Capítulo 1 Preliminares 1.1. Fuentes y sumideros. Topologías inicial y final Cuando a los cursos de Topología General se les imprime el enfoque categórico, como hicieron Graciela Salicrup en [7] y Roberto Vázquez en [13], se suele hablar de fuentes cartesianas, de fuentes topológicas, así como de sus conceptos duales, es decir, de sumideros cartesianos y topológicos. A continuación se presentan las definiciones de estos conceptos. Una fuente cartesiana o fuente en Set o Set-fuente es una pareja F = (X, (fλ )Λ ) en la que X es un conjunto arbitrario y (fλ )Λ es una clase arbitraria de funciones fλ : X → Xλ , λ ∈ Λ con dominio común. En tal caso se dice que X es el dominio de la fuente F, que la clase de conjuntos (Xλ )Λ es el codominio de la fuente F y que las funciones fλ son las flechas de la fuente F. Otras notaciones empleadas para designar fuentes cartesianas son F = (fλ : X → Xλ )Λ y f λ F= X→ Xλ Λ Un sumidero cartesiano o sumidero en Set o Set-sumidero es una pareja S = ((fλ )Λ , X) en la que X es un conjunto arbitrario y (fλ )Λ es una clase arbitraria de funciones fλ : Xλ → X, λ ∈ Λ con codominio común. En tal caso se dice que X es el codominio del sumidero S, que la clase de conjuntos (Xλ )Λ es el dominio del sumidero S y que las funciones fλ son las flechas del sumidero S. Otras notaciones empleadas para designar sumideros cartesianos son S = (fλ : Xλ → X)Λ y f λ S = Xλ → X Λ Una fuente topológica o fuente en Top o Top-fuente es una pareja F = ((X, τ ) , (fλ )Λ ) en la que (X, τ) es un espacio topológico arbitrario y (fλ )Λ es una clase arbitraria de funciones continuas fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ) , λ ∈ Λ Al espacio (X, τ ) se le llama dominio de la fuente F, a la clase de espacios topológicos (Xλ , τ λ )Λ codominio de la fuente F y las funciones continuas fλ son las flechas de F. Otras notaciones empleadas para designar fuentes topológicas son F = (fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ))Λ 1 y fλ F = (X, τ ) → (Xλ , τ λ ) Λ CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 2 Un sumidero topológico o sumidero en Top o Top-sumidero es una pareja S = ((fλ )Λ , (X, τ )) en la que (X, τ) es un espacio topológico arbitrario y (fλ )Λ es una clase arbitraria de funciones continuas fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ) , λ ∈ Λ Al espacio (X, τ) se le llama codominio del sumidero S, a la clase de espacios topológicos (Xλ , τ λ )Λ dominio del sumidero S y las funciones continuas fλ son las flechas del sumidero S. Otras notaciones empleadas para designar sumideros topológicos son S = (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ))Λ y fλ S = (Xλ , τ λ ) → (X, τ ) Λ En las cuatro definiciones que siguen, así como en las dos proposiciones subsecuentes, se hablará de fuentes y de sumideros a secas bajo el entendido de que se hace referencia a fuentes cartesianas y topológicas así como a sumideros cartesianos y topológicos, simultaneamente. (a) Se dice que una fuente F separa puntos si cualesquiera dos puntos distintos del dominio de F tienen imágenes distintas bajo al menos una de las flechas de F. (b) Se dice que un sumidero S cubre puntos si cualesquier punto del codominio de S tiene