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4° E.S. – MATEMÁTICA
Prof. Claudia Mazzini
Empezamos otro año juntos; ya nos conocemos, sabemos qué podemos esperar unos de otros. Saben que
cuentan con mi apoyo y mi mejor voluntad para recorrer este nuevo año de desafíos. Tenemos mucho trabajo
por delante y necesitaré lo mejor de Uds., como sé que pueden dar. Confío en sus capacidades y cuento con
ellas.
Claudia
Bloque: Geometría y Álgebra
Lugar geométrico. Semejanza de figuras planas. Teorema de Thales. Trigonometría.
Actividad disparadora:
1. Dados dos puntos fijos A y B encontrar el lugar de los puntos C, del plano, tales que ABC sea:
a) Triángulo
b) Triángulo equilátero, ¿cuántos posibles C encontraste?
c) Triángulo rectángulo, considerá los casos en que el ángulo recto tiene vértice en A, en B y en C.
d) Triángulo isósceles, considerá todas las posibilidades.
e) Sabiendo que la distancia entre A y B es de 8 cm, encontrá todos los puntos C, tales que el triángulo ABC
tenga un perímetro de 18 cm.
f) Sabiendo que la distancia entre A y B es de 8 cm, encontrá todos los puntos C, tales que el triángulo ABC
tenga un área de 18 cm2.
Describí en cada caso la figura que “queda dibujada” en el plano al considerar todos los posibles C.
Desafío:
Considerá ahora el problema en el espacio, es decir que el punto C puede “salirse” de la hoja que
contiene a A y B.
Definición:
Se llama Lugar Geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Ya
conocemos varios objetos geométricos definidos como lugares geométricos, por ejemplo: la
circunferencia, la esfera, la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, pero existen
muchos otros, por ejemplo los que llamamos cónicas, como la elipse, la hipérbola y la parábola.
Actividades: Plegados
2. Dibujá una circunferencia, recortá el círculo y marcá en su interior un punto. Doblá varias veces el
papel, de modo que un punto del borde se apoye justo sobre el punto dibujado. Marcá en cada caso
el doblez obtenido.
3. Dibujá una circunferencia y un punto exterior a ella, marcá 20 ó 25 puntos sobre la circunferencia y
doblá el papel de modo que cada uno de estos puntos de la circunferencia coincidan con el punto
exterior marcado. Marcá en cada caso el doblez obtenido.
4. Dibujá una recta y un punto exterior a ella. Señalá sobre la recta 15 ó 20 puntos y plegá de
manera de hacer coindicir cada uno de los puntos marcados sobre la recta con el punto exterior.
Marcá en cada caso el doblez obtenido.
Observá en cada caso la familia de rectas (dobleces) obtenidas, ellas son las rectas envolventes de
las curvas denominadas cónicas.
Semejanza de figuras planas.
Definiciones y convenciones:
Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales.
Las figuras u objetos iguales (o congruentes) tienen igual forma e igual tamaño; mientras que las
semejantes tienen igual forma, pero distinto tamaño.
El símbolo de semejanza es .
Podemos observar figuras semejantes en la vida cotidiana cuando hacemos una fotocopia reducción
o ampliación, en mapas o planos, etc.
Cuando representamos una casa, una ciudad o un país, las dimensiones reales se reducen de un
modo proporcional, según una razón de proporcionalidad llamada escala.
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¿Qué significará que la escala de un mapa sea 1:500 000, o E = 500 000?
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Quiere decir que 1 cm de ese mapa representa 500 000 cm en la realidad, o que 1 dm de mapa
representa 500 000 dm de la realidad.
En la vida cotidiana expresamos a menudo la razón de proporcionalidad como porcentaje, así
pedimos una fotocopia con ampliación del 30%, con lo que queremos indicar que cada 100 debemos
aumentar 30, es decir que algo que midiera 100mm, por ejemplo, pasará a medir 130 mm.
Para ampliar un poco qué significa que los lados sean “proporcionales” deberemos definir
Razón: Llamamos razón entre dos números reales al cociente entre ellos, así la razón entre a y b,
𝑎
con b ≠ 0, será r = 𝑏
Proporción: Se llama proporción a la igualdad entre dos razones.
2
5
Por ejemplo: 4 = 10 y leemos: “2 es a 4, como 5 es a 10”; como podés observar el cocientes entre 2
y 4 es 0,5; que también es el resultado de dividir 5 por 10.
Definiciones y convenciones:
𝑎
𝑐
En la proporción 𝑏 = 𝑑 decimos que a y d son los extremos, mientras que b y c son los medios.
