MÉTODOS RECIENTES DE GRADUACIÓN DE

MÉTODOS RECIENTES DE GRADUACIÓN
DE TABLAS DE MORTALIDAD.
Indicadores de mortalidad.
A. Debón1
1 Centro de Gestión de la Calidad y del Cambio
Departamento de Estadística e I. O. Aplicadas y Calidad
Universidad Politécnica de Valencia
Abril de 2015
Índice de la presentación
1
2
3
4
5
6
Introducción
Metodología del INE para la tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad de España, de CCAA y provincias
Evolución de la mortalidad en España y en Colombia
Descenso de la mortalidad
Expansión, compresión y rectangularización
Aumento de la esperanza de vida
Modelos dinámicos
Introducción
Modelos paramétricos estructurales
Modelos paramétricos no estructurales
Indicadores de mortalidad
Esperanza de vida
Edad modal de muerte
Indice de Gini y Curva de Lorenz
Actual linea de investigación
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
2 / 66
Índice de la presentación
1
2
3
4
5
6
Introducción
Metodología del INE para la tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad de España, de CCAA y provincias
Evolución de la mortalidad en España y en Colombia
Descenso de la mortalidad
Expansión, compresión y rectangularización
Aumento de la esperanza de vida
Modelos dinámicos
Introducción
Modelos paramétricos estructurales
Modelos paramétricos no estructurales
Indicadores de mortalidad
Esperanza de vida
Edad modal de muerte
Indice de Gini y Curva de Lorenz
Actual linea de investigación
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
3 / 66
Introducción
El interés en el análisis de mortalidad ha aumentado recientemente
como consecuencia del gradual envejecimiento de la población que la
mayor parte de las sociedades avanzadas experimentan, entre ellas la
española.
Este gradual pero constante envejecimiento de población tiene efectos
directos sobre aspectos tan importantes como la planificación de
sistemas sanitarios y de pensiones.
Además, se ha experimentado una mejora en la esperanza de vida al
nacer que se debe a la reducción de la mortalidad infantil y, más
recientemente, a la reducción de la mortalidad en las edades más
elevadas.
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
4 / 66
Introducción
Según el fondo monetario internacional las consecuencias financieras
asociadas con el riesgo de que las personas vivan más de lo esperado
“longevity risk” ha recibido menos atención que los efectos económicos
y fiscales del envejecimiento de la sociedad que generalmente han sido
reconocidos por los políticos [International Monetary Fund, 2012].
El aumento continuado de la esperanza de vida afecta a la carteras de
rentas vitalicias de la compañías de seguro de vida, por ello el
asegurador debe entender los riesgos que se presentan en su balance y
como debe gestionarse [del Castillo, 2011].
Según [DEL CASTILLO and Miguel, 2011] es revelador el informe del
Banco Mundial de 2010 [Lee et al., 2010] en el que advierte a las
entidades aseguradoras que deben revisar la constitución de reservas, a
los gobiernos que deben asumir garantías de pensión mínima.
En muchos países del entorno europeo se ha desarrollado un producto
llamado hipoteca inversa [Debón et al., 2013].
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
5 / 66
Pirámides poblaciones en la Unión Europea
Spanish population pyramid 2009
Male
Age
4.8
3.8
(59,64]
4.7
4.6
(54,59]
4.8
4.7
(49,54]
4.9
4.8
(44,49]
4.9
4.9
(39,44]
4.9
4.9
(34,39]
4.9
3.3
3.3
3.3
4.4
(59,64]
(54,59]
4.6
(49,54]
4.7
(44,49]
4.8
4.5
(39,44]
4.9
4.7
(29,34]
5
4.9
(24,29]
5
6
5.4
(74,79]
3.5
(69,74]
4
4.3
(64,69]
3.8
4.5
(59,64]
(54,59]
4.7
(49,54]
4.8
4.6
(44,49]
4.9
4.9
4.8
(39,44]
4.9
(34,39]
4.9
4.8
(34,39]
4.9
4.8
(29,34]
4.9
4.9
(29,34]
4.9
5
4.8
(24,29]
4.9
4.9
(24,29]
4.9
(19,24]
5
4.9
(19,24]
5
4.9
(19,24]
5
5
(14,19]
5
4.9
(14,19]
5
5
(14,19]
5
5
(9,14]
5
5
(9,14]
5
5
(9,14]
5
5
(4,9]
5
5
(4,9]
5
5
(4,9]
5
3
%
2
1
0
4.1
4.4
4
(0,4]
4
3.8
2.8
4.1
(64,69]
Female
(79,109]
2.1
3.8
(69,74]
2.8
Age
2.5
(74,79]
2.2
4.6
Female
(79,109]
1.7
(64,69]
4
7
Age
1.8
4.4
(69,74]
4.4
Male
4.1
(74,79]
4.1
Polish population pyramid 2009
Male
7.9
(79,109]
3.2
Lithuan population pyramid 2009
Female
0
1
2
3
%
4
4
5
6
7
7
6
5
3
%
2
1
0
4.5
4
(0,4]
4
4.2
0
1
2
3
%
4
4
5
6
7
7
6
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
5
5
4
(0,4]
4
3
%
2
1
0
0
1
2
3
%
4
5
6
7
Abril de 2015
6 / 66
Pirámides poblaciones de Colombia
1950−55
Male
Age
1.2
2.3
3.3
6.7
6.9
7.1
7.3
Male
1.6
80+
75−79
70−74
4.2
65−69
5
60−64
5.5
55−59
6
50−54
6.4
2010−15 (fuente: Naciones Unidas)
Female
2.9
5.2
4
6.5
4.9
7.4
5.6
8.1
6.1
8.5
6.7
40−44
7
30−34
7.2
7.4
Female
5.3
80+
75−79
70−74
65−69
6.7
7.7
8.4
8.8
60−64
55−59
9.1