una preimagen bajo al menos una de las flechas de S. (a) Una fuente F = (fλ : X → Xλ )Λ es una monofuente si para ella se verifica la ley de la cancelación izquierda, es decir, si siempre que dos funciones (continuas) g, h : W → X son tales que para toda λ ∈ Λ fλ g = fλ h entonces g = h. (b) Un sumidero S = (fλ : Xλ → X)Λ es un episumidero si para él se verifica la ley de la cancelación derecha, es decir, si siempre que dos funciones (continuas) g, h : X → Y son tales que para toda λ ∈ Λ gfλ = hfλ entonces g = h. En [7] y en [13] se demuestra que: (a) F es una fuente que separa puntos si, y sólo si, F es una monofuente. (b) S es un sumidero que cubre puntos si, y sólo si, S es un episumidero. (a) Cuando para los conjuntos Xλ , λ ∈ Λ, del codominio de una fuente cartesiana existen sendas topologías τ λ , siempre es posible hallar una única topología τ para X, llamada inicial con respecto a (fλ )Λ y a (τ λ )Λ , con la cual, para toda λ ∈ Λ, la función fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ) es continua. Es la topología generada por la familia γ = fλ−1 (U ) : λ ∈ Λ y Uλ ∈ τ λ En tal situación se hablará de la fuente F = (fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ))Λ como de una fuente inicial. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 3 (b) Cuando para los conjuntos Xλ , λ ∈ Λ, del dominio de un sumidero cartesiano fλ S = Xλ → X Λ existen sendas topologías τ λ , siempre es posible hallar una única topología τ para X, llamada final con respecto a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ , con la cual, para toda λ ∈ Λ, la función fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ) es continua. Es la topología τ = U ⊆ X : ∀λ ∈ Λ, fλ−1 (U ) ∈ τ λ En tal situación se hablará del sumidero S = (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ))Λ como de un sumidero final. Tanto en [7] como en [13] se caracteriza a las topologías inicial y final demostrando que: fλ Si F = (X, τ ) → (Xλ , τ λ ) Λ es una Top-fuente arbitraria, entonces son equivalentes: (a) τ es la topología inicial con respecto a (fλ )Λ y a (τ λ )Λ . (b) τ tiene por subbase a γ ′ = fλ−1 (Uλ ) ⊆ X : λ ∈ Λ y Uλ ∈ γ λ , subbase de τ λ (c) τ es tal que cada fλ es continua, y será continua toda función g : (W, ω) → (X, τ) tal que para toda λ ∈ Λ es continua la composición fλ g : (W, ω) → (Xλ , τ λ ) Además, τ es la única topología para X que satisface esta propiedad. (d) τ es la más pequeña de las topologías para X según las cuales, para toda λ ∈ Λ, fλ es continua. f λ Si S = (Xλ , τ λ ) → (X, τ ) Λ es un Top-sumidero arbitrario, entonces son equivalentes: (a) τ es la topología final con respecto a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ . (b) τ es tal que cada fλ es continua, y será continua toda función g : (X, τ ) → (Y, σ) tal que para toda λ ∈ Λ es continua la composición gfλ : (Xλ , τ λ ) → (Y, σ) Además, τ es la única topología para X que satisface esta propiedad. (c) τ es la más grande de las topologías para X según las cuales, para toda λ ∈ Λ, fλ es continua. 