Propiedades:
En toda proporción se verifica que el producto de los extremos es igual al producto de los medios,
2
5
por ejemplo en 4 = 10; se verifica que 2.10 = 4.5, ya que ambos productos son 20.
Las proporciones cumplen además otras propiedades, en
𝑎

𝑎+𝑏
𝑎

=
=
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏

𝑏
=
𝑐
a)
−6
=
𝑐
=
−1
2
=
0,3
−5
3
=
𝑏
𝑎+𝑏
=
𝑐−𝑑
𝑑
𝑐+𝑑
𝑎−𝑏
𝑐−𝑑
𝑎
𝑐
𝑎+𝑐

𝑑
se verifica que:
𝑑
𝑎−𝑏

𝑐−𝑑
𝑐+𝑑
b)
1
2
𝑏

𝑐+𝑑
𝑐
Actividades:
5. Decidí si es Verdadero o Falso:
−3
0,5
𝑎
𝑏
=
0,1
−0,8
c)
𝑑
=
=
𝑏+𝑑
−1
8
0,1
6. Hallá el valor de x para que se verifiquen las siguientes proporciones:
a)
d)
−3
5
𝑥
=
𝑥+2
0,8
0,1
=
𝑥−3
g) 2𝑥+1 =
j)
3𝑥−2
̂
0,2
=
b)
2
9
−5
0,2
−2
3
e)
̂
1,3
1 2
2
(1+ )
0,25
h) 𝑥−0,3̂ =
k)
̂
0,7
𝑥
√12
= −9
√3
4
̂
0,2
2
=
𝑥−3
−4,5
𝑥
1 −1
(−1+ )
5
c) −0,83̂ =
f)
2
6𝑥+1
=
̂−70
0,4
𝑥
2𝑥−3
−1
3
𝑥+1
=
i) 𝑥−3 =
l)
−2 −2
)
3
1+2−1
(
𝑥
−3
14
3𝑥
0,5
𝑥+2
𝑥−1
=
3𝑥+2
𝑥−4
7. a) Se representan en un mapa dos ciudades que en la realidad distan 32 Km entre sí. La escala del mapa
es 1: 500 000. ¿Cuál será la distancia en el mapa entre las ciudades?
b) Supongamos que dos puntos del mapa distan a 3cm, ¿Cuál será la distancia real entre esos puntos?
8. a) Nos informan que aproximadamente el 20% de los alumnos no aprobó la evaluación. Si fueron evaluados
35 alumnos, ¿Cuántos alumnos no aprobaron?
b) En otro curso de 48 alumnos, no aprobaron 9 alumnos, ¿Cuál es el porcentaje de alumnos desaprobados
en este curso?
9. En una bolsa de 900 Kg, el 35% son porotos, y el resto lentejas; ¿Cuántos Kg de lentejas habrá que sacar
para que la cantidad de porotos sea el 60% del total?
Aplicaciones:
Una aplicación importante de las proporciones es el reparto proporcional.
Veamos un ejemplo:
Tres amigos deciden jugar al Quini 6, cuya boleta tiene un costo de $ 5. Para comprarla aportan: Juan $ 1;
Lalo $ 1,50 y Martín $ 2,50. Tuvieron mucha suerte y ganaron un premio de $ 780.000 y queremos ayudarlos
a repartir el premio en partes proporcionales al aporte de cada uno.
Llamaremos: a a la parte del premio que le corresponde a Juan,
b a la parte del premio correspondiente a Lalo y
c a la parte correspondiente a Martín
Y ahora podemos plantear:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎+𝑏+𝑐
780 000
=
=
=
=
1
1,5
2,5
1 + 1,5 + 2,5
5
De donde fácilmente podemos calcular a = 156 000; b = 234 000 y c = 390 000; es decir que Juan debe
recibir $ 156.000; Lalo $ 234.000 y Martín $ 390.000.
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Criterios de semejanza de triángulos:
Existen tres criterios para afirmar que dos triángulos son semejantes;
Criterio 1: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados correspondientes proporcionales
Criterio 2: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos congruentes (lo que basta para afirmar que el
tercer ángulo también lo será).
Criterio 3: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos, congruente.
