UNIVERSIDAD DE SONORA División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas Estadística Aplicada a las Licenciaturas: Administración, Contaduría e Informática Administrativa. Fascículo II: Estadística Descriptiva Dr. Francisco Javier Tapia Moreno Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Prólogo. Este es el segundo folleto correspondiente al Tema II de Estadística Aplicada a las Licenciaturas: Negocios y Comercio Internacionales, Administración, Contaduría e Informática Administrativa que se ofrecen de la Universidad de Sonora. Los temas presentados aquí son congruentes con el programa vigente de la materia de Estadística I del área económico- administrativo. En el segundo tema del programa titulado Estadística descriptiva, el alumno conocerá y utilizará adecuadamente las herramientas de la estadística descriptiva para recopilar, organizar y analizar adecuadamente la información, construirá e interpretará correctamente información gráfica y tabular (ver secciones 2.1-2.5). Calculará e interpretará adecuadamente las medidas estadísticas de localización y dispersión; utilizará adecuadamente las medidas de tendencia central ante diversas situaciones presentadas; integrará las medidas de localización y dispersión en problemas relacionados con la toma de decisiones; conocerá, utilizará e interpretará un diagrama de dispersión y sobre la base del mismo, podrá decir si dos variables están correlacionadas o no (ver secciones 2.6-2.8). Calculará el coeficiente de correlación lineal simple y la recta de regresión en variables correlacionadas e Interpretará, sobre la base del problema a analizar, el significado del análisis efectuado (ver sección 2.9). Nuestro propósito al elaborar este segundo folleto, es dotar al alumno de las herramientas necesarias, apegada al programa vigente, para que el alumno por sí mismo, recopile, organice, represente de manera gráfica, analice e interprete la información recabada ya sea por medio de una muestra o de un censo, y la utilice para la realización de toma de decisiones. Además, de estudiar, explorar y cuantificar la relación entre variables cuantitativas para desarrollar una ecuación lineal simple con fines predictivos. Este trabajo se sitúa en el marco de un esfuerzo colectivo realizado por el Departamento de Matemáticas por dotar al alumno del material didáctico necesario para que éste optimice su proceso de enseñanza/aprendizaje/formación de las matemáticas. Hermosillo, Sonora, México. Febrero de 2011. Tema Departamento de Matemáticas Pag. 2 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Tema II. Estadística Descriptiva. 5 2.1. Introducción. 5 2.2. Clases de datos. 5 2.3. Agrupamiento en intervalos. 6 2.4. Descripción de datos de una variable. 6 7 7 8 2.4.1. Tabulación y representación gráfica. Tablas de frecuencias. Datos Agrupados. 2.5. Representaciones Gráficas Diagramas de frecuencia mediante puntos. Gráficas de línea. Diagrama de barras. Histogramas. Polígono de frecuencias. Diagramas de tallo y hojas. Diagramas de pastel o circulares. Otras distribuciones de frecuencias y otros gráficos. Distribuciones acumulativas y polígonos acumulativos. Polígonos acumulativos u Ojivas. Diagramas de caja. 2.6. Medidas descriptivas de localización y distribución. 2.6.1 Medidas de posición o centralización. La media aritmética. La mediana. Cuantiles. Cálculo de los cuartiles a) Para datos agrupados. b) Para datos no agrupados. Cálculo de Deciles a) Para datos agrupados. b) Para datos no agrupados Cálculo de percentiles. a) Para datos agrupados. b)Para datos no agrupados La moda. 9 9 10 10 11 12 12 13 13 14 15 16 16 17 18 20 20 20 21 21 21 22 2.6.2. Relación entre la Media, la Mediana y la moda. 24 2.7. Medidas de Dispersión. 25 Coeficiente de variación. Departamento de Matemáticas 3 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 2.8. Medidas de forma. 29 30 30 31 32 Coeficiente de disimetría de Pearson. Coeficiente de Asimetría de Fisher. Curtosis o apuntamiento. Coeficiente de curtosis de Fisher. 2.9. Análisis de regresión y correlación lineal simple. 2.9.1. Introducción al análisis de regresión y correlación lineal. 33 33 Regresión lineal. Correlación lineal. 2.9.2. Gráficos de dispersión. 2.9.3. Coeficiente de correlación lineal. 2.9.4. Modelo de regresión lineal simple. 34 36 38 2.10. Ejercicios teóricos. 39 2.11. Ejercicios prácticos. 40 2.12. Lecturas recomendadas. 43 2.13. Bibliografía recomendada para reforzar este tema. 43 2.11. Referencias. Departamento de Matemáticas 43 4 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Tema II. Estadística Descriptiva. 2.1. Introducción. Habitualmente el propósito de la Estadística Aplicada es el de sacar conclusiones de una población en estudio, examinando solamente una parte de ella denominada muestra. Este proceso, denominado Inferencia Estadística, suele venir precedido de otro, denominado Estadística Descriptiva (ver el folleto 1), en el que los datos son ordenados, resumidos y clasificados con objeto de tener una visión más precisa y conjunta de las observaciones, intentando descubrir de esta manera posibles relaciones entre los datos, viendo cuales toman valores parecidos, cuales difieren grandemente del resto, destacando hechos de posible interés, etc. Al hablar de estadística descriptiva, uno se refiere a cualquier tratamiento de datos que esté diseñado para resumir o describir algunas de sus características más importantes sin intentar deducir nada que escape al alcance de los datos. También, entre los objetivos de la Estadística Descriptiva, está el presentar los datos de tal modo que permitan sugerir o aventurar cuestiones a analizar en mayor profundidad, así como estudiar si pueden mantenerse algunas suposiciones necesarias en determinadas inferencias como la de simetría, normalidad, homocedasticidad (propiedad fundamental del modelo de regresión lineal), etc. El propósito de este tema es el de ofrecer los conceptos de la estadística descriptiva y explicar las técnicas que permitan realizar ambos procesos a los cuales, de forma conjunta, se les suele denominar Análisis de Datos. 2.2. Clases de datos. Como se mencionó en el tema I (ver folleto 1), es habitual denominar a los caracteres variables estadísticaso simplemente variables, calificándolas de cualitativas o cuantitativas según sea el correspondiente carácter, y hablar de los valores de la variable al referirnos a sus modalidades, aunque de hecho solamente tendremos verdaderos valores numéricos cuando analicemos variables cuantitativas. En ocasiones, con objeto de facilitar la toma de los datos, el investigador los agrupa en intervalos. Así por ejemplo, resulta más sencillo averiguar cuántos individuos hay en una muestra con una estatura, por ejemplo, entre 1.70 y 1.80 metros que medirlos a todos, en especial si tenemos marcas en la pared cada 10 cm. Note que siempre se producirá una pérdida de información al agrupar los datos en intervalos y, dado que hoy en día la utilización de la computadora suele ser de uso común, un agrupamiento en intervalos es en general no aconsejable. Sin embargo, por razones docentes admitiremos esta posibilidad, ya que precisamente el agrupamiento en intervalos traerá complicaciones adicionales en el cálculo de algunas medidas representativas de los datos. En este tema consideraremos, por tanto, tres tipos posibles de datos: 1) Datos correspondientes a un carácter cualitativo2) Datos sin agrupar correspondientes a un carácter cuantitativo y 3) Datos agrupados en intervalos correspondientes a un carácter cuantitativo. 2.3. Agrupamiento en intervalos. Si tenemos la opción de poder agrupar los datos en intervalos, lo primero que debemos plantearnos (independientemente de lo que más arriba comentábamos) es la cuestión de cuántos y cuáles intervalos elegir. Previamente daremos algunas definiciones importantes. Si los intervalos que a menudo se le denominan clases, son: Departamento de Matemáticas 5 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. x0 , x1 , x1 , x2 , , x j-1 , x j ,, xk -1 , xk . x j -x j-1 , j 1,, k , hablando de intervalos de amplitud constante o variable, según tengan o no todos la misma amplitud. Llamaremos extremos de la clase j-ésima a x j-1 Llamaremos amplitud del intervalo j-ésimo a ya x j , y por último, llamaremos centro o marca de clase correspondiente al intervalo j-ésimo al punto medio del intervalo, es decir, a cj En todo este sección, consideraremos que el dato x j x j-1 2 . x j pertenece al intervalo j 1, j 1, ... , k - 1 , siendo el xk elk-ésimo dato. Hacemos notar también, que el primer intervalo y el último generalmente tienen, respectivamente, el extremo inferior y el extremo superior indeterminados con el propósito de incluir observaciones poco frecuentes. Respecto a la cuestión que nos planteábamos al comienzo de este apartado, podemos considerar como regla general la de construir, siempre que sea posible, intervalos de amplitud constante o igual, sugiriendo sobre el número k de intervalos a considerar el propuesto por Sturges k 1 3.322 log n Siendo n el número total de datos. Una vez determinado el número k de intervalos a considerar, y si es posible tomarlos de igual amplitud, esta será: Amplitud X( n ) X(1) k en donde x(n) es el dato mayor y x( 1 ) el menor. 2.4. Descripción de datos de una variable. Durante el proceso de un experimento estadístico, por lo regular obtenemos una sucesión de observaciones o datos (normalmente números) los cuales anotamos en el orden en que aparecen. Por ejemplo, las ventas realizadas por la tienda departamental Mazón los sábados y domingos durante el año pasado. Estos datos representan un ejemplo de una muestra tomada de una población de los montos de todas las ventas realizadas durante el año. La muestra consiste de 31 montos de ventas diferentes, llamados valores de la muestra, aunque el tamaño de la muestra es de n 104. Antes de entrar en detalle, es importante mencionar que si en un experimento estadístico observamos al mismo tiempo dos cantidades, por ejemplo las ventas realizadas durante el día y el número de personas que visitó la tienda durante ese día o, el peso y la estatura de las personas adultas, obtendremos una muestra en la que cada valor de la misma es una pareja ordenada de números. De la misma manera, si observamos o medimos tres cantidades, se obtendrán muestras que consisten de ternas ordenadas de números, generalizándose esta situación para más de tres cantidades. Cuando se tiene un experimento estadístico donde existe una sola variable de interés para ser observada, decimos que este experimento es uni-variado. Si en el experimento se tiene interés en observar más de Departamento de Matemáticas 6 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. una variable, decimos que el experimento es multi-variado. En esta sección manejaremos sólo experimentos en donde se involucra una sola variable para ser observada. 2.4.1. Tabulación y representación gráfica. En esta sección se discuten algunos métodos para obtener representaciones tabulares y gráficas de una serie de datos. Se muestra como grandes cantidades de datos pueden ser organizados y presentados de manera más eficaz en formas de tablas y diagramas con el propósito de intensificar el análisis e interpretación de los datos, aspectos claves en la toma de decisiones. Además, se dan a conocer los conceptos de frecuencias absoluta, relativa y porcentual. Tablas de frecuencias. El primer paso al recopilar los datos, es determinar el número de veces con que se presentan los valores en la muestra y, resumirlos en una tabla llamada tabla de frecuencias o distribución de frecuencias de tal manera que podamos identificar su comportamiento. Al número de veces que se presenta un valor recibe el nombre de frecuencia absoluta o, más brevemente frecuencia. Ejemplo 2.1 En una sucursal bancaria de la localidad, se ha tomado el tiempo de atención en ventanilla a 20 clientes, durante sus operaciones bancarias. Los registros de los tiempos y el número de cliente en el orden en que éste llegó aparecen en la Tabla 2.1. TABLA 2.1.TIEMPOS DE ESPERA DE 20 CLIENTES EN UNA SUCURSAL BANCARIA. Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Minutos 3 2 5 3 1 5 3 3 2 4 6 2 5 4 7 5 3 6 3 4 Podemos resumir los datos de la Tabla 2.1 como se muestran en la Tabla 2.2. TABLA 2.2.DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS. Minutos 1 2 3 4 5 6 7 Frecuencia 1 3 6 3 4 2 1 Si dividimos la frecuencia entre el tamaño de la muestra n, obtenemos la frecuencia relativa para esta cantidad observada en la muestra. Obtener las frecuencias relativas es muy útil cuando la cantidad de los datos observados es muy grande. Formalmente podemos definir la frecuencia relativa de un valor dado, como la proporción de ese valor. Ejemplo 2.2 En la Tabla 2.3 aparecen las frecuencias relativas para cada uno de los valores observados del Ejemplo 2.1. TABLA 2.3. