t DIFICULTADPARA EL APRENDIZAJEDE LA ARITMETICA M¿ría A. Rebollo* Las publicaciones sobre las dificultades en el aprendizajede la aritmética son, contrariamente a lo que sucede con las de la lecto-escritura, escasasy ,f:agmentarias. Esto puede deberse a que: 1. En los primeros años del aprendizaje escolar se da más importancia al aprendizaje de la lectura y la escritura que a la del cálculo; 2. En segundo término, a que la ensefianza tradicional de la aritmética está.dirigida, por lo _menosen su comienzo, a asegurarla adquisición de los mecanismos fundamentales del cálculo sin el apoyo de una comprensión y un conocimiento preciso de las nociones fundamentales. De esta manera, las dificultades pueden permanecer latentes hasta que el niño se enfrenta a *Profesor de Neurología, Escuela de Medicina, Universidad de Montevideo, Uruguay. problemas complejos que requieren un razonamiento elaborado y preciso. Antes de entrar en las dificultades en el aprendizajede la aritmética nos referiremos brevemente a qué es la aritmética, cuáles son sus objetivos, cuáles son los prerequisitos para r., aprendizaje. 1. La aritmérica. A) Definición. Las matemáticascondtituyen, antes que nada, una actividad mental conduce a la formación d. abstractos, independientes "o.r".plll del material empleado y la situación real de la que surgieron, y permite'al individuo razonar sobre formulaciones o proposiciones. Sin embargo,éste debe ser el punto de llegada de todo el aprendizaje matemático y no el de partida como se ha entendido en ciertos períodos. Ma¡ía A, Rcbollo La enseñanzaactual de esta ciencra está orientada sobre la concepción de que la sistematizacióny las etapasde formalización abstracta son el último estadio del aprendizaje matemático. B) Objeüvos de la enseñanza. Pueden esquematizarseen: objetivos que se refieren al aspectoespecíficamente matemático; objetivos qu€ se relacionan con el aspectosocial. a) Objetivos que se refieren al aspecto específicamentematemático. Entre ellos tenemos: 1. Adquisición de conceptosrelativos al número, síntesis del sistema de clases Y relaciones Y comprensión del sistema decimal. 2. ConocimientosY destrezaen las op eraciones realizadas con dichos números, susrelacionesY propiedades, incluYendo las fracóiones como extensiva del sistemanumeral. 3. Comprensión Y uso del vocabu. lario matemático en susasPectos cuantitativos (mucho, cuanto, etc.) y en lo referente a la nomenclatura de los Procesos particulares (adición, Producto, suma,etc.). 4. Cultivo de la aPtitud Para la resolución ile Problemas. 5. Aptitud para el uso de sistemas de medidas. 6. Desarrollo del factor espacial. máticos en el aspecto económico relacionado con el consumo y la producción. c) Requisitos para la funcjón del c¡ilculo y evolución de la noción de número y de las operaciones del cálcr¡lo. En el aprendizaje del cálculo pueden describirse las etapasde: adquisición del número, de las operacionesy resolución de las situaciones proble' máticas. d) Adquisición dela noción de número El número es una abstracción que se forma muy lentamente en el niño a través de las experienciasde la vida. Segun Piaget, el número es la síntesis operatoria de La seriación Y la clasificación, pues es mediante ambas que el niño puede llegar a la noción de número. Puede decirse que es un sistema de clasesdonde cada elemento está en la clase formada por él Y su sucesor. EI número cardinal es la igualdad de la cantidad en grupos de objetos diferentes, independientemente de su naturaleza. Se llega a él por corresPon' dencia término a término o por numeración de los objetos. Está íntimamente unido a la noción de invariabilidad de un grupo de unidades. El número ordinal es la diferencia de lugar en la serie. La ordenación de los números es la manera como uno los dispone uno después del otro, b) Objetivos que se relacionan con el dependiendo