Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 19: EL ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO –TEORÍA CLÁSICADiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
Temas
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Introducción
Sobre la simplificación
Las ecuaciones de Maxwell en forma integral
Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial
Interpretación de las ecuaciones de Maxwell
Pasar de la forma integral a la forma diferencial
La ecuación de onda electromagnética.
Teoría clásica
La Fuerza de Lorentz e interacción de la OEM con la materia.
Taller sobre OEM
Introducción
La onda electromagnética (radiación electromagnética, OEM) es
una combinación de campos eléctricos y magnéticos oscilantes y
perpendiculares entre sí, que se propagan a través del espacio
transportando energía electromagnética de un lugar a otro. A
diferencia de las ondas mecánicas, como el sonido, que necesitan un
medio material para propagarse, la radiación electromagnética se
puede propagar en el vacío. La luz es sólo una muy pequeña porción
de las OEM, es decir, del denominado espectro electromagnético,
Figura 1.
Maxwell desarrolló unas ecuaciones, actualmente denominadas
ecuaciones de Maxwell, de las que se desprende que un campo
eléctrico variable en el tiempo genera un campo magnético y,
recíprocamente, la variación temporal del campo magnético genera
un campo eléctrico: se puede visualizar la radiación
electromagnética como dos campos que se generan mutuamente, por eso no necesitan ningún medio material
para propagarse. Las ecuaciones de Maxwell también
predicen que la velocidad de propagación de estas ondas es
la velocidad de la luz, que en el vacío equivale
aproximadamente a 300 000 km/s (c); también predice que
ellas se propagan perpendicularmente a las oscilaciones del
campo eléctrico y magnético que, a su vez, son
perpendiculares entre sí, Figura 2. El objetivo de éste
módulo es mostrar lo que se afirma en éste párrafo.
Sobre la simplificación
En los módulos # 16, # 17, # 18 sobre óptica física, sólo se tuvo en cuenta el campo eléctrico de la luz
(también conocido con el nombre de campo óptico), en cuyo caso se asimiló éste como si fuera una simple
“elongación”, con el fin de facilitar la comprensión de la mayoría de los estudiantes del curso, debido a que
no tienen fundamentación en electromagnetismo. Así para la situación de la OEM de la Figura 2, que es una
OEM plana y armónica que se encuentra polarizada linealmente en el plano XZ (la polarización la define el
campo eléctrico) y que viaja en dirección +Z, se escribiría,
x = Ax sen  kz - wt + φo  i
El hecho de que en los materiales dieléctricos se pueda despreciar los efectos magnéticos será
demostrado en éste módulo. Adicionalmente en el módulo ya se expresará explícitamente la naturaleza
electromagnética de la luz y en general de todas las OEM, por lo que se escribirán las ecuaciones
correspondientes a los dos campos: eléctrico y magnético,
E x = Eosen  kz - wt + φo  i
By = Bosen  kz - wt + φo  j
Las ecuaciones de Maxwell en forma integral
En la Tabla 1 se ilustran las ecuaciones de Maxwell en el vacío en su forma integral.
Tabla 1
Nombre
Ecuación integral
Ley de Gauss del campo
eléctrico
φE =
Ley de Gauss del campo
magnético
φB =
Ley de Faraday-Henry (y
Lenz)
E =
Ley de Ampere-Maxwell
B =
 E  ds =
s
qencerrada
εo
[1]
 B  ds = 0
[2]
s
 E  dr = c
dφB
d
=-  B  ds
dt
dt s
 B  dr = μ i
o encerrada
c
 μo εo
dφE
d
= μ oiencerrada  μo εo  E  ds
dt
dt s
[3]
[4]
Si hay ausencia de cargas y corrientes eléctricas, que será el caso que nos interesa en éste módulo para
mostrar que las OEM se propagan en vacío completo, las ecuaciones de Maxwell en su forma integral toman
la forma de la Tabla 2.
2
Tabla 2
Nombre
Ecuación integral
Ley de Gauss del campo eléctrico
φE =
Ley de Gauss del campo magnético
φB =
 E  ds =0
[5]
s
 B  ds = 0
[6]
s
Ley de Faraday-Henry (y Lenz)
E =
 E  dr = c
Ley de Ampere-Maxwell
B =
dφB
d
=-  B  ds
dt
dt s
 B  dr = μ ε
o o
c
En las Tablas 1 y 2 los símbolos significan:
circulación del campo eléctrico,
dφE
d
= μ o ε o  E  ds
dt
dt s
[7]
[8]
φE flujo del campo eléctrico, φB flujo del campo magnético, ξ E
ξ B circulación del campo magnético, E campo eléctrico, B campo
magnético, t tiempo, s superficie, c línea curva, ds diferencial de superficie, dr diferencial de
desplazamiento sobre la curva c. Las constantes
μo y εo son las correspondientes permeabilidad y
permitividad del vacío y sus valores son,
μo  4π 107 N.A-2
εo  8,854 1012 C2 . N-1. m-2
Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial
En la Tabla 3 se ilustran las ecuaciones de Maxwell en el vacío en su forma diferencial.
Tabla 3
Nombre
Ecuación diferencial
Ley de Gauss del campo eléctrico
E =
ρ
εo
[9]
Ley de Gauss del campo magnético
 B = 0
[10]
Ley de Faraday-Henry (y Lenz)
 E = -
Ley de Ampere-Maxwell
 B = μ o j + μ o ε o
B
t
[11]
E
t
[12]
Si hay ausencia de cargas y corrientes eléctricas, que será el caso que nos interesa en éste módulo para
mostrar que las OEM se propagan en vacío completo, las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial
toman la forma de la Tabla 4.
3
Tabla 4
Nombre
Ecuación diferencial
Ley de Gauss del campo eléctrico
 E = 0
[13]
Ley de Gauss del campo magnético
 B = 0
[14]
Ley de Faraday-Henry (y Lenz)
 E = -
Ley de Ampere-Maxwell
E
 B = μ o ε o
t
En las Tablas 3 y 4 los símbolos significan:
campo magnético,
B
t
[15]
4
[16]
  E divergencia del campo eléctrico,   B divergencia del
  E rotacional del campo eléctrico,   B rotacional del campo magnético.
Interpretación de las ecuaciones de Maxwell
Ley de Gauss del campo eléctrico
Enunciado de la forma integral
El flujo del campo eléctrico (mejor electrostático) a través de cualquier superficie cerrada (denominada
superficie gaussiana) es proporcional a la carga eléctrica neta encerrada en esa superficie.
Enunciado de la forma diferencial
La divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad volumétrica de carga eléctrica en una
región (esta región es infinitesimal).
Interpretación

