Tema 2 Oscilaciones y Ondas Programa 1. Oscilaciones: movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia. 2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas. 3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación. 4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de propagación: reflexión, refracción y difracción. 5. Interferencias. Ondas estacionarias. Movimientos periódicos Movimientos que se repiten a intervalos regulares Período, T ≡ tiempo necesario para describir un ciclo completo (s) Frecuencia, ν ≡ Número de ciclos por segundo (Hz) 1 ν = T Movimiento armónico simple smax ≡ amplitud s(t ) = s max cos(ω t + δ ) ω ≡ frecuencia angular 2π ω= = 2πν T δ ≡ fase inicial s(t) smax t Cinemática del MAS s (t ) = s max cos(ω t + δ ) v(t ) = smax d s (t ) = −ω smax sen(ω t + δ ) dt ω smax s T/2 T t v t π = ω smax cos(ω t + δ + ) 2 d v(t ) a (t ) = = −ω 2 smax cos(ω t + δ ) = dt = ω 2 smax cos(ω t + δ + π ) = − ω 2 s ω 2s max a t Dinámica del MAS F = m a = − mω 2s = − K s K = mω 2 Se comunica energía al sistema realizando trabajo para separar el cuerpo una distancia s de la posición de equilibrio y después se deja oscilar libremente s s 1 W = ∫ F ds = ∫ K s ds = K s 2 2 0 0 1 2 1 2 E total = E cinética + E potencial = mv + Ks = 2 2 1 1 2 2 2 2 = mω smax sen (ωt + δ ) + Ksmax cos 2 (ωt + δ ) = 2 2 1 2 = Ksmax = cte 2 Dinámica del MAS E total = E cinética + E potencial s 1 2 1 2 1 2 = mv + Ks = Ksmax = cte 2 2 2 T/2 T smax t E potencial 1 2 K smax 2 t E cinética Movimiento armónico simple y movimiento circular uniforme y ω smax ω smax s x ω2 smax s T/2 T t http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm Tipos de oscilaciones Oscilaciones libres F = −K s ω0 ≡ s smax t s (t ) = smax cos(ω 0 t + δ ) Frecuencia natural o propia s smax smax e − µ t t Oscilaciones amortiguadas F = − K s − γ v = − K s + Froz s (t ) = smax e −µ t cos(ω t + δ ) Oscilaciones forzadas ω < ω0 s smax t ω = ω0 s smax t F = − K s − γ v + Fmax cos(ω t ) s (t ) = s max cos(ω t + δ ) Fmax s max = m 2 (ω 2 − ω 02 ) 2 + γ 2ω 2 ω > ω0 s smax t Movimiento amortiguado Amortiguado http://www.ehu.es/acustica/espanol/basico/mases/mases.html http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/rozamiento/rozamiento.htm Movimiento amortiguado Amortiguado y forzado http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/transitorio/transitorio.htm Resonancia s max = smax γ =0 Fmax 2 2 2 0 2 2 m (ω − ω ) + γ ω Condición de resonancia γpequeño 2 ω = ω0 γgrande La amplitud de la oscilación forzada depende de la frecuencia impulsora y de la constante de amortiguamiento. La amplitud máxima se produce aproximadamente a la frecuencia propia o de resonancia ω = ω0, pero si además el rozamiento es pequeño la amplitud puede ser muy grande. ω0 ω Aplicaciones de la resonancia Habla y audición humanas Sintonizador de aparatos de radio y TV Análisis químico de materiales Resonancia En el año 1940, en Tacoma (EEUU), un puente colgante se destruyó debido al fenómeno de la resonancia unos meses después de haber sido inaugurado. Un temporal azotó la región y una de las componentes de la fuerza del viento fue de frecuencia igual a una de las frecuencias características del puente. Éste entró en resonancia y empezó a oscilar con una amplitud tan grande que lo destruyó. Resonancia http://www.youtube.com/watch?v=SzObC64E2Ag Medida de las características de una vibración Osciloscopio: medidas de amplitud, frecuencia y diferencias de fase Programa 1. Oscilaciones: movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia. 2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas. 3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación. 4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de propagación: reflexión, refracción y difracción. 