Resumen de Formulas Utiles del Metodo AF Slides prepared by Maria Emma Santos CONICET-UNS & OPHI Matriz de Logros Vector de umbrales de privacion y vector de ponderaciones Dimensions • Donde xij es el logro del x11 ... x1d Ge individuo i en el atributo o x n ... x dimension j . 2d t 21 e • zj es el umbral de privacion X ... del atributo o dimension j. ... • wj es la ponderacion del x n1 ... x nd atributo o dimension j tal que: z (z1 , z 2 ,......., z d ) w ( w1, w2 ,......., wd ) w1+w2+...+wd=d Matriz de Privaciones Dimensiones Donde • gij0=1 si xij<zj (con privacion) • gij0=0 si xij≥zj (sin privacion) • O equivalentemente: z j xij g z j 0 ij 0 g ... g ... g g g 0 ... ... 0 g n01 ... g nd 0 11 0 21 0 1d 0 2d z (z1 , z 2 ,......., z d ) G e n t e Tasas de Privacion Dimensionales No-Censuradas • Son las tasas de privacion por indicador, ie. la proporcion de personas que estan privadas en esa dimensions. • Es simplemente la media de cada columna de la matriz de privacion: H j ( g10j g20 j ... gnj0 ) / n Matriz de Privacion Ponderada Notar que utilizamos la misma notacion que para la matriz de privacion (sin ponderar) a proposito. Donde 0 0 g ... g 0 11 1 d • gij =wj si xij<zj (privado) 0 0 • gij0=0 si xij≥zj (no-privado) g 21 ... g 2 d • O equivalentemente: z j xij g wj z j 0 ij 0 g 0 ... ... 0 g n01 ... g nd z (z1 , z 2 ,......., z d ) w ( w1, w2 ,......., wd ) Vector de Conteo de Privaciones Donde el ‘conteo de privacion’ or puntaje de cada persona es la suma ponderada de sus privaciones c1 • ci=gi1+....+gid c 2 c cn Identificacion de los pobres Dado un umbral de pobreza k (0<k<d), comparamos el conteo de privaciones con el umbral k y luego censuramos las privaciones de aquellos que no fueron identificados como c1 c pobres. 2 rk ( xi ; z ) = 1 if ci ³ k pobre c rk ( xi ; z ) = 0 if ci < k no - pobre cn Matriz de Privacion Censurada y Vector de Conteo de Privaciones Esta es la matriz clave (y el vector) con los cuales calculamos el conjunto de indicadores AF para M0 g110 (k ) ... g10d (k ) 0 0 g 21 (k ) ... g 2 d ( k ) g 0 ( k ) ... ... 0 g n01 (k ) ... g nd ( k ) Donde • • • • c1 ( k ) c (k ) 2 c(k ) cn ( k ) c1 (k ) / d c (k ) / d 2 c( k ) / d cn (k ) / d gij0(k)=g0 (es decir =(wj)) si ci≥k (privado & pobre) gij0(k)=0 si ci<k (privado o no, pero no-pobre) Tambien: ci(k)=ci si ci≥k y ci(k)=0 si ci<k Tambien es util expresar el conteo de privaciones como una proporcion del total de dimensiones c(k)/d. Primero nos centramos en la medida M0 y todos sus indicadores relacionados Tasa de Recuento de la Pobreza Multidimensional Es la proporcion de personas que han sido identificadas como pobres: H n i 1 k ( xi ; z ) n q n Donde q es el numero de personas pobres La tasa de recuento es llamada a veces la incidencia de la pobreza, o tasa de pobreza Intensidad (o amplitud) de la Pobreza MD • Es la proporcion promedio de privaciones en las cuales los pobres estan privados. A n c ( k ) i i 1 dq Notese que es simple de calcular: 1) Se calcula la proporcion del total de privaciones que experimenta cada persona (ci(k)/d). Notar que debemos utilizar el vector de conteo censurado, ie: ignoramos las privaciones de los no-pobres. 2) Se toma el promedio de esas proporciones (por eso es que se divide por q, el numero de personas pobres) Pobreza Multidimensional: M0 (Tasa de Recuento Ajustada) • Es el producto de la incidencia y la intensidad. 𝑀0 = 𝐻 × 𝐴 • O equivalentemente, es la media de la matriz (ponderada) de privaciones censurada: M 0 ( g 0 (k )) n d i 1 j 1 nd 0 ij g (k ) Como interpretamos M0? • M0 es la media de la matriz (ponderada) de privaciones censuradas, es decir, es la suma de todas las entradas no-nulas de la matriz cada una de las cuales esta ponderada por su correspondiente peso) dividido el total de entradas de la matriz (personas x indicadores). Como interpretamos M0? • Matriz Censurada de Privaciones Ponderada: (1) El numero total de entradas constituye el numero total de privaciones que la sociedad puede experimentar (indicadores x personas). (2) El numero total de entradas no-negativas de la matriz es el numero total de privaciones ponderadas que los pobres efectivamente experimentan. Como interpretamos M0? • M0 Interpretacion M0 es el ratio de (2)/(1), ie. La media de la matriz censurada de privaciones ponderada. Entonces, ofrece la proporcion de privaciones ponderadas que los pobres exprimentan en esa sociedad, del total de privaciones que podrian experimentar. Como descomponemos M0 por indicadores y dimensiones? Visualmente… Peo 1 Ye. Ed Child Attend . 