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS. Minutos Frecuencia Relativa 1 2 3 4 5 6 7 1 0.05 20 3 0.15 20 6 0.30 20 3 0.15 20 4 0.20 20 2 0.10 20 1 0.05 20 Si las frecuencias relativas se multiplican por 100% se obtienen las frecuencias porcentuales para cada uno de los valores observados. Departamento de Matemáticas 7 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Ejemplo 2.3 Las frecuencias porcentuales de los valores observados en el Ejemplo 2.2 aparecen en la Tabla 2.4. TABLA 2.4. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PORCENTUALES Minutos 1 2 3 4 5 Frecuencia 5% 15% 30% 15% 20% Porcentual 6 7 10% 5% Datos Agrupados. Cuando en una muestra se tienen demasiados datos es recomendable juntarlos en grupos o clases. A los datos resultantes se les llama datos agrupados. Cada grupo recibe el nombre de clase o intervalo de clase y la selección de estas clases es regularmente arbitraria además, su elección debe ajustarse a la exigencia de que no existan clases vacías, de que cada observación caiga en una y sólo una clase y que su longitud o amplitud sea igual. Existen fórmulas para determinar el número recomendable de clases el cual depende del tamaño de la muestra. Ejemplo 2.4. La Tabla 2.5 presenta la cantidad de dinero gastada en electricidad durante el mes de julio de 2010, de 30 familias de bajos recursos de una colonia situada al sur de la ciudad de Hermosillo. TABLA 2.5. CANTIDAD DE DINERO GASTADA EN ELECTRICIDAD ($) 96 157 141 171 185 149 202 90 206 178 116 175 147 172 123 102 111 128 153 148 144 197 213 168 127 130 109 82 165 167 Utilizaremos estos datos para construir una tabla de frecuencias con clases o intervalos adecuados. Como se tiene una muestra con pocos datos podemos elegir pocas clases. Por ejemplo, 5. Podemos observar de la Tabla 2.5 que:1) el monto menor es de $82 y 2) el monto mayor es de $213. Si realizamos la diferencia entre estos dos montos obtenemos la amplitud o rango de los datos dados. Así, el rango = 213-82 = 131 pesos; como se desean 5 clases, dividimos el rango entre 5 y obtenemos que la amplitud de cada clase debe de ser de 131 26.20 5 pesos. Podemos escoger clases de $27 de amplitud y elegir el valor mínimo de $80 con el propósito de que el valor menor, y el valor mayor observados, no queden en el extremo de su respectiva clase. Así, las clases con sus respectivas frecuencias son las que se muestran en la Tabla 2.6. TABLA 2.6. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA LOS DATOS DE LA TABLA 2.5. Clase o Intervalo Marcas de clase de clase De $80 a menos de 107 93.5 De107 a menos de 134 120.5 De 134 a menos de 161 147.5 De 161 a menos de 188 174.5 De 188 a menos de $215 201.5 TOTALES Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Frecuencia Porcentual 4 7 7 8 4 30 0.13 0.23 0.23 0.27 0.14 1.00 13% 23% 23% 27% 14% 100% Note que cada monto observado cae en una sola clase, y que las clases tienen la misma amplitud. Departamento de Matemáticas 8 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 2.5. Representaciones Gráficas Como se pudo observar en la sección anterior, las tablas de frecuencia son útiles para la presentación de los datos. Las gráficas que de ellas surgen lo son aún más, ya que en ellas es muy fácil observar la distribución de la información. Existen varias formas de representar gráficamente las muestras y es suficiente presentar estos métodos en términos de los ejemplos usados en la sección 2.4. Diagramas de frecuencia mediante puntos. La Figura 2.1 presenta el diagrama de puntos para la tabla de frecuencia del Ejemplo2.1. Este diagrama da una mejor idea del comportamiento de los datos obtenidos en la muestra. Minutos Tiempo de atención a clientes 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 Número de cliente Figura2.1 Diagrama de puntos de la muestra dada en la Tabla 2.1 Gráficas de línea. La Figura 2.2 presenta la gráfica de línea para los datos de la Tabla 2.2.Estos dos tipos de gráficas nos sirven para echar un vistazo rápido a los datos, con el propósito de observar su tendencia. Cuando se requiere una gráfica más detallada y formal uno echa mano de los diagramas de barras y de los histogramas. Número de clientes Tiempo de atención a clientes 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 Minutos de atención Figura 2.2. Diagrama de línea de los datos de la Tabla 2.2 Departamento de Matemáticas 9 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Diagrama de barras. En los diagramas de barras se utilizan rectángulos para representar gráficamente los datos. La base de cada rectángulo del diagrama de barras representa una característica de los datos obtenidos en la muestra y la altura del rectángulo significa la frecuencia con que se dio esta característica. Para dibujar un diagrama de barras, se marca en el eje horizontal las distintas características que se encontraron en los datos obtenidos y en el eje vertical se marca la frecuencia con que se dio esa observación y se trazan rectángulos separados por cada valor con la altura correspondiente a cada frecuencia. En el diagrama de la Figura 2.3 podemos observar, por ejemplo, que un 20% de los clientes fueron atendidos en 2 minutos o menos, o que el 50% de los clientes realizaron sus operaciones en 4 minutos o más. Minutos de atención Tiempo de atención a clientes 5 4 3 2 1 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% Porcentaje de clientes Figura 2.3. Diagrama de barras para los datos de la Tabla 2.4. Histogramas. Al igual que en los diagramas de barras, en un histograma la base de cada rectángulo representa una clase o intervalo de clase de los datos agrupados y la altura del rectángulo representa la frecuencia o número de datos agrupados en esa clase. La única diferencia existente entre estas dos gráficas es que en el diagrama de barras los rectángulos están separados mientras que en el histograma los rectángulos se unen. Los histogramas son usados frecuentemente cuando se trata de datos agrupados, y su presentación puede variar un poco ya que el eje horizontal se puede marcar con los puntos extremos de cada una de las clases tal como se muestra en la Figura 2.4 o bien con los puntos medios de cada una de las clases como se puede ver en la Figura 2.5. Porcentaaje de familias Consumo de electricidad 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 $80-107 107-134 134-161 161-188 188-$215 Cantidad de dinero en consumo Figura 2.4. Histograma para los datos de la Tabla 2.6. Departamento de Matemáticas 10 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Note que tanto el histograma con frecuencias absolutas como el de frecuencias relativas tienen la misma forma, esto se debe a que las frecuencias relativas son proporcionales a las frecuencias absolutas y la elección de una u otra forma depende esencialmente del gusto personal. La diferencia entre gráficas de barras e histogramas se basa en distinguir entre variables cuantitativas y cualitativas mencionadas en la sección 3.2 del Folleto 1. Frecuencias relativas Consumo de electricidad 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 $80-107 107-134 134-161 161-188 188-$215 Cantidad de dinero en consumo Figura 2.5. Histograma con frecuencias relativas para los datos de la Tabla 2.6. Polígono de frecuencias. Un polígono de frecuencia es el gráfico lineal de una tabla de frecuencias. Los ejes de este gráfico son similares a los del histograma excepto que el punto medio de cada clase se identifica de manera característica a lo largo del eje horizontal (ver Tabla 2.6). El número de observaciones o frecuencia de cada clase es representado por un punto arriba del punto medio de esa clase y estos puntos son unidos por una serie de segmentos de línea para formar un polígono. En la Figura 2.6 se muestra el polígono de frecuencias porcentuales para los datos dados en la Tabla 2.4. Porcentaje de familias Consumo de electricidad 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 66.5 93.5 120.5 147.5 201.5 228.5 Cantidad de dinero en consumo Figura 2.6. Polígono de frecuencias porcentuales para los datos de la Tabla 2.6. Diagramas de tallo y hojas. Un diagrama de tallo y hojas es un ingenioso artificio el cual ofrece una representación parecida a un histograma. La ventaja de estos diagramas es que no sólo revelan las frecuencias, sino que contienen los datos reales. En la Figura 2.7 aparece el diagrama de tallo y hojas para los datos de la Tabla 2.5. Departamento de Matemáticas 11 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Tallo Hojas 8 2 9 6 0 10 2 9 11 6 1 12 7 3 8 13 0 14 7 8 1 9 4 15 3 7 16 5 8 7 17 1 8 2 5 18 5 19 7 20 2 6 21 3 Figura 2.7. Diagrama de tallo y hojas para los datos de la Tabla 2.5. Este diagrama podría hacerse un poco más claro si se ordenan los datos de menor a menor pero, cuando este mecanismo se hace a mano puede resultar demasiado tedioso dependiendo del tamaño de la muestra. Diagramas de pastel o circulares. Cuando en una tabla de frecuencia, los datos están separados en categorías o por cualidades, frecuentemente se utiliza un diagrama circular conocido como diagrama de pastel el cual consiste de un círculo dividido en sectores que son proporcionales en tamaño a las frecuencias o porcentajes correspondientes. Para construir un diagrama de pastel se utilizan las frecuencias porcentuales. La Figura 2.6 muestra un diagrama de pastel para los datos de la Tabla 2.4. 7 minuto, 5% 6 minutos, 10% 1 minuto, 5% 2 minutos, 15% 5 minutos, 20% 3 minutos, 30% 4 minutos, 15% Tiempo de atención a clientes Figura 2.7. Diagrama de pastel para los datos de la Tabla 2.4. Otras distribuciones de frecuencias y otros gráficos. Otros dos métodos útiles para representar datos, los cuales facilitan el análisis y la interpretación, son las tablas de distribución acumulativas y los diagramas de polígonos acumulativos mejor conocidos como ojivas. Estos gráficos Departamento de Matemáticas 12 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. los podemos generar a partir de las tablas de distribución de frecuencias:1) absolutas, 2) relativas, o 3) porcentuales, mencionadas en la sección 2.4. Distribuciones acumulativas y polígonos acumulativos. Para construir una tabla de distribución de frecuencia acumulada, primeramente decidimos si se desea construirla con frecuencias absolutas, o con proporciones, o bien con porcentajes. Después escogemos el tipo de distribución acumulativa, ya sea la "menor que" o la distribución acumulativa "mayor que" y por último, nos basamos en la tabla de frecuencias para ir determinando la frecuencia acumulada de cada clase tal como lo indica el Ejemplo 2.4. Ejemplo 2.4. En la Tabla 2.8 aparece la distribución acumulada "menor que" con frecuencias relativas usando los datos de la Tabla 2.6. TABLA 2.8.DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULATIVA "MENOR QUE" Clase o Frecuencia Frecuencia Relativa Operación Intervalo Relativa Acumulada "menor que" efectuada menos de $107 0.13 0 ninguna menos de 134 0.23 0.13 0 + 0.13 menos de 161 0.23 0.36 0 + 0.13 + 0.23 menos de 188 0.27 0.59 0 + 0.13 + 0.23 + 0.23 menos de 215 0.14 0.86 0 + 0.13 + 0.23 + 0.23 +0.27 menos de 242 0 1.00 0 + 0.13 + 0.23 + 0.23 +0.27 +0.14 Como se puede observar, esta tabla se construyó registrando primero los límites inferiores de cada clase a partir de la distribución de frecuencias relativas, luego se insertó un límite extra al final. Se calcularon las frecuencias relativas acumulativas en la columna "menor que" determinando la frecuencia relativa de observaciones menores que de cada uno de los valores de los límites establecidos. Es decir, tomamos en cuenta primero sólo datos menores de $80, después sólo datos menores de $107 y así sucesivamente hasta llegar al último límite inferior. Ejemplo 2.5 Similarmente se puede construir una tabla acumulativa "mayor que" determinando la frecuencia relativa de observaciones mayores que de cada uno de los valores de los límites inferiores establecidos. Es decir, tomamos en cuenta primero sólo datos mayores de $80, después sólo datos mayores que $107 y así sucesivamente hasta llegar al último límite inferior. Operando de esta forma obtenemos la tabla de distribución acumulativa siguiente. TABLA 2.9.DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULATIVA PORCENTUAL "MAYOR QUE" DE LOS DATOS DE LA TABLA 2.4.6 Clase o Intervalo Frecuencia Frecuencia Operación porcentual Acumulada efectuada "mayor que" mayor que $107 13% 100% Ninguna mayor que 134 23% 87% 100 – 13 mayor que 161 23% 64% 100 –(13 + 23) mayor que 188 27% 41% 100 –(13 + 23 + 23) mayor que 215 14% 14% 100 –(13 + 23 + 23 + 27) mayor que 242 0% 0% 100 –(13 + 23 + 23 + 27 + 14) . Note que se insertó el límite inferior de la séptima clase con el propósito de indicar en la gráfica, la ausencia de observaciones en esa clase y en las clases siguientes. Departamento de Matemáticas 13 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Polígonos acumulativos u Ojivas. Para