el extremo del primer vector hasta el punto del último vector (ver Figura b)). c) Analíticamente, mediante el uso de la proyección de los vectores a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano. Dado otro vector A , de componentes Ax y Ay,, y otro vector B , de componentes Bx y By, el vector resultante será R A B , de componentes Rx Ax Bx y Ry Ay By Ejercicios 19) Un vector A , situado en el plano xy tiene una magnitud de 25 unidades y forma un ángulo de 37º con la abscisa (eje x). Determinar sus componentes Ax y Ay. (Rta.: Ax= 20, Ay= 15) 20) La componente x de un vector que está en el plano xy es de 12 unidades, y la componente y es de 16 unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector? (Rta.: A= 20, x= 53,1º) 21) La figura muestra tres vectores, A , B y C . (a) Hallar gráficamente la sumas A B , A C , y B A , A B C ; y las componentes x e y de A , B , C y A B ; (c) Si las magnitudes de A , B y C son de 20, 10 y 5 unidades, respectivamente, hallar analíticamente las sumas A B y A C 9 2. Fuerzas y leyes de movimiento 2.1 Fuerzas Tenemos una idea intuitiva acerca de qué es una fuerza basados en experiencias cotidianas. Por ejemplo, para mover un mueble necesitamos hacer una fuerza, también para empujar una caja. Se ejerce una fuerza cuando se patea una pelota. En general, el concepto de fuerza se asocia a una actividad muscular o a un cambio en el estado del movimiento de un objeto. Pero puede ser que una fuerza no provoque un movimiento: la Tierra ejerce una fuerza gravitatoria sobre un libro apoyado sobre una mesa, y sin embargo no lo vemos moverse, o si aplicamos una fuerza a una roca grande, posiblemente no consigamos moverla. Una fuerza siempre es ejercida por un objeto sobre otro, es decir, cuando hablemos de fuerza tendremos que preguntarnos quién realiza la fuerza y sobre quién actúa esa fuerza. Una definición rigurosa de fuerza debe tener en cuenta qué efectos causa, como veremos más adelante. 2. 2 Algunos ejemplos de Fuerzas Fuerza gravitatoria o peso: Es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre cualquier objeto. Su dirección es siempre hacia el centro de la Tierra. Fuerza normal o de contacto: La ejerce un cuerpo sobre otro en contacto con él. Su dirección es siempre perpendicular a la superficie del cuerpo que la ejerce. Figura 1: Fuerza normal y fuerza peso actuando sobre una computadora apoyada en un escritorio. La fuerza normal es ejercida por el escritorio sobre la computadora y está dirigida hacia arriba. El peso es la fuerza ejercida por la Tierra sobre la computadora y su dirección es hacia el centro de la Tierra (hacia abajo). Fuerza de roce o fricción: Es la fuerza aplicada por una superficie a un objeto en contacto con ella. Es paralela a la superficie. Actúa generalmente oponiéndose a cualquier fuerza aplicada exteriormente. (Fig. 2) Tensión: Es la fuerza que las cuerdas flexibles, al estar estiradas, ejercen sobre los objetos que tiran. Las cuerdas flexibles transmiten siempre las fuerzas a lo largo de su longitud. (Fig. 3) Fuerza elástica: Fuerza que ejerce un resorte cuando se estira o se comprime una longitud x. Tiene dirección contraria al estiramiento (o compresión) y su magnitud es proporcional a x. (Fig. 4) Figura 2 Figura 3 10 Figura 4 Fuerza eléctrica: Fuerza que las partículas con carga eléctrica se ejercen entre sí. Fuerza muscular: La postura y el movimiento de los animales están controlados por fuerzas producidas por los músculos. Un músculo consta de un gran número de fibras cuyas células son capaces de contraerse al ser estimulas por impulsos que llegan a ellas procedentes de los nervios. Un músculo está generalmente unido en sus extremos a dos huesos diferentes por medio de tendones (Fig. 5). Los dos huesos están conectados por la articulación que es flexible. La contracción del músculo produce dos pares de fuerzas que actúan sobre los dos huesos y los músculos en el punto donde están ligados los tendones. La fuerza máxima que puede ejercer un músculo depende del área de su sección transversal. Figura 5 Podemos clasificar las fuerzas en: i) Fuerzas de contacto: representan el resultado del contacto físico entre dos objetos. Ejemplos: fuerza normal, fuerza elástica, tensión de una cuerda, fuerza de roce. ii) Fuerzas de acción a distancia o fuerzas de campo: no implican el contacto físico entre dos objetos sino que actúan a través de espacio vacío. Ejemplos: fuerza gravitatoria, fuerza eléctrica, fuerza que un imán ejerce sobre un pedazo de hierro. 2.3 Representación de una fuerza Dijimos en el capítulo anterior que las fuerzas son vectores. Los vectores se representan por flechas. La información que proporcionan es: - El tamaño de la flecha es proporcional al módulo o magnitud, de manera que cuando más intensa sea la fuerza mayor tamaño tendrá la flecha. - La dirección donde se aplica la fuerza es la recta que contiene a la flecha y el sentido se indica con su punta. Figura 6 Figura 7 Dado un sistema de coordenadas de ejes x-y ortogonales entre sí, podemos descomponer un vector F en componentes según los ejes x e y (Fig. 6). Fx = componente de la fuerza F según x. Fy = componente de la fuerza F según y. Las componentes de una fuerza se pueden representar entre paréntesis: F = (Fx, Fy). En la Figura 6 las componentes de la fuerza F son: Fx= | F | cosθ, y Fy = | F | senθ. 11 | F |= F representa el módulo de la fuerza y θ es el ángulo que la fuerza forma con el eje x positivo. Ejemplo: El tendón del bíceps de la Figura 7 ejerce una fuerza de Fm sobre el antebrazo. Si conocemos el módulo de esta fuerza (en este caso vamos a suponer que vale 25 unidades de fuerza, más adelante veremos en que unidades específicas se mide una fuerza) y la dirección que esta fuerza con el antebrazo (en este caso forma un ángulo de 40°), podemos determinar sus componentes paralela al antebrazo (fuerza estabilizadora) y perpendicular al antebrazo (fuerza de sostén). La componente paralela al antebrazo es: Fx = 25 unidades × cos(40°) = 18,16 unidades La componente perpendicular