circuito rc

CAPÍTULO 1.09-2
aletos
CIRCUITO RC
Física para Ciencias e Ingeniería
1
1.09–2.1 Carga de un condensador a través de una resistencia
La figura muestra un condensador descargado de capacidad C, en un circuito formado por una resistencia R, un
interruptor S, que inicialmente está abierto, y un generador de fuerza electromotriz , y resistencia interna nula.
ε
ε
S
ε
a
c
I
I
I
S
I
a
b
C
A partir del instante en que se cierra el interruptor, la diferencia de potencial
establecida por el generador entre los puntos a y c hace salir electrones libres de la
armadura conectada al punto a y los hace circular hacia la armadura conectada al
punto b, a través del generador , del interruptor S y de la resistencia R.
Este movimiento de electrones libres se interpreta como la circulación de una
intensidad I en sentido contrario, como indican las flechas en rojo de la figura, que
se inicia en la armadura conectada al punto b y termina en la armadura conectada
al punto a.
De esta forma, la armadura conectada al punto a se va cargado positivamente
debido a la emigración de electrones libres, y la armadura conectada al punto b,
negativamente, por la adquisición de esos mismos electrones libres.
Los puntos que están denominados con la misma letra se encuentran al mismo
potencial, porque están unidos por conductores que, idealmente, carecen de resistencia eléctrica.
ε
R
C
Vamos a estudiar el proceso de carga del condensador.
Al cerrar el interruptor, el condensador no se carga instantáneamente, sino que
conforme transcurre el tiempo, va adquiriendo carga progresivamente.
El tiempo que tarda el condensador en quedar totalmente cargado depende de
su capacidad C y de la resistencia R del circuito.
R
c
1.09–2.2 Carga del condensador en función del tiempo
Supongamos que en un cierto instante t después de cerrar el interruptor, la intensidad de la corriente en el circuito es i, y que la carga del condensador es q.
Hay que hacer notar que se acostumbra a representar las magnitudes físicas que son función del tiempo, por letras
minúsculas, reservando las mayúsculas para los valores finales o constantes de dichas magnitudes.
La intensidad de la corriente en un circuito de define como
i=
dq
dt
La relación entre la diferencia de potencial de las armaduras del condensador y su capacidad es
q
Va −Vb =Vab =
C
[1]
[2]
La diferencia de potencial entre los bornes de la resistencia es
Vb −Vc =Vbc = iR
La diferencia de potencial entre los bornes del generador es, teniendo en cuenta [2] y [3],
q
Va −Vc =Vac = (Va −Vb )+(Vb −Vc ) = + iR
C
[3]
[4]
y sustituyendo [1] en [4], se obtiene la ecuación diferencial
Vac =
q
C
+R
dq
dt
[5]
Efectuando operaciones,
CVac −q = RC
dq
dt
[6]
y agrupando variables
dt
RC
=
dq
CVac −q
expresión que se puede integrar fácilmente, ya que cada miembro es función de una sola variable.
Integrando en forma indefinida,
[7]
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dt
dq
∫ RC = ∫ CV
−q
ac
[8]
expresión en la que, el numerador del segundo miembro es la diferencial, cambiada de signo, del denominador.
Por consiguiente,
t
= −ln (CVac −q)+ lnk
[9]
RC
siendo ln k una constante de integración que se calcula teniendo en cuenta las condiciones iniciales:
Sabemos que para t = 0, es q =0. Sustituyendo estos valores en [9]
0 = −ln (CVac )+ lnk
[10]
Despejando ln k, y sustituyendo en [9],
t
= − ln (CVac −q)+ ln (CVac )
RC
Cambiando los dos miembros de signo y operando,
ln
CVac −q
=−
CVac
t
RC
[11]
[12]
de donde,
CVac −q
CVac
=e
−
t
RC
[13]
y, operando se obtiene finalmente,
t 

−
q(t) =CVac 1 −e RC 




[14]
Si se representa esta función en un sistema de coordenadas, tomando la carga q sobre el eje de ordenadas y el
tiempo sobre el eje de abscisas, se obtiene la gráfica que muestra la figura, en la que se observa que para t = 0, es
q = 0, y tiene una asíntota horizontal para q = CVac, lo que significa que la carga del condensador alcanza ese valor
para un tiempo infinito.
Debe entenderse ese tiempo como un tiempo teóricamente muy
grande, que depende de los valores de C y R, aunque en la práctica
basta un tiempo, en general, muy corto, para que el condensador
adquiera la carga final, Q = CVac.
Para un condensador dado, la pendiente de la curva es tanto
mayor, cuanto menor es la resistencia, y, recíprocamente, es tanto
menor, cuanto mayor es la resistencia.
Para este tipo de dispositivos se introduce la denominada cons tante de tiempo del circuito, τ, que se define como el tiempo que tarda
la carga del condensador en aumentar hasta 1/e ≈ 0,369 de su valor
t
final.
q
CVac
O
Si se sustituyen valores en [14] se obtiene:
τ = RC
[15]
1.09–2.3 Intensidad de la corriente de carga en función del tiempo
Derivando la relación [14] respecto al tiempo y sustituyendo en [1]
i=
 − t  1  V − t
 = ac e RC
=CVac  −e RC   −

