Cantidad de Movimiento Angular para una partícula

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 19: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA –CANTIDAD DE MOVIMIENTODiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
Temas

Introducción
PARTE I: CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL






Cantidad de Movimiento Lineal para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newton
Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Lineal para una partícula
Una discusión sobre las Fuerzas Impulsivas
Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal en un Sistema de Partículas
Colisiones
Otros ejemplos sobre conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal
PARTE II: CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
Cantidad de Movimiento Angular para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newton
Cantidad de Movimiento Angular y Momento de Inercia: partícula y rígido
Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular
o Fuerza central
o Cuerpo rígido en eje fijo con torque nulo.
 Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Angular para una partícula



PARTE III: RESUMEN

Las tres magnitudes dinámicas básicas para una partícula
Introducción
Para el estudio de la dinámica de un cuerpo, la física emplea fundamentalmente tres metodologías:



La segunda ley de Newton: a través de la relación fuerza y aceleración.
El principio del trabajo y la energía: a través de la relación fuerza, velocidad y posición (no es
necesario determinar la aceleración). Se fundamenta en la integral fuerza-posición.
El principio del impulso y la cantidad de movimiento: a través de la relación fuerza, velocidad y
tiempo (no es necesario determinar la aceleración). Se fundamenta en la integral fuerza-tiempo.
Hasta esta parte del curso se han empleado los dos primeros métodos. En este módulo se empleará el
tercer método.
Este método aplicado a sistemas de partículas facilitará el estudio de situaciones físicas como: sistemas
de masa variable, fluidos en movimiento, eventos donde hay presencia de fuerzas impulsivas (colisiones,
explosiones,…). En éste módulo se analizarán estos últimos.
2
PARTE I: CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
Cantidad de Movimiento Lineal para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newton
Dada una partícula de masa m y que tiene una velocidad
V se define como Cantidad de Movimiento Lineal
P a,
P = mV
[1]
También se le denomina simplemente Cantidad de Movimiento. En otros textos se le denomina Momentum
Lineal o simplemente Momentum.
La unidad de la cantidad de movimiento en el SI es, kg.m.s -1 o N.s. Esta magnitud es vectorial y su
dirección es la misma que la de la velocidad: la cantidad de movimiento es tangente a la trayectoria de la
partícula, Figura 1.
Figura 1
La segunda ley de Newton para una partícula se puede reescribir con base en la cantidad de movimiento,
 F = ma
dV
 F = m dt
y como una partícula mantiene su masa constante,
 
F =
d mV
F =
dP
dt
dt
3
[2]
Es decir, “la derivada temporal de la cantidad de movimiento de una partícula en un marco de
referencia inercial es igual a la fuerza neta que actúa sobre una partícula”: enunciado de la segunda
ley de Newton basada en el concepto de cantidad de movimiento. Es importante tener en cuenta que esta
relación sólo se cumple para marcos de referencia inerciales.
“Si la fuerza neta sobre la partícula es nula,
F = 0 ,
entonces la partícula se moverá con su
cantidad de movimiento constante, P = constante , es decir se moverá en línea recta con rapidez
constante”: este es el enunciado de la primera ley de Newton basada en el concepto de cantidad de
movimiento.
Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Lineal para una partícula
La ecuación [2], segunda ley de Newton, se puede reescribir así,
dP =
  F dt
tf
Pf - P i =
   F dt
ti
tf
Pf - P i =
  F dt
ti
tf
tf
tf
ti
ti
ti
Pf - P i =  F1 dt +  F2 dt  ... 
F
n
dt
[3]
A la integral,
tf
J =  Fdt
[4]
ti
Se le denomina Impulso
J producido por la Fuerza F y a la expresión [3] se le conoce con el nombre de
Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento para una partícula. Este principio dice: “Dado un
marco de referencia inercial, el cambio en la cantidad de movimiento lineal de una partícula en un
intervalo de tiempo, es igual al impulso total de las fuerzas que actúa sobre ésta en ese intervalo”.
Nuevamente se debe tener en cuenta que para aplicar este principio el marco de referencia debe ser
inercial.
Para tener en cuenta:
Una partícula en movimiento está caracterizada por dos cantidades dinámicas: una escalar, la energía
cinética, k =
1
mV 2 , y una vectorial, la cantidad de movimiento, P = mV , cuyos cambios están asociados
2
con la integración, en un caso “espacial” (integral de trabajo) y en otro caso “temporal” (integral de
impulso), de la fuerza neta, es decir estos cambios son consecuencia de la interacción con otras partículas
u objetos:
tf
Trabajo: W =
F
neta
dr
(Escalar)
ti
tf
Impulso: J =
F
neta
dt
(Vector)
ti
Una discusión sobre las Fuerzas Impulsivas
Estas fuerzas se caracterizan por su acción intensa y breve: colisiones, explosiones, golpes, percusiones,
impactos presentan este tipo de fuerzas. En las situaciones en las que intervienen fuerzas impulsivas,
pueden considerarse, en el intervalo de actuación, nulos los impulsos del resto de las fuerzas que están
actuando tanto internas como externas (es decir los impulsos de las fuerzas no impulsivas): esto permitirá
aplicar en forma aproximada la conservación de la cantidad de movimiento lineal en este tipo de
eventos, tema que se tratará a continuación. Antes de continuar se hará un cálculo que mostrará el enorme
valor de las fuerzas denominadas impulsivas comparadas con las no impulsivas.
Ejemplo:
Suponer una bola lanzada horizontalmente contra una pared vertical, Figura 2. La bola tiene una masa de
100 g e inmediatamente antes de la colisión su rapidez es igual a 10,0 m.s-1; si inmediatamente después de
la colisión su rapidez sigue siendo 10,0 m.s-1 estimar la proporción entre los impulsos de la fuerza de
contacto normal F y el peso durante los 4,00 ms que dura ésta. Como se verá en la sección sobre colisiones,
esta colisión es de tipo PERFECTAMENTE ELÁSTICA ya que la energía cinética de la partícula
inmediatamente antes de la colisión es igual a la energía cinética inmediatamente después de ésta.
Solución:
Se toma como marco de referencia la pared y es inercial, Figura 2. En la misma figura se ilustra los ejes de
coordenadas elegidos. El sistema mecánico es la bola. También se ilustra el diagrama de fuerzas (derecha):
se desprecia la fuerza de rozamiento con la pared.
4
Para calcular el valor del impulso de la fuerza impulsiva F será necesario estimar el valor media de ésta,
Figura 3.
5
Figura 2
Figura 3
Fmedia = ma x, media
a x, media =
ΔVx
Δt


