Universidad técnica de Machala Facultad de ciencias químicas y de la salud Carrera de bioquímica y farmacia Nombre: Luis Correa Correa Fecha: 17/01/14 Docente: Freddy Alberto Pereira Guanuche ECUACIONES DE MAXWELL Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. DESARROLLO HISTÓRICO DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos eléctricos, los campos magnéticos y las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes están la ley de Ampère, la ley de Faraday o la ley de Lenz. Maxwell lograría unificar todas estas leyes en una descripción coherente del campo electromagnético. Maxwell se dio cuenta que la conservación de la carga eléctrica parecía requerir introducir un término adicional en la ley de Ampère. De hecho, actualmente se considera que uno de los aspectos más importantes del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que introdujo en la ley de Ampère; la derivada temporal de un campo eléctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo.2 Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday. En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuación (54). Ello provocó que se perdiera el término que aparecía en la ecuación posterior del trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz. La historia es aún confusa, debido a que el término ecuaciones de Maxwell se usa también para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esta confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, así se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del término eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones. DETALLES DE LA ECUACIÓN Conceptos previos Antes de poder entender las ecuaciones de Maxwell es necesario entender los conceptos matemáticos de divergencia y rotacional de un vector. Se explicará de forma intuitiva el significado de los operadores diferenciales básicos, con el mínimo posible de expresiones matemáticas. Operador nabla Se define como: Gradiente Si se aplica este operador a un campo escalar, se obtiene un vector con módulo y dirección, representado por una flecha en el espacio, según la siguiente expresión: El vector representa cuánto varía el campo escalar respecto a cada uno de sus ejes. Si el campo escalar es un potencial, entonces su gradiente será una fuerza. Divergencia El concepto se entiende a partir del teorema de la divergencia o teorema de Gauss. La divergencia del vector φ representa el flujo neto que emerge por unidad de volumen de una superficie cerrada. Pero ese volumen es infinitesimal. Debe haber un sumidero o una fuente de flujo para que entre flujo o salga flujo de un volumen respectivamente; en el caso de que el flujo salga de una fuente se representa con vectores saliendo del punto que las genera (div φ > 0) o vectores entrando hacia un punto en el caso contrario (div φ < 0). Si en la unidad de volumen (imagínese una esfera) entra el mismo flujo que sale, representándose por los vectores que pasan a través de dicho volumen, entonces no existe nada dentro de ese volumen que provoque flujo en uno u otro sentido (div φ = 0). Rotacional El rotor se entiende a partir del teorema de Stokes. Del cual se infiere que el rotor tiene que ver con el significado de torbellinos. El vector φ rota en torno a un punto, se producen circulaciones en trayectorias cerradas del vector φ, en este caso el rot φ != 0. Rotor distinto de 0. ECUACIONES DE MAXWELL Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla: Nombre Forma diferencial Forma integral Ley de Gauss: Ley de Gauss para el campo magnético: Ley de Faraday: Ley de Ampère generalizad a: Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que la cantidad era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permisividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla: Símbolo Nombre Valor numérico Unidad de medida SI Tipo Velocidad de la luz en el vacío metros por segundo definido Permitividad faradios por metro derivado Permeabilidad magnética henrios por metro Definido