Actividades:
10. Sabiendo que ∆ABC  ∆DEF. Calculá el valor de x y los lados desconocidos.
11. En el triángulo ABD, rectángulo en B se traza CE // AB.
a) Justificá porqué ∆ABD  ∆ECD
b) Hallá el valor de x y calculá AB y CE, sabiendo que:
BD = 20 cm
BC = 19 cm
CE = x
AB = x + 4 cm
12. En el triángulo ABC, rectángulo en A, se traza la perpendicular a BC que pasa por A, determinando así el
punto P con el lado BC.
a) Demostrá que el ∆ABC  ∆PBA  ∆PAC
b) Sabiendo que:
AB = 12 m
AC = 5 m
25
PC = 13 m
Calculá AP y BP.
13. Tres partidos políticos A, B y C; reciben por parte del Estado $ 7 500 000 para financiar sus campañas
electorales.
El Estado distribuye el dinero de acuerdo con la cantidad de votos que cada uno de ellos obtuvo en las últimas
elecciones.
De los 300 000 electores, el 20% votó al partido A, el 30% al B y el 50% al C.
¿Cuánto dinero deberá recibir cada partido para su campaña?
Teorema de Thales
Cuenta la historia que el matemático griego Thales de Mileto calculó la altura de la pirámide de Keops
utilizando una propiedad que, en honor a él, se la conoce con el nombre de teorema de Thales, y dice así:
Cuando tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, dos segmentos cualesquiera determinados
sobre una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra transversal
A//B//C//D
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T y T’ transversales
Algunas de las proporciones que se forman son, por ejemplo:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
𝑎𝑏
𝑎′𝑏′
𝑎𝑏
𝑎′𝑏′
𝑎𝑑
𝑎′𝑑′
=
=
=
̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝑏𝑐
𝑐𝑑
𝑐𝑑
𝑏′𝑐′
𝑐′𝑑′
𝑐′𝑑′
Aplicaciones:
Este teorema tiene innumerables aplicaciones, una muy utilizada en
geometría es la división de un segmento en partes iguales.
Se desea dividir el segmento AB en tres partes iguales, por ejemplo. Para ello trazamos una semirrecta con
origen en A (o B) y marcar sobre ella tres segmentos iguales consecutivos, comenzando desde A (o B),
utilizando el compás. En la figura corresponden a AM, MR y RT.
Por último, unimos T con B y trazamos paralelas a TB por R y M. Como los segmentos sobre la semirrecta
son iguales entre sí y las rectas son paralelas, los segmentos determinados por estas rectas sobre el
segmento AB también lo serán. Con lo cual logramos lo que buscábamos, ya que AP = PS = SB
Actividades:
14. Calculá la longitud del segmento ab en cada caso:
a) Datos: A//B//C
b) Datos: T//P//Q
c) Datos: A//B
bc = 20 cm; fe = 24 cm; ed = 16 cm
bc = 36 cm; be = 21 cm; bd = 14 cm
ac = 20 cm; de = 24 cm; ef = 18 cm
15. a) Sabiendo que A//B//C//D y que: ab = 1,5 cm;
bc = 3,5 cm; cd= 2 cm y a’d’ = 28 cm
Calculá la longitud de los segmentos: a’b’; b’c’ y
c’d’
b) Sabiendo que M//R//T y que: ab = eo = 6 cm;
oc = 9 cm y de = 5 cm
Calculá la longitud de bo y of.
c) Sabiendo que A//B y que: on = 2x – 1 cm;
pn= 3x – 3 cm; nr = 8 cm y ns = 6 cm
Calculá la longitud de on y pr
d) Sabiendo que ap//om y que: ro = 28 cm;
ao = 7 cm; rp = 5x + 3 cm y rm = 8x
Calculá la longitud de rp y pm
16. Dividí un segmento de 7 cm en 5 partes iguales y otro de 6 cm en 7 partes iguales.
Razones trigonométricas.
Como sabemos, en todo triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa,
mientras que los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos.
Vimos entre los criterios de semejanza que dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales; en
particular dos triángulos rectángulos serán semejantes si tienen un ángulo agudo congruente, ya que ambos
tienen uno recto.
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Con las medidas de las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo podemos armar 6 cocientes
distintos.
En la figura se representan 5 triángulos rectángulos semejantes,
ya que tienen un ángulo agudo en común, el denominado .
En el triángulo ABK, el lado AK es la hipotenusa, para distinguir un
cateto de otro decimos que KB es el cateto opuesto a , mientras
que AB es el cateto adyacente a .
