Propedéutico Matemáticas 2011 - Universidad Autónoma del Carmen

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN
Escuela Preparatoria Diurna
“CAMPUS II”
CUADERNO DE EJERCICIO DE MATEMÁTICAS
CURSO PROPEDEÚTICO
AritméticA y álgebrA
Presentado por:
Academia de Matemáticas
Cd. del Carmen, Campeche, 1 de Agosto 2011.
1
Aritmética
¿Que son los Números Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto,
y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para
ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las
tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento
de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el
resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo
que se dice que son operaciones internas.
Propiedades de la adición de Números Naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento
neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
2
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a+b=b+a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7+4=4+7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar larga s sumas
de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a,
se cumple que:
a+0=a
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento
neutro y distributivo del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
3
a·b=b·a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se
cumple que:
a·1=a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Propiedades de la Sustracción de Números Naturales
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números
naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el
minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un
número de otro, cualesquiera que sean éstos.
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuántas ovejas tenemos? Una forma de
hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el
mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 =
4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las o vejas
que se comieron los lobos).
4
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
Propiedades de la División de Números Naturales
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales
puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso
se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por
otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales
en la que además de un cociente se obtiene un resto
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un
número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de
personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
Ejercicios
Números enteros (Z).
Conjunto de todos los números positivos y negativos, incluyendo el cero.
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus
opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
5
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y
ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores
o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es
igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:
• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas
porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se
pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
Suma de Números Enteros
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:
• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que
tenían los sumandos:
7 + 11 = 18:
-7 - 11 = -18
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus
valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
7 + (-5) = 7 - 5 = 2
-7 + 5 = - (7 - 5) = -2
14 + (-14) = 0
La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a+b=b+a
6
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a+0=a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
Multiplicación de Números Enteros
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja
con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los
factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir
del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:
+·+=+
+·-=-·+=-·-=+
La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a·b=b·a
Elemento
a·1=a
neutro:
Distributiva
de
a · (b + c) = a · b + a · c
el
1
la
es
el
elemento
multiplicación
neutro
respecto
de
de
la
multiplicación,
la
suma:
7
Resta de Números Enteros
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:
a - b = a + (-b)
Por ejemplo:
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos
de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los
enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos tres", etc.), son menores que
todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y
negativos, a veces también se escribe un signo "más" delante de los positivos: +1, +5, etc.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra
+3, ...},
= {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2,
Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:
−783 y 154 son números enteros
45.23 y −34/95 no son números enteros
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y
dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario
calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden
utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un
cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total
habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que ha aumentado en 80 − 100
= −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del
cero. La altura del Everest es 8848 metros (por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla
del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar
como −423 m.

8
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y
resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre
representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque
matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus
trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya
era conocida previamente por los matemáticos de la India.
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo,
superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos".
Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban
escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3
escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
3−5=?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin
embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo
al hablar ganancias y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día
siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer
día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La
expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las
ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden
expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total
2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende
que una pérdida es una ganancia negativa.
Números con signo
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al
añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:
Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo
menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen "menos 1", "menos 2", "menos 3",...
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+»)
delante y se les llama números positivos.
Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más.
9
«+».
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo
indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de
números son los llamados "enteros".
Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y
negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en "negrita de pizarra"
como :
La recta numérica
Artículo principal: Recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para
entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la
izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor
absoluto:
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El
valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales "| |".
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
El orden de los números enteros se define como:
Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el
positivo: −b < +a.
Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es el
de menor valor absoluto, si el signo común es "+", o el de mayor valor absoluto, si el
signo común es "−"
El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
10
Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse
con los números naturales.
Suma
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo
y su color.
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del
resultado.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del
siguiente modo:
Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y
su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
Si ambos sumandos tienen distinto signo:
El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y
el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y
a + (b + c) son iguales.
Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a
son iguales.
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a
+ 0 = a.
11
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números
naturales:
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al
primero resulta en cero: a + (−a) = 0.
Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo
más el sustraendo cambiado de signo.
Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) +
(+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
Multiplicación
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el
signo y valor absoluto del resultado.
En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del
resultado de la siguiente manera:


El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
El signo es "+" si los signos de los factores son iguales, y "−" si son distintos.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
Regla de los signos


(+) × (+)=(+)
(+) × (−)=(−)
Más por más igual a más.
Más por menos igual a menos.
12


(−) × (+)=(−)
(−) × (−)=(+)
Menos por más igual a menos.
Menos por menos igual a más.
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números
naturales:
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) ×
c y a × (b × c) son iguales.
Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b
× a son iguales.
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos
por 1: a × 1 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
2. Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números
naturales, por la propiedad distributiva:
Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de
productos (a × b) + (a × c) son idénticos.
Ejemplo.
(−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
13
Ejercicios. Resuelve el siguiente crucigrama.
HORIZONTALES
VERTICALES
1. 80 − 20
1. 648 ÷ 12
2. 51 − 23
2. 20 + 7
4. 6 × 4
3. 45 − 19
5. 53 −16
4. 7 × 3
6. 150 - 54
5. 132 ÷ 4
7. 344 ÷ 8
6. 380 ÷ 4
8. 70 − 15
7. 85 − 40
9. 5 × 3
8. 14 × 4
10. 49 − 13
9. 30 − 14
12. 644 ÷ 14
10. 2 × 16
13. 11 × 2
11. 38 + 19
14. 39 + 28
12. 46 + 1
15. 300 ÷ 4
13. 42 − 17
16. 45 − 10
14. 195 ÷ 3
17. 43 × 2
15. 57 + 19
18. 41 + 7
16. 57 −19
20. 440 ÷ 10
17. 12 × 7
21. 20 + 9
18. 245 ÷ 5
22. 22 + 17
19. 5 + 14
1
2
4
5
6
7
8
9
10
12
11
13
14
15
16
17
20
3
18
21
19
22
14
NÚMERO RACIONAL
En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el
cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término
racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional.
Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una
dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción
irreducible, la de términos más senos.
Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número
decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito
periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional
permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto
de cero).
El conjunto de los números racionales se denota por , que significa «cociente» (Quotient en
varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un
subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son
una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto
de números fraccionarios.
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para
cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad
que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en
la recta de los números reales.
15
Construcción de los números racionales