construir un polígono acumulativo u ojiva se colocan los límites inferiores de clase en el eje horizontal y las frecuencias acumulativas (absolutas, relativas o porcentuales) en el eje vertical. En la Figura 2.8 aparece la ojiva "menor que" basándose en los datos obtenidos en la Tabla 2.8. Frecuencia relativa acumulada 1.2 1 Consumo de electricidad 0.8 0.6 0.4 0.2 0 menor que $107 menor que 134 menor que 161 menor que 188 menor que 215 menor que $242 Cantidad de dinero en consumo Figura 2.8. Ojiva "menor que" de los datos de la Tabla 2.8. La ojiva "mayor que" surgida a partir de los datos obtenidos en la Tabla 2.9 se muestra en la Figura 2.9. Frecuencia acumulada porcentual 120% Consumo de electricidad 100% 80% 60% 40% 20% 0% mayor que $107 mayor que 134 mayor que 161 mayor que 188 mayor que 215 mayor que $242 Cantidad de dinero en consumo Figura 2.9. Ojiva “mayor que” de los datos de la Tabla 2.9. Diagramas de caja. Los diagramas de caja es un medio muy útil para representar datos. En dicho diagrama, los valores mínimo y máximo, los cuartiles inferior (primer 25%de todos los datos) y superior (tercer 25% de todos los datos (también llamados percentiles 25 y 75) respectivamente, y la mediana (primer 50% de todos los datos o percentil 50) se representan en una caja rectangular alineada ya sea horizontal o verticalmente. La caja se extiende del cuartil inferior al superior, y es atravesada de un lado al otro por la mediana. A partir de los extremos de la caja se extienden líneas (“bigotes”) hasta los valores mínimo y máximo. Por ejemplo, un gerente de ventas está interesado en comparar las ventas mensuales realizadas en el año 2008 con las ventas mensuales realizadas en el año 2009. El gerente ha recolectado las 12 observaciones de cada año. Los datos aparecen en la Tabla 2.10 Departamento de Matemáticas 14 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. TABLA 2.10. VENTAS MENSUALES DE LOS AÑOS 2008 Y 2009. Mes Venta realizada en el año 2008. (miles de pesos) Venta realizada en el año 2009 (miles de pesos) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 18.85 16.40 15.21 16.35 13.52 17.04 16.96 12.15 14.59 16.57 18.22 20.25 17.50 17.63 18.25 18.00 17.86 15.20 10.59 17.89 19.56 14.00 15.69 19.90 La mediana de las ventas realizadas en el año 2008 es 16.4 16.57 2 16.485 mientras que los percentiles 25 y 75 son respectivamente 14.59 y 18.22. La mediana de las ventas realizadas en el año 2009 es 17.63 17.86 2 17.745 y los percentiles 25 y 75 son 15.20 y 18.25 respectivamente. La venta mínima mensual en el año 2008 fue de 12.15 miles de pesos y la máxima de 20.25, mientras que la venta mensual mínima realizada en el año 2009 fue de 10.59 miles de pesos y la venta mensual máxima fue de 19.9 miles de pesos. En la Figura 2.10 se muestran los diagramas de caja para las ventas realizadas en los dos años. $ V e n t a s 25 20.25 20 19.90 18.25 18.22 e n 17.745 16.485 15 m i l e s 18.25 14.59 12.15 10.59 10 Año 2008 2009 Año Figura 2.10. Diagramas de caja para las ventas mensuales de los años 2008 y 2009. La representación de la Figura 2.10 revela claramente la diferencia en las ventas entre los dos años. También indica que ambos años producen distribuciones razonablemente simétricas de ventas mensuales con similar variabilidad o dispersión. Departamento de Matemáticas 15 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 2.6. Medidas descriptivas de localización y distribución. En la sección anterior, los datos en bruto se recopilaron y se resumieron en forma apropiada en tablas y gráficas. En esta sección se desarrollará una amplia variedad de medidas de resumen descriptivas, las cuales son útiles para analizar e interpretar datos cuantitativos, ya sea recolectados en forma bruta (datos no agrupados) o resumidos en distribuciones de frecuencia (datos agrupados). Para ambos casos, se desarrollarán fórmulas similares para obtener estas medidas de resumen descriptivas y cuando sea posible se mostrará un planteamiento gráfico utilizando las gráficas construidas en las secciones anteriores. En orden descendente de importancia, las tres propiedades o características mayores que describen un conjunto de datos pertenecientes a alguna variable numérica o a un fenómeno de interés son: 1) Posición, 2) Dispersión y 3) Forma. En cualquier análisis o interpretación de datos numéricos, se puede utilizar una gran variedad de medidas descriptivas que representan las propiedades de posición, dispersión y forma, para esquematizar y resumir las características salientes del conjunto de datos. Si estas medidas de resumen descriptivas se calculan con una muestra de datos se llaman estadísticos; si estas medidas descriptivas se calculan a partir de toda la población de datos se llaman parámetros. 2.6.1 Medidas de posición o centralización. La característica más importante que describe o resume un grupo de datos es su posición. La mayor parte de los datos muestran una tendencia definida a reunirse en torno de un cierto punto. Existen tres medidas primarias de posición o de tendencia central estas son en orden de importancia, la media aritmética, la mediana y la moda. La media aritmética. La media aritmética mejor conocida como promedio es la medida de tendencia central más conocida y de mayor uso. Esta medida es muy fácil de calcular a partir de los datos ya sea recopilados en forma bruta o distribuidos en una tabla. Esta medida de tendencia central se indica mediante el símbolo X y se calcula sumando todos los datos de la muestra y, se dividen entre el número total de datos recopilados en la muestra. Así, si X 1 , X 2 , X 3 , X n son los datos recopilados en la muestra, entonces, n X X2 X3 Xn X 1 n X i 1 i . (2.1) n En donde: X es la media aritmética o promedio de la muestra, n es el tamaño de la muestra, X i es el dato número i de la muestra tomada, Ejemplo 2.6. La media aritmética para los datos de la Tabla 2.4.1 es: X 3 2 5 3 1 5 3 3 2 4 6 2 5 4 7 5 3 6 3 4 76 3. 8 minutos. 20 20 Si los datos se encuentran resumidos como los de la Tabla 2.2 entonces utilizamos la fórmula (2.2) k f X f2 X 2 f3 X 3 fk X k X 1 1 f1 f 2 f 3 f k f X i i 1 k f i . (2.2) i i 1 En donde: X es la media aritmética o promedio de la muestra, X i es el dato número i de la muestra tomada, f i es la frecuencia con que se repite el dato X i . Departamento de Matemáticas 16 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. k es el número de datos diferentes que aparecen en la muestra. Ejemplo 2.7. La media aritmética para los datos de la Tabla 2.2 es: X (1)(1) (3)(2) (6)(3) (3)(4) (4)(5) (2)(6) (1)(7) 76 3. 8 minutos. 1 3 6 3 4 2 1 20 Como se puede observar en los ejercicios anteriores el número 3.8 obtenido, no pertenece a la muestra pero, podemos observar que en la muestra existen 10 valores menores que 3.8 y 10 valores mayores que 3.8. Por lo tanto, la media actúa como un punto de equilibrio o como una balanza, de tal manera que las observaciones que son mayores equilibran a las que son menores. De una manera similar se puede calcular la media aritmética para los datos que aparecen en las Tablas 2.3 y 2.4.Si los datos de la muestra fueron agrupados en una tabla de distribución, para calcular la media utilizamos la fórmula (2.3). k f m f 2 m 2 f 3 m3 f k m k X 1 1 f1 f 2 f 3 f k fm i i 1 k f i . (2.3) i i 1 En donde: X es la media aritmética o promedio de la muestra, m i es el punto medio o marca de clase de la clase i de la distribución de frecuencia, f i es la frecuencia de la clase i de la distribución k es el número de marcas de clase en la distribución. significa aproximadamente igual. Ejemplo 2.8. Para calcular la media aritmética de los datos de la Tabla 2.4.6, primeramente debemos calcular los puntos medios o marcas de clase de la distribución, colocarlos en una tabla (ver tabla 2.11.) acompañados con sus respectivas frecuencias y se aplica la fórmula (2.3). TABLA 2.11. TABLA PARA CALCULAR LA MEDIA A PARTIR DE UNA TABLA DATOS AGRUPADOS 93.5 120.5 147.5 174.5 201.5 Puntos Medios 7 7 8 4 Frecuencias absolutas 4 X (4)(93.5) (7)(120.5) (7)(147.5) (8)(174.5) (4)(201.5) $148.5. 4778 4 4452 148.4 observe la similitud del 30 valor calculado para los datos agrupados. Además, en los datos no agrupados, existen 15 datos de la muestra que son menores que la media calculada y 15 valores mayores que la media. Si el valor calculado de la media para los datos agrupados lo marcamos en el histograma o en el polígono de frecuencias, este valor será el centro de gravedad de estos gráficos. Es decir, un eje que pase por el valor representativo de la media aritmética dividirá al histograma o al polígono de frecuencias en dos partes, cada una conteniendo aproximadamente el mismo número de observaciones. La media aritmética para los datos no agrupados de la Tabla 2.5 es X Departamento de Matemáticas 17 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. La mediana. La mediana es la segunda medida de tendencia central en importancia después de la media aritmética y es utilizada cuando el (o los) valor(es) extremo(s) en un conjunto de datos afecta tanto a la media aritmética que ésta no es una buena medida de tendencia central en esas circunstancias. Por eso cuando uno de los valores extremos (o ambos) afecta considerablemente, es más apropiado utilizar la mediana como medida de tendencia central, la mediana no se afecta con cualquiera valores extremos en un conjunto de datos. La mediana es una medida de tendencia central que aparece en el medio de la serie de datos ordenada. Es decir, la mitad de las observaciones en el conjunto de datos son menores que ella y la otra mitad son mayores que ella. Para calcular la mediana de un conjunto de datos los cuales se encuentran en su forma bruta, primeramente los ordenamos ya sea de menor a mayor o bien de mayor a menor. Si el número de observaciones es impar se toma el valor que esté en la mitad de los datos ordenados. Si el número de datos es par, se toma la media aritmética de los dos datos intermedios. Ejemplo 2.9. Para calcular la mediana de los datos que aparecen en la Tabla 2.5, primeramente los ordenamos en forma creciente (pueden ordenarse también en forma decreciente) tal como se muestra en la Tabla 2.1. TABLA 2.12. DATOS ORDENADOS DE MENOR A MAYOR DE LA TABLA2.5 82 130 168 90 141 171 96 144 172 102 147 175 109 148 178 111 149 185 116 153 197 123 157 202 127 165 206 128 167 213 Como el número de datos es par, n 30, localizamos las dos observaciones intermedias, en este caso las observaciones que se encuentran en el lugar 15 y 16. Esto es, la última observación de la primera mitad y la primera observación de la segunda mitad en los datos ordenados. Así, Mediana = 148 149 $148.5 2 Si los datos observados en la muestra están resumidos en una tabla de distribución, el valor aproximado de la mediana se puede calcular mediante la fórmula (2.4). n f BM Mediana BM 2 fM En donde, i ( 2.4 ) BM frontera inferior del intervalo de clase que contiene a la mediana. f M número de observacio nes en el intervalo de clase que contiene a la mediana. f BM número total de observacio nes antes del intervalo de clase que contiene a la mediana. i ancho del intervalo de clase que contiene a la mediana. n observació n mediana. 2 Ejemplo 2.10. Para los datos resumidos en la Tabla 2.5, se tiene que el intervalo de clase que contiene a la mediana n 30 15 . Este intervalo es "De 134 a menos de 161", su es el intervalo de clase que contiene al dato número 2 2 frontera inferior es 134, el número de observaciones que tiene este intervalo son 7, el número de observaciones antes de este intervalo son 11 y el ancho de este intervalo es 134-107 = 27. Así, se tiene que: Departamento de Matemáticas 18 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. BM 134; f M 7; f BM 11; i 27 y n 30 15 2 2 Sustituyendo estos valores en la fórmula (2.4) obtenemos: Mediana BM n f BM 2 fM i 134 15 11 27 134 17.36 149.4286 7 Se puede concluir que 15 de las 30 familias muestreadas tuvieron montos menores de $139.43 y las otras 15 familias tuvieron montos mayores que $139.43. Cuantiles. Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un método que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales. Cuando se trata de datos agrupados en una distribución de frecuencias, los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes iguales. Los cuantiles más usados son los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los percentiles o porcentiles, cuando dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana. Cálculo de los cuartiles a) Para datos agrupados. Para calcular los Cuartiles Q1, Q2, Q3 y Q4 desde una tabla de distribución de frecuencias, se aplica la fórmula (2.5). 𝑄𝑘 = ( 𝑘∗𝑛 4 − 𝐹𝑄𝑘 𝑓𝑄𝑘 ) ∗ 𝑤 + 𝐿𝑄 𝑘 (2.5) Donde, 𝑄𝑘 =k-ésimo cuartil de la muestra, k = 1, 2, 3, 4 n = tamaño de la muestra 𝐹𝑄𝑘 = suma de todas las frecuencias de clase hasta, pero sin incluir la clase del k-ésimo cuartil. 