su valor de la posición aspecto social. relativa en la serie. Se refieren al desarrollo de la conEn la ordenación se basa el contar. ciencia de la necesidaddel uso de los En esta acción huy una referencia números en situaciones vitales, a la interpretación de gráficas, esquemas' concreta a los dedos. Por esto muchos autores consideran imPortante el señales,mapas,etc. conocimiento de la posición respectiva a Compreñde también la utilización de los dedos. nivel elemental de los conceptosmate188 q I DIFICULTAD PARA EL APRENDIZAJE DE LA ARITMETICA r Para llegar al número se considcran fundamentales 3 condiciones psicológicas: la coilrenación del' todo, la seriación de los elementos y su clasificación. Hay consentación del todo cuando el niño tiene la certeza de que el todo es un conjunto de partes que se pueden distribuir como uno quiera.La relación de partes a todo es la relación lógica constitutiva de esta conservación. No hay conservación del conjunto mientras el niño no pueda pensar simultiíneamente en el todo y en la parte, mientras no haya reversibiüdad del pensamiento. Esto es lo mismo que decir, hasta que el niño no llegue al período de'las operacionesconcretas. Es necesaríala serinción y la clasificación porque el niño debe ser capaz de concebir los element'osde una serie como a la' va equivalentes y no equivalentes. Equivalentes en cuanto a poder ser agrupados en la misma clase caracterizada por el número cardinal, y no equivalentes porque pudiendo ser seriados porque sori semejantes son diferentes por el lugar que ocupan en la serie. Cuando el niño es capazde compara¡ dos cantidades, cuando ha llegado a las nociones de seriación, clasificación y conservación, puede abordar la numeración. Una vez adquirida esta noción debe hace¡ la conespond,encia cantidadsímbolo y expresar a éste en fonna gráfica. La escritura de los números tiene dificultades simila¡es a las de las letras pues se trata de un simboüsmo en segundo grado, por lo tanto necesita una función simbólica suficientemente desarrollada. Sin embargo es algo más simple porque la canüdad de números es mucho menor que la deletras, Se debe produóir una unión reversible entre experiancia concreta, traducción verbal y r-epresentación gráfica. Una nueva complicación surge cuando comienza la numeración decintal, pues s€ agregan datos a¡bitra¡ios. El niño sc encuentra ante una convención bastante sutil ya que el valor del signo depende de su posición relativa: las unidades están a la derecha y las decenasa la izquierda. La operación es para Piaget, la acción interiorizada. Pa¡a el niño hay una gran üferencia entre la acción concreta y rica en acontecimientos que se desarrolla en el tiempo y en el espacio y su traducción simbólica por medio de signos que no tienen ningun valor afectivo. El niño que toma bolitas, las da, las repa¡te, vive una acción duradera que debe traducir en una operación aritmética que es algo que no existe. La operación escrita tiene los mismos tiempos que la acción ejecutada y su resultado, pero el niño no ve las etapas. Esta diferencia puede confundir al niño si no ha llegado a un cierto grado de abstracción. En la operación el niño tiene que representar simbólicamente estados y acciones que se suceden en el tiempo y en el espacio para lo que tiene que poseer la estructu¡a en 3 tiempos: antes -lo que hace- después y sus expresioneslingüísticas. Las 4 operaciones aritméticas corresponden a acciones o situaciones psicológicas, pero hay mrís situaciones que oPeracrones. La suma es una operación de reunión. 