Los 6 cocientes posibles entre los lados de ABK serán:
̅̅̅̅
𝐾𝐵
̅̅̅̅
𝐴𝐾
̅̅̅̅
𝐴𝐵
̅̅̅̅
𝐾𝐵
̅̅̅̅
𝐴𝐾
̅̅̅̅
𝐴𝐾
̅̅̅̅
𝐴𝐵
; 𝐴𝐾
; ̅̅̅̅
; ̅̅̅̅
; ̅̅̅̅
y ̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐴𝐵
𝐾𝐵
𝐴𝐵
𝐾𝐵
Y como los triángulos son semejantes, sus lados serán proporcionales, por lo cual, por ejemplo:
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
𝐾𝐵
𝐽𝐶
𝐼𝐷
𝐻𝐸
𝐺𝐹
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝛼
=
=
=
=
=
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐴𝐾
𝐴𝐽
𝐴𝐼
𝐴𝐻
𝐴𝐺
Y como no importa en cuál de los 5 triángulos calcule el cociente, siempre dará lo mismo para ese valor de ,
llamamos seno de  a ese valor.
Por ejemplo si  = 30° el cociente valdrá 0,5; sin importar el tamaño del triángulo. Por eso se puede asociar al
valor del ángulo, el valor del cociente obtenido, y así, dado uno poder determinar el otro.
Con los otros 5 cocientes posibles se obtienen otras 5 razones, las cuales se denominan:
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝛼
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝛼
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝛼
sen 𝛼 =
cos 𝛼 =
𝑡𝑔 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝛼
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝛼
sec 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝛼
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝛼
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝛼
Dados que estas tres últimas razones no son más que las inversas de las tres primeras, trabajaremos con las
tres primeras, es decir el seno, el coseno y la tangente; para las cuales encontrarás una tecla en la
calculadora científica (sin, cos y tan).
Como para cada ángulo le corresponde un determinado valor de seno, coseno y tangente; si se conoce la
medida de dos de los lados de un triángulo rectángulo podremos calcular el valor de sus ángulos.
Por ejemplo en:
Conocemos el cat. adyacente a  y la hipotenusa,
la razón trigonométrica que los vincula será el coseno
5 𝑐𝑚
Plantearemos entonces: cos 𝛼 = 8 𝑐𝑚 = 0,625
Buscamos en la calculadora cuál es el ángulo cuyo
coseno vale 0,625 y obtenemos que  = 51° 19’ 4”
Para “pedirle” a la calculadora cuál es el ángulo cuyo coseno vale 0,625 debemos hacer:
Shif; cos; 0.625; = y aparecerá 51.31781255.
Para expresar ese ángulo en grados, minutos y segundos, hacemos:
Shift; °’”; y aparecerá la respuesta como queremos.
Actividades:
17. Dado el triángulo rectángulo de la figura, calculá en cada caso la razón solicitada:
a) sen  =
d) cos  =
b) sen  =
e) tg  =
c) cos  =
f) tg  =
18. Utilizando la calculadora científica hallá el valor de las siguientes razones trigonométricas, redondeá el
resultado con 4 decimales.
a) sen 45° =
d) sen 36° 54’ 15” =
b) cos 60° =
e) cos 18° 23” =
c) tg 30° =
f) tg 72° 23’ 12” =
19. Hallá el valor de x en cada uno de los siguientes triángulos:
a)
b)
c)
20. Hallá el valor de los ángulos agudos en los siguientes triángulos rectángulos:
a)
b)
c)
21. Llamamos “resolver un triángulo rectángulo” a calcular las medidas de los tres lados
y tres ángulos (en realidad 2, ya que uno es recto), dados dos ellos como datos
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a) A = 23 m
b) C = 9 cm
c) B = 172 mm
 = 36°
 = 57° 30’
 = 19°
d) C = 1,8 dm
e) A = 7,6 cm
f) B = 6,3 m
 = 38° 46’ 15”
B = 10,4 cm
C = 9,1 m
22. Se apoya el extremo superior de una escalera sobre una pared. El pie de la escalera se encuentra a 45
cm de la pared. Si sabemos que la escalera forma un ángulo de 60° con el suelo, ¿A qué altura de la pared
llega el extremo superior de la escalera? ¿Cuánto mide la escalera?
23. ¿Cuál es el ángulo de elevación del avión?
24. ¿Cuál es el ángulo de depresión con el que se observa el punto O, distante a 10 m del pie de un faro, si se
lo observa del extremo superior del mismo, a 12 m de altura?
25. Desde la terraza de un edificio, se observa, con un ángulo de depresión de 15°, un automóvil que se
encuentra a 200 m del pie del edificio, ¿A qué altura se encuentra la terraza?
26. Se sube la cuesta de una montaña que tiene una inclinación constante de 23°. Si se recorren 500 m por la
cuesta, ¿A qué altura de la montaña habremos llegado?