𝑓𝑄𝑘 =frecuencia de la clase que contiene al k-esimo cuartil. w = ancho del intervalo de clase. 𝐿𝑄𝑘 =límite inferior del intervalo de la clase que contiene al k-esimo cuartil. b) Para datos no agrupados. Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3,...,Xn, los cuartiles se localizan mediante las fórmulas(2.6)y(2.7), dependiendo de si el número de datos, n, es par o impar, respectivamente. 𝑄𝑘 = Departamento de Matemáticas 𝑘∙𝑛 4 19 (2.6) Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 𝑄𝑘 = 𝑘 ∙ (𝑛 + 1) 4 (2.7) Siendo k el número del cuartil deseado; (k = 1, 2, 3, 4). Nota importante: El resultado que se obtiene al aplicar la fórmula (2.6) o (2.7), nos indica el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el cuartil deseado. Por lo tanto, una vez aplicada una de las fórmulas, debemos identificar al dato que representa a dicho cuartil. Si el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula contiene decimales, debemos calcular la parte proporcional usando la diferencia entre los dos números enteros consecutivos de la tabla de datos ordenados y sumársela al dato menor. Ver ejemplo 2.12. Cálculo de Deciles a) Para datos agrupados. Para calcular los DecilesD1, D2, D3,… , D10 desde una tabla de distribución de frecuencias, se aplica la fórmula (2.8). 𝑘∗𝑛 𝐷𝑘 = ( 10 − 𝐹𝐷𝑘 𝑓𝐷𝑘 ) ∗ 𝑤 + 𝐿 𝐷𝑘 (2.8) Donde, 𝐷𝑘 =k-ésimodecil de la muestra, k = 1, 2, 3, 4, …, 10 n = tamaño de la muestra 𝐹𝐷𝑘 = suma de todas las frecuencias de clase hasta, pero sin incluir la clase del k-ésimodecil. 𝑓𝐷𝑘 =frecuencia de la clase que contiene al k-ésimodecil. w = ancho del intervalo de clase. 𝐿𝐷𝑘 =límite inferior del intervalo de la clase que contiene al k-ésimodecil. b) Para datos no agrupados Si se tienen una muestra X1, X2, X3 ...,Xn de valores, los deciles pueden ser localizados usando las fórmulas(2.9)y(2.10), dependiendo de si el número de datos de la muestra, n, es par o impar, respectivamente. 𝐷𝑘 = 𝐷𝑘 = 𝑘∙𝑛 10 𝑘 ∙ (𝑛 + 1) 10 (2.9) (2.10) Donde k el número del decil deseado; (k = 1, 2, …, 10). Nota importante: El resultado que se obtiene al aplicar la fórmula (2.6) o (2.7), nos indica el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el decil deseado. Por lo tanto, una vez aplicada una de las fórmulas, debemos identificar al dato que representa a dicho decil. Si el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula contiene decimales, debemos calcular la parte proporcional usando la diferencia entre los dos números enteros consecutivos de la tabla de datos ordenados y sumársela al dato menor. Ver ejemplo 2.12. Cálculo de percentiles. a) Para datos agrupados. Para calcular los percentiles P1, P2, …, P100 desde una tabla de distribución de frecuencias, se aplica la fórmula (2.11). Departamento de Matemáticas 20 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 𝑘∗𝑛 𝑃𝑘 = (100 − 𝐹𝑃𝑘 𝑓𝑃𝑘 ) ∗ 𝑤 + 𝐿 𝑃𝑘 (2.11) Donde, 𝑃𝑘 =k-ésimo percentil de la muestra, k = 1, 2, 3, 4, …, 100. n = tamaño de la muestra 𝐹𝑃𝑘 = suma de todas las frecuencias de clase hasta, pero sin incluir la clase del k-ésimo percentil. 𝑓𝑃𝑘 =frecuencia de la clase que contiene al k-esimo percentil. w = ancho del intervalo de clase. 𝐿𝑃𝑘 =límite inferior del intervalo de la clase que contiene al k-esimo percentil. b) Para datos no agrupados Si se tienen una muestra de valores X1, X2, ...,Xn, los percentiles pueden ser calculados por medio de las (2.12)y(2.13), dependiendo de si el número de datos de la muestra, n, es par o impar, respectivamente. 𝑃𝑘 = 𝑃𝑘 = 𝑘∙𝑛 100 𝑘 ∙ (𝑛 + 1) 100 (2.12) (2.13) donde k el número del percentil deseado; (k = 1, 2, …, 100). Nota importante: El resultado que se obtiene al aplicar la fórmula (2.6) o (2.7), nos indica el número de dato en la tabla de datos ordenados, donde se encuentra el percentil deseado. Por lo tanto, una vez aplicada una de las fórmulas, debemos identificar al dato que representa a dicho percentil. Si el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula contiene decimales, debemos calcular la parte proporcional usando la diferencia entre los dos números enteros consecutivos de la tabla de datos ordenados y sumársela al dato menor. Ver ejemplo 2.12. Es fácil observar que: el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el decil 5; el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75. Ejemplo 2.11. Para los datos agrupados de la Tabla 2.6, el tercer cuartil se calcula usando la fórmula (2.5), donde k = 3; n = 30; puesto que el 75% de los datos de la muestra se encuentra en la cuarta clase, 𝐹𝑄𝑘 =4 + 7 + 7 = 18; 𝑓𝑄𝑘 = 8;w = (188 – 161) = 27 y 𝐿𝑄𝑘 = 161. Sustituyendo estos valores en la fórmula mencionada arriba se tiene que: 𝑄3 = ( 3∗30 )− 4 ( 8 (18) ) ∗ 27 + 161 = 176.1875 Para calcular los cuantiles de datos no agrupados, primero debemos ordenar los datos de la muestra de menor a mayor y después aplicar las fórmulas (2.6) o (2.7); (2.9) o (2.10); (2.12) o (2.13) para cuartiles, deciles y percentiles respectivamente, según sea el caso del tamaño de la muestra (par o impar). Departamento de Matemáticas 21 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Ejemplo 2.12. Para los datos no agrupados y ordenados de menor a mayor de la Tabla 2.12, el séptimo decil se calcula usando la fórmula (2.9) ya que n es par, con k = 7. Así: 𝐷7 = (7) ∙ (30) 10 = 21 El resultado obtenido desde la fórmula (2.9) nos indica que el decil 7 se encuentra en el dato 168. Similarmente, para calcular el percentil 85 usamos la fórmula (2.12) ya que n es par, con k = 65. Así, 𝑃85 = (85) ∙ (30) 100 = 25.5 El resultado obtenido desde la fórmula, nos indica que el percentil 85 se encuentra en la mitad de los datos25 y 26 de la Tabla 2.12. Los datos requeridos para realizar la ponderación son respectivamente, 178 y 185. Ahora calculamos la parte proporcional de la diferencia entre estos dos números(Es decir, la parte decimal del resultado obtenido en la fórmula). Esto es: (0.5) ∙ (185 − 178) = 3.5 Por lo tanto, el percentil 85 es 178 + 3.5 = 181.5. La moda. La moda es la tercera medida de centralización en importancia, es el valor que ocurre con más frecuencia en un conjunto de observaciones. Si en una muestra de valores existe un solo valor que se repite un número determinado de veces, se dice que esa muestra es unimodal. Cuando dos valores no adjuntos son casi iguales al tener frecuencias máximas asociadas a ellos, la distribución se describe como bimodal. Las distribuciones de mediciones con varias modas se denominan multimodales. Si en una muestra pequeña no se repiten valores observados, no hay moda. Ejemplo 2.13. Para los datos que aparecen en la Tabla 2.1 se observa que esta muestra es unimodal y que su moda es 3 ya que el 3 es el número que aparece con mayor frecuencia en la muestra tomada. Esto significa que regularmente, el mayor número de personas que sean atendidas en las ventanillas de ese banco tendrán un tiempo de atención de 3 minutos. Para los datos agrupados en una distribución de frecuencias con intervalos de clase iguales, primeramente se determina la clase que contiene a la moda, identificando la clase con el número mayor de observaciones. En algunos textos designan la moda como el punto medio de la clase modal. Sin embargo en la mayor parte de los textos se realiza una interpolación dentro de la clase modal basándose en la fórmula (2.14). d1 i Moda BM d1 d 2 En donde BM (2.14) frontera inferior de la clase que contiene a la moda. d1 diferencia entrela frecuencia en la clase modal y la frecuencia en la clase anterior. d 2 diferencia entrela frecuencia en la clase modal y la frecuencia en la clase siguiente. i tamaño del intervalo de clase. Departamento de Matemáticas 22 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Ejemplo 2.14. Refiriéndose a la distribución de frecuencia de la Tabla 2.6. La clase modal es la clase con límites de clase $161 a menos de $188 debido a que de todas las clases en la distribución, ésta es la que tiene mayor frecuencia. Así, BM 161; d 8 7 1; 1 d 8 4 4; 2 i 188 161 27. y, 1 Moda 161 27 167.75 4 El valor encontrado de 167.75 es el valor representativo que ofrece la fórmula y puede ser propuesto como el dato que ocurrirá con mayor frecuencia. Es evidente que este dato no se encuentra en la muestra obtenida pero sería una buena aproximación en caso de que los datos tuvieran una moda. Por último, si marcamos el valor encontrado de la moda en el histograma o en el polígono de frecuencias, este valor indicará la cantidad que aparece con mayor frecuencia. Una distribución de frecuencias puede carecer de moda o bien tener varias modas. 2.6.2. Relación entre la Media, la Mediana y la moda. Frecuencia Las diferentes medidas de centralización, tienen ventajas y desventajas una con respecto de las otras, depende mucho de la forma en que estén distribuidos los datos y el propósito de la información que se obtenga. El único caso en que se puede asegurar que las tres medidas coinciden es cuando la moda existe y es única y, además, los valores de la muestra están distribuidos simétricamente alrededor de un punto como lo muestra la Figura 2.11. X Figura 2.11. Una distribución simétrica donde las medidas de centralización son iguales. Puede darse el caso en que la distribución sea simétrica con respecto a un punto y las medidas de centralización sean distintas como se puede observar en la Figura 2.12. En esta distribución, se da el caso en que la Media y la Mediana son iguales pero existen 2 o más Modas. Departamento de Matemáticas 23 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Frecuencia Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. X Figura 2.12. Una distribución simétrica donde las medidas de centralización son diferentes. Frecuencia Frecuencia La situación más común se presenta cuando la distribución de valores de la muestra es asimétrica o disimétrica. Puede presentarse una distribución que sea disimétrica positiva o disimétrica negativa tales como las que se pueden observar en la Figuras 2.13. a) y 2.13. b). X X a) Distribución Asimétrica Positiva b) Distribución Asimétrica Negativa. Figura 2.13. Distribuciones asimétricas o disimétricas. Basándose en las medidas de centralización Media, Mediana y Moda, podemos saber el tipo de distribución de frecuencias de acuerdo a las relaciones que aparecen la Tabla 2.13. TABLA 2.13. RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA. Condiciones Si Media = Mediana = Moda Si Media Mediana Moda Si Moda Mediana Media Tipo de distribución Simétrica Disimétrica negativa Disimétrica positiva 2.7. Medidas de Dispersión. Como se mencionó en la sección 2.6, la segunda característica que describe un conjunto de datos es la dispersión. La dispersión es la cantidad de variación o de diseminación de los datos. Existen varias formas para medir el grado de dispersión en los conjuntos de datos. En esta sección se describen las más importantes, éstas son la Varianza, la Desviación estándar y el Coeficiente de Variación. Departamento de Matemáticas 24 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Varianza y Desviación Estándar. Dos medidas que tienen en cuenta cómo se distribuyen todas las observaciones en los datos, son la varianza y la raíz cuadrada positiva de ésta, llamada desviación estándar. Su cálculo varía dependiendo de si se trata de la población o de una muestra de ésta. Para una población, la varianza se representa por la letra griega minúscula 2 la cual se lee "sigma cuadrado", la fórmula para su cálculo es: N 2 X i 2 i 1 (2.15) N en donde es la media poblacional, N es el tamaño y Xi es cada uno de las observaciones de la población. Cuando se calcula la varianza para una muestra, resulta que regularmente no es exactamente equivalente a la varianza para la población de donde se tomó la muestra, esto se debe a factores de sesgo, lo cual se explicará en secciones posteriores. Para el cálculo de la varianza de la muestra, se incluye un factor de corrección ya que la varianza de la muestra, es un estimador no sesgado de la varianza de la población. La varianza de la muestra se 2 representa por s , su fórmula es: N s2 X X 2 i i 1 (2.16) n 1 en donde X es la media, n es el tamaño y Xi es cada uno de las observaciones de la muestra. Interpretar el significado del valor de la varianza, resulta regularmente difícil porque las unidades en que se expresa no son las mismas de las observaciones del conjunto de datos. Por este motivo, la raíz cuadrada de la varianza, la cual se representa por la letra griega o por s si se trata de una muestra y, llamada desviación estándar, se utiliza con mayor frecuencia y las fórmulas para calcularla son: N X i i 1 2 (2.17) N para la población y, n s X X 2 i i 1 n 1 (2.18) para la muestra. Esta desviación estándar será particularmente muy útil para el desarrollo del tema de distribuciones de probabilidad. Ejemplo 2.15. Para los datos no agrupados de la Tabla 2.1, la media aritmética resultó ser 3.8 minutos (ver ejemplo 2.6). Considerando que estos datos fueron extraídos de una población infinita, la desviación estándar se calcula mediante la fórmula (2.18). Los cálculos aparecen en la Tabla 2.14: Departamento de Matemáticas 25 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. TABLA 2.14. TABLA PARA CALCULAR DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE DATOS NO AGRUPADOS. Xi Xi X 3 2 5 3 1 5 3 3 2 4 6 2 5 4 7 5 3 6 3 4 -0.8 -1.8 1.2 -0.8 -2.8 1.2 -0.8 -0.8 -1.8 0.2 2.2 -1.8 1.2 0.2 3.2 1.2 -0.8 2.2 -0.8 0.2 (X i X )2 0.64 3.24 1.44 0.64 7.84 1.44 0.64 0.64 3.24 0.04 4.84 3.24 1.44 0.04 10.24 1.44 0.64 4.84 0.64 0.04 Total 47.2 Así, n s X X 2 i i 1 47.2 1.576 minutos. 