CIRCUITOS R-C

CIRCUITOS R-C
Estamos en posibilidad de analizar los circuitos en los cuales los elementos pasivos ya no son solamente
resistores, sino que se combinan con otro tipo de elementos pasivos: LOS CAPACITORES.
En este tipo de circuitos, al conectar un capacitor, éste se carga, pero lo hace tomando un tiempo para hacerlo,
esto implica que la corriente que circula en el circuito ya no es constante sino variable.
El circuito RC más simple, es la conexión en serie de un fuente de f.e.m., una resistencia y un capacitor, como
el que se muestra en la figura:
El circuito cuenta con un conector de 2 tiros, por medio del cual el extremo "a" de la resistencia se conecta
con la fuente de f.e.m. a través del punto "p", o se conecta con el punto "s" cerrando el circuito entre la
resistencia y el capacitor, eliminando la conexión con la fuente de f.e.m.
Suponemos que inicialmente el condensador está descargado. Al cerrar el circuito con la f.e.m., a través del
punto "p", comienza a circular una corriente i por el circuito, provocando que exista una diferencia de
potencial VR en los extremos del resistor, otra diferencia de potencia VC en los extremos del capacitor, las
cuales se combinan con la f.e.m. que cumplen la primera ley de Kirchoff en la forma siguiente:
E − V R − VC = 0
esta ecuación se convierte en:
E - i R − VC = 0
la corriente que circula por el resistor es dada por
i=
dq
, mientras que en el condensador, la carga que se ha
dt
acumulado en un cierto instante es "q", entonces en sus extremos está presente la diferencia de potencial
VC =
q
C
en consecuencia, la ecuación de subidas y caídas de potencial se convierte en:
E- R
dq q
− =0
dt C
que es una ecuación diferencial que rige el comportamiento de la carga que se almacena en el capacitor y su
tasa de variación en el tiempo en el circuito.
Esta ecuación puede escribirse en la forma:
dq
1
E
+
q=
dt RC
R
que tiene la forma de una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes y no
homogénea, cuya solución es dada por medio de:
∫e
q(t ) = e − at
at
b(t ) dt + c e − at
en donde "a" y "b(t) son el coeficiente constante y la función de no homogeneidad de la ecuación, es decir:
1
RC
E
b(t ) =
R
a=
de tal manera que la solución general de esa ecuación diferencial es dada por:
q (t ) = e
−t
RC
∫e
t
RC
E
−t
dt + k e RC
R
donde k es una constante de integración hasta ahora indeterminada.
Al resolver la antiderivada presentada en la solución general anterior, llegamos a:
q(t ) =
e
−t
RC
C ∫e
t
RC
E
dt + k
RC
e
−t
RC
= CE
e
−t
RC
e
t
RC
+k
e
−t
RC
= CE + k
e
−t
RC
de tal manera que la solución general tiene la forma:
q(t ) = CE + k e
−t
RC
sobre esta solución general debemos aplicar la condición inicial:
Cuando t=0, q=0, que nos indica que al inicio, al conectar el circuito en el punto "p", la carga del condensador
es nula.
Por ello, la solución que se acopla a esa condición inicial es:
q ( 0) = C E + k e
−0
RC
= CE + k e 0 = CE + k = 0
a partir de esa ecuación tenemos que el valor de la constante de integración es:
k = − CE
de tal manera que la solución que buscamos es dada por:
q (t ) = CE − CE
e
−t
RC
= CE ⎛⎜1 ⎝
e
−t
RC
⎞⎟
⎠
es decir la solución que se acopla a las condiciones iniciales del problema que planteamos con nuestro circuito
es:
q (t ) = CE ⎛⎜1 ⎝
e
−t
RC
⎞⎟
⎠
Esta función rige el proceso de carga del condensador conectado en la forma que hemos descrito
anteriormente.