al antebrazo es Fy = 25 unidades × sen(40°) = 16,07 unidades 2.4 Primera ley de Newton: Ley de inercia Todo objeto persiste en su estado de reposo, o de movimiento en línea recta con rapidez constante, a menos que se le apliquen fuerzas que lo obliguen a cambiar dicho estado. O sea, “Las cosas tienden a seguir haciendo lo que ya estaban haciendo”. Veamos esto mediante ejemplos: un libro apoyado sobre una mesa, decimos que se encuentra en reposo. A menos que apliquemos una fuerza, no cambiará ese estado de reposo. Supongamos un disco pulido deslizándose por un piso con roce. Recorrerá una cierta distancia y en algún momento se detendrá, en todo instante actuó sobre él una fuerza de roce. Supongamos ahora que el disco se desliza sobre una pista de hielo, la distancia que recorrerá será mayor. Si se desliza sobre una mesa de aire donde el roce es prácticamente nulo, seguiría moviéndose indefinidamente en línea recta. No hace falta aplicar una fuerza para que un objeto se mueva. Sí es necesario aplicar una fuerza para cambiar su estado de movimiento (esto quiere decir, cambiar su velocidad). Por ejemplo, necesito aplicar una fuerza para superar la fuerza de roce y poner el libro en movimiento. Pero una vez que el libro se encuentra en movimiento en un entorno libre de fuerzas, seguirá moviéndose indefinidamente. Se requiere una fuerza para acelerar un objeto. Figura 8: Ejemplo de la Ley de la inercia. Al frenar la bici, el muchacho (si no se encuentra sujeto a nada) sale despedido a la velocidad en la que iba, tiende a seguir moviéndose a la velocidad que traía ¿Qué es la Masa? Seguramente notarás la diferencia al patear una lata vacía o una lata llena de plomo. Es probable que en este último caso resultes dañado. Decimos que la lata con plomo tiene “más inercia”. La inercia está asociada con la cantidad de materia del objeto, o sea, a la masa del objeto. Cuanto mayor sea la masa de un objeto, mayor será la fuerza necesaria para cambiar su estado de movimiento. No confundir masa con volumen: el volumen es una medida de espacio que ocupa un objeto, se mide en unidades como en m3 o litros o equivalentes. En cambio la masa es una medida de la cantidad de materia, se mide en kilogramos, gramos. No es lo mismo la cantidad de kilogramos que tiene un objeto con el espacio que ocupa. Una caja vacía de 1 m3 ocupa el mismo volumen de 1 m3 que si la caja está llena de arena. Sin embargo, la masa en mucho mayor en la que contiene arena, ya que la cantidad de materia es mayor. Y cuesta más mover a la caja con arena que a la caja vacía. 12 La masa no es lo mismo que el peso: esta es una confusión muy común. La masa depende de la cantidad de materia que posee el objeto, o sea, de la cantidad y tipo de átomos que lo componen. Por tanto, la masa es una propiedad inherente al objeto y vale lo mismo en todos lados, en la Luna, en la Tierra o en cualquier lugar del espacio. Lo que conocemos como peso de un objeto es una medida de la fuerza de atracción gravitatoria sobre ese objeto. El peso depende de la ubicación del objeto debido a la forma que depende la fuerza gravitatoria (depende del inverso al cuadrado de la distancia entre dos cuerpos, entre la Tierra y el objeto en este ejemplo). Para ejemplificar, una roca tiene la misma masa en la Tierra y en la Luna, porque su cantidad de materia no cambia. Sin embargo su peso en la Tierra es distinto que su peso en la Luna. En la superficie de la Luna su peso es una sexta parte de su peso en la Tierra, porque la fuerza gravitatoria en la Luna es seis veces menor que en la Tierra. Si la roca se encontrase en un lugar del espacio donde la fuerza gravitatoria sea nula, su peso sería cero. Aunque no son lo mismo, en la superficie de la Tierra (que es donde generalmente vamos a analizar situaciones a lo largo de este curso) el peso y la masa son proporcionales. Es decir, si duplicamos la masa, el peso se duplica, y un objeto de masa grande es muy pesado. La relación es: Peso= mg (donde g es la aceleración de la gravedad y vale 9,8 m/s2) En el Sistema métrico Internacional (SI), la masa se mide en kilogramos (kg). La unidad de fuerza en el SI es el Newton (símbolo N). Una bolsa de 1 kg de clavos tiene un peso de 9,8 N en la proximidad de la superficie de la Tierra, pesa mucho menos en la Luna, aunque su masa sigue siendo de 1 kg (la cantidad de materia no cambió). La relación entre unidades es: 1 N = 1 kg x (1 m/s2). En el Sistema técnico de unidades, la fuerza se mide en kilogramos fuerza (kgf, kp o kg ), que es la fuerza ejercida sobre una masa de 1 kg (de masa) por la gravedad en la superficie terrestre, esto es 9,8 m/s2. Cuando veamos la 2da Ley de Newton, entenderemos mejor la relación entre estas unidades. 1kgf en el sistema técnico equivale a alrededor de 9,8 N en el SI (para hacer una estimación rápida podemos decir que 1 kgf 10 N). Se propone la unidad kgf de modo que un kilogramo de masa pese un kilogramo fuerza. El uso del kgf da una idea útil porque para asegurarse que se cuenta con una masa de 4 kg basta asegurarse que pesa 4 kgf sin tener que hacer la cuenta de cuántos Newtons representa. Pero hay que tener cuidado porque puede llevar a confusión si no se recuerda que el kgf es una unidad de fuerza y el kg es una unidad de masa. 2.5 Tercera ley de Newton: Principio de acción y reacción Cuando un objeto A ejerce una fuerza sobre otro objeto B, el objeto B ejerce sobre el objeto A una fuerza igual en magnitud y de sentido contrario. Podemos usar la notación FAB para distinguir la fuerza sobre A ejercida por B. Y FBA para la fuerza sobre B que ejerce A. El principio de acción-reacción en notación vectorial se escribe: FAB FBA A una de las fuerzas se la llama fuerza de acción y a la otra de reacción. No importa cuál de los nombres se le da a cada una, pero en general reconocemos como fuerzas de acción las fuerzas que actúan sobre el objeto que estamos estudiando. Las fuerzas de acción-reacción nunca actúan sobre el mismo objeto. Esto es importante de tener en cuenta para identificar las fuerzas que actúan sobre un objeto. 