19 n 1 Este resultado indica el promedio de las distancias entre los datos dados en la Tabla 2.1 y la media de estos datos. Para calcular la varianza y desviación estándar para datos agrupados, se toma el punto medio de cada clase para representar todas las observaciones incluidas en esa clase. De acuerdo con lo anterior, las fórmulas para la población agrupada y para los datos obtenidos de una muestra son: Para la varianza de la población: N f m 2 i 2 i i 1 (2.19) N Para la varianza de la muestra: n f m X 2 i s2 i i 1 (2.20) n 1 Para la desviación estándar de la población: N f m i i i 1 N 2 (2.21) Para la desviación estándar de la muestra: Departamento de Matemáticas 26 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. n f m i i X 2 i 1 s (2.22) n 1 Ejemplo 2.16. Para los datos agrupados de la Tabla 2.6, la media fue 148.5 (ver ejemplo 2.8) podemos realizar los cálculos en una tabla de la manera siguiente: TABLA 2.15. TABLA PARA CALCULAR LA DESVIACIÓN ESTANDAR DE DATOS AGRUPADOS. Clase o intervalo de clase Punto Medio de clase (mi) Frecuencia De 80 a menos de 107 De107a menos de 134 De 134a menos de 161 De 161a menos de 188 De 188a menos de $215 93.5 120.5 147.5 174.5 201.5 4 7 7 8 4 mi X ( mi X ) 2 f ( mi X ) 2 -55 -28 -1 26 53 3,025 784 1 676 2,809 12,100 5,488 7 5,408 11,236 Total 34,239 Así, n f m X 2 i s i i 1 n 1 34,239 $33.783 29 Este resultado indica el promedio de las distancias entre las marcas de clase de los datos dados en la Tabla 2.6 y la media de los datos de la Tabla antes mencionada. La desviación estándar es la medida de dispersión más importante debido a que se utiliza junto con una cantidad de métodos de inferencia estadística, algunos de ellos se analizan en folletos posteriores y otros quedan fuera del propósito de este curso. Sin embargo, como ejemplo del uso de la desviación estándar, consideremos una distribución simétrica como la de la Figura 2.11, en el análisis estadístico, una curva de frecuencia de ese tipo se le llama curva normal. Para una distribución que está normalmente distribuida, se sabe que: Aproximadamente el 68% de los datos observados se encuentran situadas dentro de una desviación estándar alrededor de la media. Esto significa que este conjunto de datos se encuentra contenido en el intervalo Casi el 95% de las mediciones se encuentran contenidas dentro de dos desviaciones estándar alrededor de la media. Es decir, se encuentra dentro del intervalo 2 Cerca del 99% de los datos observados se encuentran situadas dentro de tres desviaciones estándar alrededor de la media. Esto es, se encuentra dentro del intervalo 3 Además, sin importar como se distribuyan los datos con respecto a la media, el porcentaje de observaciones que están contenidas dentro de k desviaciones estándar alrededor de la media deben ser por lo menos, 1 1 2 100% k Departamento de Matemáticas 27 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Esto lo aseguraron los matemáticos Bienaymé y Chebyshev, al realizar estudios por separado de esta propiedad el siglo XVIII [1]. Así, los datos de polígonos que adoptan cualquier forma, cuando menos un 75% de las observaciones caerán dentro del intervalo 2 88.89% de las mediciones estarán contenidas dentro del intervalo 3 93.75% de los datos observados estarán dentro del intervalo 4 Coeficiente de variación. A diferencia de la varianza y de la desviación estándar, el coeficiente de variación es una media relativa, es decir, se expresa como un porcentaje en lugar de en términos de las unidades de los datos observados. Es de gran utilidad al comparar la variabilidad de dos o más conjuntos de datos o distribuciones que se expresan en diferentes unidades de medida. Por ejemplo, un investigador podría estar interesado en medir la variabilidad existente en las ventas diarias de diferentes compañías. No obstante, de que se podría tratar de la venta de diferentes productos y de diferentes volúmenes de ventas, es posible medir la variabilidad de estas dos compañías y hacer las comparaciones. El coeficiente de variación denotado por V , indica la magnitud relativa de la desviación estándar comparada con la media de la distribución de las observaciones. Las fórmulas para calcular el coeficiente de variación son: V 100% (2.23) V s 100% X (2.24) para la población y, para una muestra. Para interpretar el coeficiente de variación, podemos usar las apreciaciones de la Tabla 2.16, de acuerdo al resultado obtenido en el cálculo del coeficiente de variación. TABLA 2.16. INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN Coeficiente de Variación 26% o más Del 16% a menos del 26% Del 11% a menos del 16% 0% a menos del 11% Apreciación Muy Heterogéneo Heterogéneo Homogéneo Muy Homogéneo Ejemplo 2.17. Usando los resultados obtenidos en los ejemplos 2.8 y 2.16, se tiene que: V 33.783 100% 22.75% 148.5 Este resultado indica que existe una variabilidad del 22.75% entre los montos muestreados de consumo de electricidad y, por lo tanto podemos asegurar que la distribución de datos dados en la Tabla 2.2 es heterogéneo o diverso. Departamento de Matemáticas 28 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 2.8. Medidas de forma. La tercera característica de las mencionadas en la sección 2.2 es la forma que presenta el polígono de una distribución de datos. En esta sección estudiaremos medidas de asimetría y curtosis las cuales comparan la forma que tiene la representación gráfica, bien sea el histograma o el diagrama de barras de la distribución, con la distribución normal. Como se mencionó en la sección 2.6.2,la distribución de los datos puede ser simétrica, disimétrica positiva o disimétrica negativa. Si la distribución de datos no es simétrica, se dice que es una distribución sesgada. Los coeficientes de asimetría de Pearson y de Fisher miden qué tan sesgada (a la derecha o a la izquierda), está la distribución con respecto a la distribución normal la cual es simétrica. El coeficiente de la curtosis o apuntamiento de Fisher mide la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a la moda y su pretensión es compararla curva de una distribución con la curva de la variable normal, en función de la cantidad de valores extremos en la distribución. Las medidas de asimetría, sobre todo el coeficiente de asimetría de Fisher, junto con las medidas de apuntamiento o curtosis son muy importantes ya que se usan para contrastar si se puede aceptar que una distribución estadística sigue la distribución normal. Esto es necesario para realizar numerosos contrastes estadísticos en la teoría de inferencia estadística. Coeficiente de disimetría de Pearson. Una manera de medir la asimetría o disimetría de una distribución es mediante el coeficiente de Pearson. Este coeficiente mide el alejamiento de la simetría expresando la diferencia entre la Media y la Mediana en relación con la desviación estándar del conjunto de datos. Las fórmulas para su cálculo son: Asimetría de la población Asimetría de la muestra 3 ( Mediana ) 3 ( X Mediana ) s (2.25) (2.26) Para una distribución simétrica, el valor del coeficiente de disimetría será siempre cero, ya que la media y la mediana son iguales en valor. Para una distribución sesgada a la derecha, el coeficiente siempre será positivo, mientras que para una distribución sesgada a la izquierda el coeficiente será siempre negativo. La interpretación del coeficiente de Pearson se resume en la Tabla 2.17 TABLA 2.17. INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE PEARSON. Signo del coeficiente de Pearson Sin signo (igual a cero o muy cercano a cero) Positivo Negativo Tipo de Distribución Simétrica Asimétrica a la derecha Asimétrica a la izquierda Ejemplo 2.18. Para los datos de la Tabla 2.1 de los tiempos de espera de atención a clientes en ventanillas, se tiene que 3 (3.8 3.5) Asimetría de la muestra 0.571 1.576 Por lo tanto, podemos concluir que la distribución de frecuencias de los datos de los tiempos de espera de atención a clientes de la Tabla 2.1 está ligeramente sesgada a la derecha. Departamento de Matemáticas 29 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Coeficiente de Asimetría de Fisher. Para calcular el coeficiente de asimetría de Fisher usamos la fórmula (2.27) si se trata de una población k Af (X i )3 f i i 1 N 3 (2.27) Donde Af representa el coeficiente de asimetría de Fisher, Xi cada uno de los valores, (µ) la media de la población, σ la desviación estándar de la población, y (fi) la frecuencia de cada valor. Si se trata de una muestra entonces usamos la fórmula (2.28). k Af (X i X )3 f i i 1 n S3 (2.28) Donde Af representa el coeficiente de asimetría de Fisher, Xi cada uno de los valores en la muestra, 𝑋̅ la media de la muestra, S la desviación estándar de la muestra, y (fi) la frecuencia de cada valor. La interpretación del coeficiente de asimetría de Fisher es la misma que la del coeficiente de asimetría Pearson como lo indica la Tabla 2.18. TABLA 2.18. INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE FISHER. Signo del coeficiente de Fisher Sin signo (igual a cero o muy cercano a cero) Positivo Negativo Tipo de Distribución Simétrica Sesgada a la derecha Sesgada a la izquierda Ejemplo 2.19. El coeficiente de Asimetría de Fisher para la distribución de la Tabla 2.6, podemos calcularlo elaborando una tabla similar a la Tabla 2.19 y usando la fórmula (2.28) y los resultados obtenidos para la media y desviación estándar en los ejemplos 2.8 y 2.16 respectivamente. TABLA 2.19. TABLA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE ASIMETRIA DE FISHER. Marcas de clase Xi Frecuencia Absoluta fi ( X i 148.5)3 f i 93.5 120.5 147.5 201.5 228.5 Total 4 7 7 8 4 30 -665,500 -153,664 -7 1,191,016 2,048,000 2,419,845 Así, Af Departamento de Matemáticas 2,419,845 2.092 30 (33.783)3 30 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Con este resultado concluimos que debido a que el coeficiente de asimetría de Fisher el positivo, la distribución de los datos de la Tabla 2.6 es asimétrica positiva. Curtosis o apuntamiento. El concepto de curtosis o apuntamiento de una distribución surgió al comparar la forma de una distribución con la forma de la distribución normal. De esta forma, se clasifican las distribuciones según sean más o menos picudas o apuntadas que la distribución Normal.Se define 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis: 1) Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración promedio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal). En ese caso, el coeficiente de curtosis es cero. Ver Figura 2.14 b). 2) Distribución leptocúrtica: presenta un grado elevado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Es decir, está más apuntada que la Normal. En este caso, su coeficiente de curtosis será positivo. Ver Figura 2.14 a). 3) Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Es decir, la distribución está menos apuntada que la normal. En este caso el coeficiente de Fisher es negativo. Ver Figura 2.14 c). a) Leptocúrtica b) Mesocúrtica c) Platicúrtica Figura 2.14. Tipos de distribuciones de acuerdo a su curtosis*. *Fuente: http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm. Coeficiente de curtosis de Fisher. El Coeficiente de Curtosispara la población, se calcula usando la fórmula 2.29. k Cf (X i )4 fi i 1 N 4 3 (2.29) Donde (Cf) representa el coeficiente de curtosisde Fisher, (Xi) cada uno de los valores, (µ) la media de la población, σ la desviación estándar de la población, y (fi) la frecuencia de cada valor. Para la muestra se usa la fórmula (2.30), k Cf Departamento de Matemáticas (X i X )4 fi i 1 nS4 31 3 (2.30) Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Donde (Cf) representa el coeficiente de curtosisde Fisher, (Xi) cada uno de los valores, (𝑋̅) la media de la muestra, S la desviación estándar de la muestra, y (fi) la frecuencia de cada valor.De acuerdo al resultado obtenido,las distribuciones pueden categorizarse como se indica en la Tabla 2.20. TABLA 2.20. CATEGORIZACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES DE ACUERDO AL COEFICIENTE DE FISHER. Signo del coeficiente de Fisher Tipo de distribución Sin signo ( C f = 0) Mesocúrtica Positivo ( C f > 0) Leptocúrtica Negativo ( C f < 0) Platicúrtica Ejemplo 2.20.El coeficiente de curtosis o apuntamiento de Fisher para la distribución de la Tabla 2.6, podemos calcularlo elaborando una tabla similar a la Tabla 2.21 y usando la fórmula (2.30) y los resultados obtenidos para la media y desviación estándar en los ejemplos 2.8 y 2.16 respectivamente. TABLA 2.21. TABLA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE CURTOSIS DE FISHER. Marcas de clase Xi Frecuencia Absoluta fi ( X i 148.5) 4 f i 93.5 120.5 147.5 201.5 228.5 Total 4 7 7 8 4 30 36,602,500 4,302,592 7 63,123,848 163,840,000 267,868,947 Cf 267,868,947 3 3.855 30 (33.783)4 En consecuencia, podemos deducir que debido a que el coeficiente de curtosis de Fisher es positivo, la distribución de la Tabla 2.6 es leptocúrtica. Es decir, es más picuda que la distribución normal. 