Consideremos las parejas de números enteros
denota a
Al
conjunto
donde
.
. A se le llama numerador y a se le llama denominador
de
estos
números
se
le
denota
por
.
Es
decir
Definición de suma y multiplicación en Q

Se define la suma

Se define la multiplicación
Relaciones de equivalencia y orden en Q
Fracción aparente que es equivalente a dos.

Se define la equivalencia
cuando

Los racionales positivos son todos los

Los racionales negativos son todos los tales que

Se define el orden
tales que
cuando
Notación
16

Los números de tipo

Las sumas de tipo
son denotadas por
denota a


son denotados por
Todo número se denota simplemente por .
Unicidad de un racional
Un número racional sólo puede provenir de una única fracción irreducible.
Propiedades de los números racionales
El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera
forman un Cuerpo.
Propiedades de la suma y multiplicación
La suma en Q es conmutativa, esto es:
La suma en Q es asociativa, esto es:
La multiplicación en Q es asociativa, esto es:
La
multiplicación
se
distribuye
en
la
suma,
esto
es
17
Existencia de neutros e inversos
Para cualquier número racional: se cumple que
aditivo de los racionales y se le denota por 0.
entonces
es el neutro
Para cualquier número racional: se cumple que
multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
entonces
es el neutro
Cada número racional: tiene un inverso aditivo
Cada número racional:
tal que
con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo
tal que
Equivalencias notables en Q
si
y
,ayb≠0
, a y b ≠ 0.
Los números enteros en Q
Si p es un número entero entonces existe el número
que equivale a p y mantiene todas
sus propiedades de entero. Es decir, se define
Otras notaciones de números en Q
Fracciones mixtas
18
Cada número racional se puede expresar de forma única como
donde
A es un entero no negativo, es decir
es
un
racional
irreducible
no
negativo
menor
que
uno.
Se
expresa
com o
u es una unidad. Es decir
La notación es muy sencilla, las reglas son
denota a
denota a
Por ejemplo
El conjunto de los números decimales en Q
Un número decimal es un número racional de la forma
denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir
Expresión Racional de un número decimal: el número a en base 10 con un punto a n
lugares del extremo derecho, por ejemplo
se denota como 1.78
Representación decimal de los números racionales
Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo
puede ser de tres tipos:
Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:
19
Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:
Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:
En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de
restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en
dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:
Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la
siguiente manera:
Artículo principal: Número periódico
Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como
un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.
Ejemplo:
Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador
la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como
denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo:
Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el
número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como
números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0"
20
como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número
y
entonces
, por lo que el número buscado será
-
4,
3 1 1
, ,
,
5 3 5
2
, 3.67 . . . etc.
4
Ejercicios. Completa la tabla siguiente.
a
b
c
-5
2
-3
1
-4
-2
-3
-2
-1
5
10
-10
a b
ab
c
a
bc
abc
Operaciones con números fraccionarios
a) Simplificación de fracciones.
21
1)
1
de 38 
2
2)
1
de 24 
3
3)
1
de 36 
4
4)
1
de 45 
5
5)
1
de 17 
2
6)
1
de 27 
5
7)
1
de 39 
8
8)
1
de 30 
4
9)
3
de 24 
4
10)
2
de 81 
3
11)
2
de 35 
5
12)
3
de 56 
8
b) Suma de fracciones de igual denominador.
Se suman los numeradores y esta suma se parte por el denominador común. Se simplifica
el resultado y se halla los enteros si los hay.
Ejercicios.
1) 1  2 
3 3
2)
4) 3  5  2 
8 8 8
5)
3)
12 8
 
5 5
6)
4 5 2
  
8 9 9
c) Suma de fracciones de distinto denominador.
Se simplifican los quebrados dados si es posible. Después de ser irreducibles se red ucen
al mínimo común denominador y se procede como en el caso anterior.
Ejercicios.
22
1)
4)
2)
1 1 1
  
2 4 8
3)
6) 3 1  5 3 
4
5)
4
7) 7 1  3 5 
8) 8 1  10 7  3 2 
9) 2  3 
10) 1  1 
3
1
11) 1  6  2
4
3
5
2
2
12) 8  6  1
8
3
5
1
1
1
15) 5  8  12
2
2
2
8
24
3
9
9
9
13)
1
3
1
 12  10
2
5
4
2
3
4
14) 1  2  3
3
4
5
16)
6 7
1
 2
5 3
8
17)
19)
8 2

4
9 3
20) 6 
7 1 1
  
8 6 8
2

3
4
18)
 2 1 7

1 
5
6
8
1
21) 4  6 
5
d) Resta de fracciones de igual denominador.
Se restan los numeradores y esta diferencia se parte por el denominador común. Se
simplifica el resultado y se halla los enteros si los hay.
Ejercicios.
2)
1)
4 1
 
5 5
3)
11 5


14 14
23
4)
7 5 1
  
8 8 8
5)
11 7
4
 

12 12 12
6)
23 11 7



25 25 25
e) Resta de fracciones de distinto denominador.
Se simplifican los quebrados si es posible. Una vez irreducibles, se reducen al mínimo
común denominador y se restan como en el caso anterior.
Ejercicios.
1)
5 1
 