189 I[.rú] A" Rebollo La resta es más compleja. Puede servir para calcular lo que quedar ptta hacer la comparación y püa calcular la parte desconocida de una suma en la que se conoce la otra parte. La multiplicación es un caso particula¡ de la suma en la que todos los sumandos son iguales. Es una suma abreviada de números iguales. La división a su vez corresponde a dos acciones diferentes: partición y distribución. El niño que es capaz d,e operar debe poder traducir una operación concreta simple en términos aritméti= cos y frente a una operación aritmética indicar la acción simple que corresponde a ella. Esto es cornprensión de Ias operaciones. Debe conocer también el mccanismo de las operaciones.para lo que es irnportante el conocimiento del espacio y la orientación. Esto porque el niño debe alinear las cifras y colocarlas unas en relación a otras. Esto es importante en la suma y la reSta. Debe escribir los números de izquierda a derecha.y resolverlas operaciones de derecha a izquierda; y en la división tiene que ir del dividendo al divisor o sea dq izquierda a derecha para obtener el cociente y en un segundo tiempo, de derecha a izquierda o sea del cociente-divisor al dividendo, para hallar lo que resta. Esto sólo puede hacerlo el niño que tiene la conmutatividad relacionada a la reversibilidad y la noción de orden relacionada con la estructuración espacial. Otro aspecto importante es que el niño debe retener lo que ha aprendido. Esto fundamentalmente en relaci6n a las tablas. Para ello es necesaria 190 la repetición sistemática y la reflexión sobre la estructura del sistema decimal. Es también de suma importancia él aspecto de reversibilidad de las operaciones por lo que es conveniente enseñarlas como inversas unas de otras. t e) L<is problemas. Para resolver un problema es necesa¡io: comprender el enunciado; razonar sobre los datos. Para comprender el enunciado es necesario un nivel general de lenguaje que permita comprender los diferentes tipos de palabras o expresiones del problema. Esto no significa solamente conocer el lenguaje habitual sino las palabras del lenguaje habitu¿l usadas con un sentido particular y las palabras que pertenecen al lenguaje matemático. En el primer caso por ejemplo, repartir que en matemáticas se usa como distribuir igualmente; y en el otro palabra como sumando, dividendo, etc. Comprendidas las palabras debe: representarselas acciones; recorda¡ su desa"rrollo;ponerlas en relación; unirlas lógicamente. Esto es el razonamiento aritmétic o. Para que el niño aprenda aritmética debe entonces poseer las siguientes condiciones: C.I. normal; estar motivado; tener un equilibrio emocional aceptable; recibir una enseñanzaadecuada; haber alcanzado el niael de las operaciones concretas; tener un buen desanollo de la función simbólica; tener una buena estructuración espacial y témporo-espacial. 2. Dificultad en el aprenüzaje de la aritméüca. -¡ DIFICULTAD PARA EL APRENDIZAJE DE LA ARITMETICA F A) Defrnición. La dificultad en el aprendizaje de la aritmética se denominá habitualmente discalculia. El término discalculia surgió del de acalculia usado por Hensen en lglg pua denominar un trastorno del cáIculo provocada por una lesión focal del cerebro. En 1924 Gerstmann llamó la atención sobre un síndrome que incluía entre sus síntomas la acalculia pero tenía además agnosia digital, indistinción derecha-izquierda, agrafia y apraxia constructiva. Destacó la im: portancia entre el conocimiento de los d9_dqly las primeras adquisiciones del cálculo. B) Clasificación. La acalculia del adulto ha sid,. clasificada de diferentes maneras. Hensen diferenció: acalculia en sentido amplio en Ia que hay trastornos en la lectura y escritura de las cifras, y acalculia en sentido estricto que corresponde a la dificultad en las operaciones del cálculo mental. Kleist en Ig24 identificó entre los 'cálculo trastornos del varios tipos: alexia de las cifras que se observa dentro de un cuadro global de alexia. Los enfermos pueden calcular mentalmente pero no pueden leer un número de más de 2 6 3 cifras. Habitualmente es el trastorno residual de una afasia, agrafia de las cifras que se relaciona a la apraxia