Documento 739288

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Geofísica
GF3003 Introducción a la Meteorología y Oceanografía
Tarea 1
Profesor:
Auxiliares:
Autor:
Fecha:
Laura Gallardo
Constanza Maturana
Rodrigo Estay
Guillermo Aliaga
05 Mayo 2011
TAREA 1
INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
P1) Balance Hidrostático
A partir de la ecuación de balance hidrostático, calcula la presión a nivel del mar
si la presión medida a 50 m sobre el nivel del mar es 995 hPa y la temperatura
ambiente es 0ºC. Supón que la temperatura varía en altura con 0.5º/100m.
a) A partir de la ecuación de estado de gases ideales para la atmósfera y de la de
balance hidrostático, deriva una expresión para la presión (p) como función de
la altura sobre el suelo (z).
b) En lo que se llama una atmósfera homogénea, la densidad no varía con la
altura. ¿Cuál sería la profundidad de una atmósfera homogénea si la presión a
nivel del suelo fuera 1013 hPa y la temperatura a nivel del suelo 0ºC? Supón
que esta atmósfera está en balance hidrostático.
Solución:
Para este problema tenemos que la variación de la temperatura en función de la altura
es lineal, y se escribe de la siguiente forma
𝑇(𝑧) = 𝑇0 − 𝛽𝑧
𝑐𝑜𝑛 𝛽 = 0,005
𝐾
𝑚
Entonces utilizando la ecuación hipsométrica para este caso
𝑔
𝑇0 − 𝛽 ∗ 𝑧 𝑅∗𝛽
𝑝(𝑧) = 𝑝0 ∗ (
)
𝑇0
Tenemos que la presión a una altura de 50 mts es
𝑝50 𝑚
𝑚
9.8 2
𝑠
𝐽
𝐾
287
∗ 0.005
𝐾 𝑘𝑔
𝑚
𝐾
273.15𝐾 − 0.005 𝑚 ∗ 50 𝑚
= 99500 𝑃𝑎 = 𝑝0 ∗ (
)
273.15𝐾
⟹ 𝑝𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑀𝑎𝑟 = 100124,15 𝑃𝑎
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
a) Sabemos que la ecuación que modela la atmosfera como un gas ideal es
𝑝 =𝜌∗𝑅∗𝑇
Y la ecuación de balance hidrostática enuncia que
𝜕𝑝
= −𝜌𝑔
𝜕𝑧
Al reemplazar 𝜌 según la ecuación de gases ideales para la atmosfera nos queda
𝜕𝑝
𝑔
= −
𝜕𝑧
𝑝
𝑅𝑇
Al integrar esa expresión, y asumiendo que T ≈ cte.
𝑝2
𝑧2
𝜕𝑝
𝑔
𝜕𝑧
∫
= − ∫
𝑝
𝑅
𝑇(𝑧)
𝑝1
𝑧1
Tenemos que
∆𝑧 = 𝑧2 − 𝑧1 ≈ −
𝑅𝑇
𝑝2
𝑔∆𝑧
ln( ) ⟺ 𝑝2 = 𝑝1 ∗ exp (−
)
𝑔
𝑝1
𝑅𝑇
Que es la expresión de la presión en función de la altura.
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
b) Sabemos que la ecuación que modela la atmosfera como un gas ideal es
𝑝 =𝜌∗𝑅∗𝑇
Y sabemos los valores de T y p para la altura a nivel del mar, además que
tomamos 𝜌 constante
100124.15 𝑃𝑎 = 𝜌 ∗ 287
𝐽
𝐾𝑔
∗ 273 𝐾 ⟹ 𝜌 = 1,277 3
𝐾 𝑘𝑔
𝑚
Como queremos saber a la altura total de la atmosfera homogénea (densidad
no cambia), usamos la siguiente expresión
𝜕𝑝
= −𝜌𝑔 ⟹ 𝜕𝑝 = −𝜌𝑔𝜕𝑧 ⟹ 𝑝2 − 𝑝1 = −𝜌𝑔(𝑧2 − 𝑧1 )
𝜕𝑧
Tomando 𝑝2 ≈ 0 (representa la profundidad máxima de la atmosfera), 𝑧1 = 0
y los datos enunciados anteriormente, tenemos que
0 − 101300 𝑃𝑎 = −1.277
𝐾𝑔
𝑚
∗ 9,8 2 (𝑧2 − 0)
3
𝑚
𝑠
⟹ 𝑧2 = 8094,5 mts ≈ 8 km
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
P2) Escala de Altura
Se define la escala de altura (“scale height”) como el tramo de altura H en que la
presión disminuye en un factor 1/e si la atmósfera es isotermal. ¿Cómo depende H de
la aceleración de gravedad, la composición atmosférica y la temperatura? Calcula H
para los casos siguientes:
a) La atmósfera tiene la misma composición que la terrestre y con una
𝑚
temperatura de -60ºC (como en la estratósfera). En este caso g=10 𝑠2
b) La atmósfera está compuesta mayoritariamente de dióxido de carbono con una
𝑚
temperatura de 400ºC (como en Venus). En este caso g=8.7 𝑠2
Solución:
Notemos que escala de altura se define como
𝐻 =
𝑅∗𝑇
𝑅∗
𝑐𝑜𝑛 𝑅 =
𝑔
𝑀𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟
La variación de la aceleración de gravedad es inversamente proporcional a H lo
que implica que mientras más grande sea el valor de g, menor será el valor de H; por
ejemplo las variaciones de g en el planeta Tierra son tan tenues, del orden de la
centésima, que no afectan en demasía el valor de H
En cuanto a la temperatura es muy distinto, pues para Escalas de Altura se
suponen atmosferas isotermales (i.e la temperatura no varía), por lo tanto una
variación de la temperatura invalida el factor de escala.