8 4
2)
5
7


12 24
3)
4)
1 1 1
  
4 16 2
5)
4 1 1
  
5 6 3
6) 4
8)
1 1
3
 2 
3 12
4
9) 8 
1
7) 4  6 
2
10) 16 
1

11
5
2
2
11) 8  6  1
8
3
5
11 5
 
64 8
3 3
 
10 5
2

3
2
3
4
12) 7  2  3
3
4
5
f) Multiplicación de fracciones
24
Para realizar esta operación se multiplican los numeradores y los denominadores. En caso
de que existan fracciones mixtas, se deben convertir a fracciones impropias y posteriormente
realizar los productos. El resultado se simplifica y se halla los enteros si los hay.
1)
2)
 3
2

5
9
2
5
10) 1  2 
5
7
13) 2 
3

4
5
8
5)
6
8 
7
6) 12  
8)
5 3
 
7 8
9)
4)
7)
3)
2 4

7
5
11)
6
1
2 
3
2
12)
2 7 3
  5 
9 5 14
14)
2
4 
5
1
15) 5  2 
2
g) División de fracciones
1. Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la
segunda fracción, el producto es el numerador de la fracción resultante.
2. Se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la
segunda fracción, el producto es el denominador de la fracción resultante.
3. Se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay.
25
Ejercicios.
1)
2)
3)
5)
6)
8)
9)
4)
7)
10)
1
9
7
1
13) 2  5 
4
11) 8 
2

3
1
1
14) 1  2 
2
3
12) 9 
2

3
1
1
15) 2  3 
3
2
h) Operaciones combinadas de fracciones.
3 18 5
:

8 24 6
1 3 2
 
4 2 3
2)
5 4 3 20
  
6 15 5 18
3)
3 1
 14
4) (  ) 
5 10
15
5)
4 7 5
(  )
5
3 4
1 3 5
6) (  ) 
2 4 6
1)
7)
12  1 3
(  )
18
2 8
1
1 12
8) (1  2 ) 
3
2
5
9)
1 2 3
  
2 5 7
10)
1 2 3
 
2 5 7
11)
1 1 4 1
  
2 3 5 8
12)
2  1 3
 1    
3  4 4
13)
3 3 
   1 
4 2 
14)
3  1 3
 1    
2  3 4
15)
2 3 
   1 
5 2 
26
i) Fracciones complejas.
1
3 =
1
2
3
2
1)
2)
6
21
4) 2+
2 4
3
3
1
2
1
5)
1
2 3
3) 2+
3 4
3
4
2

 4  3
5

=
1
3
4
1
3
2
1
2

1
2
2
1
1
7
1
7)
8)
15

1
1
4
1
1
2 
1
1
1
3
4
7
3   2  4  
1 1
 7 19 
24
1 3
4 5
2
6)
1
1
2
3 
3
7
1
3
2
7
6
9)
5

3
8
27
Todo número racional puede expresarse como un decimal cuyos dígitos forman un modelo
repetitivo. Un decimal representa un número racional si y sólo si la sucesión de d ígitos forma un
modelo repetitivo.
Números reales (R)
Conjunto de todos los números enteros, racionales e irracionales.
28
4
3
 27
- 10
-5
7.64

