1.4 Formas estándar y canónicas

FORMAS ESTÁNDAR Y CANONICA
La forma canónica de la programación lineal es:
Max Z= c1x1+ c2x………..+ cnxn
Sujeto a las restricciones:
a11x1+ a12x2 …….. + a1nxn ≤ b1
a21x1+ a22x2………..+ a2nxn ≤ b2
am1x1+ am2x2………..+ amnxn ≤ bm
x1 ≥ 0, x≥ 0……….xn ≥ 0
Se puede observar que en la forma canónica:
1) La función objetivo se maximiza.
2) Las restricciones de los recursos son representados por desigualdades
menor o igual a los recursos limitados (≤).
3) Las variables todas deben ser mayores que cero.
Para poder resolver de forma algebraica el modelo de programación lineal debe
tener las siguientes propiedades:
a) Todas restricciones deben ser ecuaciones (igualdades) y el segundo miembro
no debe de ser negativo.
b) Todas las variables no deben ser negativas
c) La función objetivo puede ser de maximización o de minimización.
a) Para que todas las restricciones se conviertan a ecuaciones (igualdades):
1) Las restricciones de tipo ≤ se le suma una variable de holgura al primer miembro de
la ecuación.
Ejemplo:
X1 + 2x2 ≤ 6
se convierte en: X1 + 2x2 + Xe = 6
2) Las restricciones de tipo ≥ se le resta una variable de exceso al primer miembro de la
ecuación.
Ejemplo:
X1 + 2x2 ≥ 6
se convierte en: X1 + 2x2- Xe = 6
3) El segundo miembro de una ecuación puede hacerse no negativo multiplicando
ambos lados por -1.
X1 + 2x2 - 5x3 = -6
se convierte en: -X1- 2x2+ 5x3= 6
4) En una desigualdad, el signo se invierte al multiplicar por -1
X1 - 2x2 ≥ -6
se convierte en: -X1+ 2x2 ≤ 6
b) Todas las variables no deben ser negativas
En caso de existir una variable irrestricta (no restringida) xi puede expresarse en
término de dos variables no negativas
Xi = xi´ + xi´´
La sustitución debe efectuarse en todas las ecuaciones incluyendo la función
objetivo.
C) como sabemos el problema de PL puede ser maximización o minimización,
pero algunas veces es conveniente convertir de una forma a otra:
La maximización de una función objetivo equivale a la minimización del negativo
de la misma función y viceversa
Maximizar z = 5x1+ 2x2 + 3x3
es igual a minimizar –z = -5x1 – 2x2 – 3x3
Además la función objetivo de debe igualar a cero:
z = 5x1 + 2x 2 + 3x3
se convierte a z- 5x1 - 2x2 - 3x3=0
Aprovechando estas propiedades podemos pasar cualquier problema de PL de la
forma canónica a la forma estándar que es la que se trabaja de forma algebraica y
que tiene la forma general de:
Z - c1x1 - c2x2…………cnxn
Sujeto a:
a11x1 + a12x1………….. +a1nxn + xn1 = b1
a21x1+ a22x1…………..+ a2nxn + xn2 = b2
am1x1+ am2x1…………..+a1mxn+ xnm = bm
En donde:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0………. Xn ≥ 0
xh1 ≥ 0, xh2≥ 0………. Xnm≥ 0
Bibliografia.
Investigación de operaciones. Aplicaciones y algoritmos.
Wayne L. Winston
4a Edicion.