2.9. Análisis de regresión y correlación lineal simple. El análisis de regresión lineal es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre variables cuantitativas. Tanto en el caso de dos variables (regresión simple) como en el de más de dos variables (regresión múltiple). El análisis regresión lineal puede utilizarse para explorar y cuantificar la relación entre una variable llamada dependiente (de respuesta o predictora) indicada por Y, y una o más variables llamadas independientes (explicativas o regresoras) denotadas por X1, X2, …, Xk, así como para desarrollar una ecuación lineal con fines predictivos. En esta sección sólo estudiaremos la regresión, correlación lineal simple y calcularemos el modelo lineal simple. Es decir, analizaremos la relación existente entre una variable independiente (X) y una variable dependiente (Y), obtendremos un modelo lineal de una variable independiente para predecir o pronosticar la variable dependiente. Departamento de Matemáticas 32 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 2.9.1. Introducción al análisis de regresión y correlación lineal. Las técnicas de regresión (repercusión) y correlación (afinidad o correspondencia) cuantifican la asociación estadística entre dos o más variables. La regresión lineal simple expresa la relación entre una variable dependiente Y, y una variable independiente X, en términos de la pendiente y la intersección de la línea con el eje Y que mejor se ajuste a las variables. La correlación simple expresa el grado de la correspondencia o relación entre las dos variables en términos de un coeficiente de correlación (r) que proporciona una medida indirecta de la variabilidad de los puntos alrededor de la mejor línea de ajuste. De ninguna manera, la regresión ni la correlación dan pruebas de relaciones causa – efecto [2] Regresión lineal. Se define como un procedimiento mediante el cual se trata de determinar si existe o no relación de dependencia entre dos o más variables. Es decir, conociendo los valores de una variable independiente, se trata de estimar los valores, de una o más variables dependientes. Por otro lado, la regresión en forma gráfica, trata de lograr que una dispersión de las frecuencias sea ajustada a una línea recta o a una curva. Por lo tanto, la regresión puede ser lineal y curvilínea (o no lineal). Como se mencionó antes, en este curso sólo estamos interesados en aprender la regresión lineal simple. Este tipo regresión se usa con mucha frecuencia en las ciencias económicas, y sus disciplinas tecnológicas ya que cualquier función no lineal, es linealizada para su estudio y efectos prácticos. La regresión lineal simple es útil para: 1) determinar la relación de dependencia que tiene una variable respecto a otra, 2) ajustar la distribución de frecuencias de ambas variables (dependiente e independiente)a una línea recta, es decir, determinar la ecuación de la línea recta de regresión. 3) Predecir un dato desconocido de una variable partiendo de los datos conocidos de otra variable. Mediante el coeficiente de correlación de Pearson (ver sección 2.9.3) podemos determinar si la asociación o relación que existe entre la variable dependiente y la independiente es fuerte o débil. En aquellos casos en que el coeficiente de correlación (denotado por r) sea “cercano” a +1 o a –1, tendrá sentido considerar la ecuación de la recta que “mejor se ajuste” a la nube de puntos (conocida como recta de los mínimos cuadrados). Como ya se mencionó anteriormente, uno de los principales usos de dicha recta será el de predecir o estimar los valores de Y que obtendríamos para distintos valores de X. Estos conceptos quedarán representados en lo que llamamos diagrama de dispersión (ver sección 2.9.2) [3]. Con el coeficiente de determinación (ver sección 2.9.3), se logra calcular el porcentaje de la variabilidad en las unidades de variable dependiente (pronóstico) que no puede ser explicada por las unidades de la variable independiente en la predicción, debido a factores ajenos o externos de las unidades utilizadas en la variable independiente. El coeficiente de determinaciones denotado por r2y oscila entre –1 y +1. Entre más “cercano” a +1 o a –1 se tendrá un menor porcentaje de la variabilidad que no puede ser explicada entre las unidades de ambas variables. Correlación lineal. En ocasiones nos puede interesar saber si existe o no algún tipo de relación entre dos variables aleatorias. Por ejemplo, entre el número diario de visitas realizadas por los clientes a un establecimiento comercial y el gasto diario realizado en publicidad por dicho establecimiento. Una primera aproximación al problema consiste en dibujar en el plano cartesiano (R2) un punto por cada día muestreado: la primera coordenada (o abscisa) de cada punto sería el número de visitas de los clientes al establecimiento, mientras que la segunda coordenada (u ordenada) sería la cantidad de dinero gastada en publicidad ese día. Así, obtendríamos una nube de puntos la cual podría indicarnos visualmente la existencia o no de algún tipo de relación lineal, o no lineal entre ambas variables. Otro ejemplo similar, consistiría en analizar la facturación de una empresa en un periodo de tiempo dado y de cómo influyen los gastos de promoción y publicidad en dicha facturación. Si consideramos un periodo de tiempo de 120meses, una posible representación sería situar un punto por cada mes de forma que la abscisa de cada punto sería la cantidad en pesos invertidos en publicidad y/o promoción, mientras que la ordenada sería la cantidad en pesos obtenidos de su facturación. De esta manera, obtendríamos una nube de puntos que nos indicaría el tipo de relación existente entre ambas variables. En particular, nos interesa cuantificar la intensidad de la relación lineal Departamento de Matemáticas 33 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. entre las dos variables (abscisas y ordenadas). El parámetro que nos da tal cuantificación es el coeficiente de correlación lineal de Pearson r2 (ver la sección 2.9.3), cuyo valor oscila entre –1 y +1. En contraste, el análisis de regresión se usa en la predicción, mientras que el análisis de correlación se utiliza para medir la fuerza de la asociación entre las variables [4]. 2.9.2. Gráficos de dispersión. Un gráfico de dispersión muestra una serie de datos como un conjunto de puntos representados en un plano cartesiano (ver Figura 2.15). Los valores se representan mediante la posición de los puntos en el gráfico. Las categorías se representan mediante distintos marcadores en el gráfico. Los gráficos de dispersión suelen usarse para comparar datos agregados de las categorías. Uno de los aspectos más poderosos de un gráfico de dispersión, es su capacidad para mostrar las relaciones lineales o no lineales entre las variables. Además, si los datos son representados por un modelo de mezcla de relaciones simples, estas relaciones son visualmente evidentes como patrones superpuestos. El diagrama de dispersión es una de las herramientas básicas en control de calidad. Fuerte correlación lineal negativa. Fuerte correlación lineal positiva. Correlación lineal positiva intermedia. Ninguna correlación lineal. Correlación no lineal intermedia. Fuerte correlación no lineal. Figura 2.15 Diagramas de dispersión para la explicación del coeficiente de correlación. En la Figura 2.15 podemos observar distintos diagramas de dispersión los cuales explicarían el valor obtenido en coeficiente de correlación (r) de Pearson. Ejemplo 2.21.El gerente general de una empresa desea saber si existe relación entre la rentabilidad de la empresa y la inversión en publicidad y promoción realizada por ésta. El gerente cuenta con los datos del volumen de ventas y del gasto en publicidad y promoción que se realizaron en los últimos 12 meses expresados en millones de pesos. Los datos recopilados aparecen en la Tabla 2.22. Para ello, construye el diagrama de dispersión que aparece en la Figura 2.16. TABLA 2.22. MONTOS MENSUALES DE LAS VENTAS Y GASTOS EN PUBLICIDAD Y PROMOCIÓN. Mes Monto de las ventas Gasto en publicidad y promoción Departamento de Matemáticas Jul 5 1 Ago 10 1.5 Año 2009 Sept Oct 15 20 1.8 2 34 Nov 30 2.5 Dic 40 3.5 Ene 50 5 Feb 65 6 Año 2010 Mar Abr 70 75 6.5 7 May 80 7.5 Jun 90 8 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Gasto en publicidad y promoción (en millones de pesos) Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 20 40 60 80 100 Monto de las ventas mensuales (en millones de pesos) Figura 2.16. Diagrama de dispersión del monto de las ventas y los gastos en publicidad y promoción. Con el diagrama de la Figura 2.16 el gerente pudo observar que existe una relación creciente entre las dos variables involucradas, y que ambas variables son directamente proporcionales. Es decir, si una variable sube la otra también y viceversa. También, el gerente se dio cuenta que la relación existente entre las dos variables se comporta como una línea recta con pendiente positiva y que dicha relación entre ambas variables parece ser muy fuerte. Para verificar esta aseveración, el gerente debe calcular el coeficiente de correlación (ver la sección siguiente). Para realizar un pronóstico, el gerente debe determinar la ecuación del modelo lineal que involucra a estas dos variables (ver sección 2.9.4). 2.9.3. Coeficiente de correlación lineal. El coeficiente de correlación, r, nos indica qué tan cerca están los datos de la línea de ajuste (ver la sección 2.9.4). La fórmula para calcularlo es: r n X n XY X Y 2 X 2 n Y 2 Y 2 (2.29) La fórmula del coeficiente de correlación, desarrollada por Karl Pearson, está diseñada para que 1 r 1 , con un valor de r cercano a 1significa que las dos variables crecerán o decrecerán juntas, y existirá una fuerte relación matemática entre ellas. Como se mencionó al inicio del de la sección 2.9.1, esto no necesariamente significa que una de las variables tiene efecto directo sobre la otra. Por ejemplo, el hecho de existir una gran correlación entre el crecimiento del número de escuelas en una cierta área de la ciudad y el aumento en la venta de licor en esta área, no necesariamente quiere decir que los estudiantes y maestros están tomando el licor; ambos crecimientos reflejan un crecimiento en la población de esta área. Por otro lado, un coeficiente de correlación cercano a –1 indica que hay una fuerte correlación negativa; esto es, una variable tenderá a decrecer mientras que la otra crecerá. Está generalmente convenido que la correlación entre –0.2 y 0.2 indica una relación no significativa entre las variables. Departamento de Matemáticas 35 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Ejemplo 2.22. En referencia al ejemplo 2.21, el gerente decide calcular el coeficiente de regresión de Pearson para determinar qué tan fuerte es la relación entre las variables involucradas. Para facilitar el cálculo del valor de r, el gerente elaboró la Tabla 2.23. TABLA 2.23. TABLA PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN. Mes Jul-09 Ago-09 Sept-09 Oct-09 Nov-09 Dic-09 Ene-10 Feb-10 Mar-10 Abr-10 May-10 Jun-10 Totales X 5 10 15 20 30 40 50 65 70 75 80 90 550 Y 1 1.5 1.8 2 2.5 3.5 5 6 6.5 7 7.5 8 52.3 XY 5 15 27 40 75 140 250 390 455 525 600 720 3,242 X2 25 100 225 400 900 1,600 2,500 4,225 4,900 5,625 6,400 8,100 35,000 Y2 1 2.25 3.24 4 6.25 12.25 25 36 42.25 49 56.25 64 301.49 En el renglón de totales de la Tabla 2.19 tenemos calculados respectivamente, Y 2 X , Y , XY , X 2 y . Por lo tanto, sólo se necesita sustituir estos valores con n 12 en la fórmula de r . Así, r 123,242 55052.3 1235,000 550 2 12301.49 52.3 2 10,139 117,500 882.59 10,139 0.995627. 