Las líneas de campo eléctrico generado por cargas eléctricas en reposo son líneas abiertas: se originan
en las cargas positivas (manantiales) y se sumergen en las cargas negativas (sumideros), Figura 3.

Dada una distribución de cargas eléctricas, y una superficie gaussiana, al campo eléctrico en cualquier
punto del espacio (adentro, sobre o afuera de la superficie gaussiana) contribuyen todas las cargas
eléctricas (tanto las que se encuentran adentro de la gaussiana como afuera); sin embargo, al flujo del
campo eléctrico a través de la superficie gaussiana sólo contribuyen las cargas eléctricas que se
encuentran adentro de ésta, Figura 4.

Existen monopolos eléctricos: Hay divergencia del campo eléctrico donde se encuentren cargas
eléctricas. Donde haya cargas positivas hay divergencia de campo eléctrico y donde haya cargas
negativas hay convergencia (divergencia negativa).
5
Figura 3: Monopolos eléctricos
Figura 4: Al flujo del campo eléctrico a través de s contribuyen las cargas encerradas
Video:
¿Estará cargado un cuerpo?
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/ondas_electromagnetic
as/esta_cargado.html
Video:
Detección del signo de una carga eléctrica.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/ondas_electromagneticas/
deteccion_signo_carga.html
Video:
Cargar el electroscopio por contacto
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/ondas_electromagnetic
as/carga_contacto.html
Video:
Cargar el electroscopio por inducción
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/ondas_electromagneticas/c
arga_induccion.html
Ley de Gauss del campo magnético
Enunciado de la forma integral
El flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es cero.
Enunciado de la forma diferencial
La divergencia del campo magnético es cero.
Interpretación

Las líneas de campo magnético son líneas cerradas, Figura 5: las líneas de campo que entran a una
superficie gaussiana provenientes de una fuente de campo magnético (que esté adentro o afuera de la
gaussiana) vuelven a salir, Figura 6.

