UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA FACULTAD DE INGENIERIAS ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA AUTOMOTRIZ ELECTRONICA II Practica II Tema: Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND PROFESOR: REALIZADO POR: CURSO: Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND 1) Objetivos: • Utilizar los teoremas del algebra Booleana para simplificar expresiones lógicas. • Implementar el circuito base, el circuito simplificado y el circuito solo con NAND comprobando así que los tres son equivalentes. 2) Materiales: • 4 resistencias 1k ½ w • 4 Diodos LED (ILED=15mA) • Transistor NPN 2N3904 • 1 Deep switch • Compuertas lógicas: NOT, OR, AND, y NAND • Cable para circuitos, pinza, corta frío. • Fuente de 5Vcc 3) Marco Teórico: Teoremas Boléanos: Son un conjunto de reglas que nos pueden ayudar a simplificar las expresiones y los circuitos lógicos. A continuación se muestran dichos teoremas. En el teorema (1) se enuncia que si cualquier variable se opera con AND y con un 0 el resu1táo debe ser 0. Esto es fácil de recordar porque la operación AND es igual que la multiplicación común, en donde cualquier número que se multiplica por 0 es 0. Asimismo, se sabe que la salida de una compuerta AND será 0 siempre que cualquier salida sea 0, sin importar el nivel de la otra entrada. 1 El teorema (2) también es obvio en comparación con la multiplicación común. El teorema (3) puede ser demostrado ensayando cada caso. Si x=0, entonces 0.0 = 0; si x = 1, entonces 1.1 = 1. Por lo tanto, x . x = x. El teorema (4) se puede demostrar en la misma forma. Sin embargo, también se puede razonar que en cualquier momento x o su inversoøx tiene que estar en el nivel 0 y por ende su producto AND siempre debe ser 0. El teorema (5) es directo, ya que 0 sumado a cualquier número no afecta su valor, ya sea en la suma regular ó en una suma OR. El teorema (6) estipula que si cualquier variable se opera con OR con 1, el resultado siempre será 1. Si verificamos esto para ambos valores de x; 0 + 1 = 1 y 1 + 1=1. De manera equivalente se puede recordar que la salida de una compuerta OR será 1 cuando cualquier entrada sea 1, independientemente del valor de la otra entrada. El teorema (7) se puede demostrar verificando ambos valores de x; 0 + 0 = 0 y 1 + 1 = 1. El teorema (8) se puede demostrar de forma similar, o simplemente podemos razonar que en cualquier momento x oøx debe estar en el nivel 1, de manera que siempre se opere con OR un 0 y un 1, lo cual da como resultado 1. Teoremas con variables múltiples. Los teoremas que se presentan a continuación implican más de una variable. Los teoremas (9) y (10) se llaman leyes conmutativas. Estas leyes indican que no importa el orden en que se operen dos variables con OR o con AND, el resultado es el mismo. 9) x + y = y + x 10) x . y = y . x Los teoremas (11) y (12) son las leyes asociativas, las cuales afirman que se pueden agrupar las variables en una expresión AND o en una OR en cualquier forma que se desee. 11) x + (y + z) = (x + y) +z = x + y + z 12) x(yz) = (xy)z = xyz El teorema (13) es la ley distributiva, la cual estipula que una expresión se puede desarrollar multiplicando término por término, como en el álgebra común. 13a) x(y + z) = xy + xz 2 13b) (w + x)(y + z) = wy + xy + wz + xz Los teoremas anteriores son simple de entender pues obedecen al algebra común a diferencia de los que se muestran a continuación: 14) x + xy = x 15a) x +øxy = x + y 15b) øx + xy =øx + y Teoremas de DeMorgan Estos teoremas son de gran utilidad para simplificar expresiones en las que se invierte un producto o una suma de variables. Los teoremas son: 16) ) 17) ) Implicaciones del teorema de DeMorgan. Considerando el teorema 16 ) El lado izquierdo de la ecuación se puede tomar como la salida de una compuerta NOR cuyas entradas son x y . Por otra parte, el lado derecho de la ecuación es el resultado de primero invertir x y y luego pasarlas a través de una compuerta AND. Estas representaciones son equivalentes como se ilustra en las figuras. Ahora consideramos el teorema 17 ) El lado izquierdo de la ecuación se puede implementar con una compuerta NAND con entradas x y . El lado derecho de la ecuación se puede llevar a cabo invirtiendo primero las entradas x y , y luego pasándolas a través de una compuerta OR, estas representaciones son equivalentes y se muestran a continuación: Universalidad de las compuertas NAND y NOR. Estas compuertas se dicen que son "universales" puesto que con cada una de las dos familias podemos realizar todas las funciones lógicas. En la tabla a continuación se muestran los operadores lógicos en función de solo compuertas NOR y solo compuertas NAND. 3 Representaciones alternas de compuertas lógicas. Se han introducido las cinco compuertas lógicas básicas (ANO, OR, INVERSOR, NAND y NOR) y los símbolos lógicos estándar que se usan para representarlas en diagramas de circuitos lógicos. 