En la Figura anterior representamos la gráfica de la función para valores discretos del producto RC, en
particular representamos las gráficas cuando RC = 1, 2, 3 y 4.
Se observa que las curvas tienden asintóticamente al valor EC que es la carga que admitiría el capacitor si
estuviera conectado sólo a la f.e.m..
La carga eléctrica inicial es evaluada cuando t=0, en cuyo caso la función cumple:
0
−
⎛
RC
⎜
q(0) = CE ⎜1 − e
⎝
⎞
⎟ = CE (1 - 1 ) = 0
⎟
⎠
es decir al conectar el circuito, el condensador está descargado.
La función que nos da la corriente puede obtenerse de la función de carga al derivarla, obteniendo:
i (t ) =
dq
1 − t RC E ⎛ − t RC ⎞
e ) = ⎜⎝ e ⎟⎠
= CE (
RC
R
dt
La corriente al conectar toma su valor más grande, es decir el valor E
R
, que sería la corriente que circulara
por el circuito si no existiera el condensador y el circuito fuera puramente resistivo.
Conforme el tiempo transcurre, la corriente desciende asitóticamente a cero, cuando el tiempo es infinito la
corriente desaparece y el condensador se ha cargado, es decir, mientras el condensador se carga, la corriente
en el circuito va descendiento, la tasa de decrecimiento de la corriente y la de aumento de la carga son
equivalentes porque está en función del producto RC de la resistencia del resistor y de la capacidad del
condensador.
Prácticamente, cuando ha transcurrido un tiempo igual a cinco veces el producto RC, la carga ha alcanzado su
valor máximo, mientras que la corriente ha desaparecido.
En consecuencia, el circuito RC se comporta al inicio como si fuera un circuito resistivo y al final como un
circuito puramente capacitivo, ya que al inicio, la corriente inicial i(0) es el cociente E
R
, mientras que al
final, la carga adquirida por el capacitor toma el valor EC que tiene la conexión del capacitor conectado
sólo a la f.e.m.
A la constante RC se le da el nombre de CONSTANTE DE TIEMPO, la razón para ello, es primero que
nada, que tiene unidades de tiempo, según lo muestra el siguiente análisis dimensional:
[RC ] = [R][C ] = Ohms
Farad =
Volts Coul
Coul
=
= seg
Ampère Volt Coul
seg
La constante de tiempo tiene la importancia de darnos el tiempo de carga o decaimiento de corriente en un
circuito Serie RC.
Analicemos ahora al circuito cuando el conector de tiro se desvía hacia el otro punto de conexión que
denominamos "s", en ese caso, la fuente queda aislada y se tiene sólo interconectados el condensador y el
resistor en serie.
Podemos suponer que la corriente que circula por el circuito es la representada en la figura anterior y que el
potencial en los extremos del capacitor es precisamente el representado por los signos de "+" y "-" dibujados
junto al símbolo de capacitancia.
Aplicando la primera del de Kirchoff, la suma de subidas y caídas de potencial debe valer cero.
Partiendo del punto "a", y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj, nos encontramos con la
resistencia recorrida en els entido de su corriente, por lo que se trata de una caída de potencial de valor i' R, a
continuación nos encontramos al capacitor con una diferencia de potencial dada por:
VC =
q
C
y como es recorrida del potencial mas alto al mas bajo, de nueva cuenta se trata de una caída de potencial, la
suma algebraica de esas caídas es cero porque se retorma al punto "a".
La ecuación obtenida es la siguiente:
− R i′ −
q
=0
C
la corriente i' es la rapidez de variación de la carga que pasa por cualquier sección transversal del resistor, en
consecuencia podemos escribir:
i′ =
dq
dt
la ecuación diferencial del circuito es entonces dada por:
R
dq 1
+ q=0
dt c
esta ecuación diferencial da la carga presente en el condensador en términos del tiempo, esta ecuación
pertenece al tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con coeficientes constantes y
homogénea.