5. Interferencias. Ondas estacionarias. Concepto de onda Propagación de una perturbación a través del espacio Movimiento oscilatorio caracterizado por su frecuencia Clasificación de las ondas Según la relación entre la dirección de vibración y la de propagación: longitudinales o transversales Según las dimensiones en las que se propaga: uni, bi- o tridimensionales Según el tipo de energía que se propaga: mecánicas o electromagnéticas Según su confinamiento: viajeras o estacionarias Ondas longitudinales y transversales La vibración puede ser perpendicular (ondas transversales) o paralela (ondas longitudinales) a la dirección de propagación Función y ecuación de ondas Ondas armónicas: Representación analítica Pulsos y d d y = f(x+d) Pulsos viajeros u y = f(x-d) x y = f(x) y y = f(x+ut) x f ( x,t ) = f 0 ,t − u u y = f(x-ut) x Función y ecuación de ondas Ondas armónicas: Representación analítica Vibraciones s( t ) = smax cos( ωt ) Dirección de propagación s Ondas x x s( x,t ) = s 0,t − = smax cos ω t − = u u x s( x,t ) = smaxcos [k ( x − u t )] ω = smax cos ωt − x = smax cos [ kx − ωt ] u u= smax ≡ amplitud ω ≡ frecuencia angular k ≡ número de onda angular δ ≡ fase inicial ω k x s( x,t ) = smaxcos [k ( x + u t )] Doble periodicidad de una onda s( x,t ) = smax cos ( kx − ωt ) Período temporal T Período espacial λ o longitud de onda s (x0,t) T en x = x0 t λ s (x,t0) en t = t0 Número de onda x k= ω u = Velocidad de propagación de la onda u = 2π 2π = Tu λ ω k = λ T x t s( x, t ) = smaxcos [k ( x − ut)] = smaxcos (kx − ω t ) = smaxcos 2π − λ T Función y ecuación de ondas Vibraciones Función s(t ) = smax cos(ω 0 t + δ ) Ecuación d2s 2 + ω 0s = 0 2 dt Ondas Función de ondas s( x, t ) = smaxcos (kx − ω t ) Ecuación de ondas ∂s ∂2s = ω smax sen ( k x − ω t ); 2 = −ω 2 smax cos ( k x − ω t ) ∂t ∂t ∂ s ∂2s = − k smax sen ( k x − ω t ); 2 = −k 2 smax cos ( k x − ω t ) ∂x ∂x 2 ∂ s ∂2s 2 = u ∂t2 ∂ x2 Ondas transversales en una cuerda Función de ondas y( x,t ) = ymaxcos (kx − ω t ) Ecuación de ondas 2 2 ∂ y 2 ∂ y = u ∂t2 ∂ x2 u= F λm F ≡ tensión de la cuerda λ m ≡ densidad lineal de masa u Ondas: frentes de onda y rayos Frentes de onda a) y a) planos b) esféricos c) cilíndricos z b) x z c) y x z A grandes distancias los frentes de onda esféricos se convierten en planos Rayos a) paralelos b) divergentes c) convergentes a) b) c) y x Programa 1. Oscilaciones: movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia. 2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas. 3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación. 4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de propagación: reflexión, refracción y difracción. 5. Interferencias. Ondas estacionarias. Ondas sonoras Ondas de presión capaces de estimular el oído humano Frecuencia de las ondas sonoras 20 Hz 400 Hz 1600 Hz 20000 Hz Bandas de ondas sonoras audibles Infrasonidos 10 Hz Graves Medios Agudos 100 Hz 1000 Hz 10000 Hz Ultrasonidos 100000 Hz Aplicaciones de las infrasonidos y ultrasonidos Infrasonidos: estudios geológicos Ultrasonidos: investigación de sólidos, sónar, aplicaciones en medicina (diagnóstico, terapéuticas, quirúrgicas), limpieza de superficies Generación de las ondas sonoras Sistema mecánico que vibra: oscilaciones forzadas de las moléculas del medio cercanas que reproducen la vibración original. La vibración se comunica a las moléculas contiguas, propagándose la perturbación. Ondas sonoras longitudinales http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.html Ondas longitudinales en un fluido: sonido a) desplazamiento s( x,t ) = smaxcos(kx − ω t ) 2 ∂ s ∂t2 2 ∂ s = u2 ∂ x2 b) presión Moléculas en reposo Moléculas al paso de la onda s Onda de desplazamiento ∆V S ∆s ∆p = − B = −B V S ∆x s2 t x p Onda de presión x s1 V S V +∆V S ∆x ∆x + ∆s ds π ∆p = − B = − kBsmax sen( kx − ωt ) = ∆pmax cos( kx − ωt − ) dx 2 2 ∂ 2 ∆p 2 ∂ ∆p =u 2 ∂ t ∂ x2 Ondas longitudinales en un fluido: sonido Velocidad de propagación u= B uaire = 20, 05 T ρm B ≡ Módulo de compresibilidad ρ m ≡ Densidad T ≡ Temperatura (K) uu (10 (1033 m/s) m/s) Sólidos uL = Y ρm ; uT = G ρm Aire Aire 0’34 0’34 Agua Agua 1’57 1’57 Aluminio Aluminio 5’0 5’0 Programa 1. Oscilaciones: movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia. 2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas. 3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación. 