y a la agrafia de las letras. Se subdivide en 2 tipos: apraxica mieloquinética en la que falla el movimiento para escribir la cifra; apractocorutractiaa, en la que Ia dificuttad esfá en la orientación espacialiacalculia, que es la alteración del cálculo mental sin alexia. Hassert3-van Geerstruyden considera 2 formas: la dificíhad en el conocitniento de ü posición de las cifras en el número y- en las operaciones escritas en la que lo que está perturbado es el plan para eféctuar el cálculo ya que se cólocan mal las cifras, pero el cálculo mental es norrnal; la dificultad en el sistemacuantit,rtiao y la funcíón representativa del número, en la que hay dificultad en el cáIculo mental ya que las funciones mencionadasson su base. Hécaen y Ajuriaguerra identifican 3 grupos desde el punto de vista semiológico: alexia de las cifras, anarritmia o imposibilidad de realiza¡ las operaciones y discalculia de tipo espaci¿.De acuerdo a todo lo dichb y a lo que hemos visto al estudiar niños con estasdificultades existen en el niño los grupos siguientes: I) Dificultad inespecífica en el aoren¡ dizaje de la ariimética: l) Por enseñanzainsuficiente; 2) Por C.I. bajo; 3) Por falta de motivación; 4) Por problemas afectivo_ emocioirales; 5) Por graves fallas instrumentales motoras o sensoriales; II) Dificultad específica en el aprendizajede la aritmética: 1) Por dificultad en el razonamiento lógico-matemático o d,íscalculia en el sentido estricto; 2) Por dificultades o alteraciones en otras funciones psiconeurológicas o discalculia en el sentido arnplío. Ellas pueden ser causadaspor alteración en la función semiótical a) dificultad en Ia lectura de cifras; r91 It&¡ír A. Rcbollo b) dificultad en la comprensión del lenguaje. Este tipo está muy íntimamente relacionado con la discalculia en el sentido.estricto ya que el nivel de pensamiento influye en la comprensión, alteraciones espaciales y témporo-espaciales, alteraciones de la memoria. Como es bien sabido es casi imposible separar las funciones psicológicas unas de otras, pero esta separación se hace teniendo en cuenta la alteración más saliente. Es frecuente que ambos tipos de discalculia se observen juntas y que la discalcuüa no se observe aislada sino en una dificultad global del aprendizaje. Es importante sin embargo poner en evidencia los factores que intervienen en la determinación de la alteración para la reeducación. C) Estuüo del niño con üficultad en el aprendizaje de la aritméüca. Es igual al de cualquier niño con dificultad de aprendizaje. Comprende: a) Estuüo neurológico. Historia clínica. Buscando con todo detalle las características del aprendizajey de la escolaridad:escuela a la que concurre, cambio de escuela, asiduidad del niño, cambio de maestras, adaptación at medio escolar, motivación para el estudio y para la aritmética, relación con el maestro y los compañeros, actitud del niño, de los padres y del maestro frente a la dificultad, condiciones en que hace los deberesy disposición para hacerlos. Debe investigarse también todo aquello que haga pensar o descarta¡: retardo mental, problemas afectivoemocionales importantes, etc. L92 En los antecedentesdel niño, factores etiológicos de daño neurológico, síntomas de disfunciones cerebrales. En los antecedentesfaniliares debe insistírse en las dificultades del aprendizaje y en las características de disfunción. Examen neurológico. Debe reaJizarse un buen examen neurológico. No digo como otros un examen neurológico fino o buscando signos "blandos" sino un buen exarnen neurológico que en el niño debe ser siempre con fines de establecer nivel evolutivo y teniendo en cuenta funciones psico-neurológicas (gnoso-praxia, percepción visual, visuo-espacial, temporo-espacial, lateralidad, etc.). Como esencial dentro del examen neurológico debe hacerse un estudio del lenguaje, clínico y por medio de pruebas. En