m
m
ΔV = Vf - Vi = 1 10,0 ˆi - - 10,0 iˆ 
= 20,0 ˆi

 s
s
 20,0 ˆi m.s-1 
Fmedia =  0,100 kg  
= 500 N
 0,004 s 


El peso de la partícula es,
m

P = mg ˆj =  0,100 kg   9,80 2  ˆj = 0,98 ˆj N
s 

6
Es decir F es del orden de 500 veces en magnitud el valor del peso. F es una fuerza que dura muy poco su
actuación (0,004 s) pero es muy grande comparada, en este caso, con el peso que será no impulsiva. Los
impulsos se pueden calcular,
Integral de impulso de F (es en dirección X):
Integral de impulso del peso (es en dirección Y):
Fmedia × Δt = 500 N 0,004 s = 2 N.s
mg × Δt =  0,98 N 0,004 s = 0,004 N.s
El impulso de la fuerza impulsiva F es del orden de 500 veces el impulso de la fuerza de gravedad. Debido a
esto el cambio de velocidad en dirección Y en esos 0,004 s es despreciable frente al cambio de velocidad
en dirección X que es de 20 m.s-1. En dirección Y se puede considerar que la velocidad no cambia en ese
pequeño intervalo de tiempo (0,004 s).
Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal en un Sistema de Partículas
Suponer que dos objetos (partículas) colisionan. Durante la colisión la partícula 1 ejerce una fuerza sobre la
partícula 2 que se denominará
F12 . Esta fuerza es IMPULSIVA, suponiendo que el resto de fuerzas
externas que actúan sobre la partícula 2 NO SON impulsivas, por lo que se desprecia su acción durante el
intervalo de la colisión,
Δt = t f - t i , es decir se desprecian esos impulsos, y por lo tanto la ecuación [3]
queda para la partícula 2,
t2
F
12
dt = Pf2 - Pi2
t1
Por ley de acción y reacción (tercera ley de Newton), la partícula 2 ejerce sobre la partícula 1 una fuerza
F21 tal que,
F21 = - F12
Aplicando el mismo razonamiento a la partícula 1 que se le aplicó a la partícula 2, la ecuación [3] queda para
la partícula 1,
t2
F
dt = Pf1 - Pi1
21
t1
Sumando los dos impulsos,
t2
t2
 F dt+  F
12
t1