1.2. Productos topológicos Por los cursos de Topología General se sabe que la topología de Tychonoff para el producto Xλ de la familia λ∈Λ de conjuntos subyacentes de una familia cualquiera de espacios topológicos (Xλ , τ λ )Λ está generada por la familia γ= Pλ−1 (U) ⊆ Xλ : λ ∈ Λ y U ∈ τ λ λ∈Λ donde Pλ denota a la λ-proyección Pλ : Xλ → Xλ λ∈Λ (xλ )Λ → xλ CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 4 Como consecuencia del inciso (a) de 1.9 resulta que τ , la topología de Tychonoff, es la topología inicial para Xλ λ∈Λ correspondiente a (Pλ )Λ y a (τ λ )Λ . Por consiguiente, la fuente topológica de λ-proyecciones Pλ : Xλ , τ → (Xλ , τ λ ) λ∈Λ Λ es un caso particular, muy importante, de fuente inicial. Como se prueba en [7] y en [13], a esta fuente la caracteriza una propiedad universal: la llamada propiedad universal del producto topológico. Se dice que una fuente en Top F = (fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ))Λ tiene la propiedad universal del producto topológico si para cualquier otra fuente topológica G con el mismo codominio que F G = (gλ : (W, ω) → (Xλ , τ λ ))Λ existe una única función continua g : (W, ω) → (X, τ ) tal que, para toda λ ∈ Λ, fλ g = gλ En los textos citados se demuestra que: Al darle a Xλ la topología de Tychonoff, τ , la fuente topológica de λ-proyecciones λ∈Λ Pλ : → (Xλ , τ λ ) Xλ , τ λ∈Λ Λ tiene la propiedad universal del producto topológico. Salvo homeomorfismos, el dominio de una fuente de codominio (Xλ , τ λ )Λ con la propiedad universal del producto topológico es único. Es decir, que entre los dominios de cualesquiera dos Top-fuentes (fλ : (Y, σ) → (Xλ , τ λ ))Λ y (gλ : (Z, ρ) → (Xλ , τ λ ))Λ que tengan la propiedad universal del producto topológico existe un homeomorfismo h : (Y, σ) → (Z, ρ) De aquí que si F = (fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ))Λ tiene la propiedad universal del producto topológico, se diga que (X, τ ) es un producto topológico de la familia (Xλ , τ λ )Λ con λ-proyecciones fλ . (Xλ , τ λ ) siempre es una monofuente. Proposición 1.1 λ∈Λ 1.2.1. Producto de funciones Otro concepto cuyo dual será más adelante de gran utilidad es el de producto de funciones. Sean (Xλ )Λ y (Yλ )Λ dos familias de subconjuntos de X y de Y , respectivamente. Supóngase que para toda λ ∈ Λ existe una función fλ : Xλ → Yλ Considérense las λ-proyecciones pλ : Xλ → Xλ λ∈Λ y qλ : Yλ → Yλ λ∈Λ CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 5 así como la composición Xλ → Yλ fλ pλ : λ∈Λ Puesto que (qλ )Λ tiene la propiedad universal del producto cartesiano, existe una única función Xλ → Πfλ : λ∈Λ Yλ λ∈Λ tal que para toda λ ∈ Λ qλ Πfλ = fλ pλ A la función Πfλ se le da el nombre de producto cartesiano de la familia de funciones (fλ )Λ . 1.3. Coproductos cartesianos y topológicos Definición 1.1 Sean, (Xλ )Λ una familia de conjuntos y S = (fλ : Xλ → X)Λ cualquier Set-sumidero de dominio (Xλ )Λ . Se dice que S tiene la propiedad universal del coproducto cartesiano si para cualquier otro Setsumidero T con el mismo dominio que S T = (gλ : Xλ → Y )Λ existe una única función g:X →Y tal que, para toda λ ∈ Λ, gfλ = gλ En tal caso se dice que X es un coproducto cartesiano de la familia (Xλ )Λ . Los conjuntos Xλ son los cofactores del coproducto y las funciones fλ son las coproyecciones del mismo. Para designar al coproducto cartesiano de (Xλ )Λ se empleará