 RC  R
dt



dq
i(t) =
Vac
R
e
−
t
RC
[16]
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Si se representa esta función en un sistema de coordenadas, tomando la intensidad i sobre el eje de ordenadas y el tiempo sobre el eje de abscisas, se obtiene
la gráfica que muestra la figura, en la que se observa que para t = 0, es
i
Vac
R
i=
O
t
Vac
R
[17]
y tiene una asíntota horizontal para i = 0, lo que significa que la intensidad se
anula al cabo de un tiempo infinito.
1.09–2.4 Diferencia de potencial entre las armaduras del condensador en función del tiempo
Sustituyendo [14] en [2] se obtiene
Vab =
q
C
=
t 
t 


−
−
CVac 1 −e RC  =Vac 1 −e RC 




C




1
t 

−
Vab =Vac 1 −e RC 




Vab
[18]
Si se representa esta función en un sistema de coordenadas, tomando Vab sobre
el eje de ordenadas y el tiempo sobre el eje de abscisas, se obtiene la gráfica que
muestra la figura, en la que se observa que para t = 0, es
Vac
Vab = 0
O
t
y tiene una asíntota horizontal para Vab = Vac, lo que significa que la diferencia de
potencial entre las armaduras del condensador alcanza el valor Vac al cabo de un
tiempo infinito.
1.09–2.5 Diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia en función del tiempo
Sustituyendo [16] en [3]:
Vbc = iR = R ×
Vac
R
e
−
Vbc =Vace
−
t
RC
=Vace
−
t
RC
t
[19]
RC
Si se representa esta función en un sistema de coordenadas, tomando Vbc sobre
el eje de ordenadas y el tiempo sobre el eje de abscisas, se obtiene la gráfica que
muestra la figura, en la que se observa que para t = 0, es
Vbc
Vac
Vbc =Vac
O
t
y tiene una asíntota horizontal para Vbc = 0, lo que significa que la diferencia de
potencial entre los extremos de la resistencia alcanza este valor al cabo de un tiempo infinito.
1.09–2.6 Descarga de un condensador a través de una resistencia
a
+Q0
S
–Q0
a
b
C
R
c
Para estudiar este proceso supongamos que, una vez que el condensador anterior
ha adquirido un carga final Q0, abrimos el interruptor y desconectamos el generador,
dejando el interruptor abierto. La situación es la que muestra la figura.
Debe entenderse que cuando se dice que el condensador ha adquirido un carga
final Q0, la armadura positiva ha quedado cargada con una carga +Q0 y la armadura negativa, con una carga –Q0.
En el instante t = 0, se cierra el interruptor y el condensador se descarga a través de la resistencia.
Puesto que la placa a está cargada positivamente, y la placa b, negativamente, existe una diferencia de potencial
inicial Va –Vb entre dichas placas.
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Esta diferencia de potencial crea un campo eléctrico en el circuito dirigido de a hacia b. El campo eléctrico debido a una diferencia de potencial está siempre dirigido de los puntos de mayor potencial hacia los de menor potencial.
a
I
I
I
S
I
a
b
C
R
c
Los electrones de la armadura b comienzan a circular a través de la resistencia, R, y del interruptor S, hacia la armadura a, originando una corriente eléctrica transitoria, de intensidad variable i, cuyo sentido convencional es de a hacia b,
a través del interruptor S y de la resistencia, R, es decir, en sentido contrario al
movimiento de los electrones.
El condensador no se descarga instantáneamente debido a la oposición que
ofrece la resistencia al paso de los electrones.
La diferencia de potencial entre los puntos a y b, en un instante t >0, es
q
Va −Vb =
[20]
C
Por otra parte, la diferencia de potencial entre los puntos c y b, es según la ley de Ohm,
Vc −Vb = IR
[21]
pero Va = Vc, puesto que el conductor que une a con c por la parte superior del circuito, incluido el interruptor,
carece de resistencia. De modo que como los primeros miembros de las igualdades anteriores [20] y [21] son iguales,
los segundos miembros serán iguales
q
= IR
[22]
C
La intensidad de una corriente, cuando es variable, se define, en general, como
i=
dq
dt
pero hay que tener en cuenta que, en este caso, la carga de las armaduras del condensador está disminuyendo, y hay
que poner de manifiesto dicha variación. De modo que la intensidad es
i =−
dq
[23]
dt
Sustituyendo [23] en [22] se obtiene
dq
q
= −R
dt
C
ecuación diferencial que se resuelve agrupando variables,
dq
dt
=−
q
RC
e integrando en forma indefinida,
lnq + ln k = −
t
RC
[24]
La constante de integración, ln k, se resuelve teniendo en cuenta los valores iniciales. Sabemos que para t = 0,
es q = Qo, y en consecuencia
lnQ0 + lnk = 0
de donde,
lnk = − lnQ0
[25]
sustituyendo en [25] en [24], y efectuando operaciones,
lnq − lnQ0 = −
ln
q
Q0
q
Q0
y despejando q,
=−
=e
t
RC
t
RC
−
t
RC
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q =Q0e
q
Q0
t
O
−
5
t
[26]
RC
Se trata de una función exponencial decreciente, que, en un sistema de coordenada (q, t), tiene el eje de tiempos como asíntota horizontal.
De modo que tarda un tiempo muy grande, en teoría infinito, en descargarse,
aunque en la práctica basta un tiempo, en general, muy corto, para que el condensador se descargue por completo.
La constante de tiempo del circuito, t = RC, representa en este caso, el tiempo que tarda la carga del condensador en disminuir hasta una fracción, 1/e, de su
valor inicial.
1.09–2.7 Intensidad de la corriente de descarga en función del tiempo
Sustituyendo [26] en [23],
i =−
dq
dt
= −Q0e
−
i=
i
Q0
RC
t
O
t
RC
 1  Q − t
 −
 = 0 e RC
RC