 
dt = Pf2 - Pi2  Pf1 - Pi1
21

t1
Pero de la ley de acción y reacción
F21 = - F12 ,
7
t2
t2
 F dt +  F
12
t1
t2
t2
t1
t1
dt =  F12 dt   F12 dt  0
21
t1
Obteniéndose,
Pi1 + Pi2  Pf1 + Pf2
[5]
Ecuación que expresa la conservación de la cantidad de movimiento lineal total para un sistema de dos
partículas. Este es uno de los resultados más importante que se presenta en éste módulo de aprendizaje y
es la segunda ley de conservación que se ha encontrado en este curso de Física Mecánica, la primera fue la
ley de conservación de la energía mecánica tratada en los módulos de aprendizaje # 17 y # 18.
En el módulo de aprendizaje # 21 se mostrará que ésta ley de conservación es de validez general para
sistemas incluso así contengan más de dos partículas: Dado un marco de referencia inercial si la suma de
las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de partículas es cero (o al menos los impulsos de
estas se pueden suponer cero bajo el argumento de la presencia de fuerzas impulsivas en un intervalo
de tiempo t muy pequeño), la cantidad de movimiento total del sistema es constante, es decir, la
cantidad de movimiento antes y después de actuar las interacciones en ese intervalo de tiempo t es
igual,
[6a]
Ptotal = constante
P 
total
antes
=
P 
total
después
[6b]
Para aplicar este principio de conservación se recomienda seguir el siguiente protocolo:

Definir inequívocamente cuál es el sistema de partículas que se analiza.

Definir para el sistema cuál es la posición o instante inicial y la posición o instante final.

Indicar cuál es el marco de referencia INERCIAL para expresar las velocidades e impulsos.

Observar cuidadosamente qué fuerzas EXTERNAS actúan sobre el sistema durante el intervalo de
tiempo considerado. Las fuerzas internas no se consideran.

Plantear la ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal.
Colisiones
Sean dos esferas de masas m1 y m2 que colisionan. Si los centros de masa están sobre la línea de choque se
dice que la colisión es CENTRAL. De lo contrario es EXCÉNTRICA. En la Figura 4 se ilustra una colisión
CENTRAL.
En este módulo, por convención se tomará el eje X en la dirección de la línea de choque y denotará con
las velocidades inmediatamente antes de la colisión y con
V
U las velocidades inmediatamente después de la
misma. Con base en el apartado anterior se concluye que hay conservación de la cantidad de movimiento
lineal en el intervalo de tiempo que dura la colisión (se pueden despreciar los impulsos de las fuerzas
externas frente al impulso de la fuerza impulsiva de colisión en este intervalo de tiempo). Por lo tanto,
P  = P 
total
i
total
f
m1V1 + m2V2 = m1U1 + m2 U2
Figura 4
De esta ecuación vectorial se obtienen dos ecuaciones escalares,
m1V1x + m2 V2x = m1U1x + m2 U 2x

m1V1y + m2 V2y = m1U1y + m2 U 2y
[7a]
[7b]
Los signos de esos términos dependerán de la orientación de las velocidades respecto a los ejes
coordenados elegidos
Coeficiente de restitución:
En una colisión real parte de la energía cinética inicial del sistema se pierde, convirtiéndose en otras
formas de energía como energía vibracional, o energía de ondas sonoras y fundamentalmente
transformándose por fricciones disipativas internas en movimiento interno caótico, es decir en energía
8
térmica.
Pero esas pérdidas de energía son difíciles de medir con el debido detalle y es más simple
introducir el denominado coeficiente de restitución e definido como,
e=-
U1x - U 2x
V1x - V2x
[8]
Este coeficiente es adimensional y su valor está acotado entre 0 y 1, 0  e  1 :

e=0: colisión perfectamente plástica, las masas quedan pegadas después de la colisión.