13 Ejemplos de aplicación del principio de acción y reacción: Figura 9: Ejemplos del principio de acción y reacción (arriba). El boxeador puede golpear el saco de arena con gran fuerza, pero con el mismo golpe solo puede ejercer una fuerza diminuta sobre el pañuelo desechable en el aire (abajo). Otro ejemplo: en la interacción entre el martillo y la estaca, cada uno ejerce la misma fuerza sobre el otro. 2.6 Equilibrio Decimos que un cuerpo u objeto está en equilibrio si se encuentra en reposo (equilibrio estático) o en movimiento a velocidad constante (equilibrio dinámico). En este curso nos centraremos en la resolución de problemas de equilibrio estático. Otra forma de enunciar la 1ra Ley de Newton es: Si un objeto está en equilibrio, la fuerza neta actuante sobre el objeto es igual a cero Por fuerza neta o fuerza resultante entendemos a la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. Por tanto, si un objeto está en equilibrio, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto tiene que ser igual a cero. 14 Para resolver situaciones en las que actúen fuerzas e impliquen la aplicación de la 1º Ley de Newton es conveniente realizar un diagrama de cuerpo libre, también llamado de cuerpo aislado. Los pasos sugeridos para encarar estas situaciones son las siguientes: 1. Una vez identificada la situación a analizar, dibujar un diagrama del sistema. 2. Aislar el objeto que se quiere analizar, y realizar un esquema simplificado del objeto bajo estudio. 3. Solo debe mostrar la representación del objeto y las fuerzas que se ejercen sobre él. Nunca debe incluir fuerzas ejercidas por el objeto de interés sobre otros cuerpos y esquemas de otros objetos que ejerzan fuerzas sobre nuestro sistema. 4. Si hay varios objetos, se hace un diagrama para cada objeto 5. Definir un sistema de ejes x-y ortogonales entre sí adecuado para cada objeto y encontrar las componentes de las fuerzas a lo largo de dichos ejes. 6. Aplicar la 1ra Ley de Newton, en componentes x y componentes y. Para resolver situaciones, conviene trabajar separando en componentes según el sistema de coordenadas elegido. Para el caso de cuerpos en equilibrio, de la descomposición tendremos: ∑ Fx 0 (la suma de componentes de las fuerzas según la dirección x que actúan sobre el objeto es cero) ∑ Fy 0 (la suma de componentes de las fuerzas según la dirección y que actúan sobre el objeto es cero) 7. Resolver las ecuaciones para obtener las incógnitas del problema. 2.7 Cuerdas flexibles y tendones Si sobre un bloque sólido actúan solo dos fuerzas, F1 y F2, iguales en magnitud y opuestas en dirección F2 = -F1, el bloque estará en equilibrio. Sin embargo, esta situación difiere netamente de bloque sobre el que no actúan fuerzas. Cuando actúan fuerzas opuestas presionando al bloque se dice que éste está en un estado de compresión. Del mismo modo, un bloque en equilibrio puede tener dos fuerzas opuestas tirando de él, en este caso se dice que el bloque se encuentra en un estado de tensión. El módulo T de la tensión es igual al módulo de una u otra de las fuerzas que actúan sobre él: T = F1 = F2 (empleamos los símbolos en cursiva para indicar sólo el módulo de la fuerza). Una cuerda flexible tal como una cinta, una piola o un tendón, posee varias propiedades especiales: 1) Puede hallarse en un estado de tensión pero no de compresión. 2) Sólo puede transmitir una fuerza en sentido longitudinal. 3) La tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda. Los tendones son empleados para cambiar la dirección de una fuerza, sin modificar su módulo. Por ejemplo, en biomecánica los tendones cambian la dirección de la fuerza de un músculo. Estos tendones pasan por encima de los huesos que funcionan a modo de poleas. Los fluidos lubricantes reducen casi a cero el rozamiento entre el tendón y el hueso. 2.8 Ejemplos de aplicación de problemas de equilibrio Con la primera y tercera ley, más todo lo que aprendimos sobre las fuerzas podemos resolver situaciones de equilibrio: 1) Supongamos la siguiente situación: dos personas tratan de mover un bloque muy grande (fig. 10) . El bloque, sin embargo, no se mueve. Cristian empuja el bloque mientras Pamela tira de él mediante una cuerda. El sistema u objeto a analizar es el bloque. “Aislamos” al bloque del resto (lo separamos de las personas que tiran/empujan, de la Tierra, del piso). Simbolizamos al bloque mediante un punto. Identificamos y dibujamos las fuerzas que se ejercen sobre el bloque, considerando las direcciones de estas fuerzas que indicamos con la flecha del vector de fuerza correspondiente. Conviene agregar el sistema de coordenadas que estamos usando (ejes x-y). 15 Figura 10 Indicamos las fuerzas con notaciones que podamos reconocer: FCB es la fuerza que Cristian ejerce sobre el bloque; FPB es a fuerza que Pamela ejerce sobre el bloque N es la fuerza normal de contacto que el piso ejerce sobre el bloque Fr es la fuerza de roce entre el bloque y el piso, ejercida sobre el bloque. PB es la fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el bloque (Peso del bloque). Descomponemos las fuerzas según componentes x e y. En este caso, cada fuerza solo tiene una componente (o bien x, o bien y), así que su componente tendrá el valor de su magnitud. Para la componente x, la 1ra ley se escribe: FCB FPB Fr 0 Al escribir la 1ra ley según la componente x, estamos trabajando con las proyecciones de las fuerzas según x; consideramos el sentido de la fuerza según con signo positivo (si apunta hacia la derecha) o negativo (si apunta hacia la izquierda). Para la componente y, la 1ra ley se escribe: N PB 0 2) Supongamos un bloque de 10 N de peso (de masa 1 kg, si usamos la aproximación g 10 m/s2) que cuelga de un solo dinamómetro (o balanza de resorte). Como el sistema está en equilibrio (Fig. 11), el dinamómetro debe indicar 10 N (la fuerza que ejerce el dinamómetro equilibra la fuerza peso del bloque). Si ahora el bloque cuelga de dos dinamómetros verticales ¿cuánto indica cada uno? Los dos dinamómetros deben equilibrar