E.T.S. DE INGENIERÍA (I.C.A.I.) TERCER CURSO. ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES Ejercicios complementarios 1 1.a) ¿Cuáles de los estados de tensión representados son posibles?. Razonar la respuesta. En el supuesto de que haya varios, el alumno deberá elegir uno para la resolución de los restantes apartados de este ejercicio. b) Hallar los valores de las tensiones principales y sus direcciones respectivas. c) Hallar la tensión equivalente según el criterio de Von Mises. 500 500 400 400 400 400 700 500 400 400 700 500 40 700 700 40 ( kg / cm 2 ) 2.- Dado el estado de tensiones del elemento de la figura, se pide: a) Tensiones existentes en los planos AB, BC y DEF. b) Tensiones principales y las direcciones principales. (Dibujar un elemento indicándolas). c) Tensiones cortantes máximas. Direcciones en las que éstas ocurren. Tensión normal asociada a los anteriores planos. 50 D 500 30° 1000 500 400 ( kg / cm 2 ) C B F 30° A E 3.- Un prisma de dimensiones: a=150mm, b=500mm, constituido por un material de propiedades elásticas conocidas: E=10000 kg/ cm 2 , µ=0.46, está rodeado lateralmente por un medio que se puede considerar infinitamente rígido. En la cara superior actúa una presión uniforme de valor p=400 kg/ cm 2 . Se pide: a) Valor de las tensiones principales en el material del prisma, y representación de los círculos de Mohr correspondientes. b) Descenso de la cara superior al actuar p. c) Particularización de las soluciones anteriores suponiendo que el material del prisma es incompresible. p a×a b 4.- Un prisma de un material elástico homogéneo presenta en sus caras las siguientes condiciones: Y • caras perpendiculares al eje X: libres, sin limitaciones al desplazamiento y sin tensión. p • caras perpendiculares al eje Y: tensión de compresión de valor p. • caras perpendiculares al eje Z: en contacto con un sólido infinitamente rígido, sin posibilidad de desplazamiento según Z, pero sin impedimento a desplazamientos según X o Y. X Z Se pide: a) Tensiones principales en el material que constituye el prisma, y valor de la tensión tangencial máxima. b) Supóngase que las caras perpendiculares a X tienen adherida una lámina muy delgada de un material de recubrimiento. Determinar las tensiones principales en dicho material, así como el valor de la tensión tangencial máxima. DATOS: prisma Módulo de elasticidad Coeficiente de Poisson recubrimiento E E/10 ν = 0’5 ν = 0’4 Los resultados han de quedar en función de E y p. 5.- En el diseño de una pieza de acero A-42 (límite elástico: 2600 kg/cm2) se ha determinado como más desfavorable un punto cuyo estado de tensiones se representa en la figura. Queremos saber cuál es el valor máximo que puede alcanzar la tensión de compresión σy sin que el coeficiente de seguridad baje de 1’8. Utilícese como criterio de tensión equivalente: a) La tensión principal máxima. b) El criterio de tensión cortante máxima. σy 450 300 750 B 6.p A a p B B A b c B La pieza A, de dimensiones a=20cm, b=10cm y c=50cm, está colocada entre dos paredes, las cuales a su vez están unidas mediante cuatro barras B. Se somete la pieza A a una presión p=100 kg/ cm 2 . Las características de la pieza A son: - E = 10 6 kg / cm 2 - µ = 0.4 Las características de las barras B son: - E = 2 ⋅ 10 6 kg / cm 2 - S = 2 cm 2 Determinar: a) Valor de las fuerzas a las que se encuentran sometidas las barras B. b) Variación de volumen de la pieza A, con indicación de si es incremento o decremento. 