PROGRAMACIÓN LINEAL Ficheiro - Campus Virtual

05/09/2012
PROGRAMACIÓN LINEAL
LILIANA DELGADO HIDALGO
Liliana.delgado@correounivalle.edu.co
Universidad del Valle
MODELOS DE PROGRAMACIÓN
LINEAL
La Programación Lineal (PL) es una de las técnicas
de la investigación de Operaciones.
Los orígenes de la PL se remontan hacia la década
del 40, cuando el economista Leontief desarrolla
el método de análisis insumo-producto.
En 1947, Stigler plantea el conocido “problema
de la dieta”
En 1947, Dr. George Dantzig concluye su
desarrollo del método simplex…
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NATURALEZA DE LA PL
PL busca la MEJOR forma de asignar recursos
limitados (humanos, económicos, tecnológicos) a
diferentes actividades que compiten por esos
recursos.
¿Cuántas formas pueden haber para asignar,
distribuir y utilizar estos recursos?
¿Cuál será la mejor forma posible?
Buscar el máximo beneficio a la organización.
Soluciones óptimas que puede encontrar las técnicas
basadas en la PL.
NATURALEZA DE LA PL
Programación?
Planeación de recursos, no
está relacionado con la
“programación” de
computadores.
Lineal?
Naturaleza de las variables y
relaciones entre esas
variables
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Secuencia metodológica en la
Investigación de Operaciones
Maximas
Utilidades
Minimo
Costo
Mínimo
riesgo de sus
inversiones
Un empresa quiere
buscar un objetivo
optimo (lo mejor)
¿cómo lograr, por ejemplo, la
maxima utilidad posible con los
recursos disponibles?
Hay Recursos Limitados ó
Restricciones. Por ej.: se cuenta
con 20 trabajadores, 4
maquinas, 100 millones de
pesos, etc, etc.
Problema de planeación
¿cómo deben utilizarse de la
mejor forma los recursos limitados
para obtener el mejor objetivo
posible?
Problema de
Optimización
Esquema de un Modelo de Programación
Matemática
P
a
r
á
m
e
t
r
o
s
Problema
Objetivo
Función Objetivo
Actividades
Variables de
Decisión
Recursos
Consumo de
Recursos
Restricciones
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Problema 1. Suponga que un carpintero tiene duda
en cuánto a la cantidad de mesas y sillas que le
conviene fabricar a fin de maximizar las utilidades
generadas por cada producto en función de los
recursos con los cuales dispone actualmente:
Qué preguntas le haría de inicio?
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Información: Tres preguntas básicas
La utilidad por cada producto fabricado
Los recursos disponibles
El consumo de recurso por cada producto
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Recursos disponibles
PIEZAS
CHICAS
PIEZAS
GRANDES
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Utilidad por producto
$15.00
$20.00
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
CANTIDAD DE RECURSOS CONSUMIDO POR PRODUCTO
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Formulación verbal de problema:
Variables de decisión
Cuántas unidades de sillas elaborar?
Cuántas unidades de mesas elaborar?
Objetivo buscado
Maximizar utilidad
Restricciones
Disponibilidad de unidades de piezas pequeñas: 8
Disponibilidad de unidades de piezas grande: 6
6
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que
respetan las restricciones del número de piezas disponibles, son
por ejemplo, fabricar:
4 sillas, que reportan una utilidad de U$60
1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55
3 mesas, utilidad de U$60
1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65
2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70
etc.
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Un modelo matemático para hallar la mejor solución
factible a este problema tiene tres componentes básicos:
i) Las variables de decisión, que consiste en definir cuáles
son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo,
x: número de sillas a elaborar.
y: número de mesas a elaborar.
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
ii) La función objetivo del problema, que permita
tener un criterio para decidir entre todas las
soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la
utilidad dada por:
z = f(x,y) = 15x + 20y
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
iii) Restricciones del problema, que consiste en definir un
conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los
valores de las variables de decisión a aquellos considerados
como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de
piezas para la fabricación de sillas y mesas:
Piezas pequeñas:
Piezas grandes :
2x + 2y ≤ 8
x + 2y ≤ 6
También se impone restricciones de no – negatividad:
x,y ≥ 0
8
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Max 15x + 20y
sa:
2x + 2y ≤ 8
x + 2y ≤ 6
x,y ≥ 0
En resumen:
El ejemplo corresponde a un modelo de Programación
Lineal. Si además restringimos los valores de x e y a
números enteros, tendríamos un modelo de Programación
Entera. Por otra parte, si hubiese retornos crecientes a
escala, deberíamos emplear una función objetivo no
lineal como f(x,y) = cxa + dyb con a,b >1, y tendríamos un
modelo de Programación No Lineal.