8.8
50−54
9.3
9
45−49
9.5
9.2
40−44
9.5
9.3
35−39
9.6
9.4
30−34
9.7
6.4
45−49
35−39
Age
3.7
25−29
7.6
9.5
25−29
9.7
7.6
20−24
7.8
9.6
20−24
9.7
7.7
15−19
8
9.7
15−19
9.7
7.8
10−14
8.1
9.7
10−14
9.8
8
5−9
8.2
9.7
5−9
9.8
9.8
1−4
9.8
10
0
10
8.7
10
8.8
1−4
10
0
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
%
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
%
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
%
Abril de 2015
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Objetivo y Software
Objetivo
Dar a conocer a los Actuarios y Responsables de las áreas de mercadeo de
las Compañías de Seguros de Vida de Colombia las tendencias y desarrollos
recientes en métodos de graduación de tablas de mortalidad por la
importancia del riesgo de longevidad.
El software utilizado el R y la librerías
gnm
demography
tseries
forecast
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
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Índice de la presentación
1
2
3
4
5
6
Introducción
Metodología del INE para la tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad de España, de CCAA y provincias
Evolución de la mortalidad en España y en Colombia
Descenso de la mortalidad
Expansión, compresión y rectangularización
Aumento de la esperanza de vida
Modelos dinámicos
Introducción
Modelos paramétricos estructurales
Modelos paramétricos no estructurales
Indicadores de mortalidad
Esperanza de vida
Edad modal de muerte
Indice de Gini y Curva de Lorenz
Actual linea de investigación
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
9 / 66
Tablas de mortalidad
La tabla de mortalidad es un instrumento de análisis demográfico que
permite analizar la incidencia de la mortalidad sobre los individuos de
diferentes poblaciones en un periodo temporal determinado, con
independencia de la estructura etaria que las mismas presenten.
Una tabla de mortalidad de periodo pretende describir el
comportamiento coyuntural del fenómeno sobre la población en
estudio en un periodo determinado simulando la incidencia del mismo
sobre una cohorte o generación ficticia de individuos sometidos a un
patrón de mortalidad por edad idéntico al observado sobre la
población en estudio durante el periodo de observación.
Por lo que permite realizar análisis comparativos sobre la incidencia del
fenómeno “mortalidad” en diferentes poblaciones, eliminando el efecto
de la composición por edad de las mismas.
x
lx
dx
qx
px
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
10 / 66
Tablas de mortalidad
La tabla se compone de un conjunto de funciones biométricas definidas
sobre una cohorte ficticia de individuos
Supervivientes a la edad exacta x, lx : representa el número de
individuos de la cohorte ficticia inicial que llegan con vida a la edad x.
Defunciones teóricas con edad x, dx : constituye el número de
defunciones de la cohorte ficticia inicial que tienen lugar en individuos
de edad cumplida x, lx+1 = lx − dx .
Promedio de años vividos el último año de vida de los que mueren con
edad cumplida x , ax : se trata del tiempo promedio vivido con edad
cumplida x por aquellos individuos de la cohorte ficticia que mueren
con dicha edad.
Población estacionaria a la edad x, Lx : corresponde al tiempo total
vivido (medido en años) por los individuos de la generación ficticia con
edad cumplida x, Lx = lx+1 + ax dx .
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
11 / 66
Tablas de mortalidad de España: funciones biométricas
(cont)...
Tasa específica de mortalidad a la edad x, mx : se define como el
número individuos de la cohorte ficticia que fallecen con edad
cumplida x por tiempo de exposición al riesgo de muerte de los
individuos de dicha generación, mx = Ldxx .
Probabilidad o riesgo de muerte con edad cumplida x, qx : se define
como la probabilidad de que un individuo perteneciente a la cohorte
ficticia inicial que sobrevive hasta cumplir x años de edad muera con
dicha edad, qx = dlxx
mx
qx =
.
1 + (1 − ax )mx
Esperanza de vida periódica a la edad x, ex : representa el número
medio de años que a un individuo de edad
Xx perteneciente a la cohorte
Ly
ficticia inicial le restaría por vivir, ex =
y≥x
lx
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
12 / 66
Tablas de mortalidad de España
La tasa específica de mortalidad a la edad x observada sobre la población
en estudio , mx , se estima según [Elandt-Johnson and Johnson, 1980]
mediante la expresión
mx =
D(t, x, s)
P
, siendo:
1/2P (t, x, s) + 1/2P (t + 1, x, s) + i b(t, x, s, i)
t, el año o periodo de observación.
x, la edad o años cumplidos, con x = 0, 1, . . . , 99.
s, el sexo, que puede tomar los atributos varón, mujer o ambos sexos.