0
5
10
Multiplicación.
Es la representación de la suma de una misma cantidad varias veces Una multiplicación
se representa con los símbolos, “x”, “” o “( )”.
Ejercicios.
Resuelve las siguientes multiplicaciones, a completando, en la línea, lo que falta para que
se cumpla la igualdad.
1) 2 x ___ = 18
2) 3 x ___ = 27
3) ___ x 9 = 72
4) ___ x 8 = 24
5) ___ x ___ = 21
6) 4 x ___ = 20
7) ___ x 7 = 28
8) ___ x 9 = 45
9) 7 x ___ = 56
10) 5 x ___ = 40
11) ___ x 3 = 15
12) 8 x ___ = 32
Suma y resta con signos de agrupación
Ejercicios: Resuelve las siguientes operaciones:
1) 8  7  (5  4)  3 
2)
7  2  (8  3)  (5  2) 
29
3)
5)
(4  3)  (5  2)  (7  3) 
3 – ( 6 – 10 + 24)
7) –8 - ( -6 –5 +4)
9)
(-8 – 6 ) – (10 +2)
4) –5 - (-9 +7)
6)
7 – (-15 +8 -9 )
8) (-10 + 5 –1) – (-4 – 6)
10) 4  6   5  (12  8)
Multiplicación con signo de agrupación
Ejercicios: Resuelve las siguientes operaciones.
1) 2(7 – 4) + 3(1 – 5) + 8
2) – 4(2 – 3 – 1) + 2(8 – 5) + 3(4 – 5)
3) - 6 + {3 – [ 4 – 2(4 – 7)]}
4) 8 – {5 – 4[ - 6 + 7(5 – 2)] – 3}
5) – { - 6 + 4[ 2 – 5(4 – 3(4 – 3) + 2(7 – 3))] + 2} - 1
6) 6 – [ 4 – 3(4 – 2)] – {7 – 5[ 4 – 2(7 – 1)]}
Jerarquía de operaciones
Indica el orden en el que se deben realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación,
división, potencia y raíz, así como los signos de agrupación. De esta forma se garantiza que se
obtendrá el resultado correcto.
30
Orden de las operaciones
Dada una expresión que involucre diferentes operaciones, se realizan en el siguiente
orden:
1)
Potencias y raíces: Si se tiene la potencia o la raíz de una suma o resta, estas operaciones
se resuelven primero.
2)
Multiplicaciones y divisiones: Se empieza a resolver de izquierda a derecha.
3)
Sumas y restas: También se resuelven de izquierda a derecha.
Ejercicios.
43  25  2
1)
4  3 6  2  7 =
2)
3)
59  2  4  2 =
4) 2  5  6  2  4  3 =
=
5) 5  (5  5)  2  (3  5) =
6) (6  3)  2  8  4 =
7) 6 2  9  4  16  3  10  5 =
8) 12 2  16  81  52  6  3 =
Números primos
Un número primo sólo es divisible entre sí mismo y la unidad. El 1, por definición, no es
primo.
Ejemplo:
7 es número primo porque sólo es divisible entre sí mismo y la unidad (se puede dividir
entre 7 y 1).
31
Número compuesto (no primo)
Es aquel que además de ser divisible por sí mismo y por la unidad lo es por otro factor.
Ejemplo:
9 es un número compuesto porque es divisible entre 9 (por sí mismo), 1 (la unidad) y 3
(por otro factor).
Ejercicios.
Señala con una “x”, a los números primos y compuestos de acuerdo al renglón que le
pertenece.
Número
13
15
17
28
93
11
12
21
34
35
Primo
Compuesto
Descomposición de un número en factores primos
Descomponer un número en sus factores primos es convertirlo en un producto indicado de
factores primos.
204 = 2 2  3  17
105 = 3  5  7
Ejercicios: Descomponer las siguientes cantidades en sus factores primos.
1) 72
2) 96
3) 225
4) 576
5) 945
32
6) 210
7) 840
8) 2310
9) 3675
10) 2376
Máximo Común Divisor (MCD)
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a
todos exactamente.
Ejemplo: Hallar el MCD de 18 y 24.
El MCD de 18, 24 es: 2  3  6
Ejercicios.
Halla el MCD de las siguientes cantidades.
1) 15 y 30
2) 20 y 16
3) 18 y 24
4) 21 y 28
5) 24 y 32
6) 3, 6 y 9
7) 7, 14 y 21
8) 18, 27 y 36
9) 24, 36 y 72
10) 30, 42 y 54
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
El Mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que contiene un
número exacto de veces a cada uno de ellos.
Ejemplo: Hallar el MCM de 18 y 24.
33
El MCM de 18 y 24 es: 2 3 x 32 =72
Ejercicios.
Halla el MCM de las siguientes cantidades.
1) 15 y 30
2) 20 y 16
3) 18 y 24
4) 21 y 28
5) 24 y 32
6) 3, 6 y 9
7) 7, 14 y 21
8) 18, 27 y 36
9) 24, 36 y 72
10) 30, 42 y 54
Razones y proporciones.
Razón o relación: Es el cociente entre dos cantidades, donde el numerador recibe el
nombre de antecedente y el denominador de consecuente.
Ejemplos:
1) En la razón
7
, 7 es el antecedente y 4 es el consecuente.
4
2) En la razón 23 (se lee 2 es a 3), 2 es el antecedente y 3 es el consecuente.
Proporción: Es la igualdad entre dos razones.
Ejemplo.
34
3 8
o 3:6::8:16, se lee: 3 es a 6 como 8 es a 16.

6 16
3 y 16 son los extremos, 6 y 8 son los medios. Al simplificar la fracción se obtiene ½, la
razón de proporcionalidad.
En una proporción el producto de los extremos es igual al p roducto de los medios:
3  16  6  8  48 .
Ejercicios.
En las proporciones siguientes determina el valor que debe tener la letra (incógnita) en
cada caso.
1)
x 3

12 4
2)
n 5

36 9
3)
c
2

27 3
4)
b 11

6 15
5)
a 7

5 8
6)
2
x

5 20
7)
3 a

8 36
8)
9)
2 1

y 12
10)
16 96

7
a
11)
9 3

c 35
7 28

9 n
12)
4 15

13 m
Ejercicios de aplicación de las razones y proporciones.
1) Media docena de huevos cuesta 80 pesos, ¿cuánto costarán 4 docenas de huevos?
35
2) Un grupo formado por 9 obreros puede hacer una obra en 6 días. ¿Cuántos obreros se
necesitarán para hacer la misma obra en 3 días?
3) Un grupo de obreros emplea 12 días, trabajando 4 horas diarias, para efectuar una obra. Si
hubiera trabajado 2 horas más cada día, ¿cuántos días habría tardado en acabar la obra?
4) Un caminante recorre 9 km en 10 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 27 km?
Regla de tres simple.
Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto término en una operación. A la
parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que contiene el dato no
conocido se le llama pregunta.
a) Regla de tres simple directa.
Se utiliza cuando las cantidades son directamente proporcionales.
Ejemplo:
Si 12 discos compactos cuestan $ 600. ¿Cuánto costarán 18?
Planteamiento
Supuesto: 12 discos cuestan $ 600.
Pregunta: 18 discos cuestan x.
Procedimientos
Se forma la proporción.
12 600