al peso del bloque de 10 N. Por tanto, la resultante de la fuerza que ejercen los dos dinamómetros en conjunto debe ser de 10 N. Si están orientados verticalmente, entonces 10 N= 5 N + 5 N. Figura 11 ¿Qué sucede si los dinamómetros no están en posición vertical? Supongamos que están formando un ángulo con la vertical. ¿Cuánto indicará cada uno? Si el ángulo aumenta, ¿que pasará con lo que indican los dinamómetros, la fuerza que ejercen aumenta o disminuye? Dicho de otra forma, ¿los resortes del dinamómetro se alargan más o menos? Figura 12 Se estiran más, aumenta la fuerza que indican a medida que aumenta el ángulo con la vertical. Una forma rápida para llegar a la respuesta es aplicando la regla del paralelogramo para encontrar la fuerza resultante de los dinamómetros que tiene que ser de 10 N (ver Fig. 12). A medida que aumenta el 16 ángulo, los lados del paralelogramo son cada vez mayores para cumplir la condición de que la suma sea 10 N. 3) La Figura 13 muestra dos pesas A y B unidas por una cuerda que pasa por una polea sin roce. Supongamos que todo el sistema está en equilibrio y sea Fg la fuerza de gravedad sobre la pesa A. ¿Cuál es la fuerza de la gravedad F’g sobre la pesa B? De acuerdo con la primera ley, la cuerda debe ejercer una fuerza Fc = -Fg sobre A dirigida hacia arriba y, por la tercera ley, la pesa ejerce entonces la fuerza de reacción Rc = -Fc = -(-Fg) = Fg sobre la cuerda y hacia abajo (Fig. 11). Con la fuerza Rc aplicada a un extremo, la cuerda posee una tensión T = Rc = Fg. Esta tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda (la polea carece de rozamiento), y de este modo la fuerza R’c que ejerce hacia abajo la pesa B sobre la cuerda también es igual en módulo a T. La reacción a R’c es F’c = -R’c, que es una fuerza dirigida hacia arriba que actúa sobre B (Fig. 14). De nuevo por la primera ley, la fuerza total sobre B es cero, luego la fuerza de la gravedad F’g es igual a -F’c = R’c y posee un módulo igual a T = Fg. Por lo tanto, las dos pesas en equilibrio deben pesar lo mismo. Figura 13 Figura 14 Figura 15 4) Analicemos el dispositivo de la Figura 15, cuya finalidad es aplicar una tensión sobre las estructuras cervicales. El bloque de 6 kg está en equilibrio, entonces la suma de fuerzas que actúan sobre el bloque es cero. Sobre el bloque actúan dos fuerzas: su peso hacia abajo y la fuerza que ejerce la cuerda hacia arriba. De aquí se obtiene que el valor de la fuerza que ejerce la cuerda es de 6 kp. Si la cuerda ejerce sobre el bloque una fuerza de 6 kp hacia arriba, entonces, por el principio de acción y reacción, el bloque hace sobre la cuerda una fuerza de 6 kp hacia abajo. La cuerda posee entonces una fuerza de tensión de 6 kp, que es la misma en todos los puntos de la cuerda (suponemos que la polea carece de rozamiento) y en particular en ambos extremos, de aquí que la cabeza debe ejercer sobre la cuerda una fuerza de 6 kp dirigida hacia la derecha. La reacción a ésta es una fuerza de 6 kp hacia la izquierda, ejercida por la cuerda sobre la cabeza. Vemos entonces que la cuerda se halla en estado de tensión, con dos fuerzas de igual magnitud que tiran de ella: la fuerza del bloque de 6 kp y la fuerza de la cabeza. 17 2.9 Segunda ley de Newton: Relación entre fuerza y aceleración ¿Qué pasa si la fuerza neta (o fuerza resultante) que actúa sobre un cuerpo es diferente de cero? De eso trata la 2da Ley de Newton: La fuerza resultante FR que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de la masa m del cuerpo por su aceleración a : FR ma Esto quiere decir que la aceleración que adquiere un objeto es directamente proporcional a la fuerza resultante aplicada sobre él, tiene la dirección de la fuerza resultante y es inversamente proporcional a la masa del objeto. ¿Qué es la aceleración? Si existe un cambio en el estado de movimiento, o sea, si cambia la rapidez o la dirección de la velocidad, hay una aceleración. La velocidad es una magnitud vectorial, por lo tanto está caracterizada por su módulo (rapidez) y su dirección. Un cambio en el estado de movimiento implica un cambio en su velocidad (en su módulo y/o dirección). En un auto el acelerador produce un aumento de la rapidez, el freno una disminución de la rapidez y el volante un cambio de dirección. La aceleración tiene dimensiones de longitud/tiempo2, y se mide en unidades de, por ejemplo, metros/segundos2 (m/s2). Por otra parte, la velocidad tiene dimensiones de [l/t] y una unidad de medida es m/s. Aceleración = cambio en la velocidad/intervalo de tiempo (cantidad vectorial) Las fuerzas resultantes son la causa que un objeto se acelere (cambie su estado de movimiento). Imagináte empujando un carrito de supermercado vacío que está inicialmente en reposo. Si ahora el carrito está lleno de mercadería y lo empujás aplicando la misma fuerza que cuando estaba vacío (igual en magnitud y dirección), la aceleración será menor. ¿Por qué? Porque la aceleración que adquiere depende de la masa del carrito. A mayor masa menor aceleración, a menor masa mayor aceleración. Esto se expresa diciendo que dada una fuerza, la aceleración que produce es inversamente proporcional a la masa. 18 Preguntas y ejercicios 1) Indicar cual es la única afirmación falsa: a) Las fuerzas de acción y reacción actúan sobre diferentes cuerpos. b) Si un cuerpo está en equilibrio, la suma de fuerzas que actúan sobre él es cero. c) Un cuerpo se acelera en la misma dirección que la fuerza resultante que actúa sobre él. d) La fuerza de contacto normal sobre un cuerpo es la fuerza de reacción de su peso. e) Si un cuerpo se mueve a velocidad constante, la suma de fuerzas que actúan sobre él es cero. 2) Si una persona tiene una masa de 80 kg ¿cuál es su peso en Newtons?, ¿y en kgf? (b) ¿cuánto mide la masa de tu cuerpo en la Tierra? ¿y en la Luna? 3) Una persona de 70 kg se encuentra en reposo parada sobre el piso. La persona sostiene por encima de su cabeza una barra de 20 kg. (a) Encuentre la fuerza que el piso hace sobre la persona. (b) ¿Cuál es la fuerza que la persona hace sobre el piso? 4) Sobre un objeto de 5 kg, que se encuentra en equilibrio, actúan 3 fuerzas. La primera tiene una magnitud de 23 N y apunta hacia la derecha, la segunda tiene una magnitud de 16 N y apunta hacia la izquierda. Encuentre la magnitud y la dirección de la tercera fuerza. 