P (t, x, s) es el stock de población residente a 1 de enero del año t con
edad x y sexo s.
D(t, x, s) es el número de fallecidos en el año t con edad x y sexo s.
b(t, x, s, i) se define como la diferencia (en años) entre la fecha de
defunción y la fecha de cumpleaños (en el año t) de cada individuo i
de sexo s fallecido durante el año t con edad cumplida x.
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
13 / 66
Tablas de mortalidad de España
La probabilidad o riesgo de muerte a la edad x, qx ,
qx =
mx
, x = 0, 1, 2 . . . , 99.
1 + (1 − ax )mx
donde ax es el promedio de años vividos en el último año de vida por
aquellos individuos de la cohorte ficticia que mueren con edad cumplida x
Dicha función, ax , se estima a partir del tiempo promedio vivido con edad
x por los individuos de dicha población que mueren con dicha edad a lo
D(t,x,s,i)
X
a(t, x, s, i)
, x = 0, 1, 2 . . . , 99,
largo del mismo, es decir, ax = i=1D(t,x,s,i)
donde a(t, x, s, i) es el tiempo vivido por el individuo i de la población en
estudio, de sexo s, fallecido con edad x en el año de referencia t .
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
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Tablas de mortalidad de España
Para el grupo abierto (100 y más años) de edad, m100+ , se estima,
mediante la expresión
m100+ =
D(t, 100+, s)
P
, siendo
1/2P (t, 100+, s) + 1/2P (t + 1, 100, s) + i b(t, 100+, s, i)
t, el año o periodo de observación.
s, el sexo, que puede tomar los atributos varón, mujer o ambos sexos.
P
D(t, x, s) = x≥100 D(t, x, s) es el total de defunciones ocurridas
durante el año t de individuos de 100 ó más años y sexo s.
P
P (t, 100+, s) = x≥100 P (t, x, s) es el stock de población residente a
1 de enero del año t de 100 o más años de edad y sexo s.
b(t, x, s, i) se define como la diferencia (en años) entre la fecha de
defunción y la fecha de cumpleaños (en el año t) de cada individuo i
de sexo s fallecido durante el año t con 100 años cumplidos.
1
q100+ = 1 con a100+ =
m100+
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
15 / 66
Tablas de mortalidad de España
Las funciones de supervivientes, lx , y de defunciones, dx , de la tabla se
para cada sexo s se obtienen recurrentemente:
l(0, s) = 100000
d(x, s) = l(x, s) × q(x, s)
l(x + 1, s) = l(x, s) − d(x, s), para x = 0, 1, 2..., 99, 100 + .
El total de tiempo vivido (medido en años) por los individuos de la
generación ficticia con edad cumplida x, o población estacionaria de la
tabla, se deriva de la expresión:
Lx = lx+1 + ax dx , parax = 0, 1, . . . , 100 + .
Finalmente, la función de esperanza de vida a la edad x
X
Ly
ex =
y≥x
lx
, para x = 0, 1, . . . , 100 + .
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
16 / 66
Tablas de mortalidad de CCAA y provincias
Se adopta un procedimiento de agregación de resultados de una tabla de
mortalidad completa por edades simples, en grupos quinquenales de edad, a
fin de eludir distorsiones indeseables sobre los resultados proporcionados
que puedan dificultar su interpretación como consecuencia directa de la
aleatoriedad de las informaciones propia de poblaciones de más reducido
tamaño.
l0
=
100000
lx , para x = 1, 5, . . . , 95
d0,1
=
l0 − l1
d1,5
=
l1 − l5
dx,x+n
=
lx − lx+n , parax = 5, . . . , 95yn = 5
d95+ = l95
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
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Índice de la presentación
1
2
3
4
5
6
Introducción
Metodología del INE para la tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad de España, de CCAA y provincias
Evolución de la mortalidad en España y en Colombia
Descenso de la mortalidad
Expansión, compresión y rectangularización
Aumento de la esperanza de vida
Modelos dinámicos
Introducción
Modelos paramétricos estructurales
Modelos paramétricos no estructurales
Indicadores de mortalidad
Esperanza de vida
Edad modal de muerte
Indice de Gini y Curva de Lorenz
Actual linea de investigación
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
18 / 66
Evolución de la mortalidad en España
Al igual que otros países desarrollados, en España han sido especialmente
llamativos
1
el descenso que ha sufrido la mortalidad infantil,
2
el aumento de mortalidad en la última década para edades intermedias
y
3
la estabilidad, e incluso ligero aumento, para las edades elevadas
debido al aumento de población longeva que se ha producido en los
últimos años.
Los datos utilizados en el ejemplo corresponden a la mortalidad observada
en España durante el periodo de 1908-2012 para un rango de edades de 0 a
110, y han sido obtenidos de [H.D.M., 2005]. La Figuras siguientes
permiten observar como, en general, las probabilidades de muerte han
descendido en el transcurso del tiempo, aunque con diferente
comportamiento para los sexos y los distintos grupos de edad.
