1 PREMIOS PROYECTOS FIN DE CARRERA “CÁTEDRA TELEFÓNICA” 2009 Estudio y Desarrollo de un Método de los Momentos Volumétrico para Análisis de Cuerpos de Geometría y Composición Arbitraria Cebrián García González, cgarciag@tsc.uniovi.es Resumen — El método de los momentos volumétrico es una técnica matemática que permite resolver problemas electromagnéticos complejos con la ayuda de un ordenador. La utilización de una formulación volumétrica permite el cálculo del campo eléctrico en el interior de objetos dieléctricos (por ejemplo tejidos biológicos) expuestos a una fuente de radiación electromagnética. Se puede utilizar, por tanto, como una herramienta no invasiva para determinar niveles de campo eléctrico, S.A.R. u otros parámetros electromagnéticos en el interior de tejidos biológicos u otros objetos dieléctricos. E I. INTRODUCCIÓN L estudio de cómo la radiación electromagnética afecta a las personas es un tema recurrente en la actualidad debido al auge tan importante producido en las tecnologías inalámbricas. La expansión de las comunicaciones móviles, la proliferación de redes inalámbricas (Wifi, bluetooth, …) así como el uso de identificación por radiofrecuencia (RFID) entre otros, generan la necesidad de buscar métodos que permitan cuantificar el efecto de la radiación electromagnética en tejidos biológicos. Por todo ello en los últimos años se han realizado muchos estudios de laboratorio para tratar de analizar este problema. Con tal fin se pueden utilizar métodos de observación directa y medidas para intentar cuantificar dichos efectos, pero requieren de técnicas muy complejas que, si bien permiten obtener datos muy fiables, su utilidad es limitada. Existen también métodos teóricos que permiten realizar estimaciones del campo en el interior de objetos dieléctricos. Estos métodos están basados en principios electromagnéticos y modelos equivalentes del problema bajo estudio, y permiten simular el campo eléctrico en el interior de los objetos dieléctricos expuestos a una onda electromagnética. No obstante, siempre es importante poder validar los resultados de los métodos teóricos con algún método de observación que permitan comparar las estimaciones con medidas reales en algún problema sencillo. En el presente trabajo se ha revisado la técnica numérica denominada Método de los Momentos volumétrico, dadas sus potenciales aplicaciones para el estudio del campo en el interior de cuerpos dieléctricos, y por tanto, tejidos biológicos. II. MÉTODO DE LOS MOMENTOS VOLUMÉTRICO En 1974 Livesay y Chen desarrollan un nuevo método al que llamaron tensor de la ecuación integral de campo eléctrico. Este método se basa en el principio de equivalencia volumétrico que permite reemplazar el problema original (una onda electromagnética incidiendo sobre un objeto dieléctrico) por otro equivalente más sencillo de resolver. El problema electromagnético equivalente se resuelve partiendo de las Ecuaciones de Maxwell (en las cuales se basan todos los problemas electromagnéticos), obteniéndose una expresión matemática en la cual la incógnita es el campo eléctrico en el interior del cuerpo dieléctrico. Para poder resolver dicha expresión matemática con un ordenador se utiliza la técnica del Método de los Momentos volumétrico. De esta manera se obtiene un conjunto de ecuaciones discretas (que se pueden resolver con un ordenador) a partir de una ecuación continua. Dicho paso requiere la división del cuerpo original en dominios suficientemente pequeños (en este caso cubitos) tal que se pueden considerar constantes la composición y el campo eléctrico en su interior. Además, se fuerza el cumplimiento de la ecuación continua en los centros de los cubitos. De esta forma se obtiene un sistema lineal de ecuaciones que se puede resolver con ayuda del ordenador, obteniéndose como resultado el campo eléctrico en el centro de cada cubito. Cuando se analizan problemas grandes (varios cientos de miles de ecuaciones), la resolución del sistema lineal de ecuaciones requiere un tiempo elevado de computación así como un gran consumo de memoria, siendo necesario el empleo de técnicas de aceleración computacional que permitan reducir