10,183.5320 Con el resultado obtenido de r, podemos concluir que la relación existente entre las dos variables involucradas (ventas y gasto en publicidad y promoción) es muy fuerte y que podemos utilizar el modelo de regresión lineal para predecir una de las variables conociendo la otra. Coeficiente de determinación de Pearson. El coeficiente de determinación r2mide la proporción de variabilidad total de la variable dependiente Y respecto a su media que es explicada por el modelo de regresión. En otras palabras, r2 mide la proporción de la variación total en la variable dependiente Y que está explicada por la variable independiente X, o que se debe a la variación de la variable independiente X. Es usual expresar esta medida en tanto por ciento, multiplicándola por 100%. La fórmula para calcular el coeficiente de determinación de Pearson es: 2 r n Departamento de Matemáticas XY X Y X X n Y n 2 2 36 2 2 100% 2 Y (2.30) Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Ejemplo 2.23.Si el gerente desea calcular el coeficiente de determinación de Pearson, sólo tiene que elevar al cuadrado el resultado obtenido en el ejercicio 2.22. Esto es, 𝑟 2 = (0.995627)2 ∙ 100% =99.1273% Este resultado implica que sólo el 0.872687% de las variaciones en Y no pueden ser explicadas por la variable independiente de las ventas mensuales generadas por la empresa. Un 99.1273% de los casos las variaciones en el gasto mensual en publicidad y promoción pueden ser explicadas por las ventas mensuales realizadas por la empresa. 2.9.4. Modelo de regresión lineal simple. El modelo de regresión lineal simple toma la forma Y = a + bX, (2.31) Donde Y = variable dependiente; X = variable independiente. Los valores de la pendiente (b) y la intersección con el eje Y (a), se obtienen usando las ecuaciones normales escritas en la forma conveniente. b X Y n X Y X 2 n X a Y bX 2 (2.32) (2.33) Ejemplo 2.21. En relación al ejemplo 2.19, el gerente general puede determinar el modelo de regresión lineal simple (2.31), basándose en los resultados obtenidos en la Tabla 2.21 y usando las fórmulas (2.32) y (2.33) de la manera siguiente: b 3,242 12 (45.8333) (4.35833) 844.916667 0.08628936. 9791.66667 (35,000) (12) (45.8333) 2 Una vez calculado el valor de la pendiente (b), ya podemos determinar el valor de la intersección con el eje Y usando la fórmula (2.33). Esto es, a (45.8333) (0.08628936) (4.35833) 0.40340426 Por lo tanto, el modelo de regresión lineal para los datos de la Tabla 2.20 es: Y = 0.40340426 + 0.08628936X (2.34) En dondeX representa el monto de las ventas mensuales y Y el gasto mensual en publicidad y promoción. Ejemplo 2.22. En relación al Ejemplo 2.20, para el mes de septiembre de 2010, la empresa desea realizar ventas por 100 millones de pesos. El gerente general usa el modelo de regresión lineal simple calculado en el Ejemplo 2.21, para determinar el gasto que debe hacerse ese mes en publicidad y promoción de la empresa, como sigue: Y = 0.40340426 + 0.08628936∙(100) = 9.03234026 Departamento de Matemáticas 37 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Esto es, para lograr las ventas deseadas en el mes de septiembre de 2010, la empresa debe realizar un gasto aproximado de 9 millones de pesos en publicidad y promoción. Ejemplo 2.23.En referencia al problema anterior, para el mes de octubre la gerencia de publicidad y promoción de la empresa cuenta con un presupuesto de 11.5 millones de pesos. El gerente general pronostica las ventas esperadas para el mes de octubre usando el modelo de regresión simple (2.34), de la manera siguiente: 11.5 = 0.40340426 + 0.08628936X Despejando el valor de X se tiene que: 𝑋= 11.5 − 0.40340426 = 128.5975 0.08628936 Con el resultado obtenido el gerente general espera que las ventas de octubre serán aproximadamente del orden de los 128.6 millones de pesos. 2.10. Ejercicios teóricos. 1. Relaciona mediante flechas los conceptos que se correspondan entre sí: Estadística Conjunto homogéneo de individuos en estudio. Muestra Cada uno de los individuos que constituyen la población. Estadística Descriptiva. Se ocupa del estudio y la aplicación del conjunto de métodos necesarios para recoger, clasificar, representar y resumir datos, así como de la realización de inferencias a partir del análisis de éstos Población Parte de la población sobre la que se experimenta Unidad experimental o Es el conjunto de técnicas que se utiliza para obtener conclusiones que Unidad estadística. sobrepasan los límites del conocimiento aportado por los datos, busca obtener información de un colectivo mediante un sistemático procedimiento del manejo de datos de la muestra. Estadística Inferencial. Se ocupa del estudio y aplicación de los métodos necesarios para representar y resumir datos 2. Responde verdadero (V) o falso (F) a las siguientes afirmaciones: Los 500 casos de gripe analizados conforman la población en estudio. Los 20,000 enfermos seleccionados constituyen una muestra de la población española Una variable cualitativa no puede ser expresada con números Las variables discretas se expresan siempre con números enteros positivos El peso no es una variable continua porque no puede ser negativo La cantidad de grageas de un frasco es una variable continua El estado civil de una persona es una variable dicotómica El resultado de una maratón es una variable ordinal Departamento de Matemáticas 38 V V V V V V V V F F F F F F F F Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Los estadísticos son valores que cuantifican ciertas características de los datos El número medio de crías de ratón por camada no es un estadístico Las frecuencias absolutas se expresan en valores enteros positivos Para comparar el número de aprobados en dos asignaturas utilizamos las frecuencias absolutas Las frecuencias absolutas acumuladas se pueden calcular para cualquier tipo de variable V V V V V F F F F F 3. Completa las siguientes afirmaciones: a) La distribución de frecuencias relativas de una variable discreta se puede representar mediante un _________________. b) El _________________ es el gráfico más utilizado para representar la distribución de frecuencias simples (no acumuladas) de una variable continua. c) Dos diferencias entre el diagrama de frecuencias acumuladas y el polígono de frecuencias acumuladas son: (i) El primero permite representar variables _________________ y el segundo variables _________________. (ii) El primero es una gráfica _________________ mientras que el segundo es una gráfica _________________. d) La _________________ es una medida característica válida para representar variables cualitativas. e) Las medidas características de posición de tendencia central son: _________________, _________________y_________________. f) Los _________________ son _________________ valores que dividen a la muestra en cuatro partes de igual frecuencia. Análogamente, los _________________ son _________________ valores que dividen a la muestra en cien partes de igual frecuencia. g) El límite (bigote) inferior de un diagrama de cajas representa un valor calculado mediante la expresión: _________________. h) Las siguientes relaciones entre la media, mediana y moda son indicadores numéricos de la asimetría en la distribución de los datos: (i) moda _________________mediana _________________media indica simetría. (ii) moda _________________mediana _________________media indica asimetría positiva (a la derecha) (iii) moda _________________mediana _________________media indica asimetría negativa (a la izquierda). i) El signo del coeficiente de curtosis de Fisher es indicador de la forma de la distribución de frecuencia de los datos: (i) Un valor _________________indica que la distribución es platicúrtica. (ii) Un valor _________________indica que la distribución es mesocúrtica. (iii) Un valor _________________indica que la distribución es leptocúrtica. 2.11. Ejercicios prácticos. 1. Se ha realizado una encuesta en 30 hogares en la quese les pregunta el nº de individuos que conviven en el domicilio habitualmente. Las respuestas obtenidas han sido las siguientes: 4, 4, 1, 3, 5, 3, 2, 4, 1, 6, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 8, 3, 5, 3, 4, 7, 2, 3. a) Calcule la distribución de frecuencias de la variable obteniendo las frecuencias absolutas, relativas y sus correspondientes acumuladas. Departamento de Matemáticas 39 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. b) ¿Qué proporción de hogares está compuesto por tres o menos personas? ¿Qué proporción de individuos vive en hogares de tres o menos miembros? c) Dibuje el diagrama de frecuencias absolutas y el diagrama de frecuencias acumuladas. d) Agrupe por intervalos de amplitud 2 los valores de la variable, calcule su distribución de frecuencias y represente con los correspondientes gráficos las frecuencias absolutas y acumuladas. 2. El 1 de septiembre 2013 el diario El Imparcial publicó el siguiente gráfico sobre la situación del turismo a nivel mundial. Figura 1. Situación del turismo a nivel mundial. a) b) c) d) ¿Qué variable es la que se está presentando en el gráfico? ¿Qué tipo de variable es? Construya la tabla de distribución de frecuencias Represente la información del gráfico en un diagrama de barras. 3. Se realiza un estudio en una ciudad sobre la capacidad hotelera y se obtienen los siguientes resultados: Plazas Nº de hoteles 0-10 25 10-30 50 30-60 55 60-100 20 100-120 10 Total 160 a) Represente gráficamente esta distribución de frecuencias mediante un histograma. b) ¿Cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 11 y 60 plazas? c) ¿Cuántos hoteles tienen treinta o menos plazas? d) Calcule las marcas de clase de cada intervalo. e) ¿Cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 15 y 50 plazas? ¿Qué hipótesis hace para este último cálculo? 4. El total de la población de un lugar está constituido por personas de diferentes edades. Al dividir una población de acuerdo con su edad y sexo, en un tiempo determinado, se obtiene una pirámide poblacional. La figura 2 muestra la pirámide poblacional de México del año 2010. Departamento de Matemáticas 40 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Figura 2. Pirámide poblacional de México de 2010 Fuente: http://2.bp.blogspot.com/_YZNahVoHfWY/TGGr_rIAMqI/AAAAAAAAAL4/bZ3L5sYhUg4/s1600/Pop_Pyramid_Mexico_2010.gif a) ¿Qué variable está representando el gráfico? b) ¿Qué tipo de variable es? c) Construye una tabla de distribución de frecuencias de 10 clases y calcula las marcas de clase. d) Representa el polígono de frecuencias acumuladas “menor que”. e) Suponiendo que todas las personas se jubilan a los 65 años, ¿Cuántas personas jubiladas hay en México según el censo del 2010? 5. Visita la Web http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/habitantes.aspx?tema=P y responde a las preguntas siguientes: a) El número de personas de 0 a 14 años, ¿ha disminuido o ha aumentado? b) ¿Cómo te imaginas el futuro si cada vez hay más adultos mayores y menos niños? c) ¿Cómo van a cambiar las necesidades de la población? d) ¿En qué grupo de edad la población de hombres disminuye en mayor porcentaje que la de mujeres? ¿Cuáles crees que sean las causas? 6. En el Departamento de Personal de una fábrica se ha realizado un estudio estadístico en relación a los salarios mensuales percibidos por los trabajadores en miles de pesos. El resultado de una muestra de 60 empleados arrojó los siguientes datos: 3.0 4.0 3.3 3.0 3.4 3.1 3.9 3.8 3.8 4.0 3.9 3.7 3.9 3.2 3.0 3.5 4.0 3.8 4.0 3.6 3.0 3.2 3.5 3.8 3.4 3.8 3.7 3.5 3.5 3.7 3.5 3.3 3.7 3.6 3.2 3.6 3.7 3.4 3.6 3.3 3.6 3.0 3.3 3.9 3.2 3.0 3.9 3.7 3.7 3.4 3.1 3.6 3.8 3.1 3.8 3.6 3.9 3.1 3.6 3.5 Con base en la información de la muestra, Departamento de Matemáticas 41 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. a) Construye el diagrama de tallo y hojas para los datos dados. b) Obtén la distribución de frecuencias para los datos no agrupados de la muestra. c) Calcula la media, mediana y moda para la distribución de frecuencias del inciso b). d) Construye una distribución de frecuencias de datos agrupados de cinco intervalos igualmente espaciados. e) Calcula la media, moda y mediana para los datos agrupados y compara los resultados obtenidos en el caso c). ¿Qué puedes argumentar al respecto? f) Con la distribución de frecuencias del inciso d), construye los gráficos siguientes; 1) El histograma. 2) El polígono de frecuencias. 3) La ojiva “menor qué” 4) La ojiva “mayor qué” g) Construye los diagramas de caja para con los datos obtenidos en los incisos c) y e) y compáralos. ¿Qué puedes decir al respecto? 