7. Dos placas rígidas paralelas se han de mantener unidas mediante una junta, como se indica en la figura. Se prevé un desplazamiento relativo entre las placas, en dirección transversal (cualquier dirección contenida en el plano Y-Z), de valor δ t = 0.45 mm. Se trata de determinar el espesor e que ha de tener la junta, con el criterio: tensión principal admisible (tracción o compresión) = 600 kg / cm 2 . Las características del material de la junta son: E = 2.5 ⋅ 10 4 kg / cm 2 . µ = 0.45 junta plac placa y δt x z e 8.- Se pide: Representación gráfica de las leyes de variación de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales, acotando los valores más característicos. P = 1500 kg q = 1000 kg/m 3.0 3.0 1.2 P q 0.8 articulació P 2.8 1.4 0.8 apoyos 9.- Dibujar las leyes de esfuerzos cortantes, esfuerzos normales y momentos flectores de la viga ABC, acotando los valores más característicos. Datos: P1 M P q c C A M = 1250 kg·m P1 = P2 = 2500 kg q = 1000 kg/m B a L L = 6.00 m a = 2.00 m b = 1.75 m c = 1.50 m b 10.- Para el sistema de la figura: y P2 C D A z P1 E B P3 x AB = 80 cm BC = 60 cm CD = 40 cm DE = 50 cm P1 = 200 kg P2 = 100 kg P3 = 240 kg Definir para cada barra los tipos de acciones internas a que está sometida. Determinar los valores máximos y la sección donde se producen. P 11.- Se trata de aplicar una carga P centrada sobre un soporte vertical de pequeña longitud, constituido por un perfil HEB-200. Por error de montaje se prevé que dicha carga, aún permaneciendo vertical, puede resultar desviada hasta un máximo de r =10 cm en cualquier dirección. Y r X Se pide: Determinar en qué dirección resulta más desfavorable dicha desviación, y el valor máximo que puede alcanzar P, para σadm =1400 kg/cm2. 12.- La viga del ejercicio 9 se va a construir con chapa plegada. Se trata de dimensionar la sección con la forma y dimensiones que se indican. Se dispone de chapas de espesores (mm): 8, 10, 12, 15, 18, 25, 30. Tensión admisible: σ = 1400 kg/cm2. 6t t t t 6t 15 13.- La viga mostrada en la figura 1 está constituida por dos perfiles L (ele), de lados iguales (se elegirán los recomendados por la norma NBE-102), y se sueldan conforme se muestra en la figura 2. Se pide: a) Diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes, acotando los valores más característicos. b) Dimensionar el perfil sabiendo que σadm. = 1400 kg/cm2. c) Tamaño de la garganta de la soldadura, sabiendo que el paso de la soldadura es 50 cm. y la longitud del cordón f = 10 cm.; τadm soldadura = 700 kg/cm2. Datos: q A M B I=6m q = 1000 kg/m M = 1000 kg·m a=3m a l Figura Figura 2 Sección transversal 14.- Una viga en voladizo tiene aplicada una carga P = 1500 kg en su extremo libre. La sección está constituida por un perfil IPN-220 y un UPN-220, colocados como se indica en la figura, unidos mediante parejas de cordones de soldadura de las siguientes características: longitud eficaz: 55 mm. garganta: 5.5 mm. distancia entre cordones (d): 700 mm. Las tensiones admisibles son: para el acero : σ = 1600 kg/cm2. para la soldadura: τ = 1200 kg/cm2 (en el plano de la garganta). Hallar la máxima longitud L que puede tener la viga. soldaduras L d soldadura 15.- Una barra cilíndrica AB está empotrada en su extremo A; en su extremo B tiene soldada una placa rígida en la que, a su vez, se empotran otras dos barras, una de las cuales está sometida a una fuerza de tracción y la otra a un momento torsor. Se pide: Dimensionar la barra AB (diámetro en número entero de mm.) con el criterio de la tensión tangencial máxima y un coeficiente de seguridad de 1.65. Límite elástico: σ = 2600 kg/cm2. F=590 kg A 80 B M=71 kg·m 80 500 80 16.