18
x
Se realiza la multiplicación de
manera cruzada.
12x = 10, 800
Se despeja x.
x
10800
12
Se divide: x = 900.
36
Solución: Por lo tanto, 18 discos compactos cuestan $ 900.
Observaciones: Si usted se da cuenta en este ejercicio las cantidades son directamente
proporcionales, ya que al aumentar el número de discos el precio también se incrementa.
b) Regla de tres simple inversa.
Se utiliza cuando las cantidades son inversamente proporcionales.
Ejemplo
Se ha planeado que una barda sea construida por 24 hombres en 18 días; sin embargo,
sólo se logró contratar a 12 hombres, ¿en cuántos días la construirán?
Procedimientos
Planteamiento
Se forma la proporción.
Supuesto: 24 hombres construyen
la barda en 18 días.
Pregunta: 12 hombres la
construirán en x días.
18 24

x 12
Se invierte cualquiera de las
razones.
x 24

18 12
Se realiza la multiplicación de
manera cruzada.
12x = 432
Se despeja x.
x
Se divide: x = 36.
432
12
37
Solución: Por lo tanto, 12 hombres construyen la barda en 36 días.
Observaciones: Si usted se da cuenta en este ejercicio, las cantidades son inversamente
proporcionales, ya que al disminuir el número de hombres, los contratados tardarán más días en
construirla.
Ejercicios.
1) El precio de 25 latas de aceite es de $248, ¿cuántas latas se podrán comprar con $1,240?
2) Liam escucha la radio durante 30 minutos, lapso en el que hay 7 minutos de anuncios
comerciales; si escucha la radio durante 120 minutos, ¿cuántos minutos de anuncio
escuchará?
3) Durante 70 días de trabajo Ana ganó $3, 500. ¿cuánto ganaría si trabajara 12 días más?
4) Una llave abierta 6 horas diarias durante 7 días arrojó 6, 120 litros de agua, ¿cuántos litros
arrojará durante 14 días si se abre 4 horas diarias?
5) Un automóvil gasta 9 litros de gasolina cada 120 Km. Si quedan en el depósito 6 litros,
¿cuántos kilómetros podrá recorrer?
6) En un libro de 80 páginas cada una tiene 35 líneas, ¿cuántas páginas tendrá el mismo libro
si en cada una se colocan 40 líneas?
7) Una bodega se llena con 3, 500 sacos de 6 Kg. de papas cada uno y otra de la misma
capacidad se llena con sacos de 5 Kg. ¿cuántos sacos caben en la segunda bodega?
8) Si 15 hombres hacen una obra de construcción en 60 días, ¿cuánto tiempo emplearan 20
hombres para realizar la misma obra?
38
9) Si 4 hombres terminan un trabajo en 63 días, ¿cuántos más deben añadirse a los primeros
para concluir el mismo trabajo en 28 días?
10) Si se llenan 24 frascos con capacidad para 250 gramos, con mermelada de fresa, ¿cuántos
frascos de 300 gramos se pueden llenar con la misma cantidad de mermelada?
39
NÚMERO IRRACIONAL
En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es
un número que no puede ser expresado como una fracción
diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.
, donde m y n son enteros, con n
Notación
No existe una notación universal para indicarlos, como que no es generalmente aceptada. Las
razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura
algebraica, como sí lo son los Naturales ( ), los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ) y
los Complejos ( ), por un lado, y que la es tan apropiada para designar al conjunto de Números
Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión.
Fuera de ello,
, es la denotación del conjunto por definición.
Clasificación
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y
racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aún quedan
"huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los
elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante
el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De
este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general,
toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número
irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras
decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no
periódicas.
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente
igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen
referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
40
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos
especiales; los tres principales son los siguientes:
1. π (Número "pi" 3,1415 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182 ...):
3. Φ (Número "áureo" 1,6180 ...):
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un
número finito de radicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del
segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado.
Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el
número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica x2 − x − 1 = 0, por lo que es un
número irracional algebraico.
2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o
anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un
patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:
0,193650278443757…
0,101001000100001…
Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución
de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no
pueden expresarse mediante radicales.
Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el
conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya
que incluyen el conjunto de los irracionales
41
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Recordemos que en secundaria y preparatoria se incluye en los programas de matemáticas
procedimientos para sumar fracciones o números racionales, para multiplicar y dividir polinomios,
para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, para factorizar expresiones algebraicas, por
mencionar algunos. En cada uno de estos temas se utilizan números reales.
La idea fundamental en esta sección es la de poder resumir todas las propiedades algebraicas de
los números reales que hemos utilizado o que se puedan utilizar.
La pregunta es: Qué propiedades elementales bastarán para concluir a partir de ellas todas las
demás propiedades que se cumplen en álgebra elemental? Qué tanto las podemos resumir?
puesto que si hiciéramos una lista con todas las propiedades que sabemos que se cumplen
fácilmente pasarían de cien.
La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar
completamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de aquí se
pueden deducir las demás propiedades.
Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + y * el cual satisface los
siguientes axiomas.
Axioma 1 Cerradura
Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están
también en R.
Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)
Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a.
Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)
Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c
Axioma 4 Propiedad Distributiva
Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac
Axioma 5 Existencia de Elementos neutros.
42
R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los
reales.
Axioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a
está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1.
[+ El inverso multiplicativo de a también se representa por {$ a^{−1} $}
El primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias en los
números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamente las dos
operaciones. El axioma 5 establece la existencia de dos elementos distintos 0 y 1. Y el último
axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que los números reales forman un
campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma se supone diferente de cero el
número a.
También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos:
0+a=0
1.a = a
(-a) + a = 0
(1/a)*a = 1
Como es costumbre en álgebra, el producto a*b se representará simplemente por ab, también se
puede utilizar un punto a.b
Es importante aclarar que estas propiedades de campo son el resultado de muchos años de
trabajo de la humanidad para poder llegar a resumir la característica algebraica de los números.
En general el álgebra estudia estructuras básicas como grupos, anillos, dominios integrales,
espacios vectoriales, campos, etc. que es una clasificación de acuerdo a las propiedades que
satisfacen. De las mencionadas un campo es la estructura más completa, que es precisamente la
estructura de los números reales.
Aparentemente, después de ver los axiomas se pensaría que faltan propiedades pues no se ha
mencionado la resta ni la división, faltan potencias y raíces, y muchas otras cosas. Cómo es
posible que con estas propiedades lo demás se cumpla automáticamente?
Efectivamente, faltan las ideas de resta, división, potencias, raíces y otras más. Pero éstas son
una consecuencia de las anteriores; podemos construirlas en base a los seis axiomas y lo único
que faltaría es dar la definición y comprobar que es posible hacerlo.
43
Una manera sencilla de recordar los axiomas básicos es agrupando en 3 leyes básicas. Ver
Propiedades Básicas.
Como ya habíamos mencionado a partir de estos axiomas podemos demostrar todas las
propiedades algebraicas que conocemos de los números, como un ejemplo veremos que (-a)b = ab.
Ejemplo 1.1. Comprobar (-a)b = -ab usando los axiomas.
Demostración:
(-a)b = (-a)b + 0 axioma 5
= (-a)b + [ab + (-;ab)]
axioma 6
= [(-a)b +ab] + (-ab)
axioma 3
= [(-a)+a]b + (-ab)
axioma 4
= 0.b + (-ab)
axioma 6
= [0.b + 0] + (-ab)
axioma 5
= {0.b + [ab+(-ab)]} + (-ab)
axioma 6
= [(0.b + ab) + (-ab)] + (-ab)
axioma 3
= [(0+a).b + (-ab)] + (-ab)
axioma 4
= [ab + (-ab)] + (-ab)
axioma 5
= 0 + (-ab)
axioma 6
= (-ab) + 0
axioma 2
= -ab
axioma 5
Cada una de las propiedades algebraicas se podría demostrar de esta forma, sin embargo una
demostración a partir de los axiomas sería demasiado extensa y repetitiva de muchas
propiedades. Por ejemplo si ya tuviéramos la propiedad de que a.0 = 0 nos ahorraríamos seis
pasos en el procedimiento anterior. En realidad es conveniente comprobar algunas propiedades
44
básicas sencillas de justificar y utilizarlas para la demostración de otras más complicadas.
Empezaremos por unas de las propiedades más útiles hasta llegar a comprobar regla s
importantes de manejo de expresiones algebraicas.
Teorema 1.1 Propiedades de álgebra elemental.
Si a, b, y c son números reales entonces:
i. a+b = b+a => b = c ley de simplificación para la suma
ii. (-a) es único; Posibilidad de la sustracción
iii. -(-a) = a
iv. -(a+b) = -a + (-b)
v. ab = ac, a =/ 0 => b = c
vi. −1 es único
vii. (−1)1 = a
45
ALGEBRA
Término o Monomio
Es una expresión algebraica, la que une a los números y a las variables con solo la
operación multiplicación.
3.a (el numero esta multiplicando a la incógnita)
Términos semejantes:
Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos
que tienen igual factor literal.
Reducir términos semejantes
Consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal (incógnitas y
exponentes) que les es común.
Regla de signos para sumas y restas
Signos iguales se suman
Positivos
+3 a + 8 a = + 11 a (la incógnita se conserva)
Negativos
− 2b − 5b = −7b (se suman los coeficientes el signo se
conserva −)
El signo que va a predominar va ser el del numero mayor
Signos diferentes se restan
− 3 a + 8 a = _______
2b − 5b = __________
Ejercicios. Reduce los términos semejantes
1) 7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b =
46
2) 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y =
3) 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c =
4) 3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p =
5) 4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r =
6) 2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 =
7) 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b =
8) 8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a =
47
9) 3m -
10) 2
2
1
2
n + 5m - 7n + 5 n + 3n - p - 5n + 8p =
5
2
5
1 2
3
a + 3 b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 – 5 b2 =
2
5
Ejercicios. Sumar los siguientes polinomios
x4
 y  5x5
2
1).
2 5
x  3x4 y  5y5;
9
2).
2 3 1 2
1
5
1
m  m n  5; m2n  mn2  2; m3  2m2n  mn2;2m2n  mn2  5
5
5
6
4
2
3).
5
5
3x  y ;
1
3
1
1
5
2ab ac  bc  ; 5ac 1 bc  ab;  ab bc  3ac 
2
4
2
4
8
48
6
9
mp  a2 x  3b3c;
5
7
4).
5).
3
3
 4  a2 x  mp;
5
2
6
2
 b3c  a2 x  mp 
5
3
2 3
1
1
3
1
4
1
5
x  x 2 y  2 xy 2 ; x 3  y 3  xy 2  x 2 y 3 ; x 2 y  y 3  x 3  x 3 y 3
3
6
2
7
4
5
2
21
Uso de paréntesis en la resta:
Recuerda que los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones.
49
Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.
Ejemplos:
1) 2a  x  a  x  3 
cambia _____________________________
2) 3x +
1
– (6x +3 )
2
cambia _____________________________
reduce ________________
reduce ________________
Resuelve las siguientes operaciones
2) 8 x 2  5 xy  6 y 2  (7 x 2  xy  16 y 2 )
1)  3 x  5 y  10  (4 x  3 y  8)
3)
a 2 b  ab 2  9ab  (6a 2 b  3ab 2  9ab)
 x3
 
