guia 05

Electromagnetismo I
Reula – Dain – Raggio
Guı́a 5 – 12 de mayo 2009
Problema 1: Considere una cáscara conductora hueca de radio b mantenida a potencial cero, en cuyo interior
se ubica un anillo concéntrico de radio a (con a < b) con carga uniforme Q. Determine el potencial en el interior
de la cáscara utilizando la función de Green.
Problema 2: Considere un cilindro de radio a y longitud L. La tapa superior del cilindro está a potencial
V (θ, Φ) y el resto del cilindro a potencial cero. Encuentre el potencial en el interior del cilindro.
Problema 3: Considere dos esferas concéntricas de radios a y b (b > a) cada una dividida en dos hemisferios
por el mismo plano horizontal. El hemisferio superior de la esfera interna y el hemisferio inferior de la esfera
exterior están a potencial V . Los otros hemisferios están a potencial cero.
Determine el potencial en la región a ≤ r ≤ b como una serie de polinomios de Legendre. Incluya términos de
order l = 4. Verifique que la solución obtenida reproduce los resultados conocidos en los lı́mites b → ∞ y a → 0.
Problema 4: Una superficie esférica de radio R tiene carga uniformemente distribuida sobre su superficie con
una densidad de Q/4πR2 , excepto por una sección esférica en el polo norte, definida por un cono de ángulo
θ = α.
a) Muestre que el potencial dentro de la superficie esférica puede ser expresado como
∞
Q∑ 1
rl
Φ=
[Pl+1 (cos α) − Pl−1 (cos α)] l+1 Pl (cos θ),
2
2l + 1
R
(1)
l=0
donde para l = 0 definimos Pl−1 (cos α) = −1. ¿Cuánto vale el potencial afuera de la cáscara?
b) Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en el origen.
c) Discuta los lı́mites del potencial (1) y el campo eléctrico encontrado en b) en los siguientes casos: (i) la sección
esférica es muy pequeña, (ii) la sección esférica es muy grande, de tal manera que la región cargada es ahora
una pequeña región esférica rodeando el polo sur.
Problema 5: Una cáscara hueca de radio R tiene un potencial V (θ, φ) especificado en su superficie. Probar la
equivalencia de estas dos formas del potencial en el interior de la cáscara:
∫
a(a2 − r2 )
V (θ0 , φ0 )
Φ=
dΩ0
(2)
2
2
4π
(r + a − 2ar cos γ)1/2
donde cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(φ − φ0 ); y
Φ=
∞ m=l
∑
∑
l=0 m=−l
donde Alm =
∫
Alm
( r )l
a
Ylm (θ, φ),
(3)
∗
dΩ0 Ylm
(θ0 , φ0 )V (θ0 , φ0 ).
Problema 6: Dos cargas puntuales q y −q están localizadas en el eje z en z = a y z = −a respectivamente.
a) Encuentre el potencial electrostático como una expansión de armónicos esféricos y potencias de r para r > a
y r < a.
b) Manteniendo el producto qa ≡ p/2 constante, tome el lı́mite a → 0 y encuentre el potencial para r 6= 0. Este
es, por definición, un dipolo ubicado a lo largo del eje z y su correspondiente potencial.
c) Suponga que el dipolo de la parte b) está rodeado por una una cáscara esférica, concéntrica con el origen,
conectada a tierra de radio b. Utilizando superposición lineal encuentre el potencial en todo punto interior a la
cáscara.
Problema 7: Tres cargas puntuales (q, −2q, q) están ubicadas sucesivamente a distancia a entre ellas en lı́nea
recta y la carga central (−2q) está ubicada en el origen de una cáscara conductora conectada a tierra de radio
b.
a) Escriba el potencial de las tres cargas puntuales en ausencia de la esfera conductora. Encuentre la forma
lı́mite del potencial cuando a → 0 pero manteniendo el producto qa2 = Q finito. Escriba este potencial en
coordenadas esféricas.
b) La presencia de la esfera conductora de radio b altera el potencial para r < b. El potencial sumado puede ser
descripto como producido por la densidad de carga superficial inducida en la superficie interna r = b o también
como el producido por cargas imágenes ubicadas en la región r > b. Use la superposición lineal para satisfacer
las condiciones de borde y encuentre el potencial en todas partes dentro de la esfera para r < a y r > a. Muestre
que en el lı́mite a → 0 se obtiene
(
)
Q
r5
Φ(r, θ, φ) →
1 − 5 P2 (cos θ).
(4)
2π0 r3
b
Problema 8: Resuelva el problema 3 usando la función de Green apropiada y verifique que se obtiene la misma
solución.
Problema 9: Una carga lineal de longitud 2d con carga total Q tiene una densidad de carga que varı́a como
(d2 − z 2 ), donde z es la distancia al punto medio. Una cáscara esférica conductora conectada a tierra de radio
b > d se ubica centrada en el punto medio de esta distribución lineal de carga.
a) Encuentre el potencial en el interior de la cáscara esférica utilizando una expansión de polinomios de Legendre.
b) Calcule la densidad de carga superficial inducida en la cáscara.
c) Discuta las respuestas a) y b) en el lı́mite d << b.
Problema 10: Calcule los momentos multipolares qlm de las siguientes distribuciones de carga. Trate de obtener
resultados para los momentos no nulos para todo l, pero en todos los casos encuentre al menos los dos primeros
momentos no nulos.
c) Para la distribución de cargas b) escriba la expansion multipolar del potencial . Manteniendo sólo los términos
de menor orden en esta expansión, grafique el potencial en el plano x − y como función de la distancia al origen
para distancias mayores que a.
d) Calcule directamente de la ley de Coulomb el potencial exacto para b) en el plano x − y. Dibújelo como
función de la distancia y compare con el resultado encontrado en c).
Explicite la forma asintótica en las partes c) y d) para ver con más claridad el potencial a distancias grandes.
Problema 11: Un dipolo puntual de momento p está ubicado en el punto x0 . De las propiedades de las derivadas
de la delta de Dirac demuestre que para los cálculos del potencial Φ del dipolo o de la energı́a de un dipolo en
un campo externo, el dipolo puede ser descripto como la densidad de carga efectiva dada por
˙
ρef e (x) = −p∇δ(x
− x0 ).
2
(5)