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
19 / 66
logit(qx)
−4
−2
0
Gráfico de descenso de la mortalidad para los hombres para
algunas edades
−6
Ages
0
30
50
70
−8
95
1920
1940
1960
1980
2000
year
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
20 / 66
logit(qx)
−4
−2
0
Gráfico de descenso de la mortalidad para las mujeres para
algunas edades
−6
Ages
0
30
50
70
−8
95
1920
1940
1960
1980
2000
year
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
21 / 66
Expansión y rectangularización
Las tendencias recientes de la mortalidad han sido descritas entre otros por
[Debón et al., 2009, Debón et al., 2012], se definen al respecto varios
procesos:
el de expansión que es un desplazamiento de la moda de la curva de
muertes hacia las edades elevadas.
un incremento de la concentración de muertes en torno a la moda de
la curva de muertes que se ha dado en llamar compresión, y
rectangularización la curva de supervivientes se transforma adoptando
la forma de un rectángulo, de ahí su nombre.
Adicionalmente aparecen niveles de mortalidad altos y gran dispersión
en las edades jóvenes e intermedias particularmente para los hombres.
Este fenómeno, observado también en otros países, se conoce como
joroba de los accidentes.
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
22 / 66
10000
Gráfico de las curvas de muertes para los hombres para
algunos años
Years
1908
1932
8000
1957
1982
0
2000
4000
dx
6000
2012
0
20
40
60
80
100
year
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
23 / 66
4e+04
lx
6e+04
8e+04
1e+05
Gráfico de las curvas de supervivientes para los hombres
para algunos años
Years
1908
1932
2e+04
1957
1982
0e+00
2012
0
20
40
60
80
100
year
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
24 / 66
0
Gráfico de las probabilidades de muerte para los hombres
para algunos años
Years
1908
1932
−2
1957
1982
−10
−8
−6
logit(qx)
−4
2012
0
20
40
60
80
100
year
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
25 / 66
10000
Gráfico de las curvas de muertes para las mujeres para
algunos años
Years
1908
1932
8000
1957
1982
0
2000
4000
dx
6000
2012
0
20
40
60
80
100
year
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
26 / 66
4e+04
lx
6e+04
8e+04
1e+05
Gráfico de las curvas de supervivientes para las mujeres para
algunos años
Years
1908
1932
2e+04
1957
1982
0e+00
2012
0
20
40
60
80
100
year
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
27 / 66
0
Gráfico de las probabilidades de muerte para las mujeres
para algunos años
Years
1908
1932
−2
1957
1982
−10
−8
−6
logit(qx)
−4
2012
0
20
40
60
80
100
year
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
28 / 66
Aumento de la esperanza de vida
Todo este proceso va acompañado de un incremento de las esperanzas de
vida que puede observarse en la Figura siguiente.
Esperanza de vida al nacer que crece sostenidamente desde 1940 a
ritmo acelerado (en los 104 años (1908-2012) ha aumentado 42.8 años
para las mujeres y 38.92 para los hombres).
Esperanza a los 65 años que crece sostenidamente desde 1908 a ritmo
un poco más lento que la anterior (en los 104 años (1908-2012) ha
aumentado 11.57 años para las mujeres y 8.25 para los hombres).
La esperanza es mayor para las mujeres.
Según el Instituto Nacional de Estadística (INE) en 2013 la esperanza
de vida al nacer en España para los hombres es 79.97 y para las
mujeres 85.59 luego la diferencia entre los sexos que se sigue
manteniendo y en la esperanza de vida al nacer es aproximadamente 5
y medio años en la actualidad.
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
29 / 66
80
Evolución de la esperanza de vida al nacer y a los 65 años
para los hombres.
e0
0
20
40
ex
60
e65
1920
1940
1960
1980
2000
year
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
30 / 66
80
Evolución de la esperanza de vida al nacer y a los 65 años
para las mujeres.
e0
0
20
40
ex
60
e65
1920
1940
1960
1980
2000
year
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
Abril de 2015
31 / 66
80
Evolución de la esperanza de vida al nacer para Colombia.
mujeres
hombres
50
55
60
ex
65
70
75
total
1960
1970
1980
1990
2000
2010
year
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Aumento de la esperanza de vida en Colombia
Esperanza de vida al nacer que crece sostenidamente desde 1960 a
ritmo acelerado (en los 52 años (1960-2012) ha aumentado 18.53 años
para las mujeres y 14.62 para los hombres).
La esperanza es mayor para las mujeres.
Según el Banco Mundial en 2012 la esperanza de vida al nacer en
Colombia para los hombres es 70.20 y para las mujeres 77.53 luego la
diferencia entre los sexos que se sigue manteniendo y en la esperanza
de vida al nacer es aproximadamente 7 años en la actualidad.
Además estudios recientes muestran que los colombianos viven cada
vez más. Se estima que en los últimos 50 años la esperanza de vida al
nacer se ha incrementado en 20 años, aproximadamente
[Zarruk and Mora, 2008].