4 En el lado izquierdo de la ilustración se muestra el símbolo estándar para cada compuerta lógica y en el lado derecho, el símbolo alterno, El símbolo alterno para cada una, puerta se obtiene a partir del símbolo estándar llevando a cabo lo siguiente: 1. Se invierte cada entrada y salida del símbolo estándar. Esto se hace agregando burbujas (círculos pequeños) en las líneas de entrada y salida que no tengan burbujas, y se remueven las que se encuentren allí. 2. Se cambia el símbolo de la operación de AND a OR, o de OR a NAND). (En el caso especial del INVERSOR, el símbolo de la operación no se cambia.) Se deben destacar varios puntos con respecto a las equivalencias de los símbolos lógicos: 1. Las equivalencias se pueden extender a compuertas con cualquier número de entradas. 2. Ninguno de los símbolos estándar tiene burbujas en sus entradas, pero sí todos los símbolos alternos. 3. Los símbolos estándar y alternos para cada compuerta representan al mismo circuito físico: no hay diferencia en los circuitos que representan los dos símbolos, 4. Las compuertas NAND y NOR son compuertas de inversión, y por lo tanto, los símbolos estándar y alternos para cada una tendrán una burbuja, ya sea en la entrada o en la salida. Las compuertas AND y OR son 5 compuertas no inverso− ras, por lo cual los símbolos alternos para cada una tendrán burbujas en las entradas y en la salida. 4) Procedimiento: a) Armar el siguiente circuito utilizando solamente compuertas NOT, OR, AND, y comprobar su tabla de verdad. Utilizar LED en cada ingreso y en la salida para visualizar los estados. Expresión lógica: x= ABC + AB(AC) Circuito completo: Tabla de verdad Entradas A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Salida Estado Lógico 0 0 0 0 1 1 0 1 V. Medido 0.27 0.26 0.26 0.27 2.36 2.37 0.26 2.37 Estado del LED Apagado Apagado Apagado Apagado Encendido Encendido Apagado Encendido b) Ahora simplificamos la expresión lógica dada: x = ABC + AB(AC) x = ABC + AB(A+C) 6 x = ABC + AAB + ABC x = ABC + AB + ABC x = ABC + AB(1 + C) x = ABC + AB x = A(BC + B) x = A(B + C) x = AB + AC Expresión lógica simplificada (suma de productos): x = AB + AC Circuito simplificado: Tabla de verdad. Entradas A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Salida Estado Lógico 0 0 0 0 1 1 0 1 V. Medido 0.25 0.24 0.25 0.28 2.56 2.57 0.24 2.57 Estado del LED Apagado Apagado Apagado Apagado Encendido Encendido Apagado Encendido c) pasar la expresión logica simplificada a compuertas NAND e implemente el circuito utilizando solo ese tipo de compuerta (7400) Expresión lógica simplificada: x = AB + AC Proceso algebraico para NAND: x = AB + AC x = (AB)(AC) Expresión lógica solo con NAND: x = (AB)(AC) Circuito solo NAND: Tabla de verdad: Entradas A B C Salida Estado Lógico V. Medido Estado del LED 7 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0.24 0.26 0.27 0.26 2.58 2.57 0.25 2.57 Apagado Apagado Apagado Apagado Encendido Encendido Apagado Encendido C 0 Salida Estado Lógico 0 V. Medido 0.24 Estado del LED Apagado C 1 Salida Estado Lógico 0 V. Medido 0.26 Estado del LED Apagado d) Diagrama de estados: Circuito con la expresión original: Circuito Simplificado Circuito solo NAND Simulación del circuito solo con NAND: Entradas A 0 Entradas A 0 Entradas B 0 B 0 Salida 8 A 0 B 1 Entradas A 1 Entradas A 1 Entradas A 1 B 0 B 1 B 1 C 1 Estado Lógico 0 V. Medido 0.26 Estado del LED Apagado C 0 Salida Estado Lógico 1 V. Medido 2.58 Estado del LED Encendido C 0 Salida Estado Lógico 0 V. Medido 0.25 Estado del LED Apagado C 1 Salida Estado Lógico 1 V. Medido 2.58 Estado del LED Encendido 5) Conclusiones: • Utilizamos los teoremas del algebra Booleana para simplificar expresiones complejas en mas sencillas de manejar. • Comprobamos la equivalencia entre el circuito original y el simplificado. • Transformamos la expresión simplificada en una expresión para ser implementada solo con NAND. • Comprobamos la equivalencia entre los tres circuitos, quedando así también demostrada la universalidad de compuertas NAND. 6) Bibliografía. • RONALD TOCCI; Sistemas digitales. • http://buscador.hispavista.es/logica−−algebra−de−boole • http://www.ncc.up.pt/~zp/aulas/9899/me/trabalhos/ alunos/circuitos_logicos/algboole.html 9