4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de propagación: reflexión, refracción y difracción. 5. Interferencias. Ondas estacionarias. Intensidad de las ondas desplazamiento Densidad de energía Flujo de energía ρE = E total V presión ρE = 1 ρ mω 2 s max 2 2 ω 2 p max 2 p max 2 1 ρE = ρm = 2 2 2 2 k B 2u ρ m E total E total V IE = = = ρ E IV = ρ E S u t V t V S x=ut Intensidad de la onda: Flujo de energía por unidad de superficie transversal atravesada por la onda pmax 2 P E total I E 1 2 2 = = ρ E u = Z ω smax = I= = S S t S 2 2Z Impedancia acústica Z = ρ mu Sensación sonora La sensibilidad del oído varía de forma aproximada con el logaritmo de la intensidad Nivel de intensidad Umbral de audición sonora L( dB ) = 10 log ( I I0 I 0 = 10 −12 W/m 2 L (dB) L (dB) Nivel mínimo audible 0 Tráfico intenso 80 Susurro 20 Discoteca 100 Casa (interior) 40 Nivel de dolor 120 Conversación 60 Rotura del tímpano 160 ) Propagación del sonido: energía Ley del cuadrado de la distancia I1 = I2 = I2 r2 P 4π r12 I1 = I2 P r22 r12 r1 I1 4π r22 Ley de absorción ∆I = −α I∆x I0 I1 x I = I 0 e −α x Propagación de las ondas: interacción con un obstáculo El resultado de la interacción depende de la relación entre las dimensiones del obstáculo (d) y la longitud de onda (λ) d >>λ Reflexión y refracción d≥λ Difracción d<λ La onda no detecta el obstáculo Principio de Huygens Cada punto del frente alcanzado por la onda se convierte en un foco puntual emisor de ondas esféricas secundarias, y cualquier frente de ondas posterior, se obtiene como superficie tangente a los frentes de ondas de estas ondas secundarias Reflexión y refracción: geometría Refracción θi Reflexión θi θr u1 θi u1 u2 θt BD = u1t = AD senθ i AC = u1t = AD senθ r θi = θ r BD = u1t = AD senθ i AC = u2t = AD senθ t senθ i u1 = senθ t u2 Difracción Cambio de dirección de la onda tras la interacción con un obstáculo de dimensiones del orden de λ sin α ≈ α d α d λ d Difracción (cubeta de ondas) Difracción (luz) Programa 1. Oscilaciones: movimiento armónico simple. Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia. 2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas. 3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación. 4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de propagación: reflexión, refracción y difracción. 5. Interferencias. Ondas estacionarias. Interferencias: ondas de la misma amplitud y frecuencia Principio de superposición: cuando a un punto llegan, al mismo tiempo, varias ondas, la función de onda resultante es la suma algebraica de las diferentes funciones de onda que intervienen. p1 = p max cos(k x − ω t ) p 2 = p max cos[k ( x + ∆x) − ω t ] p R = p1 + p 2 = 2 p max IR Interferómetro Intensidad de la onda resultante Diferencia de fase k ∆x k ∆x cos( ) cos(k x − ω t + ) 2 2 I R = 4 Icos 2 ϕ = k∆x ϕ 2 δ = k ∆x = 4I λ 2π λ ∆x Interferencias constructivas y destructivas Intensidad de la onda resultante Interferencia: a) constructiva p1 p1max T/2 ϕ = nπ ∆x = n λ 2 b) T t p1 p1max p2 p2max ϕ 2 ϕ = k ∆x b) destructiva ϕ = n 2π ( n = 0,1, 2,3,...) ∆x = nλ a) I R = 4 I cos 2 ( n = 1,3,5,...) T/2 T t p2 t p2max pR t pR pRmax t pR= 0 t Ondas estacionarias Interferencias de ondas con sus reflejadas pR t1 = 0 p1 = p max cos(k x − ω t ) t2 p 2 = p max cos(k x + ω t + δ ) δ δ pR = p1 + p2 = 2 pmax cos(kx + ) cos(ωt + ) 2 2 Amplitud nula: nodo Amplitud máxima: vientre t3 t4 = T/4 t5 t6 t7 = T/2 x Ondas estacionarias en tubos sonoros δ δ pR = p1 + p2 = 2 pmax cos(kx + ) cos(ωt + ) 2 2 Tubos sonoros (extremos abiertos) pR (x = 0) = 0 pR (x = L ) = 0 δ =π n=1 Tubos sonoros (un extremo cerrado) pR = 2 pmax sin(k x ) sin( ω t ) pRmax ( x = L ) = 2 pmax n=2 k L = nπ n = 1,2 ,3... nλ 2 nu ν = 2L L= kL=n n=3 n =1,2,3... L π 2 nλ 4 nu ν = 4L n=1 n=3 n = 1,3,5... n=5 L= n =1,3,5... L Tubos sonoros Órgano de la Catedral (Barcelona) Ondas estacionarias longitudinales en un tubo sonoro Extremos abiertos n=1 Un extremo cerrado n=1 Extremos abiertos n=2 Un extremo cerrado n=3 Ondas estacionarias. Transversales en una cuerda http://www.physicsclassroom.com/mmedia/waves/