Colombia pues puede aprender de lo que esta pasando en la UE.
Una buena descripción del riesgo de mortalidad, sus características e
implicaciones puede consultarse la charla de [Villegas, 2011].
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Índice de la presentación
1
2
3
4
5
6
Introducción
Metodología del INE para la tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad de España, de CCAA y provincias
Evolución de la mortalidad en España y en Colombia
Descenso de la mortalidad
Expansión, compresión y rectangularización
Aumento de la esperanza de vida
Modelos dinámicos
Introducción
Modelos paramétricos estructurales
Modelos paramétricos no estructurales
Indicadores de mortalidad
Esperanza de vida
Edad modal de muerte
Indice de Gini y Curva de Lorenz
Actual linea de investigación
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Notación
Tablas dinámicas de mortalidad pueden considerarse como una matriz
de datos (qxt ), donde x denota la edad (fila) y t denota el año de
muerte (columna).
cada columna en esta matriz representa una tabla de periodo para el
año t.
Graduación
Consideremos un conjunto de estimaciones brutas para las probabilidades
de muerte q̇xt , para edad x ∈ [x1 , xk ] y año de muerte t ∈ [t1 , tn ], a partir
de los cuales queremos obtener unas estimaciones suaves, q̂xt , de las
verdaderas pero desconocidas probabilidades de muerte qxt
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Representación gráfica de la tabla de mortalidad dinamica
Tiempo
e
d
a
d
cohorte
Periodo de observación
X
qxt
X+1
t
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t+1
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Métodos de graduación de tablas dinámicas
Los métodos de graduación de tablas dinámicas pueden clasificarse en dos
grandes grupos:
1
Modelos paramétricos. Son modelos que ajustan a las medidas de la
mortalidad, una función f dependiente de unos parámetros. Para ello
son dos, básicamente, los tratamientos,
a) considerar que la influencia del tiempo del calendario sólo afecta a los
parámetros, son modelos que denominamos estructurales, o bien,
b) incorporar el tiempo cronológico como variable t en la función, modelos
que denominamos no estructurales.
2
Modelos no paramétricos. Son generalizaciones de las técnicas de
smoothing que dependen de la edad y el tiempo.
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Modelos estructurales
Los modelos estructurales siguen los dos pasos siguientes,
1
ajustan la medida de mortalidad mediante el mismo modelo para los
distintos años , obteniendo así una secuencia temporal de parámetros
estimados, y a continuación
2
ajustan una serie temporal a dicha secuencia cuyas predicciones para
años futuros, una vez sustituidas en la ley de mortalidad, permiten
realizar predicciones para la medida de mortalidad.
Los modelos estructurales son:
Las leyes de Heligman y Pollard
El modelo de Lee-Carter
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Las leyes de Heligman y Pollard
Fueron introducidas por [Heligman and Pollard, 1980].
Primera ley de Heligman y Pollard.
C
qx = A(x+B) + D exp(−E(ln x − ln F )2 ) +
GH x
1 + GH x
Segunda ley de Heligman y Pollard.
C
qx = A(x+B) + D exp(−E(ln x − ln F )2 ) +
GH x
1 + KGH x
Tercera ley de Heligman y Pollard.
k
qx = A
(x+B)C
GH x
+ D exp(−E(ln x − ln F ) ) +
1 + GH xk
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2
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Interpretación de los tres términos y de los parámetros de la
Ley de Heligman y Pollard
El primero la mortalidad infantil, el segundo la “joroba de los accidentes” y
el tercero la mortalidad natural causada por senectud.
A representa el ratio de mortalidad infantil; B representa la probabilidad de
morir para un niño de un año de edad; C está relacionado con la adaptación
de los individuos a su entorno. Los tres toman valores en el intervalo (0,1).
D, E y F se refieren a la joroba de los accidentes, D indica la severidad de
la joroba y toma valores en (0,1), E con valores elevados, entre (0,∞),
indica la concentración de la joroba de los accidentes y F , desde 15 a
edades avanzadas, indica la localización del máximo de la joroba, G indica
el nivel base de la mortalidad senil, y H es la tasa de crecimiento de dicha
mortalidad senil y sus dominios son (0,1) y (0,∞), respectivamente.