nuestro medio se usa la batería de Benton adaptada al niño por los Dres. Mendilaharsu y las,pruebas psicolingüísticasde Sinclair. * ? Exámenes complementarios. EEG y otros cuando el caso lo requiera. b) Estuüo pedagógieo. Es en este casofundamental. Comprende 3 etapas: üagnóstico general; diagnóstico analítico; establecimiento de un perfil de rendimiento. Primera etapa o üagnóstico general. Se aplica una prueba que permite determinar el nivel de re¡rdimiento del niño. Ella comprende los aspectos siguientes: Sistema numeral. Comprende los aspectos fundamentales del sistema decimal de numeración, la composición asociativa y disociativa del número, el valor relativo o posicional de l¡as -.:¡ DIFICULTAD PAFA EL APRENDIZAJE DE LA ARITMETICA f cifras, el ordenamiento y seriación de cantidades numéricas. También se realizan pmebas de clasificación y seriación. Cálculo. Se refiere a la comprensión del sentido de las operacionei, sus propiedades, su aplicación y destreza en técnicas. &tructuración espa"i"l y témporoespacial. Bender, Piaget-Head, ritmo de M. Stambak. Fracciones. Es un aspecto de la estructura numeral que exige un mayor dominio en la comprensión de las relaciones. Comprende la representación, cálculo de la parte por el todo y vice versa y operaciones con fracciones. Gnosiar ügitales. Este estudio neuro-psicopedagógico nos ha permitido identifica¡ los grupos que hemos mencionado. Dentro de las dificultades específicasdestacamos: Sistema de medidas. Se refiere al uso de unidades arbitrarias de medida hásta la utilización de las unidades legalesde nuestro sistema. I Aplicación social" Comprende los aspectos relacionados con la fase social del estudio matemático ya mencionada. La prueba está estructurada en 3 niveles por cada grado escolal, correspondiendo el ultimo de cada uno al primero del siguiente. La segunda etapa es el üagnoeüco analíüco. Permite determinar los elementos que configuran la dificultad comprobada. Tercera etapa..Consiste en el ar,o,lisis y evaluación de todas las pruebas realizadas para establecer el perfil de rendimiento que es útil para la reeducación. c) Estudio psicológico. Comprende: Estudio del C.I. Se realiza con el Wisc. huebas de Piaget. Para establecer el nivel de pensamiento lógico-matemático. Se emplean las pruebas de conservación de la sustanciaya seaplaticina o líquidos. EI primer grupo en el que hay dificultades en la comprensión referida ya sea al sistema numeral, sus relaciones y operaciones, ya a los conceptos lógicos elementales,ya a la resolución de problemas, o sea a lo que corrientemente se entiende por razonamiento aritmético. El segundo grupo en el que las dificultades relativas al cálculo se refieren ya a problemas de tipo espacial (rotaciones, inversiones, incorrecta colocación de las cifras, etc.) tal como se observa en los disléxicos;ya seaa la incapacidad para lograr fluidez en los mecanismos del cálculo (dificultad en memorizar las tablas, olvido de "lo que se lleva", etc.)i ya sea dificultad en la comprensión del lenguaje. El primer grupo corresponde a la acalculia en el sentido estricto de Hensen, a la acalculia de Keist, a la dificultad en el sistema cuantitativo v la función representativa del túth.tá de Hassaerts-van Geerstruyden. El segundo grupo a su vez, cotresponde a la acalculia en sentido amplio de Hensen, la alexia y agrafia de las cifras de Kleist, la dificultad .en el conocimiento de la posición de las cifras en el número y las operaciones de Hassaerts. 19.3 IhsA .¿LRcbollo Creemos-que esto -es ury Primgra aproximación al problema de Ia difrcultad en el aprendizajede la a¡imética en la que falta mucho por saber. RESUMEN con dificultades para aprendera¡itmética. . SUMMARy *. The clinical, ethiologicaland mÍuu_ se revisan rosaspectos clínioos,.ffi's Hfft:ffj, ff;f#TtJI: etiológicos y de manejo de los niños reviewed. s 194