Es decir no existen monopolos magnéticos: no existen fuentes de campos magnéticos que sean
manantiales o sumideros únicamente; todas las fuentes magnéticas son a la vez manantiales y
sumideros. Por tanto, no existen regiones (infinitesimales) del espacio donde estén ubicadas fuentes
que generen divergencia neta de campo magnético.
Video:
El levitrón
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/ondas_electromagneticas/l
evitron.html
Video:
6
Equilibrio magnético-gravitacional
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/ondas_electromagneticas/
equilibrio_mahgnetico_gravitacional.html
7
Figura 5
Figura 6
Video:
Construcción de una brújula
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/ondas_electromagnetic
as/brujula.html
Ley de Faraday-Henry (y Lenz)
Señala el campo magnético variable en el tiempo como fuente de campo eléctrico.
8
Enunciado de la forma integral
La circulación del campo eléctrico a través de una trayectoria cerrada es igual a MENOS la variación
temporal del flujo del campo magnético a través de cualquier superficie limitada por esa trayectoria,
Figura 7.
Enunciado de la forma diferencial
El rotacional del campo eléctrico es igual a MENOS la variación temporal del campo magnético. En otras
palabras la variación temporal del campo magnético es fuente de rotacional ("torbellino") de campo
eléctrico.
Interpretación

Las líneas de campo del campo eléctrico generado por variaciones temporales del campo magnético son
líneas cerradas.

Es decir, la variación temporal del campo magnético genera "torbellino" de campo eléctrico ortogonal a
la dirección en que fluye el campo magnético, Figura 8.
Figura 7
9
Figura 8
Video:
Ley de Faraday
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/ondas_electromagnetic
as/ley_faraday.html
Ley de Ampere-Maxwell
Señala como fuentes de campo magnético tanto a las cargas eléctricas en movimiento (corrientes
eléctricas), como a los campos eléctricos variables en el tiempo (corrientes de desplazamiento).
Enunciado de la forma integral
A la circulación del campo magnético a través de una trayectoria cerrada (denominada línea amperiana)
contribuyen tanto las corrientes eléctricas encerradas por la trayectoria como las variaciones del flujo de
campo eléctrico a través de cualquier superficie limitada por dicha trayectoria.
Enunciado de la forma diferencial
Al rotacional del campo magnético contribuyen tanto las densidades de corriente eléctrica como la
variación temporal del campo eléctrico (densidad de corriente de desplazamiento ). En otras palabras tanto
las densidades de corriente eléctrica como la variación temporal del campo eléctrico son fuentes de
rotacional ("torbellino") de campo magnético.
Interpretación

Las líneas de campo magnético generado tanto por corrientes eléctricas como por variaciones
temporales del campo eléctrico son líneas cerradas.