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−4
−6
−10
−8
●●●
●●
●●
●●
●●●
●●
●●
●●
●
●●
●●●
●●
●●
●●●
●●
●●
●
●●
●
●●
●●●
●●
●●●
●●●
● ● ●●
●●●●●●●●●●●● ●● ●
●●●
●
●
●
●
●●●
●
●●● ●
● ●●
● ●
Infantil
Adulto
Senil
−12
log(prob.brutas)
−2
0
Representación gráfica de la Ley de Heligman y Pollard
0
20
40
60
80
edad
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Ajuste y predicción de la Ley de Heligman y Pollard
Los parámetros se estiman para cada uno de los años mediante mínimos
cuadrados ponderados no lineales para todo el rango de edades,
X
ωx (qx − F (x))2 ,
x
donde ωx−1 es proporcional a la varianza de la observación a la edad x,
F (x) es la ley H-P a ajustar y qx son las probabilidades de muerte
observadas. La necesidad de introducir pesos en el ajuste es debida a la
desigualdad de varianzas para qx = F (x), puesto que siendo Binomial el
x)
modelo elegido, var(qx ) = qx (1−q
. De aquí que los pesos propuestos sean
Ex
1/qx o alguna potencia suya, como ya hicieron Heligman y Pollard. El
último paso para la predicción es ajustar una serie temporal a cada una de
las secuencias de los distintos parámetros. Detalles acerca de su ajuste y
comparación con otros modelos en [Debón et al., 2006]
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
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El modelo original de Lee-carter
El modelo de Lee-Carter, desarrollado en 1992, consiste en ajustar la
siguiente función a los ratios centrales de muerte,
mxt = exp(ax + bx kt + xt )
o, equivalentemente
(1)
ln (mxt ) = ax + bx kt + xt ,
ax y bx son parametros dependientes de la edad y kt es un índice de
mortalidad específico para cada año o unidad de tiempo.
Los errores xt , con media 0 y varianza σ2 , reflejan las influencias históricas
de cada edad especifica que no han sido capturadas por el modelo.
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El modelo de Lee-Carter extendido
Booth et al (2002) y Renshaw and Haberman (2003b) proponen añadir
más términos para que la interacción entre la edad y el año pueda ser
capturada pero además consideraremos
la propuesta de Debón et al (2008)
qxt
que aplica el modelo a ln 1−qxt , con lo que el modelo se convierte en
ln
qxt
1 − qxt
= ax +
r
X
(i)
b(i)
x kt + xt .
(2)
i=1
En nuestra aplicación a datos de mortalidad españoles vamos a aplicar (2)
con r = 1 y r = 2, que llamaremos modelo de Lee-Carter y modelo de
Lee-Carter con dos términos, respectivamente.
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El modelo de Lee-Carter con efecto cohorte
En 2006 Renshaw y Haberman introdujeron un modelo de Lee-Carter para
la mortalidad que recoja el efecto de la cohorte (c = t − x). Con esta
transformación el modelo se expresa de siguiente manera:
logit(qxt ) = ax + b1x · kt + b2x · lc + εxt ,
(3)
donde
ax : perfil general de la mortalidad a lo largo de la edad.
b1x y b2x : parámetros de sensibilidad que miden las interacciones
correspondientes con la edad.
kt : un efecto período.
lc : un efecto cohorte, función del año de nacimiento c = t − x.
εxt : representa el error aleatorio, con media 0 y varianza σε2 .
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Predicción para qxt
La predicción de los ratios de mortalidad con los modelos de Lee-carter
requiere la modelización de los indices de mortalidad utilizando técnicas de
series temporales,
con el modelo clásico LC1 modelizando k̂t como una serie temporal
utilizando metodología Box-Jenkins.
con los modelos extendidos tanto el de dos términos como el de efecto
cohorte aplicando modelos ARIMA univariantes a los dos índices
temporales.
El modelo goza actualmente de mucha popularidad debido a sus ventajas,
Ventajas Sus ventajas son, entre otras, la fácil interpretación de sus
parámetros y su parsimonia.
Crítica La principal crítica al modelo de Lee-Carter es que los
parámetros ax y bx son los mismos a lo largo del tiempo y
que la predicción de futuros valores de la mortalidad se basa
sólo en kt , lo que supone admitir que no existe interacción
entre la edad y el tiempo.
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Modelos no estructurales
A diferencia de los estructurales, los modelos no estructurales incorporan el
tiempo como una variable en la función de mortalidad a ajustar.
Los modelos no estructurales son:
Las funciones de Gompertz-Makeham
Los factores de reducción
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Las funciones de Gompertz-Makeham
Se trata de una adaptación al caso dinámico de la funciones clásicas de
Gompertz-Makeham, propuesta por [Renshaw and Haberman, 2006]. Su
expresión para logit(qxt es,
ln
qxt
1 − qxt
= β0 +
s
X
j=1
βj Lj (x0 ) +
r
X
0
αi t i +
i=1
r X
s
X
0
γij Lj (x0 )t i
i=1 j=1
0
donde algunos de los términos γij pueden ser cero, x y t0 son transformaciones
de la edad y el año de calendario, respectivamente, de forma que sus valores estén
dentro de intervalo [−1, 1] y Lj (x0 ) son los polinomios de Legendre generados por
Ln+1 (x) = xLn (x) − nLn−1 (x), donde n ≥ 1, L0 (x) = 1 y L1 (x) = x.
GRADUACIÓN DE LA MORTALIDAD
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Las funciones de Gompertz-Makeham
La expresión anterior puede escribirse de la forma




 
s
r
s
X
X
X
0
qxt
αi +
= exp β0 +
βj Lj (x0 )exp 
γij Lj (x0 ) t i ,
1 − qxt
j=1
i=1
j=1
y entonces,
el primer término puede interpretarse como una función Gompertz-Makeham
correspondiente a la graduación mediante la edad, LGM (0, s + 1), y
el segundo término puede ser interpretado como término de ajuste del efecto
del año del calendario, de forma que cuando al menos uno de los γij es no
nulo depende también de la edad. Un ejemplo de esto sería el incremento de
muertes de hombres adultos y jóvenes debido al SIDA.