e=1: colisión perfectamente elástica, se conserva la energía cinética,
Ki1 + Ki2 = Kf1 + Kf2
1
1
1
1
m1V12 + m1V22 = m1U12 + m1U 22
2
2
2
2
[9]
Adicionalmente en una colisión central las fuerzas impulsivas actúan a lo largo de la línea de choque, y si las
superficies son lisas, no hay fuerza externa en dirección Y actuando sobre las partículas y por lo tanto, se
conserva la cantidad de movimiento lineal en esta dirección para cada una de las partículas,
P1y  constante  m1V1y = m1U1y  V1y = U1y
[10]
P2y  constante  m2V2y = m2 U2y  V2y = U2y
[11]
Estas serían dos ecuaciones adicionales a las ecuaciones [7a] y [8]: esto en el caso de colisión central y
superficies lisas.
Video: Colisión entre el bate y la bola de beisbol
http://www.youtube.com/watch?v=caUnCYHO1qw
Ejemplos de colisiones
Ejemplo 1
Desde una altura h1 se deja caer una bola sobre el piso y al rebotar sube hasta una altura h2, Figura 5.
Encontrar el coeficiente de restitución de la colisión.
9
10
Figura 5
Solución:
Marco de referencia el piso y es inercial. La línea de choque es el eje X. El sistema de partículas lo
conforman el planeta Tierra y la bola.
La colisión es inelástica. Por conservación de la energía mecánica de la bola desde A hasta B
(inmediatamente antes de la colisión),
Wotras = ΔE
Wotras = EB - EA
0 = EB - EA
EA = EB
K A + UA = K B + UB
Como
KA = 0 y UB = 0 se obtiene
mgh1 =
1
mV12
2
V1 = 2gh1
apuntando hacia abajo, es decir,
V1 = - 2gh1 ˆi
Nuevamente por conservación de la energía mecánica de la bola desde B (inmediatamente después de la
colisión) hasta C,
Wotras = ΔE
Wotras = EC - EB
0 = EC - E B
EB = EC
KB + UB = KC + UC
Como
11
KC = 0 y UB = 0 se obtiene
1
mU12 = mgh 2
2
U1 = 2gh 2
apuntando hacia arriba, es decir,
U1 = 2gh 2 ˆi
La colisión se puede interpretar como entre dos cuerpos: uno es la bola y la otra es el planeta Tierra, por lo
tanto,
V2 = 0
U2 = 0
Por lo tanto el coeficiente de restitución es, ecuación [8],
e=-
2gh 2 - 0
U1x - U 2x
=V1x - V2x
- 2gh1 - 0
e=
h2
h1
Este es un método muy efectivo de medir coeficientes de restitución en el laboratorio. Basta con medir las
alturas h1 y h2. Observar que si h2=h1 la colisión sería perfectamente elástica y si h 2=0 la colisión sería
perfectamente plástica.
Ejemplo 2
Las dos esferas de la Figura 6 cuyas masas son m1 y m2 realizan una colisión perfectamente plástica.
Inmediatamente antes de la colisión tenían respectivamente velocidades iguales a
velocidad inmediatamente después de la colisión.
V1 y V2 . Calcular la
12
Figura 6
Solución:
Marco de referencia el piso y es inercial. La línea de choque es el eje X. El sistema de partículas lo
conforman las dos esferas.
La conservación de la cantidad de movimiento lineal en dirección X exige que,
m1V1 + m2V2 =  m1 + m2  U
U=
m1V1 + m2 V2
m1 +m2
Ejemplo 3
Las dos esferas de la Figura 7 cuyas masas son m 1 y m2 realizan una colisión perfectamente elástica.
Inmediatamente antes de la colisión tenían respectivamente velocidades iguales a
V1 y V2 . Calcular la
velocidad inmediatamente después de cada una de las esferas después de la colisión.
Figura 8
Solución:
Marco de referencia el piso y es inercial. La línea de choque es el eje X. El sistema de partículas lo
conforman las dos esferas.
De la conservación de la cantidad de movimiento lineal en dirección X se obtiene,
m1V1 + m2V2 = m1U1 + m2 U2
Como la colisión es perfectamente elástica se conserva la energía cinética del sistema,
1
1
1
1
m1V12 + m 2 V22 = m1U12 + m 2 U 22
2
2
2
2
13
Combinando estas dos ecuaciones se obtiene,
 m - m2 
 2m2 
U1 =  1
 V1 + 
 V2
m
+
m
m
+
m
 1
2 
 1
2 
 2m1 
 m1 - m2 
U2 = 
 V1 - 
 V2
 m1 + m2 
 m1 + m2 
Observar que,
a) si
m1 = m2 ,
U1 = V2
U2 = V1
Así, si por ejemplo m1 se mueve con velocidad V inmediatamente antes de la colisión y m 2 está en reposo
inicialmente, inmediatamente después de la colisión m 1 queda en reposo y m2 se moverá con velocidad V.
Figura 9.
Figura 9
Algo muy interesante es la situación planteada en la Figura 10 (las bolas son idénticas).
Figura 10
b) si
m2
m1 , por ejemplo una bola contra una pared,
U1 = - V1
U2 = 0
Es decir, la bola se regresa con la misma rapidez.
Otros ejemplos sobre Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal
Ejemplo 1
Para determinar la velocidad V de una bala de masa m, se dispara esa bala sobre una caja llena de arena de
masa M que está suspendida de cuerdas como se indica en la Figura 11. La bala queda incrustada en la caja
con arena y el conjunto de masa (M+m) se eleva una distancia vertical máxima H. Obtener la velocidad V de
la bala.
Figura 11
Solución:
Marco de referencia el piso y es inercial. La línea de choque es el eje X. El sistema de partículas lo
conforman la bala y la caja de arena.
De la conservación de la cantidad de movimiento en dirección X se tiene,
14
mV =  m + M U
De la conservación de la energía mecánica del sistema (m+M) desde A hasta B se obtiene,
1
 m + M  U 2 = (m + M)gH
2
15
U = 2gH
Combinando con la ecuación anterior de momentum lineal,
V=
M + m
m
2gH
Ejemplo 2:
Un resorte vertical de constante k=1000 N.m-1 sostiene un plato de m1=2,00 kg de masa, Figura 12. Desde
una altura de h=5,00 m se deja caer un cuerpo de m2=4,00 kg de masa que se adhiere al plato. (a) ¿Cuánto
se deforma el resorte para sostener el plato? (b) ¿Cuánto vale la velocidad del conjunto cuerpo-plato
inmediatamente después del choque? (c) ¿Cuál es la máxima compresión del resorte al adherírsele el
cuerpo?
Figura 12
Solución:
(a) La ley de Hooke expresa que,
F = kx
En donde x corresponde a la deformación del resorte. La Fuerza que en primera instancia deforma el
resorte es igual al peso del plato,
m1g = ka
m1g
k
a=
16
Al reemplazar los valores, k=1000 N.m-1, m1=2,00 kg,
a = 0,0196 m
(b) Primero se calcula la velocidad del cuerpo de masa m2 inmediatamente antes de la colisión. Para esto se
aplica la conservación de la energía mecánica desde la posición C hasta la posición B ya que la única
fuerza que actúa es el peso y es conservativa,
EC = E B
KC + UC = KB + UB
Si para la energía potencial gravitacional se toma como nivel de referencia la línea horizontal que pasa por
B se obtiene,
mgh =
1
mVB2
2
VB = 2gh
Reemplazando h=5,00 m se obtiene,
VB = 9,90
m
s
V1 = V = 9,90
m
s
Para la colisión se toma como marco de referencia el piso y es inercial. La línea de choque es el eje X. El
sistema de partículas lo conforman la el plato de masa m1 y el cuerpo de masa m2. En la colisión, que es
inelástica, hay conservación de la cantidad de movimiento lineal y por lo tanto,
m2V =  m1 +m2  U
U=
m2
V
 m1 +m2 
Reemplazando los valores de m 1, m2 y V,
U = 6,60
m
s
(c) Para calcular la máxima deformación del resorte después de la colisión se aplica la conservación de la
energía mecánica desde la posición B hasta la posición D,
EB = ED
17
KB + UB = KD + UD
Si para la energía potencial gravitacional se toma como nivel de referencia la línea horizontal que pasa por
D se obtiene,
 m1 + m2  g  x max
- a +
1 2 1
1
ka +  m1 + m 2  U 2 = kx 2max
2
2
2
Reemplazando los valores se obtiene,
x max = 0,571 m
Ejemplo 3
¿Cuál es la velocidad de retroceso de una escopeta de 1,50 kg de masa que dispara un proyectil de 10,0 g
de masa con una velocidad de 225 m.s-1?
Figura 13
Solución:
En la Figura 13 se ilustra la escena física. Se toma como marco de referencia el piso y es inercial. En el
pequeño intervalo en que transcurre el disparo hay presencia de una fuerza impulsiva en dirección X. Con
base en esto se argumenta la conservación de la cantidad de movimiento lineal en dirección X. línea de
choque es el eje X. El sistema de partículas lo conforman la escopeta de masa m1 y la bala de masa m2. Por
lo tanto,
0 = - m1U1 + m2 U2
U2 =
m2 U2
m1
Reemplazando valores, m2=0,010 kg, m1=1,50 kg, U2=225 m/s.
U1 =
m2 U2
m1
U1 = 1,5
m
s
Vectorialmente,
U1 = -1,5
18
m ˆ
i
s
Ejemplo 4
Una granada se mueve horizontalmente con respecto al suelo a 8 km/s explota dividiéndose en tres
fragmentos iguales. Uno sale en dirección horizontal (la misma que llevaba la granada) a 16 km/s. El
segundo sale hacia arriba formando un ángulo de 45º y el tercer fragmento, hacia abajo formando un
ángulo de 45º: (a) hallar la velocidad del segundo y del tercer fragmento, (b) sabiendo que la granada se
encontraba a 100 m del suelo cuando se produce la explosión, hallar el alcance de cada uno de los
fragmentos.
Figura 14
Solución:
En la Figura 14 se ilustra la escena física. Para resolver el literal (a) se toma como marco de referencia el
piso y es inercial. En el pequeño intervalo en que transcurre la explosión hay presencia de una fuerza
impulsiva. Con base en esto se argumenta la conservación de la cantidad de movimiento lineal. El sistema de
partículas lo conforman la granada y los tres fragmentos. Por lo tanto,
mV =
0=
m
m
m
U1cos45o +
U2 +
U 3cos45o
3
3
3
m
m
U1sen45o U 3sen45o
3
3
Reemplazando los valores, V=8 km/s y U2=16 km/s se obtiene,
U1 = U3 = 5,66
km
s
Tarea:
Se deja al lector resolver el literal (b).
19
PARTE II: CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
Cantidad de Movimiento Angular para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newton
Sea una partícula de masa m que se mueve curvilíneamente con velocidad
Cantidad de Movimiento Angular
Lo de la partícula respecto a un punto O fijo en un determinado marco
de referencia a,
Lo = r×P = m r×V
V , Figura 15. Se define como
[12]
Figura 15
en donde P corresponde a la cantidad de movimiento lineal de la partícula. Observar que es un vector que
es perpendicular al plano que contiene a los vectores posición r y velocidad
V . Las unidades de Lo son
kg.m2.s-1. Es una magnitud vectorial. También se le denomina momentum angular o momentum cinético.
Recordar que la derivada temporal de la cantidad de movimiento lineal medida en un marco de referencia
inercial es igual a la fuerza neta externa que actúa sobre la partícula,
20
Ftotal =
dP
dt
[2]
A continuación se procederá a realizar la derivada temporal de la cantidad de movimiento angular para ver
si se llega a una expresión análoga a [2]:
 