 RC
Q0
RC
e
−
t
[27]
RC
Se trata, igualmente, de una función exponencial decreciente, que, en un sistema de coordenada (i, t), tiene el eje de tiempos como asíntota horizontal.
De modo que la intensidad de la corriente tarda un tiempo muy grande, en
teoría infinito, en anularse, aunque en la práctica basta un tiempo, en general,
muy corto.
La constante de tiempo del circuito, τ = RC, representa en este caso, el tiempo que tarda la intensidad de la corriente en disminuir hasta una fracción, 1/e, de
su valor inicial.
1.09–2.8 Diferencia de potencial entre las armaduras del condensador en función del tiempo
Sustituyendo [26] en [20]
Va −Vb =Vab =
Vab =
Vab
Q0
C
t
O
Q0
C
q
C
e
−
=
Q0
C
e
−
t
RC
t
RC
[28]
Se trata, igualmente, de una función exponencial decreciente, que, en un sistema de coordenada (Vab, t), tiene el eje de tiempos como asíntota horizontal.
De modo que la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador
tarda un tiempo muy grande, en teoría infinito, en anularse, aunque en la práctica basta un tiempo, en general, muy corto.
La constante de tiempo del circuito, τ = RC, representa en este caso, el tiempo que tarda la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador en
disminuir hasta una fracción, 1/e, de su valor inicial.
1.09–2.9 Diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia en función del tiempo
Sustituyendo [27] en [21]:
Vc −Vb =Vcb = iR = R
Q0
RC
e
−
t
RC
=
Q0
C
e
−
t
RC
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Vcb =
Q0
C
e
−
t
RC
[29]
Si se comparan las expresiones [28] y [29], se observa que son iguales, lo que puede resultar un poco extraño.
Sin embargo, si se tiene presente que
Vab =Va −Vb
Vcb =Vc −Vb
[30]
y restamos miembro a miembro estas igualdades se obtiene:
Vab −Vcb = (Va −Vb )−(Vc −Vb ) =Va −Vb −Vc +Vb =Va −Vc =Vac = 0
lo que es evidente si se tiene en cuenta que los puntos a y c son eléctricamente equivalentes, puesto que el tramo de
circuito que va de a hacia c por la parte superior, incluido el interruptor, carece de resistencia, como ya se indicó
anteriormente, y por tanto, se encuentran al mismo potencial.
Vcb
Q0
C
O
t
la función [29] es, igualmente, de una función exponencial decreciente, que, en
un sistema de coordenada (Vcb, t), tiene el eje de tiempos como asíntota horizontal.
De modo que la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia
tarda un tiempo muy grande, en teoría infinito, en anularse, aunque en la práctica basta un tiempo, en general, muy corto.
La constante de tiempo del circuito, τ = RC, representa, igualmente, el tiempo que tarda la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia en disminuir hasta una fracción, 1/e, de su valor inicial.