Taller Matemático Lógica Cristóbal Pareja Flores antares.sip.ucm.es/cpareja Facultad de Estadística Universidad Complutense de Madrid 1. Lógica… 14 amigos aportan la misma cantidad de dinero, sobre un fondo de 15 €, para comprar un balón de 71€. Todos los hombres son mortales; Sócrates es un hombre. ... ... 14 bolsitas de azúcar y cincuenta y 15 gramos pesan en total 71 gramos. Todos los perros tienen pelo; Milú es un perro. 14 x + 15 = 71 --------------------x = 4 p(x) → q(x) p(x) --------------------q(x) x=4€ x = 4 gramos Sócrates es mortal Milú tiene pelo Lógica: sistema formal que estudia la deducción válida, la validez de los razonamientos, la inferencia; esto es, el proceso de obtener conclusiones a partir de premisas. Taller matemático Lógica 2 / 10 1. Lógica Oraciones declarativas Oraciones no declarativas • • • • • • • • Feliz cumpleaños Lázaro, levántate y anda Dime la fecha en que naciste ¡Ay! • Hoy llueve • 15 es un número primo • 2 no es un número par pero es primo • • • • O es de día o de noche De noche, no se ve el sol Si se ve el sol, es de día Si está nublado, no se ve el sol Predicados Representación abreviada • Llueve(d) • EsPar(n) y EsPrimo(n) • No Llueve(d) • 𝑃(𝑥) • 𝑃(𝑥) ˄ 𝑄(𝑥) • ˥ 𝑃(𝑑) Todos los números impares son primos Morir es dormir, y tal vez soñar Todos los días de invierno llueve 2+2=5 Proposiciones o enunciados Taller matemático Lógica 3 / 10 2. Lógica proposicional Proposiciones o fórmulas proposicionales son fórmula basada en afirmaciones atómicas, que pueden ser verdaderas o falsas. • Átomos: 𝑃, 𝑄, 𝑅, … Representan afirmaciones. Pueden ser verdaderas (𝑇) o falsas (𝐹): 𝑃 ≡ 𝐿𝑙𝑢𝑒𝑣𝑒 𝑄 ≡ 𝐸𝑙 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑗𝑎 𝑅≡3>5 • Operaciones lógicas principales (conectores, conectivas): • Conjunción lógica: y and ˄ & && 𝑃˄𝑄 Llueve y el suelo se moja • Disyunción lógica: o or ˅ | || 𝑃˅𝑄 Llueve o el suelo se moja • Negación lógica: no ˥ ! ˥𝑃 No llueve Ejercicios • Interpreta las siguientes proposiciones con el significado atribuido y calcúlalas 𝑃˄𝑄 𝑃˅𝑄 ˥𝑃 ˅ 𝑄 ˥𝑃 ˄ 𝑄 𝑃˄𝑅 𝑃˄𝑃 𝑃˅𝑃 𝑃 ˄ (𝑄 ˅ 𝑅) • Inventa algunas fórmulas, y di cuáles de ellas son equivalentes a las anteriores. Taller matemático Lógica 4 / 10 3. Operaciones lógicas básicas • Negación lógica: ˥𝑃 ˥ no ! No llueve ˥ 𝑃 será verdadero cuando 𝑃 sea falso ˥ 𝑃 será falso cuando 𝑃 sea verdadero • Conjunción lógica: 𝑃˄𝑄 y and ˄ & && Llueve y el suelo se moja • Disyunción lógica: o or ˅ | || 𝑃˅𝑄 Llueve o el suelo se moja (Ojo: no excluyente) 𝑃 ˥𝑃 T F F T 𝑃 𝑄 𝑃˄𝑄 𝑃˅𝑄 T T T T T F F T F T F T F F F F Ejercicios • Completa: • 𝑃 ˄ 𝑄 será verdadero cuando… • 𝑃 ˄ 𝑄 será falso cuando… • Calcula: 𝑇 ˅ (𝐹 ˄ 𝑇) Taller