dLo
d
=
r×P
dt
dt
dLo
dr
dP
=
×P + r×
dt
dt
dt
Pero,


dr
×P = V× mV = 0
dt
y
r×
dP
= r×Ftotal = τoF
dt
Y por lo tanto,
τoF =
dLo
dt
[12]
Es decir, “la derivada temporal de la cantidad de movimiento angular de una partícula respecto a un
punto O fijo en un marco de referencia inercial es igual al torque de la fuerza neta que actúa sobre
la partícula, respecto al mismo punto O”: que es el enunciado del equivalente de la segunda ley de Newton
para rotación (en el caso de cuerpo rígido) o giro (en el caso de partícula) basada en el concepto de
cantidad de movimiento angular.
Cantidad de Movimiento Angular y Momento de Inercia: partícula y cuerpo rígido
Sea una partícula de masa m que se mueve circularmente. La cantidad de movimiento angular de la partícula
respecto al centro de la trayectoria circular O, Figura 16, es,
Lo = r×P
21
Figura 16
Lo = mRV
En donde R es el radio de la trayectoria circular. Ahora si w es su velocidad angular y como,
V = wR
se obtiene,
Lo = mR 2 w
Se denomina Momento de Inercia de la partícula respecto al punto O,
Io = mR 2
Io
[13]
Es una cantidad escalar y se mide en el SI en kg.m2. Esta
cantidad es análoga a la masa inercial en
traslación: es una medida de la inercia de giro de la partícula respecto a un eje que pasa por O. Con base en
esta definición la magnitud de la cantidad de movimiento angular de la partícula es,
Lo = Io w
[14]
Observar que es análoga a la expresión P=mV para traslación: “L es a P como Io es a m y como w es a V”
Como se demostrará en el módulo # 22 la ecuación [14] también es válida para el cuerpo rígido cuando rota
sobre un eje fijo.
Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular
Fuerza central
Una fuerza central es una fuerza dirigida siempre a un punto fijo, Figura 1, que se elegirá como origen O y
cuya magnitud sólo depende de la distancia radial r desde dicho punto O.
22
Figura 17
Si la única fuerza que actúa sobre una partícula es una fuerza central, Figura 17, como el ángulo formado
entre r y F es cero en cualquier instante, el torque de F respecto a O se anula y así,
dLo
= r×F = 0
dt
y por tanto la cantidad de movimiento angular
Lo es constante durante el movimiento de la partícula. Esta
es una primera aplicación de la conservación del momentum angular, que, junto a las conservaciones de la
cantidad de movimiento lineal y de la energía, ocupa lugar eminente en la física: hasta está sección del
curso se han tratado TRES LEYES DE CONSERVACIÓN. El vector cantidad de movimiento angular es
constante tanto en magnitud como en dirección.
Un ejemplo es la fuerza gravitacional que ejerce el Sol sobre los planetas, Figura 18. Esta ley de
conservación de la cantidad de movimiento angular trae como consecuencia la denominada ley de las áreas o
denominada también segunda ley de Kepler. A continuación se analizará esto:
23
Figura 18
Como la fuerza gravitacional es una fuerza central se conservará la cantidad de movimiento angular del
planeta respecto al sol y por lo tanto,
Lsol = constante
mr 2 w = constante
1 2 dθ
r
= constante
2 dt
1
 r  rdθ 
2
= constante
dt
dA
= constante
dt
Es decir el vector posición r del planeta respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales: por lo tanto
entre más cerca estés el planeta con más velocidad se debe mover en su traslación.
Para información se enuncian a continuación las denominadas tres leyes de Kepler del movimiento
planetario:

Primera Ley de Kepler: Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El
Sol está en uno de los focos de la elipse.

Segunda Ley de Kepler: Los planetas se mueven con rapidez (rata) areolar constante. Es decir,
el vector posición r de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
Esta es la ley que se demostró como consecuencia de la ley de conservación de la cantidad de
movimiento angular.

Tercera Ley de Kepler: se cumple que para todos los planetas, la razón entre el periodo de revolución
al cuadrado y el radio orbital al cubo se mantiene constante.
Cuerpo rígido en eje fijo con torque nulo
24
Como se dijo atrás, en el módulo # 22 se mostrará que la ecuación [14] también es válida para el cuerpo
rígido cuando rota sobre un eje fijo.
Lo = Io w
[14]
Como,
dLo
dt
τoF =
Si
τo = 0
Lo = constante
Io w =constante
w =constante
Es decir, si el torque externo que actúa sobre un cuerpo rígido es nulo, éste si rota, rotará con velocidad
angular constante.
Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Angular para una partícula
De la ecuación [12] se deduce,
dLo
dt
τoF =
[12]
dLo = τodt
Lf
 dL
Li
tf
o
=
 τ dt
o
ti
Lfo - Lio = H
[15]
en donde H es la denominada integral del impulso angular. A la expresión [15] se le conoce con el nombre
de Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Angular para una partícula. Este principio dice:
“Dado un marco de referencia inercial, el cambio en la cantidad de movimiento angular de una
partícula respecto a un punto O en un intervalo de tiempo, es igual al impulso angular total de los
torques respecto al mismo punto O de las fuerzas externas que actúan sobre ésta en ese intervalo”.
Nuevamente se debe tener en cuenta que para aplicar este principio el marco de referencia debe ser
inercial.
25
Si el impulso H es nulo entonces hay conservación de la cantidad de movimiento angular,
Lof = Loi
[16]
Ejemplo:
Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de 20 g de masa, está unido al extremo de una cuerda que pasa a
través de un orificio practicado en un tablero horizontal liso como el de la Figura 19. Se sujeta el extremo
inferior de la cuerda y se hace que se mueva el cuerpo en trayectoria circular de 40 cm de radio con una
velocidad angular de 2 rad.s-1. (a) Calcular la velocidad lineal del cuerpo, su momento angular y la fuerza F
que se debe hacer para que este movimiento sea posible. (b) A continuación se va aumentando la fuerza F
hasta que el radio de la trayectoria se reduce a 10 cm. Repetir los cálculos realizados en (a). ¿Qué
magnitud física permaneció constante?
Figura 19
Solución:
En la Figura 19 se ilustra la situación física. En la Figura 20 se ilustra el diagrama de fuerzas sobre el
cuerpo. El marco de referencia es la mesa y es inercial.
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la normal N, el peso mg y la fuerza de tensión T que es igual a
F. La normal N y el peso mg se equilibra. La fuerza neta es F y es una fuerza central, por lo tanto se
conserva la cantidad de movimiento angular del cuerpo respecto al centro de la trayectoria circular, es
decir,
Lof = Loi
Lof = Loi
26
Figura 20
m r1V1 = m r2V2
r1V1 = r2 V2
Tarea:
Resolver los literales (a) y (b) del ejemplo.
PARTE III: RESUMEN
Las tres magnitudes dinámicas básicas para una partícula
Una partícula de masa m que se mueve respecto a un marco inercial de referencia, está caracterizada por
tres cantidades dinámicas fundamentales, cantidad de movimiento lineal, cantidad de movimiento angular y
energía cinética.
P = mV
Lo = m r  V
K=
1
mV 2
2
Ahora, una partícula tiene interacciones con su entorno y las acciones sobre ella se manifiestan como la
fuerza, el torque y el trabajo netos. Las relaciones fundamentales de la dinámica movimiento de una
partícula vinculan esas magnitudes dinámicas que caracterizan su movimiento, con estas magnitudes que
cuantifican las acciones ejercidas sobre ella. Las relaciones siguientes son respecto a un marco de
referencia inercial:
27
dP
= ma
dt
F=
τo =
dLo
dt
[*]
W = ΔK
La ecuación [*] si la partícula se mueve circularmente y se toma como O el centro de la trayectoria toma la
siguiente forma,
τo =
d  Io w 
dLo
=
= Io α
dt
dt
siendo Io su momento de inercia respecto a O y  su aceleración angular.
Taller
Parte I: Colisiones y conservación de la cantidad de movimiento lineal
1.
Desde un marco de referencia inercial se observa que dos partículas se mueven sobre una mesa lisa
con velocidades constantes. Sus masas y velocidades respectivas son