Además H también depende de la composición química atmosférica pues los
moles de las distintas partículas que componen una atmosfera determinan R, por lo
tanto, a mayor masa molar, el valor R disminuye con lo cual también lo hace H.
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
a) Utilizando la fórmula vista en clases
𝑍(𝑝) = −
𝑅𝑇
𝑝
∗ ln ( )
𝑔
𝑝0
Si nos encontramos en 𝑧 = 0 consideramos los valores de 𝑝 ≈ 0,001 𝑃𝑎,
𝑝0 = 101300 𝑃𝑎, 𝑔 = 10
287
𝑍= −
𝑚
𝑠2
, 𝑅 = 287
𝐽
𝐾 𝑘𝑔
𝑦 𝑇 = 213 𝐾, lo que nos da
𝐽
∗ 213 𝐾
0,001𝑃𝑎
𝐾 𝑘𝑔
∗ ln (
) = 11268,6 𝑚𝑡𝑠 ≈ 112,7 𝑘𝑚.
𝑚
101300𝑃𝑎
10 2
𝑠
b) Para esta pregunta utilizaremos la misma formula enunciada en la respuesta de
la pregunta a, sin embargo para aquello necesitamos calcular el valor de R
Para esto utilizamos el dato del valor de la masa molar del 𝐶𝑂2.
𝐽
𝐽
𝑘𝑔 𝑚𝑜𝑙
𝑅=
⟹𝑅=
= 188,96
𝑘𝑔
𝑀𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟
𝐾 𝑘𝑔
0,044
𝑚𝑜𝑙
Con este valor ya calculado, podemos utilizar la ecuación de la parte a)
𝑅∗
188.96
𝑍= −
8,3144
𝐽
∗ 673 𝐾
0,001𝑃𝑎
𝐾 𝑘𝑔
∗
ln
(
) = 11268,6 𝑚𝑡𝑠 ≈ 112,7 𝑘𝑚.
𝑚
101300𝑃𝑎
8.7 2
𝑠
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
P3) Sondeo atmosférico en Rapanui
a) ¿Cuáles capas atmosféricas logras distinguir?
b) ¿Dónde está la tropopausa? ¿Cómo cambia entonces el ozono?
c) Explica cómo se relacionan el perfil de ozono y la temperatura.
d) ¿Qué hace que la temperatura más alta de este sondeo se mida a nivel
superficie?
Solución:
a) En la figura podemos distinguir la Troposfera y parte de la Estratosfera.
b) La tropopausa se encuentra aproximadamente a los 16000 metros de altura.
La cantidad de ozono en algún punto de la estratosfera (aprox a los 25 km) se
encuentra en su máxima concentración y decrece mientras la altura se acerca
hacia la Tropopausa y hacia la Estratopausa
c) La radiación solar cataliza la formación de ozono en la Estratosfera, esto ocurre
cuando los fotones de luz ultravioleta interaccionan con las
moléculas de oxígeno gaseoso (rompe enlaces 𝑂2) y cada átomo de Oxígeno
molecular disociado se junta con otro 𝑂2 para formar el Ozono (𝑂3), este
proceso que es exotérmico (libera calor), además el Ozono también puede
absorber la luz ultravioleta convirtiéndola en calor.
d) El motivo por el cual la temperatura más alta del sondeo se registra en la
superficie es porque la atmosfera “se calienta por abajo”, esto quiere decir que
la radiación solar que logra incidir en la superficie terrestre calienta la
superficie de la tierra calentando la troposfera desde la superficie hacia arriba
(el calor se refleja desde la superficie hacia arriba).