Supuestos de la programación lineal
Las condiciones básicas que deben cumplirse para que tanto la función objetivo como
cada una de las restricciones sean de naturaleza lineal son la proporcionalidad y la
aditividad.
Proporcionalidad
Aditividad
= 30
+ 20
[$]
Divisibilidad: fabricar un cuarto de avión?
Certeza: determinísticos
= (30 – 0.0001
)
+ 20
[$]
Afortunadamente las no-linealidades de
la práctica en la mayoría de los casos
pueden adaptarse, transformarse o
asumirse como lineales dentro de cierto
rango de validez.
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Problema 2
Debido a la difícil situación económica por la que atraviesa el mundo, suponga
que usted decidió alimentarse diariamente solo con pan y soya. Suponga
también que el cuerpo humano como mínimo debe disponer de 2.000
Kcalorías, 50 Grs de Proteínas y 4.000 U.I. de Vitamina A diarios. Usted sabe el
contenido aproximado que brindan los alimentos seleccionados y su costo, así:
Alimento
Kcalorías
por Kilo
Proteínas
(gr/ Kilo)
Vitamina A Costo
(U.I./Kg)
($/Kg)
Pan
2.400
87
500
2000
Soya
550
200
200
3000
Su problema es determinar qué cantidad de pan y soya comprar diariamente
para cumplir con sus necesidades alimenticias al mínimo costo posible.
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Formulación verbal de problema:
Variables de decisión
Cuántos kilogramos de pan comprar diariamente?
Cuántos kilogramos de soya comprar diariamente?
Objetivo buscado
Minimizar costos
Objetivo buscado
Consumo mínimo de kilocalorias diarias : 2.000
Consumo mínimo de gramos diarios de proteínas: 50
Consumo mínimo de U.I diarios de vitamina A: 4.000 diarios
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
X1 = kilogramos de pan comprar diariamente
X2 = kilogramos de soya comprar diariamente
min z = 2000x1 + 3000x2 [$ / dia]
sa
2400x1 + 550x2 ≥ 2000 [ Kcalorias/ dia]
87x1 + 200x2 ≥ 50 [ gramos/ dia]
500x1 + 200x2 ≥ 400 [unidadesvita min a A / dia]
x1, x2 ≥ 0
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Problema 3
Una compañía productora de elementos eléctricos tiene durante este mes un
sobrante en su capacidad total de producción, el cual quiere utilizar para la
manufactura de dos artículos de rápida venta, los transformadores de 40 VA y
los transformadores de 75 VA. Por su experiencia, se han reunido los
siguientes datos:
TRANSFORMADOR
40 VA
75 VA
UTILIDAD
HORASHORAS
NETA
HOMBRE
MAQUINA 1
UNITARIA [$] POR UNIDAD POR UNIDAD
400
1
1.0
700
7/3
1.4
HORAS
MAQUINA 2
POR UNIDAD
1.0
1.0
El sobrante en la capacidad de producción se ha estimado en 1400 hr.hombre,
980 hr. en la máquina 1 y 900 hr. en la máquina 2, para este mes. ¿Cuál es la
mejor forma de planear la producción?
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Formulación verbal de problema:
Variables de decisión
Número de transformadores de 40 VA que va a producir en el mes.
Número de transformadores de 75 VA que va a producir en el mes.
Objetivo buscado
Maximizar utilidad
Restricciones
Disponibilidad de horas hombre: 1.400
Disponibilidad de horas en la máquina 1: 980
Disponibilidad de horas en la máquina 2: 900
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Variables de decisión
X1 = Número de transformadores de 40 VA que va a producir en el mes.
X2 = Número de transformadores de 75 VA que va a producir en el mes.
Función Objetivo
= 400
Restricciones
7
3
1
+
1
+ 1.4
1
+
2
2
2
≤ 1400 [ℎ . ℎ
≤ 980 [ℎ .
≤ 900 [ℎ .
1
+ 700
2
[$]
! " # $% & !'"$]
á*+ & 1 # $% & !'"$]
á*+ & 2 # $% & !'"$]
X_1 ≥0, X_2 ≥0, X_1 y X_2 enteros
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Ejemplos de modelamiento
modelamiento..
i) Problema de Transporte. El problema consiste en
decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos
de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de
destino (centros de distribución, ciudades, etc..) de
modo de minimizar los costos de transporte, dada la
oferta y demanda en dichos puntos.
Se suponen conocidos los costos unitarios de
transporte, los requerimientos de demanda y la oferta
disponible.