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Ajuste de las funciones de Gompertz-Makeham
La forma de proceder para determinar los parámetros αi , βj y γij es
considerar el esquema de modelo lineal generalizado (GLM ) con familia
Binomial y link logit, para ello,
1
los valores elegidos de r y s son aquellos a partir de los cuales los
incrementos de la Deviance no resultan estadísticamente significativos,
2
los coeficientes γij se eligen de forma que el incremento de la
Deviance resulte significativo,
3
paralelamente se determinan los errores estándar de la estimaciones de
los parámetros y su significación mediante la prueba usual t-Student.
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Ajuste vs predicción en las funciones de G-M
Advierten [Sithole et al., 2000], que no se trata sólo de encontrar un
modelo que proporcione un buen ajuste de los datos, sino que también
proporcione un buen esquema para realizar proyecciones. Con este doble
objetivo, [Wong-Fupuy and Haberman, 2004] concluyen en su trabajo que,
1
2
los valores óptimos de r y s no siempre generan tendencias plausibles
para el objetivo de proyectar, los ordenes de los polinomios deben ser
bajos sacrificando mayor bondad de ajuste,
para todos los conjuntos de datos analizados los resultados más
satisfactorios se obtuvieron con r = 1 y s = 3, con interacción sólo de
orden 1. Es decir,


3
X
qxt
= exp β0 +
βj Lj (x0 ) exp [(α1 + γ11 x0 ) t0 ] .
1 − qxt
j=1
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Factores de reducción
Los factores de mejora de la mortalidad, RF (x, t), surgen de una propuesta
del CMI Bureau [Bureau, 1990], y son una medida que permite proyectar
las tablas de mortalidad al incorporar las mejoras en la mortalidad a lo
largo del tiempo. El procedimiento se lleva a cabo en dos pasos,
1
los datos de un determinado periodo base son graduados y a
continuación,
2
se construyen las tablas de mortalidad proyectadas aplicando los
factores de reducción RF (x, t), estando t medido en años a partir de
un origen apropiado, t = 0, situado en el centro del periodo base. Para
ello,
qxt = qx0 RF (x, t), con
RF (x, 0) = 1;
∀x ≥ 0
0 < RF (x, t) ≤ 1; ∀x ≥ 0, ∀t ≥ 0.
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Estimación de los factores de reducción
Los modelos utilizados para estimar RF (x, t), han sido recopilados en
varios trabajos [Renshaw and Haberman, 2003a,
Renshaw and Haberman, 2003b, Renshaw and Haberman, 2003c].
La estimación mediante GLM se basa en Dxt ∼ Bi(Ext , qxt ), y modeliza
qxt con link logit. Hemos de utilizar un predictor que sea compatible con
las restricciones impuestas a RF (x, t), el más sencillo es el predictor lineal,
ηxt = αx + βx t, lo que implica que αx = logit(qx0 ). Estimados los
parámetros, β̂x , las estimaciones de los factores de reducción son,
d (x, t) = q̂xt = antilogit[logit(qx0 ) + β̂x t] ,
RF
qx0
qx0
que cumplen las restricciones.
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Factores de reducción y funciones G-M
Recordemos la expresión de las funciones de Gompertz-Makeham,
 




s
r
s
X
X
X
0
qxt
αi +
γij Lj (x0 ) t i ,
βj Lj (x0 )exp 
= exp β0 +
1 − qxt
j=1
i=1
j=1
decíamos que el segundo término puede ser interpretado como término de ajuste
del efecto del año del calendario, en definitiva, un factor de actualización de la
mortalidad estimada con el primer término.
En [Sithole et al., 2000] comparan este segundo término con los RF (x, t)
obtenidos mediante el método habitual del CMI Bureau, para analizar la
consistencia de uno con otro.
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Índice de la presentación
1
2
3
4
5
6
Introducción
Metodología del INE para la tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad de España, de CCAA y provincias
Evolución de la mortalidad en España y en Colombia
Descenso de la mortalidad
Expansión, compresión y rectangularización
Aumento de la esperanza de vida
Modelos dinámicos
Introducción
Modelos paramétricos estructurales
Modelos paramétricos no estructurales
Indicadores de mortalidad
Esperanza de vida
Edad modal de muerte
Indice de Gini y Curva de Lorenz
Actual linea de investigación
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Indicadores de mortalidad
Pero si una buena modelización de las medidas de mortalidad es
importante, como las anteriores consideraciones ponen de manifiesto,
existen otros indicadores relacionados con la mortalidad que podríamos
calificar de imprescindibles en el mundo demográfico y actuarial.
Un conjunto apropiado de indicadores para el estudio de todos estos
fenómenos debe incluir,
un indicador de la mortalidad infantil,
la esperanza de vida,
la edad modal de muerte,
la curva de Lorenz y el índice de Gini.
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Esperanza de vida
La esperanza de vida en diferentes edades puede calcularse a partir de una
tabla de mortalidad dinámica. La esperanza de vida para un individuo de
xt
edad x viene dada por ext = Tlxt
.