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
P4) Sistema Climático
Responde brevemente (2 a 4 renglones), las siguientes preguntas:
a) ¿Cuáles son los forzantes externos que afectan el clima terrestre?
b) Indica ejemplos de potenciales perturbaciones antrópicas sobre la atmósfera,
la criósfera y la biósfera.
c) ¿Cómo se relacionan el cambio climático y tiempo atmosférico según Le Treut
et al (2007)?
Solución:
a) Los forzantes externos que afectan el clima terrestre son los fenómenos
naturales como las erupciones volcánicas y la radiación solar, la cual afecta
según los cambios de la órbita terrestre, los cambios de albedo y el efecto
invernadero.
b) Sobre la atmosfera una potencial perturbación antrópica es la contaminación
del aire, el aumento en las emisiones de 𝐶𝑂2 que agravan el efecto invernadero.
Para la criosfera es el derretimiento de los hielos producto del calentamiento
global y para la Biosfera lo son la tala de árboles y la extinción de especies
cuando les destruyen su Ecosistema.
c) Según el texto, el cambio climático es generalmente definido como el tiempo
atmosférico promedio (El cambio climático es identificado por las estadísticas
del cambio en el tiempo atmosférico).
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
P5) Efecto invernadero en Marte
Marte tiene una atmósfera muy rica en dióxido de carbono (CO2, 95% en
volumen).
Su distancia al sol es 1.5 veces la terrestre. De la energía recibida al tope de la
atmósfera de Marte un 25% es reflejado (su albedo es 0.25).
a) Calcula la “constante solar” marciana sabiendo que la “constante solar”
terrestre es S=1368 W/m. Supón órbitas circulares y concéntricas.
b) Haciendo un balance de energía simple, encuentra una expresión para la
temperatura de Marte si no tuviera atmósfera. Supón que la radiación solar
calienta la superficie marciana dando lugar a emisión térmica.
c) Estima qué fracción de la radiación infrarroja emitida por Marte debe ser
capturada por la atmósfera si la temperatura superficial observada es de -50°C
y la temperatura radiativa correspondiente al balance sin atmósfera es de
-55°C
Solución:
a) Sabemos que la constante solar del planeta Tierra se calcula con la siguiente
formula
2
4
4𝜋𝑅𝑆𝑜𝑙
𝜎𝑇𝑆𝑜𝑙
𝑊
𝐶𝑆𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 =
=
1368
2
𝑚2
4𝜋 𝐷𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎−𝑆𝑜𝑙
Realizando lo mismo para el cálculo de la constante solar del planeta Marte
tenemos
𝐶𝑆𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 =
2
4
4𝜋𝑅𝑆𝑜𝑙
𝜎𝑇𝑆𝑜𝑙
2
4𝜋 𝐷𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒−𝑆𝑜𝑙
Si dividimos ambas ecuaciones tenemos que
2
𝐶𝑆𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎
𝐷𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒−𝑆𝑜𝑙
= 2
𝐶𝑆𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
𝐷𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎−𝑆𝑜𝑙
Finalmente, al utilizar los datos del problema se obtiene que
𝐶𝑆𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
2
𝑊
𝐷𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎−𝑆𝑜𝑙
𝑊
= 1368 2 ∗
=
608
𝑚
(1.5 𝐷𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎−𝑆𝑜𝑙 )2
𝑚2
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
b) Para resolver esta pregunta, utilizaremos el siguiente equilibrio radiativo
𝐸𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝐸𝑆𝑎𝑙𝑒
Además sabemos que la energía que entra a Marte se puede expresar como
2
𝐸𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝐶𝑆𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 (1 − 𝛼)𝜋𝑅𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
Y la energía que emite Marte también se puede expresar como
2
𝐸𝑆𝑎𝑙𝑒 = 𝜎𝑇 4 4𝜋𝑅𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
Juntando todas las ecuaciones enunciadas, obtenemos que la temperatura de
Marte es
4 𝐶𝑆
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 (1 − 𝛼)
𝑇= √
= 212 𝐾
4𝜎
c) Queremos conocer el porcentaje 𝜒 de radiación emitida que es atrapada por el
efecto invernadero. Para esto sabemos que la temperatura observada es de
𝑇1 = −50 °𝐶, lo que corresponde a la temperatura con la presencia de la
atmosfera y además sabemos que la temperatura en ausencia de atmosfera es
𝑇2 = −55°𝐶.
Para el cálculo, realizamos dos balances energéticos, uno que considere la
presencia de la atmosfera (1) , y otro que no (2) .