5) Encima de un bloque de 4 kg colocado sobre una mesa se coloca otro bloque de 12 kg. Dar el módulo y la dirección de las siguientes fuerzas: a) Fuerza gravitatoria sobre el bloque de 4 kg. b) Fuerza de contacto ejercida por la mesa sobre el bloque de 4 kg. c) Fuerza de contacto ejercida por el bloque de 12 kg sobre el bloque de 4 kg. d) Fuerza de contacto ejercida por el bloque de 4 kg sobre el bloque de 12 kg. e) De estas fuerzas, ¿cuales son pares de acción y reacción? 6) Comparada con tu peso, ¿cuál es la fuerza de tensión que actúa sobre tu brazo cuando estás colgado de un brazo sin moverte? ¿Y cuando estás colgado con los dos brazos verticalmente? Si te cuelgas con las manos muy separadas, es mayor o menor esta fuerza? 7) El tendón del bíceps de la figura ejerce una fuerza Fm de 7 kgf sobre el antebrazo. El brazo aparece doblado de tal manera que esta fuerza forma un ángulo de 40º con el antebrazo. Hallar las componentes de Fm (a) paralela al antebrazo (fuerza estabilizadora) y (b) perpendicular al antebrazo (fuerza de sostén). Rta: (a) 5,4 kgf; (b) 4,5 kpf. 8) Para pensar: ¿qué mide una balanza: masa o peso? ¿Depende de la balanza, importa de qué tipo de balanza se trata, de resortes o de platillos? 9) La figura (P.9) muestra dos cuerpos unidos por una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento. Todo el sistema se encuentra en equilibrio. El cuerpo B tiene una masa de 3 kg. Encuentre el valor de la tensión de la cuerda y la masa del cuerpo A. 10) ¿Cuáles son las tensiones T1 y T2 de las cuerdas de la figura (P. 10)? 11) ¿Cuál es la tensión de la cuerda de la figura (P.11)? 12) ¿Cuáles son las tensiones T1, T2 y T3 de las cuerdas de la figura (P. 12)? 19 Problema 9 Problema 10 Problema 11 13) La figura representa un hombre de 70 kg de pie con los pesos de diferentes partes de su cuerpo indicados. a) ¿Cuál es el módulo de la fuerza de contacto que sostiene la cabeza y el cuello? b) ¿Cuál es la fuerza que sostiene a un brazo? c) ¿Cuál es la fuerza total que sostiene al tronco en las dos articulaciones de la cadera? d) ¿Cuál es la fuerza de contacto total en las articulaciones de la rodilla? e) Si el hombre se apoya en un pie, ¿cuál es la fuerza de contacto sobre la articulación de la rodilla sobre la que está apoyado? f) ¿Cuál es la fuerza en la articulación de la rodilla que sostiene la pierna que no se apoya en el suelo? (Rta: c) 49 kp, e) 66 kp, (f) 4 kp) Problema 13 14) Hallar la fuerza que ejerce sobre el pie el dispositivo de tracción de la figura. (Rta.: 4,6 kp, en dirección 15º respecto de la vertical) Problema 14 20 Problema 12 3. Momento 3. 1 Momento de una fuerza La primera ley de Newton es una condición necesaria para el equilibrio de un objeto, pero no suficiente. Consideremos las dos fuerzas F1 y F2 que actúan sobre el bloque de la Figura 1. Aún en el caso en que F2 = - F1 , es decir la fuerza neta sobre el bloque es cero, el bloque se moverá efectuando una rotación. La condición F1 + F2 = 0 sólo asegura que un punto del bloque (su centro de gravedad) permanece en reposo. Se necesita una segunda condición para asegurar que el bloque no se pone a girar. Figura 1 Figura 2 La tendencia de una fuerza a originar una rotación alrededor de un punto depende del módulo de la fuerza y de su distancia al punto. Veamos por ejemplo el caso de Figura 2: el chico ejerce sobre la tabla una fuerza de 500 N y tiende a hacerla girar en el sentido de las agujas del reloj, mientras que la chica ejerce sobre la tabla una fuerza de 250 N que tiende a hacerla girar en el sentido contrario a las agujas del reloj. A pesar de la desigualdad de estas fuerzas, el tobogán está en equilibrio si el chico se sienta más cerca del eje que la chica. El tobogán está en equilibrio o balanceado si la fuerza que ejerce el chico multiplicada por su distancia al eje es igual a la fuerza que ejerce la chica multiplicada por la distancia que la separa al eje. De este modo, si el chico se sienta a 1,5 m del eje o pivote puede equilibrar a la chica sentada a 3 m del eje, puesto que: 250 N × 3 m = 750 N×m = 500 N × 1,5 m Para extender esta regla a otra situaciones, vamos a introducir el concepto de momento, al considerar la fuerza F y el punto de apoyo O mostrado en la Figura 3. En todas figuras de este capítulo, el eje de rotación se supone perpendicular al plano de la figura. Definimos el módulo del momento (τO) ejercido por una fuerza F alrededor de un eje que pasa por el punto O como: O Fd O sea, τO es el producto del módulo de la fuerza (F) por la distancia al punto O medida perpendicularmente ( d ). El momento lo definimos positivo (+) si tiende a producir una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj y negativo (-) en caso contrario. El momento es una medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza a producir rotación alrededor de un eje perpendicular a un punto. Si se desea hacer que se mueva un objeto en reposo hay que aplicarle una fuerza, y si se desea que comience a girar un objeto en reposo hay que aplicarle un momento. La unidad de momento es el N.m o el kp.m. 21 Existen dos características muy importantes del momento: 1- El módulo y el signo del momento producido por una fuerza depende del punto O alrededor del cual se lo calcula. 2- La distancia d que aparece en la expresión del momento es la distancia perpendicular desde el punto O a la línea de acción de la fuerza (ver Figura 3). Es la distancia más corta entre la fuerza aplicada y el eje de rotación, y se lo suele llamar “brazo de palanca”. Figura 3 Los momentos generados por las fuerzas sobres los cuerpos que actúan pueden ser: Momentos Positivos .-Todos aquellos que hacen girar al cuerpo en el sentido contrario a las agujas del reloj ( giro Antihorario) Momentos Negativos .