1
1 
 3 xy  2 y 2     3 x 3 
 y 2 
5) 
3 xy 2 
 2
 
7)
4)
6)
x 3  xy  y 3  ( x 3  xy  y 3 )
2

2
2 2
2
  3m  mn  9n    mn  9n 
5

 5

3 3
1
1 2 4
 3 3 3 1 5
3 3
5
2 4
 x y  2 x y  3 xy  5    x y  xy  2 x y  x y  
5
4
5
8
 5
50
8)
2 2
1 2
4 3  3
5 3 1

3
3
2
2
 mn  m n  mn  m  n     mn  m   3n  m n  mn 
3
2
5   4
7
4


9)
10)
3x
2
7


y 3  5xy 4  3x 2 y 2   3x 2 y 3  x 2 y 2  y 4 
5



8  1
4 2 3 7
5 3 6 2 7
 x  x  x    x  x   
9
4
2  2
3
6 8
2
Sumas y restas combinadas
Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:
Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.
51
Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.
1) 3xy  9x  6 y  3x  5y  y  4xy
2) 8z 12  8  2x  5x  9z=
3)  6a  5c  d   7a  6d   5c  3
4)  9u  2w  9w  7t   7t  9u=

 
 

5) 3x2  7x  9  4x2  5x  5  2x2  5x  4

 


 

6) 7a3  9a2  5a  3   4a3  3a2  8a  4   6a3 12a2 13a 1

7) 4m3  2m2  3m 12  7m4  5m3  2m2  8m  21

 
 

8) 4 y  3y 2  8  2 y  9 y 2  9 y   2 y 11y 2 1
52
9)
3y
3
 
 

 7 y 2  4 y  9  5y3  8y 2  7 y 10  23y3 17y 2  y 1
10) a  b  2a  3b   3a  5b  7a  4b   6a 10b
MULTIPLICACIONES :
Regla de signos para multiplicaciones
Positivos ( los números se multiplican los exponentes
53
Signos iguales dan positivo
se suman )
(3 a ) (8 a ) = 24
2
= 24a
(a) (a)  a 2
Negativos
( − 2 b 2 ) (− 5b) = 10 b3
Signos diferentes dan negativo
(− 3 a3 ) ( 8 a3 ) = _______
(2 b3 ) ( − 5b )= __________
Multiplicación de monomio por monomios
Ejercicios.
1)
2a b   3ab  =
3)
a   2ab 
5)
2
2
2)
2
2
2
4) (8rs2t)(-6r2s) =
 3a b  =
2
3
(6x)(-3xy)(-6y) =
7
4
3
2
6) x (- x +x -x +x - x) =
4) r(r3 - rs + 3s) =
2  3

9)  a   a 2 b 4   3 a 4 b
3  4

 4 xy z   2 x yz  3xyz  =
3 2
4
3 2
2 4
5
8) -2a b (a b - a b + 2a b - b ) =
=
1 3  2 2   3 4 
x   a x  a m =
2   3
  5

10) 
54
1
2
3
11)  x 3    a 2 x    a 4 m  =
2
 
13)  5 m
3
 7 n  3n

 
5
 2 
 
 3 
=
 2

2 5 3
1
xy z por  z 3 =
15)
3
6
17)
12)  1 a  2 b  2 a 2 =
2 2  9 2  4 3 
a b  ab   a b  
3
 8
 3

19) 2(5a + 8b) – 3(3a2 - 5b) + 4a(a – 7b) =
3
 5

1
2
a b
2
3
16)

 3x 2  2 x  7 x 4
18)
c
8c 5  4c 2  16 =
2
14)

  2 a 2 
5
=


 
por 3 x 3 =

20) 10 – 6(x – 5y) + 2(3x – 5 + 14y) =
Multiplicación de binomios por binomio:
Existe varias formas de multiplicar binomios esta es una de las mas usada:
1) Expresión algebraica: 2a  3b 3a  7b 
55
2) Separas los términos de el primer paréntesis
2 a y -3b y multiplicas cada uno al
segundo paréntesis.
2a 3a  7b   6a2–14ab
 3b 3a  7b   –9ab +21b2
3) Resulta: 6a 2 – 14ab – 9ab + 21b2
4) Reduces términos semejantes: 6a 2 – 23ab + 21b2
Ejercicios. Efectúa las siguientes multiplicaciones
1) (x + 5) (2x3 +1)
2 x
4)
3e  10 
6)
1  3a

3)
x
5)
2 y
7)
 a  b   4b  8a 
8)
9) (5 a 3 b  2 b 2)(4 b 2  2 a 3 b)
10)
2

2)
 3 x por  x  2 
3
 y 2  3y  4
 5 y  1
2


 5 y por 3 x  2 y 2
2
por e  5
a
a2  a  2
a
2

 a  3
 
 2ab  b 2
a  2b


por 2a  b 
División entre monomios
Regla de signos para divisiones
Positivos ( los números se dividen los exponentes se
restan )
56
6 a ÷ 3 a = _______
Al dividir signos iguales
dan positivo
Al dividir signos diferentes
dan negativo
3 a ÷ 6 a ________
Negativos
− 5 b 2 ÷ − b = _________ − b ÷ − 5 b 2 = _________
− 3 a3 ÷ a3 = _______
2 b3 ÷ − 5b = __________
2 4 5
x y  2
9
1
2) 3m 4n5p6   3 m 4np5
3) a 2  a  a 2
1
4) 3m 4 n 5 p 6   m 4 np 5
3
1)
x 4  5 x 3  10 x 2  15 x  5 x
6) 6a 8b8  3a 6b 6  a 2b 3  3a 2b 3
3
1   3
1
7)  a 3  a 2  a     
5
4   5
3
1
2

8)  a 5  a 3 b 3  ab 5   5a 
3
5

5)
9)
5a 2 b  20ab  ab 2
 5ab
10)
3x
2

y  4 xy 2  7 x 3 y 3   xy 
Uso de paréntesis:
En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para
eliminar paréntesis
     debes fijarte en el signo que tengan:
57
a) Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.
b) Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.
Nota
 Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar
desde el interior.
Ejemplo.