- La figura representa un eje biempotrado, con dos diámetros distintos. Sobre una generatriz de la superficie cilíndrica de diámetro D2 actúa una carga uniformemente repartida. Datos: a = 0.80 m. b = 1.10 m. D1 = 1/2·D2 q = 150 kg/m E = 2.1·106 kg/cm2. ν = 0.3 D2 D1 D1 q a b a Se pide: a) Dimensionar el eje (dar D1 y D2 en mm.) con el criterio σadm=1100 kg/cm2. b) Hallar el valor de τ máxima (entiéndase τ en cualquier plano, no necesariamente τxy). c) Hallar la deformación unitaria máxima por torsión en °/m. d) Diagrama de giros por torsión, acotando el máximo. 17.1- El elemento constructivo de la figura es de sección cuadrada y está sometido a la fuerza F. Sabiendo que su dimensionamiento es por el criterio de σadm. Determinar la dimensión “e”. 17.2.- Determinar el desplazamiento del punto C. e C A F a B b Datos: F = 500 kg σadm= 1700 kg/cm2. a = 40 cm. b = 20 cm. E = 2·106 kg/cm2. G = 7.8·105 kg/cm2. 18.- Los dos ejes de acero mostrados en la figura 1, uno de sección transversal circular y otro de sección cuadrada, tienen los extremos empotrados y poseen unas bridas rígidas. Los ejes están atornillados el uno al otro. Sin embargo, existe una desalineación de ϕ° en la localización de los tornillos, según se muestra en la figura 2. Calcular la máxima tensión cortante en cada eje después que los ejes se han atornillado el uno al otro. Úsese un valor de G = 8·105 kg/cm2. ϕ c A d B b a Figura 1 Figura 2 Datos: a = 200 cm. b = 100 cm. c = 40 mm. d = 50 mm. ϕ° = 6° 19.- En la viga de la figura, representar las leyes de esfuerzos normales, esfuerzos cortantes y momentos flectores, acotando los valores más característicos. P = 10000 M = 500 α = 5° 1m 5m 3m 20.- Determinar cuánto debe valer el descenso a del apoyo B, para que las tensiones máximas en la viga representada de rigidez dada EI = 22.52·105 kg m2, tengan sus valores mínimos. 1000 kg 1000 a A C B 2m 2m 2m 2m 21.- La viga representada está sustentada por dos apoyos fijos (articulaciones) y por un apoyo móvil. Sobre la viga actúa una carga de 5200 kg, que se distribuye uniformemente en toda su longitud, más dos cargas puntuales de 1300 kg cada una, situadas en el punto medio de cada vano. Se pide: a) Reacciones en los apoyos. b) Representación de las leyes de variación de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales, acotando los 4.00 valores más característicos. c) Dimensionado de la viga con perfil IPN, para σadm = 1730 kg/cm2. E = 2.1·106 kg/cm2. d) Desplazamiento del apoyo móvil. 2.90 2.90 22.- Calcular: a) Flecha en A. b)Giro en B. c) Flecha en C. E = 2.1·106 kg/cm2. I1 =7500 cm4. I2 =5000 cm4. P = 4000 q = 1000 A I1 I2 1m 1m I2 articulaci B 2m I2 2m C 23.Sobre la viga AB (empotrada en B y libre en A), actúa una carga uniformemente repartida q = 750 kg/m. Su longitud es de 2 m y su sección rectangular con b = 2h. La viga CD es de igual material, longitud y sección y está doblemente apoyada en C y D. Si la viga AB, apoya en su punto medio sobre el B punto medio de CD, dimensionar la sección necesaria D para σadm = 800 kg/cm2. C q h A b 24.- El eje hueco de relación diámetro interno a externo d/D = 0.9, está doblemente empotrado y cargado por las fuerzas P, que son paralelas al eje Y. Calcular el eje con los siguientes criterios: a) σadm = 1000 kg/cm2 ≥ σ1 ó σ2. b) τadm = 500 kg/cm2 ≥ τmax c) Deformación angular unitaria máxima φ/l = 0.25 °/m. d) Con el criterio (a), definir el mayor ángulo de torsión, dando su valor. e) Descenso vertical del punto E con el criterio (a), dando su valor. E = 2·106 kg/cm2. µ = 0.3; Datos: P = 2000 kg; y 1m A 2m P Barras rígidas C 2P E B D x z 1m 2m 1m 25.- Dimensionar la sección de la viga de la figura (perfil IPN), de forma que la flecha en cualquier punto no exceda de 3 mm. Módulo de elasticidad: E = 2.1·106 kg/cm2. Indicación: De no disponer de software adecuado, el método de la elástica es, generalmente, laborioso. A fin de simplificar la resolución de este ejercicio, se recomienda razonar en qué vano de la viga ha de producirse la flecha máxima y resolver previamente la hiperestaticidad (momento en el apoyo central). P P = 500 kg. Cotas en m. P 0.4 0.45 0.75 0.75 26.