1.67 1.67 Nutr Mor Elec Wat Sani Floor Cook. Assets Fuel 0 0 0 0.56 0 0.56 0 0 2 0 0 1.67 1.67 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0.56 0.56 0.56 0.56 0.56 0.56 4 1.67 0 0 1.67 0.56 0.00 0.56 0 0.56 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cual es la contribucion de la nutricion en particular? Como descomponemos M0 por indicadores y dimensiones? Hay dos indicadores utiles pero diferentes: 1) Tasas de privacion censuradas 2) Contribuciones por indicador (y por dimension) Tasas de Privacion Censuradas • En que difieren de las tasas de privacion no-censuradas? • Las tasas no censuradas son la proporcion de personas que estan privadas en determinado indicador. • Las tasas censuradas son el % de personas que son pobres y estan privadas en determinado indicador. • Cuidado! Las tasas censuradas no son el % de personas pobres privadas en determinado indicador. Tasas de Privacion Censuradas • Son simplemente la media de cada columna de la matriz censurada de privaciones ponderada dividido por la ponderacion del indicador. H C j n i 1 0 ij g (k ) w jn • Notar que M0 es la suma ponderada de las tasas de privacion censuradas. wj C M 0 j 1 H j d d Contribucion por Indicador • Es la proporcion del total de la pobreza que proviene de una privacion en particular. • Recordemos de la lamina anterior: wj C M 0 j 1 H j d d • Entonces, la contribucion del indicador j a la pobreza total esta dada por: Cj (w j / d )H M0 C j Contribucion por Indicador y Dimension • Notar: La suma de las contribuciones de todos los indicadores debe dar 1 (o 100%). • Cuando la contribucion a la pobreza de un indicador en particular excede ampliamente su correspondiente ponderacion, esto sugiere que hay una privacion relativa alta en ese indicador. Los pobres estan privados en ese indicador mas que en otros. • Si hay mas de un indicador en una dimension, la contribucion de la dimension es simplemente la suma de las contribuciones de todos los indicadores de esa dimension. Como descomponemos M0 en subgrupos de poblacion? Visualmente... Peo 1 Ye. Ed Child Attend . 1.67 1.67 GROUP A Nutr Mor Elec Wat Sani Floor Cook. Assets Fuel 0 0 0 0.56 0 0.56 0 0 Depr. Count 4.44 2 0 0 1.67 1.67 0 0 0 0 0 0 3.33 3 0 0 0 0 0.56 0.56 0.56 0.56 0.56 0.56 3.33 4 1.67 0 0 1.67 0.56 0.00 0.56 0 0.56 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 GROUP B Decomposicion en subgrupos de poblacion Si toda la poblacion X (de tamaño n) es dividida en dos subgrupos X1 (de tamaño n1) and X2 (de tamaño n2), entonces M0 es la suma de M0 en cada subgrupo: n1 n2 M 0 ( X ; z ) M 0 ( X 1; z ) M 0 ( X 2 ; z ) n n Entonces, la contribucion del subgrupo i a la pobreza total es ni / n M 0 ( X i ; z ) CGi M 0 ( X ; z) Descomposicion en Subgrupos de Poblacion • Notar que la suma de las contribuciones de todos los grupos debe ser 1 (o 100%). • Cuando la contribucion a la pobreza de una region o algun otro grupo poblacional excede ampliamente su contribucion poblacional, esto sugiere que hay un importante desbalance en la distribucion de la pobreza entre las personas, con algunas regiones o grupos cargando con una proporcion muy desigual. Generalizando las formulas de manera que tambien se apliquen a M1 y M2 gα Matrix g11 ... g1d g 21 ... g 2 d g ... ... g n1 ... g nd Donde z j xij gij w j if z j gij 0 if xij z j xij z j Matriz gα Censurada (post-identificacion, se hace exactamente igual que con M0) g11 (k ) ... g1d (k ) g 21 (k ) ... g 2 d (k ) g ( k ) ... ... g n1 (k ) ... g nd (k ) Donde gij ( k ) gij gij ( k ) 0 if if ci k ci k Pobreza Multidimensional en general M1: Brecha de Pobreza Ajustada M2: FGT Ajustado g i1 j1 ij (k ) n M ( g (k )) d nd M1: Brecha de Pobreza Ajustada M1 H * A * G donde G es la brecha de pobreza promedio considerando todas las instancias en las cuales las personas pobres estan privadas G n d i 1 n j 1 d i 1 j 1 gij (k ) 0 ij g (k ) M2: FGT Ajustado M2 H * A* S Donde S es el promedio de la brecha de pobreza al cuadrado (severidad promedio de la privaciones) en todas las instancias en las cuales las personas pobres estan privadas n d S i 1 n j 1 d i 1 j 1 2 ij g (k ) 0 ij g (k ) Contribucion por Indicador • Es la proporcion total de pobreza que proviene de una privacion en particular. • En general: d M j 1 ( g*j (k )) / d • Donde: ( g* j (k )) i 1 gij (k ) / n n • Entonces, la contribucion del indicador j a la pobreza total esta dado por: Cj ( g* j (k )) dM Contribucion por Subgrupos de Poblacion • Es la proporcion de la pobreza total que proviene de un grupo en particular M i 1 ( gi (k )) / n n • Si toda la poblacion X (de tamaño n) es dividida en dos subgrupos X1 (de tamaño n1) y X2 (de tamaño n2), entonces el M0 total es la suma ponderada del M0 en cada subgrupo n1 n2 M ( X ; z ) M ( X 1; z ) M ( X 2 ; z ) n n • Entonces, la contribucion del subgrupo i a la pobreza total es ni / n M ( X i ; z ) CGi M ( X ; z)