(1)
2
2
(1 − 𝜒)
𝐶𝑆𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 (1 − 𝛼)𝜋𝑅𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
= 𝜎𝑇2 4 4𝜋𝑅𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
4
2
2
(2)
𝐶𝑆𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 (1 − 𝛼)𝜋𝑅𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒 = 𝜎𝑇2 4𝜋𝑅𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒
Dividiendo ambas ecuaciones, se obtiene que
𝑇1
𝜒 = 1 − ( )4 = 32%
𝑇2
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
P6) Capas Atmosféricas
La presión y temperatura atmosféricas cambian con la altura entre la superficie
y 80 km aproximadamente de acuerdo a la figura que aparece más adelante.
a) A partir de la figura, estima la relación existente entre el logaritmo natural de
la presión (p) y la altitud (z). O sea, estima los parámetros de la ecuación:
𝑝
𝑧 − 𝑧0 = −𝐻 ∗ ln( )
𝑝0
b) ¿Cuál es la razón entre la temperatura mínima y máxima según la figura?
¿Cómo es la razón entre las presiones correspondientes?
c) Si tus estimaciones en (a) están correctas, debieras encontrar que la presión
decae exponencialmente con la altitud y con una escala de altura H,
correspondiente a una atmósfera isotérmica de aproximadamente 250 K.
¿Cómo se explica que ésta sea una buena aproximación para la variación de la
presión con la altura si la temperatura muestra variaciones como las indicadas
en la figura considerando que se satisface la ley de gases ideales (𝑝 = 𝜌𝑅𝑇)?
Usa los resultados encontrados en (b)
d) ¿Qué fracción de la masa atmosférica está contenida en la tropósfera según la
figura? ¿Cuál es la fracción contenida en la mesósfera?
e) ¿Cómo varía la densidad con la altura para esta atmósfera? (Escribe una
ecuación o dibújala de acuerdo a la figura de la pregunta)
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
Solución:
a) Según el grafico de Ln (p) v/s Altitud, se observa que la pendiente de este (H)
es positiva, ya que H es el factor que permite saber cómo decrece la presión en
función de la altitud.
𝐻= −
80000 − 0
= 6950
ln(1) − ln(100000)
b) La razón entre la temperatura mínima y máxima es
𝑇𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎 180 𝐾
=
= 0.6
𝑇𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 300 𝐾
La razón entre las presiones correspondientes es
𝑝𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎
0.01 ℎ𝑃𝑎
=
= 0.00001
𝑝𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎
1000 ℎ𝑃𝑎
c) Esta aproximación es buena, pues el cambio de presión es muchísimo mayor (5
órdenes de magnitud) que el cambio de temperatura, por lo tanto, si se
aproxima la relación de presión/altura a una atmosfera con temperatura
constante, el error es aceptable.
La ecuación de gases ideales, relaciona 𝜌, P y T, por lo tanto si T es constante
con la altura, se tendrá que el cambio de la densidad seguirá la misma forma
que el cambio de presión.
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INTRODUCCIÓN A LA METEOROLOGIA Y OCEANOGRAFIA
TAREA 1
d) Considerando que la troposfera llega hasta los 12000 metros de altura, se
utiliza la siguiente ecuación
𝑝
𝑧 − 𝑧0 = −𝐻𝑙𝑛( )
𝑝0
𝑝
12000 𝑚 − 0 𝑚 = −7000 ∗ 𝐻𝑙𝑛( )
𝑝0
𝑝
= 0.18 ⟹ 𝑝 = 0.18 𝑝0
𝑝0
Como p es aproximadamente el 20% de la presión superficial, se tiene el 80%
de la masa atmosférica en la troposfera.
La mesosfera es la ultima fracción mostrada es los gráficos. Es decir, se
encuentra entre los 80 y 50kms de altitud.
Utilizando nuevamente la ecuación, pero ahora para los dos niveles.
𝑝
𝑧 − 𝑧0 = −𝐻𝑙𝑛( )
𝑝0
𝑝80𝐾𝑚
80000 𝑚 − 0 𝑚 = −7000𝑙𝑛(
)
𝑝0
𝑝80𝐾𝑚
= 0.000011 ⟹ 𝑝80𝐾𝑚 = 1.1 ∗ 10−5 ∗ 𝑝0
𝑝0
𝑝
𝑧 − 𝑧0 = −𝐻𝑙𝑛( )
𝑝0
50000 𝑚 − 0 𝑚 = −7000𝑙𝑛(
𝑝50𝐾𝑚
)
𝑝0
𝑝50𝐾𝑚
= 0.000011 ⟹ 𝑝50𝐾𝑚 = 8 ∗ 10−4 ∗ 𝑝0
𝑝0
Como 𝑝80𝐾𝑚 es aproximadamente 0.0011% de la presion superficial, se tiene el
99.9989% de la masa atmosferica. Y para 𝑝50𝐾𝑚 es el 0.08% de 𝑝0 , entonces la
masa es el 99.92%
En definitiva, el porcentaje de masa de la mesosfera es de 0.0789 %
(diferencia entre 99.9989 y 99.92)
e) Por la ecuación de gases ideales, la densidad varia casi igual que la presión en
la altura, pues la temperatura se puede aproximar constante
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