la notación Xλ λ∈Λ Definición 1.2 Sean, (Xλ , τ λ )Λ una familia de espacios topológicos y S = (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ))Λ cualquier Topsumidero de dominio (Xλ , τ λ )Λ . Se dice que S tiene la propiedad universal del coproducto topológico si para cualquier otro Top-sumidero T con el mismo dominio que S T = (gλ : (Xλ , τ λ ) → (Y, σ))Λ existe una única función continua g : (X, τ ) → (Y, σ) tal que, para toda λ ∈ Λ, gfλ = gλ En tal caso se dice que (X, τ) es un coproducto topológico de la familia (Xλ , τ λ )Λ . Los espacios topológicos (Xλ , τ λ ) son los cofactores del coproducto topológico y las funciones continuas fλ son las coproyecciones del mismo. Para designar al coproducto topológico de (Xλ , τ λ )Λ se empleará la notación (Xλ , τ λ ) λ∈Λ Cuando se hable de coproducto o de sumidero a secas, se estará pensando cualquiera de los dos casos: cartesiano o topológico. Ejemplo 1.1 Una biyección f1 : X1 → X es un coproducto cartesiano. En efecto, si f1′ : X1 → X ′ es cualquier función de dominio X1 y f : X → X ′ es la función f = f1′ f1−1 , entonces ff1 = f1′ f1−1 f1 = f1′ f1−1 f1 = f1′ Y si g : X → X ′ es tal que gf1 = f1′ , entonces g = f1′ f1−1 , es decir, g = f . Por lo tanto, f es única. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 6 Ejemplo 1.2 Un homeomorfismo f1 : (X1 , τ 1 ) → (X, τ ) es un coproducto topológico. El resultado que sigue se refiere a la esencial unicidad del coproducto cartesiano (topológico). Teorema 1.1 El coproducto cartesiano (topológico) es único salvo biyecciones (homeomorfismos). Es decir, si (fλ : Xλ → X)Λ (fλ′ : Xλ → X ′ )Λ y son dos coproductos de la misma familia (Xλ )Λ , entonces existe una biyección (homeomorfismo) h : X → X ′ tal que, para toda λ ∈ Λ, hfλ = fλ′ Y, recíprocamente, si (fλ : Xλ → X)Λ es un coproducto de (Xλ )Λ y h : X → X ′ es una biyección (homeomorfismo) cualquiera; entonces (hfλ : Xλ → X ′ )Λ también es un coproducto de (Xλ )Λ . Demostración 1 Por definición de coproducto existen funciones (continuas) f′ f X → X′ → X tales que para cada λ ∈ Λ ffλ = fλ′ y (f ′ f) fλ = f ′ (f fλ ) = f ′ fλ′ = fλ y f ′ fλ′ = fλ Entonces (ff ′ ) fλ′ = f (f ′ fλ′ ) = ffλ = fλ′ Pero dado que X y X ′ son coproductos, 1X y 1X ′ son las únicas funciones (continuas) para las cuales se tiene que Xλ Xλ fλ ւ ց fλ → X 1X X′ X fλ′ ւ ց fλ′ → 1X ′ X′ Por lo tanto f ′ f = 1X y ff ′ = 1X ′ Por lo tanto, f y f ′ son biyecciones (continuas) mutuamente inversas, lo cual demuestra la primera parte del teorema. Recíprocamente, sean (fλ : Xλ → X)Λ un coproducto de (Xλ )Λ y h : X → X ′ es una biyección (homeomorfismo) cualesquiera. Sea (fλ′ : Xλ → X ′′ )Λ cualquier sumidero; como X es un coproducto de (Xλ )Λ , existe una única función (continua) f : X → X ′′ tal que ffλ = fλ′ . Considérese la función inversa h−1 : X ′ → X y hágase f ′ = f h−1 ; entonces f ′ (hfλ ) = (f ′ h) fλ = fh−1 h fλ = f h−1 h fλ = ffλ = fλ′ Y si g : X ′ → X ′′ es una función (continua) tal que, para toda λ ∈ Λ, g (hfλ ) = fλ′ , entonces (gh) fλ = fλ′ ; por consiguiente, gh = f y g = f h−1 = f ′ , es decir, f ′ es única. Esto demuestra que (hfλ : Xλ → X ′ )Λ es un coproducto de (Xλ )Λ . (Xλ , τ λ ) siempre es un episumidero. Proposición 