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento (Problema del transporte)
Por ejemplo, suponga que una empresa posee dos plantas que
elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y
450 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades
deben ser trasladadas a tres centros de distribución con
demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades,
respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son:
C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3
Planta 1
21
25
15
Planta 2
28
13
19
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Problema de Dieta)
ii) Problema de la dieta: este consiste en determinar una dieta
de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos,
de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales.
Supongamos que se tiene la siguiente información:
Leche Legumbre Naranjas Requerimientos
(galon) (1 porción) (unidad)
Nutricionales
Niacina
3,2
4,9
0,8
13
Tianina
1,12
1,3
0,19
15
Vitamina C
32
0
93
45
Costo
2
0,2
0,25
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Lote de producción)
iii) Problema de dimensionamiento de lotes: este consiste en
hallar una política óptima de producción para satisfacer
demandas fluctuantes en el tiempo, de modo que se logre
minimizar costos de producción e inventario, considerando la
disponibilidad de diversos recursos escasos.
Supongamos que una fábrica puede elaborar hasta 150 unidades
en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el
horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente
información:
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Lote de Producción)
Periodos Demandas Costo Prod. Costo de Inventario
(unidades) (US$/unidad)
(US$/unidad)
1
130
6
2
80
4
2
1
3
125
8
2.5
4
195
9
3
Supuestos adicionales:
1) Existe un inventario inicial de 15 unidades.
2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es decir, se
debe satisfacer toda la demanda del periodo).
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Planeación financiera)
iv) Problema de planificación financiera:
Supongamos que un banco dispone de $250 millones para
destinar a 4 tipo de créditos ofrecidos, los cuales tienen las
siguientes, tasas de crédito:
•
Primer crédito corriente
:12%
•
Segundo crédito corriente
:16%
•
Crédito para el hogar
:16%
•
Crédito personal
:10%
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Planeación financiera)
La asignación de estos créditos, debe satisfacer la siguiente
política utilizada por la institución:
El monto asignado a los PCC, debe ser al menos, el 55% del
monto asignado a los créditos corrientes, y al menos un 25% del
total del dinero prestado.
El SCC, no puede exceder el 30% del total del dinero prestado,
por políticas tributarias el interés recibido por el banco no debe
exceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado.
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Planeación Financiera)
¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la manera más
eficiente, respetando la política del banco?
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EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Mezcla de productos)
v) Problema de mezcla de productos: en este problema una
refinería produce 4 tipos de gasolina (gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4).
Dos características importantes de cada gasolina son su número
de performance (NP) y su presión de vapor (RVP), que están
dados por:
NP
RVP
Barriles diarios
gas 1
107
5
3814
gas 2
93
8
2666
gas 3
87
4
4016
gas 4
108
21
1300
EJEMPLOS PROBLEMAS DE PL
… Ejemplos de modelamiento
modelamiento.. (Mezcla de Productos)
Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente a un precio de
$2483 por barril o bien mezcladas para obtener gasolinas de
aviación (avgas A y avgas B). La calidad de estas dos últimas junto
con sus precios de venta son:
NP
RV
Precio por barril (US$)
avgas A Al menos 100 A lo más 7
26,45
Avgas B
25,91
Al menos 91
A lo más 6
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PROBLEMAS DE PL
Problema planeación de producción. (0)
Producción máxima. 200 artículos de A, 100 artículos de B, combinación de A y B
Capacidad diaria sección de pintura. 120 artículos de A, 160 artículos de B, combinación de
AyB
Capacidad diaria planta de tratamiento térmico. A no requiere, 90 artículos de B, o B sin
tratamiento
Procesamiento artículo A en minutos. 3 en M1 y 2 en M2
Procesamiento artículo B. Total de 5 en M1
o
2 en M1 y 1 en M2
Disponibilidad diaria de máquinas. 8 horas = 480 minutos
Consumo de material en libras. A ( 1 de X y 2 de Y)
B (2 de X y 3 de Y)
Disponibilidad de material. 140 de X y 80 de Y
Costo de material por unidad. X = $200 Y = $300
Disponibilidad o presupuesto para la compra de material. $ 60.000
Restricción adicional de compra de material. De X no puede comprarse más del 20% de Y
Utilidad por cada artículo.
A = $ 4.000 B sin tratamiento = $ 3.000 B con tratamiento = $ 5.000
CORTE DE PAPEL (CUTTING STOCK)
Una industria productora de papel recibe un pedido de la siguiente forma:
600 rollos de 35 pulg. de ancho
300 rollos de 30 pulg. de ancho
200 rollos de 40 pulg. de ancho
100 rollos de 50 pulg. de ancho
La industria tiene en sus bodegas rollos semejantes, pero de 114 pulg. de
ancho, y en cantidad suficiente y decide utilizarlos para el pedido, cortándolos
en los diferentes anchos solicitados. ¿Cuál es la mejor forma de cortar los
rollos de 114 pulg. de ancho para satisfacer el pedido y minimizar el
desperdicio de papel?