Para un año t, el número hipotético de personas vivas al principio de cada
intervalo [x, x + 1) viene dado por l(x+1)t = lxt (1 − qxt ), con l0t = 100000.
A partir de lo que podemos calcular el número de muertes
dxt = lxt − l(x+1)t , y el correspondiente número de personas-años
Lxt = l(x+1)t + axt dxt , donde axt es la media de tiempo en años que la
personas que mueren a edad x viven en [x, x + 1), axt ∼
= 1/2.
El número total de personas-años que estuvieron
vivas después del comienzo
P
del intervalo de edad x a x + 1 is Txt = i≥x Lit .
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Edad modal de muerte
La edad modal de muerte es la edad asociada a la máxima frecuencia de
muerte. La elección de este indicador está justificada por dos puntos que
señala [Canudas-Romo, 2008],
1
la edad modal de la muerte depende en gran medida de la fuerza de
mortalidad que es la tasa de cambio que prevalece en edades más
avanzadas, y
2
cambios en la mortalidad infantil están indirectamente relacionados
con la edad modal de la muerte, por tener un efecto en el número
modal de las muertes.
De ello se desprende que la edad modal de la muerte puede reflejar cambios
en la probabilidad de muerte, qxt que no se detectan con una esperanza de
vida.
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Índice de Gini
El índice de Gini se utiliza para medir la contribución de las diferentes
edades a la esperanzada de vida a lo largo del tiempo
[Shkolnikov et al., 2003]. Está relacionado con la curva de Lorentz,
,
representación de la proporción acumulada de población, fxt = 1 − llxt
0t
sobre el eje-x y la proporción acumulada de los años vividos por esa
población, gxt = T0t −TTxt0t−xlxt , sobre el eje-y. El índice es dos veces el área
(ω−1)
X
entre la curva y la diagonal, viene dado por IGt =
(fxt
x=0
(ω−1)
X
− gxt )
, y su
fxt
x=0
valor varia entre 0 (perfecta igualdad) to 1 (perfecta desigualdad).
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Curva de Lorenz
Lorenz Curve
1
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60 / 66
Bootstrap paramétrico para ext
El procedimiento utilizado es el siguiente:
1
partiendo de las observaciones (Ext , dxt ), se simulan N muestras
bootstrap (Ext , dnxt ), n = 1, 2, . . . , N , donde dnxt son realizaciones de
una Binomial de parámetros (Ext , q̇xt ),
2
para cada muestra bootstrap se estiman los ax , bx y a continuación se
proyectan los kt mediante el correspondiente modelo ARIM A
seleccionado de los datos originales,
3
4
las N realizaciones de anx , bnx , ktn y ktn proyectados, así obtenidas se
usan para predecir los qxt y calcular ext ,
intervalo de confianza se obtiene a partir de los percentiles,
IC95 = [p0.025 , p0.975 ]
Si graduáramos mediante cualquier otro modelo, en los pasos 2 y 3
ajustaríamos el correspondiente modelo y obtendríamos los N conjuntos de
predicciones para qxt .
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Bootstrap no paramétrico para ext
Para el caso no paramétrico
1
las N muestras bootstrap se seleccionan con reemplazamiento de los
residuos
\xt ),
ˆxt = logit(q̇xt ) − logit(q
obtenidos a partir del ajuste con los datos originales,
2
cada muestra proporciona unas estimaciones
logit(q̇xt )n a partir de la fórmula inversa
\xt ) − ˆn ,
logit(q̇xt )n = logit(q
xt
donde los logit(q̇xt ) se obtienen de las observaciones iniciales (Ext , dxt )
3
a partir de este punto se procede igual que en el caso paramétrico.
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62 / 66
Índice de la presentación
1
2
3
4
5
6
Introducción
Metodología del INE para la tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad
Tablas de mortalidad de España, de CCAA y provincias
Evolución de la mortalidad en España y en Colombia
Descenso de la mortalidad
Expansión, compresión y rectangularización
Aumento de la esperanza de vida
Modelos dinámicos
Introducción
Modelos paramétricos estructurales
Modelos paramétricos no estructurales
Indicadores de mortalidad
Esperanza de vida
Edad modal de muerte
Indice de Gini y Curva de Lorenz
Actual linea de investigación
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Futuros trabajos: Clusters en Europa
SMR Europe2009
[0.765,1.01]
(1.01,1.25]
(1.25,1.49]
(1.49,1.74]
(1.74,1.98]
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Futuros trabajos: Clusters en Europa
1.5
EE
●
●
●
BY
●
UA
●
●
●
●
●
1.0
●
●
●
●
●●
●
●●
●●● ●
●●
●
0.5
average SMR neighbors
2.0
Global Moran's I Europe 2009
0.5
1.0
1.5
2.0
SMR
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Futuros trabajos: Clusters en Europa
Clusters map Europe2009
not significant
neighbors
cluster center
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66 / 66
Bureau, C. M. I. (1990).
Continuous Mortality Investigation Reports CMIR 10.
The Institute of Actuaries and Faculty of Actuaries, UK.
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66 / 66
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