Revisión e integración:
1. Hallá el valor de x para que se verifiquen las siguientes proporciones:
=
−1,2
2𝑥−1
b)
c) 5 𝑥+1 =
𝑥−1
−40
d)
a)
√0,25
3−1
3
– 0,8
0,2 𝑥+1,6
√1,8 .5−1
√5+ 1
𝑥+2
=
=
̂
3,3
0,4−1
4
√5− 1
2. Franco tiene un autito de colección, réplica de un modelo real que dice estar construido en escala 1:39.
a) Dos puntos distantes 2,5 cm en el autito, ¿A qué distancia estarán en el auto real?
b) Si el auto real mide 4,14 m de largo, ¿Cuánto medirá de largo el autito de Franco?
3. Un negocio ofrece tres descuentos sucesivos de 5%, 10% y 20% sobre sus artículos, en el orden que el
cliente lo desee. ¿Cambiará el precio si cambiamos el orden de los descuentos? Si es así, ¿Cuál es el mejor
porcentaje de descuento total que se puede obtener usando los tres descuentos en algún orden?
4. Por una sesión de fotografías, tres fotógrafos cobraron $ 6.720, sobre el total de las fotos. Si 14 eran del
primer fotógrafo, 18 de segundo y 24 del tercero, ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
5. Decidí si los siguientes triángulos son semejantes. Justificá tu respuesta.
ABC isósceles, con AC = BC, y ángulo ACB = 40°
DEF isósceles, con ED = DF, y ángulo DFE = 70°
6. ABCD es un rectángulo, AC es una diagonal y EF  AC en el punto N.
a) Explicá porqué los triángulos ENC y NAF son semejantes
b) Si EC = 4 dm; EN = 15 cm y NF = 90mm, calculá la medida de la
diagonal AC.
7. En cada caso calculá la longitud de los segmentos expresados con x, sabiendo que en ambos casos
A//B//C
a) ab = x + 3; bc = 5; a’b’ = 2x – 10 y b’c’ = 2
b) ab = x + 5; bd = x – 1; eb = 12 y bc = 4
8. El triángulo ABC es rectángulo en C. El segmento KL es paralelo al lado AB. Las longitudes de los
segmentos se detallan a continuación:
AK = a cm
LB = 1 cm
KC = a + 1cm
LC = b cm
Decidí cuál o cuáles de las siguientes expresiones son correctas:
𝑎+1
𝑎
a) 𝑎 = 𝑏
c) 𝑏 = 𝑎 + 1
1
1
b) 1 + 𝑎 = 𝑏
𝑏
d) 𝑎 = 𝑎 + 1
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9. El piloto de un avión que se encuentra a 1 800 m de altura, observa las luces del aeropuerto con un ángulo
de depresión de 38°, ¿A qué distancia del aeropuerto se encuentra el avión?
10. Una antena de 158 m de altura está sostenida por tensores iguales que forman con el suelo ángulos de
68° 25’, ¿A qué distancia del pie de la antena se encuentran sujetos los tensores?
11. Se coloca un tablón de 4,25 m de largo para subir con una carretilla hasta un volquete. Si la inclinación del
tablón es de 27°, ¿A qué distancia del volquete se apoyó el tablón?
12. Las diagonales de un rombo miden 7,4 cm y 12,6 cm. Calculá:
a) Amplitud de los ángulos interiores del rombo.
b) Perímetro del rombo.
c) Área del rombo.
Bibliografía:
 Amenedo, M.; Carranza, S.; Diñeiro, M. T.; Grau, J.; Latorre, M. L. (1996). Matemática 2. Buenos Aires:
Santillana.
 Aragón, M.; Laurito, L.; Net, G.; Trama, E. (2004). Matemática 9 – Serie Entender. Buenos Aires: Estrada.
 Becerril, M. M.; Grimaldi, V.; Urquiza, M. (2009). Estudiar Matemática 3. Buenos Aires: Santillana.
 Colacelli, S., García, P., García, A. M., Zorzoli, G. (1996). Proyecto educativo Lápiz y Papel- Lugares
Geométricos. Buenos Aires: Tiempos editoriales.
 Effenberger, P. (2010). Matemática 3. Buenos Aires: Kapelusz.
 Etchegoyen, S.; Fagale, E. D.; Rodríguez, S. A.; Avila; M. I; Alonso, M. R. (2001). Matemática 1. Buenos Aires:
Kapelusz.
 López, A.; Pellet, C. M. (2001). Matemática en red 9. Buenos Aires: a-Z Editora.
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