- Un marco de cobre tiene articulada una barra de acero que une los puntos medios de dos de sus lados opuestos. El marco tiene sección cuadrada de 25x25 mm; la sección de la barra es circular con 5 mm de diámetro. Se somete todo ello a un aumento de temperatura de 100ºC. Se pide: a) Esfuerzo normal a que queda sometida la barra de acero. b) Representar gráficamente, acotando los valores más característicos, las leyes de los momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales que se producen en el marco. c) ¿Cuál tendría que ser la variación de temperatura (en vez de los 100ºC) para provocar el fenómeno de pandeo en la barra de acero? DATOS: cobre acero Módulo de elasticidad (kg/cm2) 106 2⋅106 Coeficiente de dilatación lineal (ºC-1) 2⋅10-5 10-5 400 articulaciones 200 acero cobre ∅5 25x25 200 cotas en mm 27.- P Una columna de 8 m. , que está sustentada como indica la figura, tiene unos rodillos a una distancia de 2 m. de cada deslizadera, que le impiden el desplazamiento según el eje x-x´. La columna está arriostrada, de forma que sólo es posible el pandeo en el plano de la figura. 2m 4m a) La columna está sometida a P=25 Tm. Dimensionar el perfil necesario formado por dos U, determinando la separación a que debe existir entre ambas U de forma que, si la disposición de los perfiles se gira 90º, no cambie el comportamiento de la columna frente al pandeo. b) ¿Cuál es el coeficiente de seguridad con el que trabaja?. 2m P x x a El material es acero A-42. Considerar σadm=1200 2 kg/cm y σflu = 2600 kg/cm2. rodillo 28.- La estructura de la figura está sometida a cargas de valores: q=300 kg/m. , P=13000 kg. El dintel se supone infinitamente rígido. El movimiento lateral del pilar se halla limitado, de forma que sólo es posible el pandeo en el plano de la figura. Se pide: a) Dimensionar el pilar (un perfil HEA) con el criterio del coeficiente ω. Se supone que la sección del pilar se orienta en la posición más conveniente; indíquese claramente en una figura cuál es dicha posición. Utilícese el resultado a) para resolver los apartados b) y c). b) En el supuesto de que las cargas fueran aumentando indefinidamente, ¿de qué forma se llegaría a la carga crítica en el pilar? (¿aplastamiento?, ¿pandeo?...). Para responder a este apartado se puede utilizar el diagrama adjunto. c) Hallar el coeficiente de seguridad del pilar (respecto a la carga crítica). DATOS: Acero A-37. Tensión de rotura: σrot =3700 kg/cm2. Tensión de fluencia: σflu =2400 kg/cm2. Tensión admisible: σadm=1400 kg/cm2. Módulo de elasticidad: E = 2.1·106 kg/cm2. 2.50 2.50 2.50 q σcr kp/cm2 σcr 2400 1960 5 Cotas en m. 320 50 100 150 200 250 λ 29.- En la estructura representada, se pide: a) Valor máximo admisible de la carga P según el criterio del coeficiente ω. b) Para dicho valor, coeficiente de seguridad respecto a la carga crítica. Datos: a=4.40m; b=1.60m; sección: HEB-120. E = 2.1·106 kg/cm2. Tensión de fluencia: 2400 kg/cm2. Se supone limitado el movimiento lateral, de forma que sólo es posible el pandeo en el plano de la figura. empotramiento b P a 30.- La construcción de la figura, está constituida por dos vigas empotradas conectadas por una barra articulada, se pide la carga que hace pandear a la construcción, sabiendo que el coeficiente de seguridad es 3.5. l/2 Pcrit C A I1 Io B l A3 I3 l3 D Datos: E = 2.1·106 kg/cm2. l = 500 cm. l3 = 250 cm. A3 = 50 cm2. Io = 4000 cm4. I1 = 8000 cm4. I3 = 400 cm4.