- Todos aquellos que hacen girar a los cuerpos en el sentido de las agujas del reloj(giro Horario) Momentos nulos .- Todos aquellos donde la línea de acción de las fuerzas pasan por el punto de giro(No genera giro). F d Momento negativo F F d Momento positivo Momento nulo Figura 4 Tenemos mayor probabilidad de lograr girar el tornillo de la Figura 5 si una misma fuerza se aplica perpendicular al mango de la llave, en vez de en dirección oblicua. El la primera figura el brazo de palanca es menor que la longitud del mango de la llave. En la segunda figura el brazo de palanca es igual a la longitud del mango. En la tercera figura ese brazo se prolonga con un tubo, para hacer mayor palanca y tener mayor momento. Figura 5 22 3. 2 Condiciones de equilibrio Un objeto que no tiene tendencia a ponerse a girar se dice que está en equilibrio rotacional. Para que un objeto esté en equilibrio rotacional la suma de los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre el objeto debe ser nula. Para que un objeto se encuentre en equilibrio estático deben cumplirse dos condiciones: 1) La suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto debe ser cero (1ºley de Newton, equilibrio traslacional): F j 0 j 2) La suma de todos los momentos que se ejercen sobre el mismo debe ser cero (equilibrio rotacional): j 0 j Al aplicar la condición de que la suma de momentos es cero, todos los momentos deben calcularse alrededor del mismo punto. Si el objeto está en equilibrio no importa dónde esté localizado ese punto. 3. 3 Centro de gravedad El problema de calcular el momento producido por la fuerza de la gravedad sobre un objeto extenso requiere una especial consideración porque la gravedad actúa sobre cada punto del objeto. En el brazo extendido en la figura 6 existen fuerzas gravitacionales sobre cada átomo del brazo. Cada una de estas fuerzas tiene su propia línea de acción y produce su propio momento. La suma de todas estas fuerzas es la es la fuerza total de gravedad o peso del brazo Fg y la suma de todos los momentos es el momento total τg debido a la gravedad. El momento gravitatorio τg producido por la fuerza de gravedad sobre un objeto extenso se calcula en términos del peso del objeto Fg y de la posición de un punto especial llamado centro de gravedad. Centro de gravedad: Es el punto donde puede suponerse actúa la fuerza total de gravedad, a efectos de calcular el momento gravitatorio τg. Por ejemplo, en la Figura 6, el centro de gravedad (cg) está localizado a 28 cm de la articulación del hombro (punto O). Si el brazo pesa 3 kp, el momento alrededor de O producido por la fuerza de gravedad o peso es: τg = -Fg . d = - 3 kp × 0,28m = - 0,84 kp×m el signo menos (-), recordemos, aparece porque la fuerza de gravedad tiene a producir un giro en sentido horario respecto a O. Figura 6 23 El centro de gravedad posee rasgos característicos: 1) La fuerza de gravedad sobre un objeto produce un momento nulo alrededor de su centro de gravedad. Por definición, la línea de acción de la fuerza de gravedad pasa por el centro de gravedad y, así, la distancia del centro de gravedad a esta línea es cero. Ejemplo: Localicemos el centro de gravedad del objeto de la Figura 7, que consiste en dos masas A y B conectadas por una barra de peso despreciable. Suponemos que el centro de gravedad está situado a una distancia x del peso A. Entonces, los momentos alrededor del centro de gravedad debidos a las fuerzas gravitatorias individuales de A y B son: τA = FA x y τB = -FB (d – x) Como el momento total alrededor del centro de gravedad debido a las fuerzas gravitatorias es nulo, obtenemos: FA x– FB (d – x) = 0 lo que nos lleva a x = FB d/(FA + FB) Figura 7 Figura 8 Entonces, si por ejemplo A y B valen 10 kp y 5 kp, respectivamente, y la distancia d entre ellos vale 3m, se obtiene que el centro de gravedad está situado a una distancia x = 1 m medido desde A. 2) El centro de gravedad de un objeto rígido es el punto de equilibrio. Si se sitúa un solo soporte directamente bajo el centro de gravedad de un objeto (ver Figura 8), la fuerza de contacto Fc que el soporte ejerce sobre el objeto es igual a –Fg, y de aquí que la fuerza total sobre el objeto sea cero. Además, tanto Fc como Fg producen momentos nulos alrededor del centro de gravedad, ya que sus líneas de acción pasan por él. Por consiguiente, el momento total alrededor del centro de gravedad es cero y el objeto está en equilibrio. 3) En un objeto rígido el centro de gravedad es un punto fijo con respecto al objeto, aunque no esté necesariamente localizado en el objeto mismo. Por ejemplo, en las Figuras 7 y 8, el centro de gravedad de la barra y de los pesos es un punto fijo de la barra y no varía su posición cuando la barra se desplaza. La banana y la galletita de la Figura 9 tienen ambas su centro de gravedad fuera de cada objeto. 24 Figura 9 4) En un objeto flexible, como el cuerpo humano, la posición del centro de gravedad varía cuando el objeto cambia de forma. El centro de gravedad de un hombre, que permanece de pie y derecho, está localizado al nivel de la segunda vértebra sacra sobre una línea vertical que toca el suelo a unos 3 cm por delante de la articulación del tobillo. Si el hombre levanta los brazos sobre su cabeza, el centro de gravedad sube unos centímetros. Si una persona toma la posición de la Figura 10, su CG queda fuera del cuerpo. Figura 10 5) Para objetos con cierta simetría, el centro de gravedad se sitúa siempre en el centro, el eje o el plano de simetría. Por ejemplo, en una esfera, un cubo o un cilindro homogéneos, el CG está en el centro geométrico. 6) Para un sistema formado por varios cuerpos extensos, el CG se calcula como si cada uno de ellos fuera puntual y todo su peso estuviera concentrado en su CG. 3. 