el tiempo de ejecución y consumo de memoria. En este trabajo se ha desarrollado el CG-FFT (Gradiente Conjugado – Transformada Rápida de Fourier) como técnica de aceleración computacional. El Gradiente Conjugado permite resolver de forma iterativa el sistema de ecuaciones, mientras que la utilización de la FFT minimiza el consumo de memoria y reduce el tiempo de cálculo. Una vez calculado el campo eléctrico se pueden determinar las corrientes eléctricas equivalentes inducidas en el dieléctrico. Dichas corrientes se pueden utilizar tanto para 2 PREMIOS PROYECTOS FIN DE CARRERA “CÁTEDRA TELEFÓNICA” 2009 evaluar cómo el campo eléctrico se distorsiona alrededor del objeto, como para calcular la energía disipada en el interior del dieléctrico. III. APLICACIONES El Método de los Momentos volumétrico se puede utilizar para calcular el campo eléctrico dispersado por un objeto y, por tanto, para analizar cómo afecta la presencia de dicho objeto a la distribución de los campos electromagnéticos, teniendo como aplicación el estudio de la distorsión del campo electromagnético radiado por una antena en presencia de objetos. Pero tal vez el mayor potencial de la técnica del tensor de la ecuación integral es la capacidad para calcular el campo en el interior de objetos dieléctricos. Una aplicación directa de esta técnica es el estudio del nivel de energía electromagnética absorbida por tejidos biológicos expuestos a un campo electromagnético. Este parámetro se denomina SAR (Specific energy Absorption Rate, expresada en W/kg) e indica la tasa en que los tejidos biológicos absorben energía electromagnética, estando su uso bastante extendido para frecuencias superiores a los 100 kHz. El empleo del Método de los Momentos volumétrico para el estudio de la SAR tiene como ventaja el hecho de que permite realizar estudios no invasivos. Además, al poder realizar cambios en los parámetros de la simulación de manera rápida y simple, permite un análisis más rápido y completo que en el caso del empleo de técnicas invasivas (medidas). El problema es que se necesitan modelos teóricos de objetos detallados que son difíciles de crear y desarrollar. Como ejemplos de aplicación, se muestran un par de casos de estudio en los que se determina el nivel de SAR en modelos sencillos. En el primer caso (Fig. 1), se estudia la distribución de la SAR en un modelo muy simplificado de un cuerpo humano (dimensiones 172 x 60 x 20 cm) con unas características dieléctricas homogéneas de εr = 80 y σ = 0.84 [S/m]. Se hace incidir sobre el modelo una onda plana electromagnética a 80 MHz que se propaga en dirección – z, con un campo eléctrico polarizado según x, y con una amplitud de 1 V/m. Para poder apreciar la distribución de la SAR en el interior del cuerpo se ha suprimido un cuarto del cuerpo en la representación. El segundo ejemplo (Fig. 2) consiste en el estudio de la distribución de la SAR en un modelo simplificado de una cabeza con unas características homogéneas de σ = 1.03 [S/m], εr = 49.6 y ρ = 1040 [kg/m3] (muy similares a las del cerebelo humano). El modelo se ilumina con una onda plana electromagnética que se propaga en dirección x, con una polarización y del campo eléctrico, y una amplitud de 1 V/m a 900 MHz (frecuencia correspondiente a la banda de telefonía móvil GSM). Al igual que en el caso anterior, no se muestra un cuadrante de la cabeza para una mejor representación. IV. FUTURO El desarrollo de nuevas tecnologías basadas en radiofrecuencia, así como el incremento de las aplicaciones para comunicaciones móviles, identificación por radiofrecuencia, extensión de redes wifi y bluetooth, entre otros, está motivando la mejora de los métodos de análisis electromagnético existentes, así como el desarrollo de nuevas técnicas que permitan satisfacer los requerimientos de precisión y exactitud en el cálculo de parámetros radioeléctricos que han de satisfacer las nuevas tecnologías de radiofrecuencia. Fig. 1 - Distribución de la SAR en el modelo simplificado de cuerpo humano expuesto a una onda plana electromagnética. Fig. 2 – Distribución de la SAR en un modelo simplificado de una cabeza expuesta a una onda plana electromagnética.