La solución general de esta ecuación es dada por la función:
q(t ) = k e
−t
RC
debemos imponer una condición inicial, y la mas simple es la siguiente:
"cuando se cambia el tiro del conector a la posición "s" de la figura respectiva, el tiempo inicia su conteo. El
condensador se encuentra cargado a su máximo valor dado por
Q =E C
de tal manera que cuando t = 0, q(0) = EC ".
Aplicando esta condición inicial a la solución general, nos encontramos el valor de la constante
indeterminada:
q(0) = k e
−0
RC
= k =E C
de tal manera que la solución que se acopla a las condiciones iniciales es dada por:
q(t ) =E C e
−t
RC
al graficar esta función tenemos:
La carga inicial es efectivamente la que adquirió el capacitor gracias a la f.e.m., es decir el valor EC.
Después, la carga decae exponencialmente hacia cero porque empieza a circular por la resistencia generando
la corriente en ella. Esta corriente es calculable al derivar la expresión algebraica de la función que da la carga
en el capacitor.
Ella es dada por:
i (t ) =
t
dq
1 − t RC
e ) = − E ⎛⎜⎝ e − RC ⎞⎟⎠
= CE ( −
dt
RC
R
el signo negativo indica que la dirección de la corriente que elegimos en el análisis del circuito está
equivocado y debemos cambiarlo, de tal manera que la corriente circula verdaderamente en sentido contrario
al mostrado en la figura.
Esta corriente, sin necesidad de gráfica, encontramos que decae exponencialmente a cero.
La potencia disipada en el resistor es dada por:
2
E ⎛ −2t RC ⎞
⎡E − t
⎤
P = i R = ⎢ ⎛⎜ e RC ⎞⎟⎥ R =
⎜e
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
R
R
⎣
⎦
2
2
El trabajo desarrollado hasta descargar el condensador es calculado por la siguiente integral:
∞
∞
E 2 ⎛ − 2t RC ⎞
RC E 2 ⎛ − 2t RC ⎞ ⎡ − 2 ⎤
CE 2
W = ∫ P dt = ∫
⎜e
⎟ dt = −
⎜e
⎟⎢
∫
⎥ dt = − 2
⎝
⎠
⎝
⎠
R
R
RC
2
⎣
⎦
0
0
La energía almacenada inicialmente en el condensador es
U=
1
CE2
2
En consecuencia, el trabajo entregado al resisitor equivale a la energía que el condensador entrega
precisamente al resistor. Es decir, la energía eléctrica almacenada en el condensador es entregada al resisitor
para que la convierta por efecto Joule en calor.
La corriente va disminuyendo porque la carga eléctrica en las placas del condensador va decayenco
contínuamente, y ambas corriente en el resistor y carga en el condensador decaen exponencialmente.
Para tener idea de la magnitud de la constante de tiempo, supongamos que el circuito tiene conectados una
resistencia de 1 Ohm con un condensador de 1 microfarad, la constante de tiempo es dada por:
τ = RC = (1 Ohm ) ( 1 µ Farad ) = 10 −6 seg = 1 µ seg
Es decir en casi 5 micro segundos el capacitor descargará toda su carga en la resistencia.
Este cálculo nos indica que tan pequeño es el tiempo necesario para descargar un capacitor en una resistencia.
Este fenómeno nos recuerda un hecho importante, que se aplica en Ingeniería, puede tenerse un condensador,
éste sin que el operario lo sepa, puede ser portado cargándolo por sus extremos, esto resulta muy peligroso
porque el condensador liberará toda su carga sobre el operario en un tiempo que usualmente es muy corto,
representando esto un fuertísimo choque eléctrico para el operario.
Por eso es necesario primero conectar sus extremos con una barra metálica a través de la cual se descargue el
capacitor. En las empresas, los bancos de capacitores son muy utilizados para corregir EL FACTOR DE
POTENCIA. Debido a esto creemos pertinente mencionar este hecho.