7. Para la empresa SAMID y Asociados, la cantidad diaria producida (en miles de unidades) está dada por la siguiente distribución de frecuencias: Cantidad diaria producida (en miles) De 5 a menos de 15 De 15 a menos de 25 De 25 a menos de 35 De 35 a menos de 45 De 45 a menos de 55 Frecuencia Absoluta 13 x y 8 7 El gerente de producción ha perdido dos datos, pero asegura que la suma de las cantidades faltantes es el doble del promedio de la producción diaria. A partir de la información de la tabla y de lo que asegura el gerente, se desea saber: a) El valor de x y de y, si se sabe que la cantidad promedio de la producción diaria es de 26 mil unidades. b) Los valores de mediana, moda, varianza y desviación estándar para la producción diaria. c) El tercer cuartil, el noveno decil y el percentil número 15. d) El coeficiente de variación, el coeficiente de asimetría de Pearson, y los coeficientes de asimetría y curtosis de Fisher. e) Conforme a la comparación de las medidas centrales (promedio, mediana y moda) obtenidas en el inciso b), la distribución de las cantidades diarias de producción es: i) Asimétrica a la derecha, ii) Asimétrica a la izquierda, iii) Simétrica o iv) Uniforme. f) De acuerdo al coeficiente de variación obtenido en el inciso d), las cantidades diarias de producción son: i) Heterogéneos, ii) Homogéneos, iii) Muy heterogéneos o iv) Muy Homogéneos. g) Conforme al coeficiente de asimetría de Pearson obtenido en el inciso d), la forma de la distribución de los datos dados en la tabla es i) Disimétrica negativa, ii) Uniforme, iii) Disimétrica positiva o iv) Simétrica. h) De acuerdo al coeficiente de Asimetría de Fisher obtenido en el inciso d), la distribución de las cantidades diarias de producción está: i) Sesgada a la Izquierda, ii) Sesgada a la derecha, iii) Insesgada o iv) Invariante. i) De acuerdo al coeficiente de curtosis de Fisher obtenidos en d), la forma de la distribución de las cantidades diarias de producción es: i) Leptocúrtica, ii) Mesocúrtica, iii) Cuasicúrtica o iv) Platicúrtica. Departamento de Matemáticas 42 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 8. Una empresa se dedica a la fabricación de barras de acero, para ello usa una máquina, cuyas características hacen que la longitud de éstas no pueda ser mayor de 50 cm. Se realizó una muestra de la producción de la máquina en una determinada hora de funcionamiento, las longitudes de las barras producidas fueron las siguientes: Longitud (en cm.) Menos de10 De 10 a menos de 20 De 20 a menos de 25 De 25 a menos de 30 De 30 a menos de 40 40 a menos de 45 Cantidad de barras 3 12 27 37 20 25 a) Con los datos de la tabla, determina, para esa hora específica, los valores para la longitud de esas barras de la 1) media, 2) mediana, 3) moda, 4) varianza, 5) percentil número 35, 6) segundo decil,7) primer cuartil, 8) coeficiente de variación, 9) coeficiente de asimetría de Pearson, 10) coeficiente de asimetría de Fisher y 11) coeficiente de curtosis. b) Conforme a la comparación de las medidas centrales (promedio, mediana y moda) obtenidas en los puntos 1, 2 y 3 del inciso a), la distribución de la longitud de las barras es: i) Asimétrica a la derecha, ii) Asimétrica a la izquierda, iii) Simétrica o iv) Uniforme. c) De acuerdo al coeficiente de variación obtenido en el apartado 8) del inciso a), las longitudes de las barras son: i) Heterogéneos, ii) Homogéneos, iii) Muy heterogéneos o iv) Muy Homogéneos. d) Conforme al coeficiente de asimetría de Pearson obtenido en el apartado 9) del inciso a), la forma de la distribución de los datos es i) Disimétrica negativa, ii) Uniforme, iii) Disimétrica positiva o iv) Simétrica. e) De acuerdo al coeficiente de Asimetría de Fisher obtenido en el apartado 10) del inciso a), la distribución de la longitud de las barras está: i) Sesgada a la Izquierda, ii) Sesgada a la derecha, iii) Insesgada o iv) Invariante. f) De acuerdo al coeficiente de curtosis de Fisher obtenidos en el apartado 11) del inciso a), la forma de la distribución de la longitud delas barras es: i) Leptocúrtica,ii) Mesocúrtica, iii) Cuasicúrticao iv) Platicúrtica. 9. En una muestra realizada en las dos sucursales de una empresa determinada, se obtuvieron las siguientes distribuciones de frecuencias de los montos de las ventas diarias realizadas en miles de pesos. Sucursal A Monto de las ventas (miles de pesos) Menos de 90 De 90 a menos de 150 De 150 a menos de 300 De 300 a menos de 600 De 600 a menos de 960 Total Número de días 7 16 37 28 12 100 Sucursal B Monto de las ventas (miles de pesos) Menos de 70 De 70 a menos de 200 De 200 a menos de 350 De 350 a menos de 700 De 700 a menos de 850 Total Número de días 5 28 27 30 10 100 a) Con los datos de la tablas, determina, para cada sucursal, los valores para el monto de las ventas de la 1) media, 2) mediana, 3) moda, 4) varianza, 5) percentil número 35, 6) segundo decil, 7) primer cuartil, 8) coeficiente de variación, 9) coeficiente de asimetría de Pearson, 10) coeficiente de asimetría de Fisher y 11) coeficiente de curtosis. Departamento de Matemáticas 43 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. b) Conforme a la comparación de las medidas centrales (promedio, mediana y moda) obtenidas en los puntos 1, 2 y 3 del inciso a), la distribución de las ventas de cada sucursal es: i) Asimétrica a la derecha, ii) Asimétrica a la izquierda, iii) Simétrica o iv) Uniforme. c) De acuerdo al coeficiente de variación obtenido en el apartado 8) del inciso a), los montos de las ventas de cada sucursal son: i) Heterogéneos, ii) Homogéneos, iii) Muy heterogéneos o iv) Muy Homogéneos. d) Conforme al coeficiente de asimetría de Pearson obtenido en el inciso 9, la forma de la distribución de los datos para cada sucursal es i) Disimétrica negativa, ii) Uniforme, iii) Disimétrica positiva o iv) Simétrica. e) De acuerdo al coeficiente de Asimetría de Fisher obtenido en el apartado 10) del inciso a), la distribución de los montos de las ventas de cada sucursal está: i) Sesgada a la Izquierda, ii) Sesgada a la derecha, iii) Insesgada o iv) Invariante. f) De acuerdo al coeficiente de curtosis de Fisher obtenidos en el apartado 11) del inciso a), la forma de la distribución de los montos de las ventas de cada una de las sucursales es: i) Leptocúrtica, ii) Mesocúrtica, iii) Cuasicúrtica o iv) Platicúrtica. g) En base a ambas distribuciones, responde a las siguientes preguntas: 1) ¿Cuál de las dos tiene menor dispersión? 2) ¿Para qué empresa resulta más representativo el monto de ventas promedio? 3) ¿Cuál de las dos empresas se encuentra con una distribución de las ventas más equilibrada o con menos variabilidad? 10. “La dureza de los árboles es difícil de medir directamente, sin embargo la densidad si es relativamente fácil de medir. Por ello es de gran interés disponer de un modelo que permita predecir la dureza de un árbol a partir de su densidad. Por este motivo se ha tomado una muestra de 36 eucaliptos y se les midió su densidad (X) y su dureza (Y ). Los resultados obtenidos son los de la tabla adjunta. Densidad 24.7 24.8 27.3 28.4 28.4 29.0 30.3 32.7 35.6 38.5 38.8 39.3 Dureza 484 427 413 517 549 648 587 704 979 914 1070 1020 Densidad 39.4 39.9 40.3 40.6 40.7 40.7 42.9 45.8 46.9 48.2 51.5 51.5 Dureza 1210 989 1160 1010 1100 1130 1270 1180 1400 1760 1710 2010 Densidad 53.4 56.0 56.5 57.3 57.6 59.2 59.8 66.0 67.4 68.8 69.1 69.1 Dureza 1880 1980 1820 2020 1980 2310 1940 3260 2700 2890 2740 3140 Con los datos dados en la tabla, a) Construye un diagrama de dispersión y comenta si existe algún tipo de relación entre las dos variables involucradas, ¿la relación es lineal o no lineal? b) Determine el coeficiente de correlación e interpreta el resultado encontrado. c) Calcula el coeficiente de determinación y en base al resultado obtenido determina si se puede explicar el consumo de dureza del árbol por una relación lineal con su densidad. d) Determine el modelo de regresión lineal simple. Departamento de Matemáticas 44 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. e) Usando el modelo hallado en el inciso anterior, prediga la dureza de un árbol de densidad 20 y 60 unidades respectivamente f) Usando el modelo del inciso d), prediga la densidad de un árbol de dureza 300 y 4000 respectivamente. 11.“En quince casas de la ciudad de Milton Keynes se observó durante un período de tiempo la diferencia de temperatura promedio (en grados centígrados) entre la temperatura en la calle y la temperatura en casa, y el consumo de gas diario en kWh. Diferencia de Temperatura. 10.3 11.4 11.5 12.5 13.1 Consumo 69.81 82.75 81.75 80.38 85.89 Diferencia de Temperatura. 13.4 13.6 15.0 15.2 15.3 Consumo 75.32 69.81 78.54 81.29 99.20 Diferencia de Temperatura. 15.6 16.4 16.5 17.0 17.1 Consumo 86.35 110.23 106.55 85.50 90.02 Con los datos anteriores, a) Construye un diagrama de dispersión. ¿Existe relación entre estas dos variables? b) Construye un diagrama de dispersión y comenta el tipo de correlación existente entre las dos variables involucradas, ¿la relación es lineal o no lineal? c) Determine el coeficiente de correlación e interprete el resultado. d) Calcule el coeficiente de determinación ¿Se puede explicar la diferencia de la temperatura mediante la relación lineal con el consumo de gas? e) Determine el modelo de regresión lineal simple. f) Usando el modelo hallado en el inciso anterior, prediga el consumo de energía si la diferencia es de 20 y 60 grados respectivamente. g) Usando el modelo del inciso d), prediga la diferencia en la temperatura si el consumo de energía es de 85 y 90 unidades. 12. La Tabla de abajo presenta una muestra del número de horas trabajadas (X) en una fábrica, y las unidades producidas (Y) de artículos. Horas (X) Producción (Y) 80 300 79 302 83 315 84 330 78 300 60 250 82 300 85 340 79 315 84 330 80 310 62 240 Con los datos dados en la Tabla, a) Construye un diagrama de dispersión y comenta si existe algún tipo de relación entre las dos variables involucradas, ¿la relación es lineal o no lineal? b) Determine el coeficiente de correlación e interprete el resultado. c) Calcule el coeficiente de determinación e interprete el resultado d) Determine el modelo de regresión lineal simple. e) Usando el modelo hallado en el inciso anterior, prediga la cantidad de unidades que se espera producir si se trabajan 120 horas. f) Usando el modelo del inciso d), prediga las posibles horas trabajo, si las unidades producidas fueron de 350. Departamento de Matemáticas 45 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 13. Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la tabla siguiente: Nº de hrs dormidas (X) 6 7 8 9 7 7 8 9 7 8 8 8 9 Nº de hrs de TV (Y) 4 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 Nº de hrs dormidas (X) 8 7 9 6 8 7 7 8 9 7 8 10 8 Nº de hrs de TV (Y) 3 3 2 4 3 3 3 3 2 3 3 1 3 Nº de Hrs dormidas (X) Nº de Hrs de TV (Y) Nº de Hrs dormidas (X) Nº de Hrs de TV (Y) 8 7 8 7 8 9 7 8 9 7 8 8 7 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 8 7 9 6 7 8 7 8 9 8 9 3 3 2 4 3 3 3 3 2 3 2 Con los datos dados en la tabla, a) Construye un diagrama de dispersión y comenta si existe algún tipo de relación entre las dos variables involucradas, ¿la relación es lineal o no lineal? b) Determine el coeficiente de correlación e interprete el resultado. c) Calcule el coeficiente de determinación e interprete el resultado d) Determine el modelo de regresión lineal simple. e) Usando el modelo hallado en el inciso anterior, prediga la cantidad de unidades que se espera duerma una persona que ve la TV durante 1.5 horas. f) Usando el modelo del inciso d), prediga las posibles horas que una persona ve TV, si las horas que duerme son de 8.5 hrs. Nota: Los datos utilizados en los problemas 5 y 6, han sido tomados del libro “Ahandbook of small data sets”, editado por D.J. Hand, F. Daly, A.D. Lunn, K.J. McConway y E Ostrowsky. Chapman& Hall. Nota: Los datos utilizados en los problemas 5 y 6, han sido tomados del libro “Ahandbook of small data sets”, editado por D.J. Hand, F. Daly, A.D. Lunn, K.J. McConway y E Ostrowsky. Chapman& Hall. 2.14. Lecturas recomendadas. 1) Santiago Fernández Fernández, José María Cordero Sánchez, Alejandro Córdoba Largo. Estadística descriptiva. http://books.google.com.mx/books?id=31d5cGxXUnEC&pg=PA17&dq=estadistica+descriptiva&cd=1#v=onepag e&q=estadistica%20descriptiva&f=false 2) Ma. Victoria Alea Riera. Estadística descriptiva: aplicaciones prácticas http://books.google.com.mx/books?id=uZX42jrEiJgC&printsec=frontcover&dq=estadistica+descriptiva&cd =2#v=onepage&q=estadistica%20descriptiva&f=false 2.15. Bibliografía recomendada para reforzar este tema. 1) Joan BaróLlinàs. Estadistica descriptiva: aplicaciones económico-empresariales. Paramón, 1987 Segunda Edición. Departamento de Matemáticas 46 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. 2) Hanke.Estadística para negocios. Editorial Irwin – 1995 3) Jorge Galbiati Riesco. Regresión Lineal Simple.Colombia. Enero de2007. http://www.jorgegalbiati.cl/enero_07/Regresion.pdf 2.11. Referencias. [1] Yadolah DodgeThe concise encyclopedia of statistics - Página 42, Springer, 2008. [2]Daniel A. Robles Fabián.Regresión múltiple Lima – Perú. 2005. [3]Alicia Vila; Máximo Sedano; Ana López; Ángel A. Correlación Lineal y Análisis de Regresión.Proyecto e-Math.UOC. 2003. http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/RegresionLineal.pdf [4] Berenson, Levine. Estadística Básica en Administración. Concepto y Aplicaciones. Editorial Pearson. 1996. http://books.google.com.mx/books?id=2N09O8Oe0QC&printsec=frontcover&dq=berenson+y+levine&source=gbs_similarbooks_s&cad=1#v=onepage&q=berenson%20y %20levine&f=false Departamento de Matemáticas 47 Universidad de Sonora. Tema II de Estadística I Aplicada a la Administración y Contaduría. Semestre 2015-1 Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Departamento de Matemáticas 48 Universidad de Sonora.