Además de las cargas en movimiento, la variación temporal del campo eléctrico genera "torbellino" de
campo magnético ortogonal a la dirección en que fluye el campo eléctrico, Figura 9.
10
Figura 9
Pasar de la forma integral a la forma diferencial
Para pasar de la forma integral de las ecuaciones de Maxwell a la forma diferencial, es necesario aplicar los
teoremas de la divergencia y del rotacional.
Teorema de la divergencia:
 A  ds      A  dV
s
V
En donde V es el volumen encerrado por la superficie S. A es una función vectorial (campo vectorial).
Teorema del rotacional:
 A  dr      A   ds
c
s
En donde S es la superficie limitada por la curva c. A es una función vectorial (campo vectorial).
De la forma integral de la ley de Gauss para el campo eléctrico deducir la forma diferencial
φE =
 E  ds =
s
qencerrada
εo
Aplicando el teorema de la divergencia,
 E  ds      E  dV
s
V
De la densidad de carga volumétrica se tiene,
ρ=
dq
dV
q=
 ρdV
V'
Por lo tanto la ley de Gauss toma la forma,
   E  dV =
V
1
εo
 ρdV
V'
Como solo habrá divergencia de campo eléctrico donde haya presencia de carga eléctrica se pueden igualar
V y V’ concluyéndose que,
E 
ρ
εo
que es la ley de Gauss del campo eléctrico en forma diferencial.
De la forma integral de la ley de Gauss para el campo magnético deducir la forma diferencial
φB =
 B  ds = 0
s
Aplicando el teorema de la divergencia,
 B  ds      B  dV
s
V
Por lo tanto la ley de Gauss toma la forma,
11
    B dV = 0
V
concluyéndose que,
B  0
que es la ley de Gauss del campo magnético en forma diferencial.
De la forma integral de la ley de Faraday-Henry deducir la forma diferencial
E =
 E  dr = c
dφB
d
=-  B  ds
dt
dt s
Aplicando el teorema del rotacional,
 E  dr      E   ds
c
s
De la definición de flujo se tiene,
dφB d
B
=  B  ds = 
 ds
dt
dt s
t
s
Por lo tanto la ley de Faraday-Henry toma la forma,
B
  E   ds= - t .ds
s
s'
 E = -
B
t
que es la ley de Faraday-Henry en forma diferencial.
De la forma integral de la ley de Ampere-Maxwell deducir la forma diferencial
B =
 B  dr = μ i
o encerrada
c
 μoεo
dφE
d
= μ oiencerrada  μ oε o  E  ds
dt
dt s
Aplicando el teorema del rotacional,
 B  dr      B  ds
c
s
12
De la definición de flujo se tiene,
dφE d
E
=  E  ds = 
 ds
dt
dt s
t
s
De la definición de densidad de corriente eléctrica,
j
13
di
uN
ds
en donde
u N es el versor normal a la superficie que es atravesada por la carga eléctrica,
i   j  ds u N   j  ds
s
s
y por lo tanto la ley de Ampere-Maxwell toma la forma,
  B  ds= μ
s
s'
 B = μ o j + μ o ε o
o
j  ds   μ oε o
s''
E
 ds
t
E
t
que es la ley de Faraday-Henry en forma diferencial.
La ecuación de onda electromagnética
Combinando las denominadas ecuaciones de Maxwell en el vacío (es decir, sin presencia de carga, q=0, =0 y
de corriente eléctrica, i=0, J = 0 ), Maxwell encontró que los campos eléctrico ( E ) y magnético ( B )
inducidos se propagaban en el vacío como ondas acopladas oscilando ortogonalmente entre ellas y
propagándose a la velocidad de la luz en la dirección señalada por el producto vectorial E  B . Los dos
campos (que se propagan simultáneamente y en fase) forman lo que se conoce como onda electromagnética
o radiación electromagnética.
Considerar que inicialmente los campos son,
E = Ei
B = Bj
Reemplazando en la ley de Gauss en forma diferencial para el campo eléctrico en el vacío (es decir sin
presencia de cargas eléctricas: q=0, =0), ecuación [13], se obtiene,
 E = 0


 
 x i  y j  z k   Ei   0


E
0
x
es decir el campo eléctrico inducido no depende de x.
Reemplazando en la ley de Gauss en forma diferencial para el campo magnético, ecuación [14], se obtiene,
 B = 0


 
 x i  y j  z k   Bj   0


B
0
y
es decir el campo magnético inducido no depende de y.
Reemplazando en la ley de Faraday-Henry en forma diferencial, ecuación [15], se obtiene,
E = -
B
t


 
B
 x i  y j  z k   Ei    t j



E
E
B
k+
j
j
y
z
t
y por lo tanto,
E
0
y
es decir el campo eléctrico inducido no depende de y.
Adicionalmente,
E
B

z
t
[17]
14
Reemplazando en la ley de Ampere-Maxwell en forma diferencial, ecuación [16], se obtiene,
  B = μoεo
E
t


 
E
 x i  y j  z k   Bj   μ o ε o t i


B
B
E
ki  μoεo
i
x
z
t
y por lo tanto,
B
0
x
es decir el campo magnético inducido no depende de x.
Adicionalmente,
B
E
 μ o ε o
z
t
[18]
En definitiva ni el campo eléctrico ni el campo magnético inducidos dependen de x e y.
Derivando la ecuación [17] respecto a z y la ecuación [18] respecto al tiempo,
2E
2B


z 2
zt
2B
2E
 μ o ε o 2
tz
t
Igualando estas dos últimas ecuaciones se obtiene,
1 2E 2E

μ oε o z 2 t 2
que corresponde a la ecuación diferencial de onda, es decir, el campo eléctrico inducido se propaga como
una onda TRANSVERSAL con velocidad,
c
1
km
 300 000
s
μoεo
15
que es la velocidad de la luz en el vacío.
Derivando la ecuación [17] respecto al tiempo y la ecuación [18] respecto a z,
2E
2B
 2
tz
t
2B
2E
 μ o ε o
z 2
zt
Igualando estas dos últimas ecuaciones se obtiene,
1 2B 2B