1.2 λ∈Λ Demostración 2 Sea (Xλ , τ λ )Λ una familia arbitraria de espacios topológicos y sea fλ S = (Xλ , τ λ ) → (X, τ ) un coproducto de (Xλ , τ λ )Λ . Si h, k : (X, τ ) → (Y, σ) Λ CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7 son funciones continuas tales que para toda λ ∈ Λ, hfλ = kfλ , entonces puede considerarse el sumidero de funciones continuas hfλ S = (Xλ , τ λ ) → (Y, σ) Λ Puesto que S posee la propiedad universal del coproducto topológico, existe una uúnica función continua f : (X, τ ) → (Y, σ) tal que, para toda λ ∈ Λ, f fλ = hfλ . Puesto que aquí tanto f = h como f = k satisfacen la igualdad anterior, entonces la unicidad de f implica que h = k. Esto prueba que S es un episumidero. Teorema 1.2 Sea (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ))Λ un Top-sumidero arbitrario; son equivalentes: (a) (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ))Λ es un coproducto topológico. (b) (fλ : Xλ → X)Λ es un coproducto cartesiano y τ es la topología final para X correspondiente a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ . Demostración 3 (a)⇒(b) Sea (fλ′ : Xλ → X ′ )Λ un Set-sumidero arbitrario y sea τ ′ la topología indiscreta para X ′ ; entonces (fλ′ : (Xλ , τ λ ) → (X ′ , τ ′ ))Λ es un Top-sumidero; por (a) existe una, y sólo una, función continua f : (X, τ ) → (X ′ , τ ′ ) tal que, para toda λ ∈ Λ, f fλ = fλ′ . Si g : X → X ′ fuera otra función tal que, para toda λ ∈ Λ, gfλ = fλ′ , entonces g : (X, τ) → (X ′ , τ ′ ) sería continua y, por lo tanto, coincidiría con f . Esto prueba que (fλ : Xλ → X)Λ es un coproducto cartesiano. Ahora sea ξ la topología final para X correspondiente a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ . Entonces, para toda λ ∈ Λ, es continua fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, ξ) lo que hace de (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, ξ))Λ un sumidero de funciones continuas. Puesto que (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ))Λ tiene la propiedad universal del coproducto topológico, existe una única función continua f : (X, τ) → (X, ξ) tal que, para toda λ ∈ Λ, f fλ = fλ . Obviamente, para toda λ ∈ Λ, 1X fλ = fλ . Por ser (fλ : Xλ → X)Λ un coproducto cartesiano, resulta f = 1X . Por lo tanto, 1X : (X, τ ) → (X, ξ) de donde resulta que ξ⊆τ Pero la topología final es la más grande de las topologías para X que hacen continuas a las fλ ; por consiguiente τ ⊆ξ Esto demuestra que τ es la topología final para X correspondiente a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ . (b)⇒(a) Sea (fλ′ : (Xλ , τ λ ) → (X ′ , τ ′ ))Λ cualquier Top-sumidero; por (b) existe una única función f : X → X′ CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 8 tal que, para toda λ ∈ Λ, f fλ = fλ′ . Entonces cada composición fλ f (Xλ , τ λ ) → (X, τ ) → (X ′ , τ ′ ) es continua, y como τ es final para X con respecto a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ , resulta que también f : (X, τ ) → (X ′ , τ ′ ) es continua. Por lo tanto, (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ))Λ es un coproducto topológico, como se quería demostrar. Definición 1.3 Sea (Xλ )Λ una familia de conjuntos tal que para cualesquiera λ, λ′ ∈ Λ se tiene que λ = λ′ ⇒ Xλ ∩ Xλ′ = ∅ Entonces: (a) La suma ajena de la familia de conjuntos (Xλ )Λ es, simplemente, Xλ . λ∈Λ (b) Si para cada λ ∈ Λ es τ λ una topología para Xλ , la suma ajena topológica de la familia de espacios topológicos (Xλ , τ λ )Λ es un espacio topológico (X, τ ) cuyo conjunto subyacente X es Xλ y cuya topología τ es λ∈Λ tal que, para toda λ ∈ Λ, Xλ ∈ τ, y que restringida a Xλ coincide con τ λ . Lema 1.1 Sean, (Xλ , τ λ )Λ una familia de espacios topológicos cuyos conjuntos subyacentes son ajenos dos a dos, X= Xλ , U ⊆ X y τ una topología para X tal que, para toda λ ∈ Λ, λ∈Λ 1.1 Xλ ∈ τ 1.2 τ |Xλ = τ λ Entonces, para toda λ ∈ Λ, se tiene que U ∈ τ ⇔ U ∩ Xλ ∈ τ λ Demostración 4 Si U ∈ τ , entonces para toda λ ∈ Λ, U ∩ Xλ ∈ τ |Xλ Y puesto que, para toda λ ∈ Λ, τ |Xλ = τ λ , resulta que U ∩ Xλ ∈ τ λ Recíprocamente, puesto que τ λ = τ |Xλ = {V ∩ Xλ : V ∈ τ } si para toda λ ∈ Λ, U ∩ Xλ ∈ τ λ , entonces para toda λ ∈ Λ existe Wλ ∈ τ tal que U ∩ Xλ = Wλ ∩ Xλ de donde, uniendo sobre λ, se tiene: (U ∩ Xλ ) = λ∈Λ (Wλ ∩ Xλ ) λ∈Λ Pero (U ∩ Xλ ) = U ∩ λ∈Λ Xλ λ∈Λ así que (Wλ ∩ Xλ ) U= λ∈Λ y como para toda λ ∈ Λ, Xλ ∈ τ λ , resulta (Wλ ∩ Xλ ) ∈ τ λ∈Λ ∴U ∈τ =U CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 9 Proposición 1.3 Si (Xλ , τ λ )Λ es una familia de espacios topológicos cuyos conjuntos subyacentes son ajenos dos a dos y existe una topología τ para Xλ tal que, para toda λ ∈ Λ, λ∈Λ 1.3 Xλ ∈ τ 1.4 τ |Xλ = τ λ entonces tal tal topología es única. Demostración 5 Supóngase que también τ ′ es una topología para Xλ tal que, para toda λ ∈ Λ, λ∈Λ Xλ ∈ τ y τ |Xλ = τ λ Entonces, tanto para τ como para τ ′ es válido el lema anterior, de modo que, para toda λ ∈ Λ, se tiene: U ∈ τ ⇔ U ∩ Xλ ∈ τ λ ⇔ U ∈ τ ′ ∴ τ = τ′ Lema 1.2 Sea (Xλ , τ λ )Λ una familia de espacios topológicos cuyos conjuntos subyacentes son ajenos dos a dos y sea (X, τ ) la suma ajena topológica de la familia (Xλ , τ λ )Λ . Entonces, τ es la topología final para X correspondiente a (τ λ )Λ y a la familia de inclusiones (ιλ : Xλ ֒→ X)Λ . Demostración 6 Considérese la topología final para X correspondiente a (τ λ )Λ y a (ιλ )Λ τ ′ = U ⊆ X : ∀λ ∈ Λ, ι−1 λ (U) ∈ τ λ Para toda λ ∈ Λ, es claro que Xλ ∈ τ ′ . Sea U ∈ τ ′ ; entonces, para toda λ ∈ Λ, se tiene: U ∩ Xλ ∈ τ λ o sea que, para toda λ ∈ Λ, τ ′ |Xλ ⊆ τ λ Por otra parte, si V ∈ τ λ , entonces V ⊆X V ∩ Xλ′ = y V , si λ′ = λ ∅, si λ′ = λ es decir, para toda λ′ ∈ Λ, ′ ι−1 λ′ (V ) ∈ τ λ lo que significa que V ∈ τ ′ . Por lo tanto, V ∩ Xλ ∈ τ ′ |Xλ ; pero V ∩ Xλ = V . Luego, para toda λ ∈ Λ, τ λ ⊆ τ ′ |Xλ Por lo tanto, τ ′ es una topología para X tal que, para toda λ ∈ Λ, Xλ ∈ τ ′ y τ ′ |Xλ = τ λ Por la proposición anterior, una topología para X con estas propiedades es única; por lo tanto, τ ′ = τ . Proposición 1.4 Sea (Xλ , τ λ )Λ una familia de espacios topológicos cuyos conjuntos subyacentes son ajenos dos a dos. Si (X, τ) es la suma ajena topológica de la familia (Xλ , τ λ )Λ , entonces cada inclusión ιλ : (Xλ , τ λ ) ֒→ (X, τ) es abierta, es cerrada y τ λ = ι−1 λ (U ) : U ∈ τ CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 10 Demostración 7 Si (X, τ ) es la suma ajena topológica de la familia (Xλ , τ λ )Λ , entonces cada