4 Principio de equilibrio Vimos que para que un objeto esté en equilibrio, la suma de las fuerzas y la suma de los momentos que actúan sobre él deben ser cero por separado. Si el momento neto no es cero, el objeto está sin equilibrar y girará en el sentido del momento total, distinto de cero, que actúa sobre él. Figura 11 Figura 12 25 Consideremos el libro sobre la mesa de la Figura 11. La fuerza de contacto o normal Fc que ejerce la mesa sobre el libro está distribuida por toda el área de contacto entre el libro y la mesa, pero lo mismo que la fuerza de gravedad Fg, se puede considerar que la fuerza de contacto total actúa en un punto único localizado dentro de esta área. Mientras el centro de gravedad del libro esté sobre el área de contacto, el punto de aplicación de Fc estará situado en la misma vertical como se muestra en la Figura 11. En este caso, el momento total y la fuerza total sobre el libro son nulos y el libro está en equilibrio. Cuando el libro se desplaza un poco más fuera de la mesa, el punto de aplicación de Fc se mueve hacia el borde de la mesa a fin de permanecer bajo el centro de gravedad, pero su punto de aplicación no se puede desplazar más allá del borde de la mesa (porque no hay contacto). Cuando el centro de gravedad rebasa el borde de la mesa, como se muestra en la Figura 12, la fuerza de contacto permanece en el borde y el momento total sobre el libro ya no es cero. El momento total alrededor de O es -Fg d. Este es un momento en el sentido de las agujas del reloj que hace girar al libro y que por lo tanto hace que se caiga de la mesa. Principio de equilibrio: Si la fuerza de contacto o normal Fc y la fuerza de atracción gravitatoria o peso Fg son las únicas fuerzas que actúan sobre un objeto, éste estará equilibrado si y solamente si su centro de gravedad está localizado sobre su área de apoyo. Para el cuerpo humano, el principio de equilibrio requiere que nuestro centro de gravedad esté por encima de nuestra área de apoyo que viene definida por la posición de nuestros pies. Figura 13 La Figura 13 muestra diferentes ubicaciones de nuestros pies delimitan diferentes áreas de apoyo. Estamos en equilibrio siempre que nuestro centro de gravedad esté en la línea vertical que pasa por algún punto dentro del área de apoyo. En posición de firmes, el CG está normalmente sobre una línea que pasa a unos 3 cm por delante de las articulaciones del tobillo. Según el principio de equilibrio, Fg y la fuerza de contacto Fc en la articulación del tobillo no son las únicas fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por encima del tobillo. Para mantener el equilibrio y evitar que el cuerpo realice un movimiento de rotación hacia adelante, hace falta una tercera fuerza. Esta fuerza la aplica a cada pierna el músculo del tendón de Aquiles, que va unido al tobillo. Los CG de la mayoría de las secciones del cuerpo no están encima de las articulaciones de apoyo, sino que hacen falta fuerzas musculares para mantener el equilibrio (ver Fig. Problema 12) 3. 5 Estabilidad En la práctica, el principio del equilibrio no es suficiente para garantizar el equilibrio. Por ejemplo, sería posible mantener momentáneamente una regla en posición vertical (Figura 14). Sin embargo, como su centro de gravedad está tan alto por encima de un área de apoyo muy pequeña, cualquier pequeña vibración de la mesa hace que el centro de gravedad se salga de dicha área. Tan pronto sucede esto, el momento sobre la regla hace que ésta se caiga, como se indica en el dibujo de la derecha de la Figura 14. Es decir, una regla, por su pequeña área de apoyo y la posición elevada de su centro de gravedad se desequilibra al sufrir la más ligera perturbación. Este tipo de equilibrio se denomina inestable. 26 La Figura 15 muestra una caja apoyada sobre una mesa. La caja está en equilibrio y este tipo de equilibrio es estable porque si se la inclina ligeramente de modo que ya no esté en equilibrio, el momento total sobre ella la hace volver a su posición de equilibrio, como se indica en el dibujo de la derecha de la Figura 15. Una buena estabilidad se obtiene teniendo el centro de gravedad de un objeto en una posición baja por encima de un área de apoyo grande. Para un cuadrúpedo, el área de apoyo es el área que hay entre las cuatro patas, lo cual hace que el animal tenga una gran estabilidad. Un hombre erguido tiene un área de apoyo pequeña (el área delimitada por sus dos pies) y mecánicamente no es muy estable. Figura 14 Figura 15 A lo largo de la evolución los animales han desarrollado posturas cada vez más inestables. La inestabilidad resultante permite moverse más rápidamente, pero requiere un control neuromuscular complejo para mantener el equilibrio. A un niño le cuesta un año aproximadamente desarrollar el control neuromuscular suficiente para mantenerse en pie sin ayuda. 3. 6 Ejemplos de equilibrio en los que interviene el momento Veamos algunos ejemplos donde tenemos que utilizar las dos condiciones de equilibrio estático vistas en la sección 3.2. 1) La Figura 16 muestra las fuerzas sobre un hombre en posición erecta, con su centro de gravedad a mitad de la distancia entre sus pies. Hallar las fuerzas que ejerce el suelo sobre los pies derecho (FR) e izquierdo (FL), si el peso del hombre (Fg) es de 82 kgf. El centro de gravedad del hombre se encuentra en la línea recta que pasa por el punto medio de la distancia entre sus pies, que es de 30 cm. Por la primera ley de Newton, la suma de las fuerzas ejercidas sobre el hombre es cero, FR + FL + Fg = 0 y por lo tanto, como estas fuerzas son paralelas, sus módulos satisfacen la relación: FR + FL = 82 kgf (1) Figura 16 27 Para hallar los módulos individuales FR y FL hacemos uso de la condición de equilibrio rotacional. Los momentos pueden tomarse alrededor de cualquier punto, pero en este caso conviene que los tomemos alrededor del punto O, que es donde FL actúa sobre el pie izquierdo. Si la separación entre los pies del hombre es de 30 cm, los momentos en este punto son τL = F L × 0 = 0 τR = -FR × 0,3 m τg = Fg × 0,15m = 82 kgf × 0,15 m = 12,3 kgf.m Como la suma de los momentos tiene que ser cero, tenemos - FR × 0,3 m + 12,3 kgf.m = 0 por lo tanto, despejando se obtiene que FR = 41 kgf Poniendo este resultado en la ecuación (1) nos da FL = 41 kgf El punto O nos conviene en este caso porque una de las dos incógnitas pasa a través de él. Esta incógnita es eliminada así de la primera parte del problema puesto que su momento alrededor de O es cero. Se necesita un poco más de álgebra si los momentos los tomamos alrededor del punto O’, que está en la línea de acción de Fg, pero el resultado final será el mismo. 