dyads.

Diadas y diádicas
A. Zozaya
13 de febrero de 2008
Índice
Índice 1
1. Introducción 1
2. Algunas propiedades intrínsecas de las diadas
3. Aplicaciones 2
2
3.1. Caso 1: Ecuación Integral del Campo Eléctrico, 3.—3.2. Caso 2: Ecuación Integral del
Vector de Polarización, 4.
1.
Introducción
U
na diada (a dyad ) consiste en la yuxtaposición de dos vectores, dígase AB. La diada
AB se lee «vector A veces el vector B» y es, a su vez, una suerte de producto externo
denominado producto diádico. El resultado de este producto, que es la misma diada,
se puede expresar de dos maneras diferentes:
Primera forma: en forma de diádica, o de la suma que resulta de multiplicar directamente
las componentes de los vectores entre si, como si se tratara de polinomios. En esta suma
aparecen otras diadas en las que participa la base vectorial que barre el subespacio
al que pertenecen los vectores originales. Ejemplo: sean A = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 y
B = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 , la diada o producto diádico AB (que también se escribe
A ⊗ B) viene resuelto en forma de diádica como
AB = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 )(b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 )
= a1 b1 e1 e1 + a1 b2 e1 e2 + a1 b3 e1 e3 + a2 b1 e2 e1 + · · · + a3 b3 e3 e3
donde e1 , e2 y e3 son vectores unitarios y las diadas e1 e1 , e1 e2 , e1 e3 , etc., se denominan diadas unitarias. La diádica ∇r = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 se conoce, a su vez, como
diádica unitaria, y se suele designar como I.
Segunda forma: en forma matricial (tensorial) en la que las componentes escalares que
acompañan a las diadas unitarias de la diádica se ordenan en una matriz 3 × 3. Esta
matriz se puede obtener, arreglando en un vector columna las componentes del vector
1
A y en un vector fila las componentes del vector B, mediante el producto AB T , donde,
como se ha indicado: A = [a1 , a2 , a3 ] y B = [b1 , b2 , b3 ]:


a1 ¡
¢
AB T =  a2  b1 b2 b3
a3


a1 b1 a1 b2 a1 b3
=  a2 b1 a2 b2 a2 b3 
a3 b1 a3 b2 a3 b3
De las formas anteriores, la forma matricial es la más útil.
2.
Algunas propiedades intrínsecas de las diadas
Definitivamente AB 6= BA, en general. Una diada se puede multiplicar escalarmente con
un vector, en cuyo caso el resultado depende del orden de los factores:
3 Si la multiplicación se realiza por la izquierda: C ·AB, C y A se contraen a un escalar1 ,
dígase α, y el resultado final es un vector en la dirección de B:
C · AB = (C · A) B
| {z }
α
= αB
3 Si la multiplicación se realiza por la derecha: AB · C, B y C se contraen a un escalar,
dígase β, y el resultado final es un vector en la dirección de A:
AB · C = A (B · C)
| {z }
β
= Aβ
3 La multiplicación escalar de un vector, dígase A, por la diádica unitaria I, sea por la
izquierda que por la derecha, da como resultado el mismo vector:
A·I=I·A=A
3.
Aplicaciones
Las diadas son particularmenmte útiles para resumir ciertos resultados, como
A × ∇ × B = (∇B) · A − A · (∇B)
1
(1)
Contracción es sinónimo, en este caso, de producto escalar. En este producto el rango de los tensores
que se multiplican se contrae. El rango de un tensor viene dado por el número de subíndices necesarios para
identificar sus elementos.
2
y
∇(A · B) = (∇A) · B + (∇B) · A
(2)
en el entendido de que los productos diádicos tiene prioridad sobre los productos escalares.
A continuación se muestran dos casos donde el uso de las diadas permite obtener expresiones
menos extensas.
3.1.
Caso 1: Ecuación Integral del Campo Eléctrico
La Ecuación Integral del Campo Eléctrico se obtiene imponiendo que la componente
tangencial del campo eléctrico en la superficie de un conductor (perfecto) es nula: an ×E = 0.
Si pensamos en E como hecho de dos partes: E = E i + E s , donde E i es el campo impreso
o incidente y E s el campo disperso, y ya que el campo disperso, invocando el Teorema de la
Unicidad y el Principio de Equivalencia, se puede expresar como:
E s = −ωA +
1
∇(∇ · A)
ωµε
R
J (r 0)G(r, r 0) dν 0 , resulta:
Z
µ

an ×
∇{∇ · [J (r 0)G(r, r 0)]} dν 0 = an × E i
ωJ (r 0)G(r, r 0) +
4π V 0
ωµε
donde A =
µ
4π
V0
resolviendo ∇ · [J (r 0)G(r, r 0)]:
∇ · [J (r 0)G(r, r 0)] = G(r, r 0) ∇ · J (r 0) +J (r 0) · ∇G(r, r 0)
| {z }
0
0
= J (r ) · ∇G(r, r 0)
resolviendo ahora ∇[J (r 0) · ∇G(r, r 0)] –usando la Ec. (2)–:
∇[J (r 0) · ∇G(r, r 0)] = ∇J (r 0) ·∇G(r, r 0) + ∇∇G(r, r 0) · J (r 0)
| {z }
0
= ∇∇G(r, r 0) · J (r 0)
y
ωµ
an ×
4π
Z
1
J (r 0)G(r, r 0) + 2 ∇∇G(r, r 0) · J (r 0) dν 0 = an × E i
κ
V0
Z
ωµ
1
an ×
[I + 2 ∇∇]G(r, r 0) · J (r 0) dν 0 = an × E i
4π V 0
κ
como la diada ∇∇ es simétrica, ∇∇G(r, r 0) · J (r 0) se puede escribir también de la forma
J (r 0) · ∇∇G(r, r 0)
Z
ωµ
1
an ×
J (r 0) · [I + 2 ∇∇]G(r, r 0) dν 0 = an × E i
4π V 0
κ
3
donde I se suele escribir en forma de diádica:
matricial:

1
I= 0
0
3.2.
I = exex + ey ey + ez ez en lugar de la forma

0 0
1 0 
0 1
Caso 2: Ecuación Integral del Vector de Polarización
En un dieléctrico P = εE − ε0 E, donde E se puede pensar como E = E i + E P , siendo
E i el campo impreso o incidente que provoca la polarización y E P el campo producido por
el dieléctrico polarizado:
P = εE − ε0 E
= ∆ε(E i + E P )
R
1
donde ∆ε = ε − ε0 . Sustituyendo E P = −∇[ 4πε
P (r 0) · aRR2 dν 0 ] en la ecuación anterior,
V0
0
resulta
·
¸
Z
1
P (r)
aR 0
0
∇
= E i (r)
P (r ) · 2 dν +
4πε0 V 0
R
∆ε
al resolver ∇[P (r 0) ·
aR
]
R2
–usando la Ec. (2)–:
h
aR i
aR ³ aR ´
∇ P (r 0) · 2 = [∇P (r 0)] · 2 + ∇ 2 · P (r 0)
| {z } R
R
R
0
se obtiene
1
4πε0
Z
³ a ´
P (r)
R
∇ 2 · P (r 0) dν 0 +
= E i (r)
R
∆ε
V0
4