m 2   7 mn   n 2  m 2  3 mn  2 n 2
 
1) Como se podrá observar el paréntesis está dentro de un corche y este a su vez está dentro
de una llave; primero se elimina el paréntesis multiplicando por menos a todos los
términos que están en el interior del paréntesis.


m 2   7 mn   n 2  m 2  3mn  2n 2

2) Se reduce términos semejantes, si los hay.


m 2   7 mn   3n 2  m 2  3mn

3) Ahora se va a suprimir el corchete, sin cambiar de signos a los términos que están dentro
de este, ya que el signo que está a lado del corchete es positivo.


m 2   7 mn  3n 2  m 2  3mn
4) Se reduce términos semejantes, si los hay.

m 2   4mn  3n 2  m 2

5) Y por último se va a suprimir la llave, cambiando de signos a los términos que están dentro
de éste, ya que el signo que está a lado del corchete es negativo.
m 2  4mn  3n 2  m 2
6) Se reduce términos semejantes, si los hay.
2m 2  4mn  3n 2
Ejercicios.
58
Elimina los signos de agrupación y reduce términos semejantes
1)  3 x  y   4 x  2 x  2 y  3 x  y  2   2 x  =
2) (x3 –5x +7) –(2x3 +6x2 +11x+4) =
3) 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4)- 14 x2
4) 2a   5a   2b   a  b 
5)  m  n    7m  9n   22m  15n  9m  4n   4m



  
6)  2 x   3 y  4 x  5 x 2  6 y 2   x  y   x 2  y 2  7  8  9
59
7)   a  2b  c   6c  b  9   7c  2 
5
7
3
 11 

8) 11r   s  3r   t  28    r  s  1
3
4
 5

7
9) 9a  5b  c   2a  4b  3c   1  a  b   3a  c 
10)
 5
2
1  2  1
1
1
3
a    b   a  c      a  b  c 
3
2  3  4
2
6
4
 6
4  
 
3  
60
11) 3 p  4q  5 p  8q  7 p 
12)  5 x   3 y  5 x  y   3 x  2 y 
13) 3a  b  3 x  9 x  y    x  y   x   6 y  x
14) 10 x  3 y  4 x   2 y  3 y  2 x 
15) 3 p  4q   5 p  3 p  2q   2 p  q 
Valoración de expresiones algebraicas
61
Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable
de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor
final.
Ejemplo:
Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1
5(22)1  5(4)(1)  20
Acomodando los resultados.
2
8(2)1  8(2)(1)  16
3
91  9(1)  9
- 20 – 16 + 9 =
Reduciendo.
= - 27.
Ejercicios
Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:
Expresión algebraica
1)
Reemplazar :a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0
Resultado
5a 2  2bc  3d
2) 4 ab – 3 bc – 15d
3
3) 6a f
2
3
3
4) 2a  b  c  d
5
62
5) 3( a  b)  2(c  d )
6)
c b a
 
3 5 2
7) (b  c )
2
Sustitución y despeje
Ejercicios.
1)
Si p + q = -6
y
2) Si m + 5n = 5
3) Si a = -5
4) Si m 
n
2
5) Si q = -2r,
y
y
y
q = 2, entonces el valor de p es:
n = -2, entonces el valor de m es:
a + b = 5, entonces el valor de b es:
n = -16, entonces el valor de m es:
r=
s
2
y
s = 9, entonces el valor de q es:
LENGUAJE ALGEBRAICO:
Exprese cada una de las siguientes oraciones o frases en sımbolos algebraicos.
63
Enunciado
Representación
matemática
Representación
matemática
Un numero
El doble de un numero
El doble de un numero, aumentado en 5
La mitas, de un numero aumentado en 3
El triple de un numero, disminuido en 7
La tercera parte , de un numero
aumentado en 2
Lo que tiene Omar es igual a lo que tiene
Silvana
Omar tiene el doble que Silvana
Carlos tiene dos veces lo que tiene Diana
“x” es tres veces “y”
“x” es tres veces mas que “y”
La suma de tres números
La suma de tres números consecutivos
La suma de tres números pares
consecutivos
La suma de los cuadrados de tres
números
El cuadrado de la suma de tres números
El cubo del doble de un numero
El doble del cubo de un numero
64
“A” excede a “B” en 4
Tres menos dos veces un numero
cualquiera.
Propiedades de las ecuaciones:
El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando
se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.
Es decir
 Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad
subsiste.

Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad
subsiste.

Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad
subsiste.
Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad
subsiste.

Transponer términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Consideremos la
ecuación
3x - 2 = x + 6 lo que se debe hacer es sumar una misma cantidad a las dos partes
3x – 2 + 2 = x + 6 + 2
contraria
se elimina
se suma
esto se ha mecanizado y es cuando decimos que pasa con la operación
3x - 2 = x + 6 el dos pasa sumando
3 x = x + 6 +2
y la x pasa
3 x ______= 8
y el numero que multiplica la x pasa __________ así que x = ____________
1) x + 1 = 3.
2) y + 2y = 9.
4) 10x -25 = 6x – 5
5) 5x + 6 = 10x + 5.
3) 3w – 4 = 2w + 5.
6) 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14
65
7) 9y – 11 = - 10 + 12y
10)
x
7
2
8) 21 – 6x = 27 – 8x.
11)
c
3
5
9) 16 + 7x – 5 + x =11x –3 – x.
12)
9
a
4
13)
y
5
5
14)
1
r 9
4
15)
82 
w
2
16)
1
t  14
4
17)
b
4
2
18)
16 
2
b
19)
1
50  a
2
20)
2
a  54
3
21)
2
n  10
5
66