μ oε o z 2 t 2
que corresponde a la ecuación diferencial de onda, es decir, el campo magnético inducido se propaga como
una onda TRANSVERSAL también con la velocidad de la luz.
Esto llevó a concluir a Maxwell que la luz no es más que una forma de radiación electromagnética. Esta se
conoce en la historia de la física como la teoría electromagnética de la luz o teoría clásica de la luz.
Demostrar que E y B están en fase
Supóngase que los campos eléctrico y magnético inducidos son ondas armónicas planas,
E x = Eosen  kz - wt + φo  i
By = Bosen  kz - wt + φo  j
Según la ecuación [17],
E
B

z
t
Y por lo tanto,
kEocos  kz - wt + φo   wBocos  kz - wt + φo 
Por lo tanto,
φo = φo
es decir mientras se estén propagando E y B inducidos estarán en fase.
Adicionalmente se concluye que,
16
kEo = wBo
Bo =
k
Eo
w
y como,
kc = w
Bo =
Eo
c
17
[19]
y por lo tanto también,
B=
E
c
[20]
Es importante anotar que los campos eléctrico y magnético correspondientes a una onda electromagnética
son ortogonales entre sí y a su vez ortogonales a la dirección de propagación. En el caso que se supuso, el
campo eléctrico vibra en en el eje x y se propaga en dirección +z; el campo magnético vibra en el eje y y
se propaga en dirección +z. Esto permite concluir que las ondas electromagnéticas (OEM) propagándose en
el vacío son transversales. Además, la polarización de una OEM la define la vibración del campo eléctrico.
Teoría clásica
Desde un punto de vista clásico la fuente de radiación electromagnética es una carga eléctrica acelerada.
Una carga libre (aquella que no está enlazada dentro de un átomo) emite radiación electromagnética cuando
se acelera. Este es el caso de las cargas que cambian de velocidad en línea recta dentro de un acelerador
lineal, de la emisión de rayos X por el frenado de electrones al colisionar con un metal en el tubo de rayos
X, de las partículas cargadas que se mueven circularmente dentro de un ciclotrón y las partículas cargadas
que oscilan como en el caso de las antenas emisoras de radiofrecuencia.
Es por esto que las antenas emisoras de radiación electromagnética corresponden a conductores en los
cuales se ha generado un voltaje variable en el tiempo. En el caso de ser este voltaje armónico, la onda
emitida será armónica de la misma frecuencia. El análisis de este tipo de antenas se lleva a cabo a través
de un circuito RLC.
En efecto, una antena es un circuito RLC que emite ondas electromagnéticas de forma eficiente. Cualquier
circuito por el que circule una corriente variable emite radiación electromagnética. Pero la eficiencia de
emisión del circuito depende de su geometría. En la Figura 10 izquierda se ilustra un circuito elemental con
un condensador y alimentado por un generador de corriente alterna. Si se abren las placas del condensador,
el campo eléctrico alterno generado entre sus placas deja de estar confinado al volumen entre las mismas y
se radia hacia el exterior. La situación óptima aparece cuando las placas forman dos varillas, como se indica
en la figura. Una antena lineal como la ilustrada en la Figura 10 izquierda alimentada por corriente alterna,
se puede considerar que es un dipolo oscilante. Es importante anotar que este radiará en todas las
direcciones excepto en la dirección que vibra. En la figura 10 derecha se ilustra el campo eléctrico
correspondiente a la radiación electromagnética emitida por un dipolo eléctrico que oscila verticalmente;
se puede observar claramente que emite radiación en todas las direcciones excepto en la dirección vertical.
18
Figura 10
La Fuerza de Lorentz e interacción de la OEM con la materia
Si una OEM actúa sobre una carga eléctrica q que se mueve con velocidad V , la fuerza sobre ésta tiene
una componente de naturaleza magnética y otra de naturaleza eléctrica, expresada por la fuerza de
Lorentz,
F= FE + FM = qE + qV×B
El máximo valor de la fuerza magnética es,
FM = qVB
Reemplazando la ecuación [20],
FM = qV
E V
V
=    qE  =   FE
c c
c
es decir, para el caso de materiales dieléctricos, V de las cargas eléctricas es muy pequeña (están muy
ligadas) comparadas con la velocidad de la luz y por lo tanto,
FE  FM
Lo que significa que cuando la luz interactúa con material dieléctrico (vdrio, agua, plástico, aire,…) los
efectos magnéticos son muy débiles comparados con los efectos eléctricos. Es por esto que en óptica sólo
se tuvo en cuenta el campo eléctrico de la luz al cual se le denominó campo óptico.
Taller sobre OEM
Pendiente
FIN.