v1 = 4,00 ˆi + 4,00 ˆj m.s -1
y
m1 = 1,00 kg , m2 = 2,00 kg ,
v2 = - 2,00 ˆi m.s-1 . En cierto instante las partículas colisionan y
permanecen unidas: (a) calcular la velocidad del sistema de las dos partículas después de la colisión; (b)
hallar el porcentaje de energía cinética perdida durante la colisión.
Rp. (a)
1,33 ˆj m.s-1 (b) 86.8 %
2. Una granada que se desplaza horizontalmente a una velocidad de 8 km.s-1 con respecto a la tierra
explota en tres segmentos iguales. Uno de ellos continúa moviéndose horizontalmente a 16 km.s-1, otro
se desplaza hacia arriba haciendo un ángulo de 450 y el tercero se desplaza haciendo un ángulo de 45 0
bajo la horizontal. Encontrar la magnitud de las velocidades del segundo y tercer fragmentos.
(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)
Rp. 5,66 km/s
3. Un cuerpo de masa
masa
m2 = 2,00 kg y rapidez v2 = 5,00 m.s-1 colisiona con otro cuerpo en reposo de
m1 = 1,00 kg . Los cuerpos se encuentran sobre una superficie horizontal lisa. Como consecuencia
del choque
m1 adquiere una velocidad cuyo módulo es 2,00 m.s-1 y cuya dirección forma un ángulo de
60,0o respecto a la velocidad inicial de
que siente
m 2 , Figura 21. Calcular: (a) la velocidad de m 2 , (b) el impulso
m 2 y la fuerza promedio que m1 le ejerció durante la colisión, si la misma duró 0,01 s.
28
Rp. (a)






1
9,00 ˆi - 3,00 ˆj m.s-1 ; 10,89o. (b)  ˆi + 3,00 ˆj m.s-1 ;  100 ˆi + 100 3, 00 ˆj N .
2
Figura 21
4. El bloque de la Figura 22 de masa M se encuentra sobre una superficie horizontal lisa y se apoya
contra un resorte de constante elástica k que no está deformado. El otro extremo del resorte está
sujeto a una pared. Se desea medir la rapidez
v
de un proyectil de masa
m.
Para ello se dispara el
proyectil a quemarropa contra el bloque. El proyectil se incrusta en el bloque penetrando
completamente antes que el bloque tenga tiempo de moverse apreciablemente. Luego el resorte
comienza a comprimirse siendo
x
la máxima compresión. Mostrar que:
m+M
v=x 
k
2
 m 
Figura 22
5. Un proyectil de masa m incide sobre un bloque de masa M=2m con dirección de 60 o por debajo de la
horizontal y rapidez v, ver Figura 23. El proyectil se incrusta en el bloque, el cual se encuentra
inicialmente en reposo sobre una superficie lisa y horizontal. Demostrar que si v’ es la rapidez del
bloque luego de la colisión se debe cumplir que v’/v=1/6.
Figura 23
Parte II: Conservación de la cantidad de movimiento angular
6. Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de 20 g de masa, está unido al extremo de una cuerda que pasa a
través de un orificio practicado en un tablero horizontal liso como el de la Figura 24. Se sujeta el
extremo inferior de la cuerda y se hace que se mueva el cuerpo en trayectoria circular de 40 cm de
radio con una velocidad angular de 2 rad.s-1. (a) Calcular la velocidad lineal del cuerpo, su momento
angular y la fuerza F que se debe hacer para que este movimiento sea posible. (b) A continuación se va
aumentando la fuerza F hasta que el radio de la trayectoria se reduce a 10 cm. Repetir los cálculos
realizados en (a). ¿Qué magnitud física permaneció constante?
Figura 24
FIN.
29