2) ¿Dónde se halla el centro de gravedad de un hombre de 82 kgf cuando está de pie de modo que la fuerza sobre su pie izquierdo, herido, no sobrepase los 20 kgf? Como en el ejemplo 1), se supone que los pies están a 30 cm uno del otro (Fig. 17). Para averiguar dónde se halla el centro de gravedad, se repite el cálculo empezando con el conocimiento de que FL = 20 kgf; la distancia d de la línea de acción de la fuerza gravitatoria perpendicular al pie izquierdo es desconocida. De la ecuación (1) obtenemos que FR = 62 kgf; por lo tanto los momentos alrededor de O son τL = 20 kgf × 0 = 0 τR = - 62 kgf × 0,3 m = -18,6 kgf.m τg = 82 kgf × d y la suma es -18,6 kgf.m + 82 kgf × d = 0 Despejando, se obtiene que la posición del centro de gravedad es: d = 0,227 m El centro de gravedad se aparta entonces del pie herido en dirección al pie bueno. Esto se logra doblando el cuerpo hacia la derecha y adoptando una postura típica de cojeo (Fig. 17). Figura 17 28 Preguntas y ejercicios 1) Indicar cual es la única afirmación falsa: a) Si un cuerpo está en equilibrio, la suma de los momentos que actúan sobre él alrededor de cualquier punto es cero. b) El centro de gravedad de un objeto siempre está dentro del objeto. c) Si las únicas fuerzas que actúan sobre un objeto son su peso y la fuerza de contacto, el objeto está en equilibrio si su centro de gravedad está localizado sobre su área de apoyo. d) La fuerza de gravedad sobre un objeto produce un momento nulo alrededor de su centro de gravedad. e) La posición del centro de gravedad varía cuando un cuerpo cambia de forma. 2) Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos de la forma indicada en la figura. ¿En qué situaciones se enrosca el tornillo, en que situaciones se desenrosca el tornillo, cuáles producen el mismo resultado (mismo momento) o son equivalentes? 3) (a) ¿Cuánto valen los momentos alrededor de la muñeca, el codo y el hombro cuando una persona sostiene con el brazo extendido un peso de 5 kgf? (Despreciar el peso del brazo). (b) ¿Depende el valor del momento del punto alrededor del cuál se calcula? ¿Son todos del mismo signo? (c) ¿cuál es el momento alrededor del codo cuando se sostiene el peso de 5 kgf de forma tal que el brazo forma con el cuerpo un ángulo de 30º? ¿Es menor o mayor que en el caso (a)? Rta.: (c) -0,7625 kgf.m Problema 3 4) ¿Con cuál de estas herramientas es más fácil abrir una lata de pintura cuya tapa está pegada: un destornillador con el mango grueso o un destornillador con el mango largo? ¿Cuál de los dos es mejor para aflojar tornillos atascados? Explicar las respuestas. 5) Un padre y su hija que pesan 800 y 350 N, respectivamente, se encuentran sobre un sube y baja, que consta de una tabla uniforme de 40 N, apoyada sobre un pivote que se encuentra bajo el centro de gravedad (CG) de la tabla y a 1 m del padre. (a) ¿Cuánto vale la magnitud de la fuerza normal que el pivote ejerce sobre la tabla? (b) ¿A qué distancia x del pivote debe ubicarse la hija para que el sistema se encuentre equilibrado? (Rta.: (a) 1190 N; (b) 2,29 m) 29 Problema 6 6) Un metro uniforme de madera apoyado en la marca de 25 cm se equilibra cuando una roca de 1 kg se cuelga en el extremo de 0 cm. ¿Cuál es la masa del metro de madera? 7) Hallar las fuerzas que ejerce el suelo sobre los pies derecho e izquierdo de un hombre de 76 kgf que está en posición recta (ver Figura P. 7). Su CG se encuentra en la línea recta que pasa por el punto medio de la distancia entre sus pies, que es de 28 cm. 8) ¿Dónde se halla el CG de un hombre de 70 kgf cuando está de pie de modo que la fuerza sobre su pie izquierdo, herido, es de 30 kgf? La distancia entre sus pies es de 24 cm (ver figura P. 8). Problema 7 Problema 8 Problema 9 9) Los adultos jóvenes pueden ejercer una fuerza máxima de 40 kgf sobre el aparato que se muestra en la figura (P. 9), suponiendo que el aparato se coloca a 28 cm del codo y el bíceps está unido a 5 cm del codo. Determinar los módulos de las fuerzas ejercidas por (a) el bíceps y (b) el húmero. (Rta.: (a) 224 kgf, (b) 184 kgf). 10) Un atleta de 80 kg está preparado para dar un salto hacia arriba como se indica en la figura. ¿Cuáles son los módulos de las fuerzas que soporta el piso? Problema 10 11) ¿Por qué es peligroso abrir los cajones de un archivero completamente lleno que no esté asegurado con firmeza al piso? 30 12) Estando en postura erecta, el centro de gravedad del cuerpo está sobre una línea que cae a 3 cm delante de la articulación del tobillo (ver Figura). El músculo de la pantorrilla (el grupo de músculos del tendón de Aquiles) se une al tobillo a 4,5 cm por detrás de la articulación y sube en un ángulo de 83º. (a) Hallar la fuerza Fm en este músculo para un hombre de 70 kgf de peso que esté de pie (recordar que cada pierna soporta la mitad del peso del hombre). (b) ¿Cuál es la fuerza de contacto Fc, ejercida en la articulación del tobillo? 4,5 cm 3 cm Problema 12 13) En las caricaturas que se muestran en la figura la cruz indica la posición del CG y la línea vertical a rayas indica la línea de acción de la fuerza peso. (a) Dibujar el área de apoyo para cada caso, (b) ¿cuál de las posturas corresponden a situaciones de equilibrio y por qué? ¿Las posturas que son de equilibrio corresponden a equilibrio estable o a equilibrio inestable? 14) Trata de tocarte los dedos de tus pies sin flexionar las rodillas y sin caerte. Ahora intenta hacer lo mismo pero fijando tus talones contra una pared. ¿Qué observas? Señala la razón del resultado. Bibliografía [1] P. A. Hewitt, Física Conceptual, Addison-Wesley [2] A. H. Cromer, Física para las Ciencias de la Vida, Ed. Reverté, 2da edición. 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