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05/09/2012
CARGA AVIÓN
Un avión de carga tiene tres bodegas o compartimentos, adelante, al centro y atrás.
Estos compartimentos tienen límites de volumen y peso, así:
El propietario del avión tiene posibilidad de llevar parte de la carga o toda la que se le ofrece (si tiene
capacidad). Esta carga y sus características son las siguientes:
Para preservar el equilibrio del avión, el peso transportado en cada compartimiento debe guardar la misma
proporción con respecto a su capacidad. Formule un modelo matemático para determinar cuál tipo de carga,
qué cantidad y qué compartimentos debe el propietario del avión escoger para maximizar su utilidad y no
correr peligro durante el viaje.
PROGRAMA DE PN EN EL
TIEMPO
Un fabricante debe cumplir un contrato a cuatro meses durante
los cuales varían los costos de producción. El costo de
almacenamiento de unidades producidas en un mes
determinado y no vendidas en ese mes es de $10 por unidad y
por mes. Se dispone de la siguiente información:
Formule un modelo matemático para determinar el programa
óptimo de producción que cumple con el contrato a costo total
mínimo.
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05/09/2012
PROGRAMACIÓN DE METAS
Cierta compañía planea introducir al mercado tres nuevos productos, debido a la próxima
obsolescencia de los que produce actualmente. El interés de la gerencia es determinar las tasas
de producción de cada uno de los productos, teniendo en cuenta tres objetivos fundamentales:
a. Lograr un Valor Presente Neto mínimo de mil millones de pesos (Utilidad a largo plazo).
b. Mantener el recurso laboral actual de 100 empleados (Nivel de empleo).
c. Sostener la inversión de capital en el nuevo equipo de 400 millones de pesos (Inversión inicial).
Como el gerente utiliza a menudo el Enfoque de Sistemas en sus decisiones, establece un
“puntaje de penalización” para cada objetivo en caso de no cumplirse éste a cabalidad, así:
PROGRAMACIÓN DE METAS
La contribución de cada producto la utilidad a largo plazo, al nivel de empleo y a la
inversión de capital es proporcional a su tasa de producción y las contribuciones
unitarias de cada producto son:
¿Cuáles deben ser las tasas de producción de cada producto para que los objetivos se
cumplan de la mejor forma posible?
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PROBLEMA PROBABÍSTICO: ESTRATEGIA
MILITAR
En cierto período de guerra, el comando aéreo recibió la orden de destruir la producción de
tanques del enemigo, quien tiene cuatro plantas claves localizadas en ciudades separadas.
La destrucción de cualquiera de las plantas parará efectivamente la producción de tanques.
Existe una aguda escasez de combustibles para llevar a cabo la misión, con un limitante de
51,000 galones. Cualquier bombardero enviado a una ciudad en particular debe tener
combustible para ir y volver y una reserva de 150 galones. El número de bombarderos
disponibles en el comando y su descripción se dan a continuación.
La información acerca de la localización de las plantas y su vulnerabilidad de ataque por
estos dos tipos de aviones es la siguiente:
PROBLEMA PROBABÍSTICO: ESTRATEGIA
MILITAR
Formule un modelo de programación lineal para determinar cuántos
bombarderos de cada tipo deben ser enviados a cada planta, con el
objetivo de maximizar la probabilidad de éxito de la misión. Se asume
que no se causa ningún daño en la planta si un bombardero falla al
destruirla.
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05/09/2012
Mezcla Óptima de Productos –
Variables Binarias
Una empresa europea piensa instalar plantas de producción en Cali para
lanzar sus productos al mercado nacional, por lo que necesita decidir su plan
de producción para el próximo año. La empresa puede fabricar N tipos de
productos y la elaboración de cada uno de ellos implica la compra de una
máquina especializada, a un costo de fi [$]. Además, el costo variable de
producir una unidad del producto i es de ci [$]. Así, si se decide elaborar el
producto i se deberá necesariamente incurrir en un costo de fi [$] más los
costos variables por elaboración del producto, y si se decide no fabricarlo no
se incurrirá en ningún tipo de gasto.
Si la demanda pronosticada para el producto i es de Di unidades (i = 1…N)
pudiendo venderse dicho producto a un precio de pi [$], formule un modelo
que resuelva el problema de encontrar el conjunto de productos que la
empresa debe fabricar, sabiendo que se desea producir exactamente L
productos diferentes, para los cuales se deberá satisfacer la demanda.
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