matemático ˥ 𝑇 ˅ ˥ (𝐹˄𝑇) • 𝑃 ˅ 𝑄 será verdadero cuando… • 𝑃 ˅ 𝑄 será falso cuando… ˥ ˥ (𝐹˄𝑇) Lógica (𝑃 ˄ ˥𝑃) (𝑃 ˅ ˥𝑃) 5 / 10 4. Combinación de operaciones lógicas • Efecto de la negación sobre la conjunción: (De Morgan 1) ˥ 𝑃˄𝑄 = ˥𝑃 ˅ ˥𝑄 ˥ 𝑃˄𝑄 será verdadero cuando … y será falso cuando … (completa) • Efecto de la negación sobre la disyunción: (De Morgan 2) ˥ 𝑃˅𝑄 = ˥𝑃 ˄ ˥𝑄 ˥ 𝑃˅𝑄 será verdadero cuando … y será falso cuando … (completa) Ejercicios • Forma la tabla de verdad siguiente: • Usa las tablas de verdad para simplificar: 𝑃 𝑄 𝑃˄𝑄 𝑃˅𝑄 T T T T T F F T F T F T F F F F ˥ 𝑃˄𝑄 𝑃˄𝑃 𝑃˅𝑃 𝑃 ˄ ˥𝑃 𝑃 ˅ ˥𝑃 • Muestra que 𝑃 ˄ 𝑄 ˅ 𝑅 = (𝑃 ˄ 𝑄)˅(𝑃 ˄ 𝑅). • Muestra que 𝑃 ˅ 𝑄 ˄ 𝑅 = (𝑃 ˅ 𝑄)˄(𝑃 ˅ 𝑅). Taller matemático Lógica ˥𝑃 ˅ ˥𝑄 ˥ 𝑃˅𝑄 𝑃˄ 𝑃˅𝑄 ˥𝑃 ˄ ˥𝑄 𝑃˅ 𝑃˄𝑄 6 / 10 5. Otras operaciones lógicas • O bien (o exclusivo): 𝑃⊕𝑄 𝑃⊕𝑄 𝑃→𝑄 ⊕ Esta tarde iremos al cine o bien al teatro (pero no a ambos). es cierto justamente cuando lo es 𝑃 o 𝑄, pero no ambos. 𝑃 𝑄 𝑃⊕𝑄 𝑃→𝑄 T T T T T F F F Si te portas bien, F T (entonces) iremos hoy al teatro. F F es cierto justamente cuando lo es 𝑄, independientemente de 𝑃, y también cuando ambos, 𝑃 o 𝑄, son falsos. F T F T • Implicación: 𝑃→𝑄 xor → Ejercicios • Forma tablas de verdad para las proposiciones siguientes: 𝑃⊕𝑃 𝑃 ⊕ ˥𝑃 ˥𝑃˅𝑄 𝑃 → ˥𝑃 𝑃˅ 𝑃 ⊕ 𝑄 𝑃˅ 𝑃 → 𝑄 y simplifica lo que puedas. Taller matemático Lógica 7 / 10 6. Algunas reglas de deducción (1/2) • Modus ponens p → q p -----------∴ q Cuando llueve, soy feliz. Llueve. p : llueve q : soy feliz Soy feliz. • Silogismo disyuntivo p ˅ q ˥ p -----------∴ q Iremos al cine o al teatro. No iremos al cine. p : ... q : ... … • Modus tollens p → q ˥q -----------∴ ˥ p Taller matemático Si tengo dinero, hago lo que quiero No hago lo que quiero. p : ... q : ... r : ... … Lógica 8 / 10 6. Algunas reglas de deducción (2/2) • Definición del condicional p → q 𝒅𝒆𝒇 ˥ p ˅ q • Ejercicio Demuestra la equivalencia siguiente, p → q ≡ ˥ q → ˥p mediante aplicación de reglas conocidas y mediante tablas de verdad. Transitividad del condicional p → q q → r -----------∴ r Si tengo dinero, hago lo que quiero Si hago lo que quiero, soy feliz. p : ... q : ... r : ... … • Ejercicio Demuestra la transitividad del condicional mediante tablas de verdad. • Ejercicio Demuestra el modus tollens mediante tablas de verdad. Taller matemático Lógica 9 / 10 7. Deducción de una fórmula lógica 𝑃 𝑄 𝑅 ¿? T T T F T T F F T F T T T F F F F T T F F T F F F F T T F F F T (p ˄ ˥ q ˄ r) ˅ (˥ p ˄ ˥ q ˄ r) ˅ (˥ p ˄ ˥ q ˄ ˥ r) Simplificando: (p ˄ ˥ q ˄ r) ˅ (˥ p ˄ ˥ q ˄ r) ˅ (˥ p ˄ ˥ q ˄ ˥ r) ≡ ˥ q ˄ ( (p ˄ r) ˅ (˥ p ˄ r) ˅ (˥ p ˄ ˥ r) ) ≡ ˥ q ˄( r ˅ (˥ p ˄ ˥ r) ) ˥ q ˄( r ˅ ˥ p) ≡ Taller matemático Lógica 10 / 10