inclusión es continua e inyectiva y ′ τ = U ⊆ X : ∀λ′ ∈ Λ, ι−1 λ′ (U ) ∈ τ λ Sean, V ∈ τ λ y λ′ ∈ Λ, arbitrarias. Entonces, ∅, si λ′ = λ ′ ; ∴ ι−1 λ′ (ιλ (V )) ∈ τ λ V , si λ′ = λ ′ ′ ι−1 λ′ (ιλ (V )) = Xλ ∩ ιλ (V ) = Xλ ∩ V = Esto demuestra que ιλ (V ) ∈ τ, es decir, que ιλ es abierta. De aquí que, si C ⊆ Xλ es cerrado, se tenga ιλ (Xλ − C) ∈ τ Entonces, Xλ − C ∈ τ Puesto que, para toda λ′ = λ, Xλ′ ∈ τ, también ∪ Xλ′ λ′ =λ ∪ (Xλ − C) ∈ τ Consecuentemente X− ∪ Xλ′ λ′ =λ ∪ (Xλ − C) es cerrado en (X, τ ). Pero X− ∪ Xλ′ λ′ =λ ∪ (Xλ − C) = Xλ ∩ [X − (Xλ − C)] = Xλ ∩ ∪ Xλ′ λ′ =λ ∪C = C Esto demuestra que ιλ es cerrada. Finalmente, puesto que (X, τ ) es la suma ajena topológica de la familia (Xλ , τ λ )Λ , entonces τ λ = τ |Xλ ; de aquí que τ λ = {U ∩ Xλ : U ∈ τ } = ι−1 λ (U ) : U ∈ τ Definición 1.4 Sea (Xλ )Λ cualquier familia de conjuntos donde hay varios miembros con elementos comunes. Para toda λ ∈ Λ se define Xλ′ = {(x, λ) : x ∈ Xλ } y una función Xλ x h λ → Xλ′ → (x, λ) Entonces: 1. La suma ajena de (Xλ )Λ es Xλ′ λ∈Λ Notación: Xλ λ∈Λ 2. Si, para toda λ ∈ Λ, Xλ está topologizado por τ λ , entonces la suma ajena topológica de la familia de espacios topológicos (Xλ , τ λ )Λ es la suma ajena topológica de la familia de espacios topológicos (Xλ′ , τ ′λ )Λ , donde τ ′λ es tal que, para toda λ ∈ Λ, hλ : (Xλ , τ λ ) → (Xλ′ , τ ′λ ) resulte un homeomorfismo; es decir, para toda λ ∈ Λ, τ ′λ = {h (W ) : W ∈ τ λ } CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Notación: 11 (Xλ , τ λ ) λ∈Λ Observación 1.1 A consecuencia del lema anterior, (Xλ , τ λ ) es un espacio cuyo conjunto subyacente es λ∈Λ Xλ := ∪ X λ∈Λ y cuya topología es final respecto al sumidero de composiciones (Xλ , τ λ ) hλ ι′ (Xλ′ , τ ′λ ) λ Xλ −→ ֒→ λ∈Λ Λ Descripción de los coproductos cartesianos y topológicos. Sea (Xλ )Λ una familia arbitraria de conjuntos. 1. Si los miembros de la familia no tienen puntos en común, entonces su coproducto cartesiano es el sumidero de inclusiones: ιλ : Xλ → ∪ Xλ λ∈Λ Λ 2. En el caso restante, el coproducto cartesiano es el sumidero de composiciones: Xλ Notación: hλ ι′ Xλ′ λ Xλ −→ ֒→ λ∈Λ Λ Xλ λ∈Λ Sea (Xλ , τ λ )Λ una familia arbitraria de espacios topológicos. 1. Si los miembros de la familia no tienen puntos en común, entonces un coproducto topológico suyo es el sumidero de inclusiones: (ιλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ))Λ donde (X, τ ) es la suma ajena topológica de (Xλ , τ λ )Λ . 2. En el caso restante, el coproducto topológico es el sumidero de composiciones: (Xλ , τ λ ) Notación: hλ ι′ (Xλ′ , τ ′λ ) λ (Xλ , τ λ ) −→ ֒→ λ∈Λ Λ (Xλ , τ λ ) λ∈Λ Coproducto de funciones. El concepto dual correspondiente al de producto de una familia de funciones continuas es el siguiente. Definición 1.5 Sea (fλ : (Xλ , τ λ ) → (Yλ , σ λ ))Λ cualquier familia de funciones continuas. Si cada familia de conjuntos (Xλ )Λ y (Yλ )Λ consta de elementos ajenos dos a dos, entonces el coproducto de (fλ )Λ es la única función continua, denotada por ∐fλ , que para toda λ ∈ Λ hace conmutar al diagrama: (Xλ , τ λ ) ιλ ֒→ fλ ↓ (Yλ , σλ ) donde ∪ Xλ , τ λ∈Λ y ∪ Yλ , σ λ∈Λ ∪ Xλ , τ λ∈Λ ↓ ∐fλ ֒→ λ ∪ Yλ , σ λ∈Λ son las sumas ajenas topológicas de (Xλ , τ λ )Λ y de (Yλ , σ λ )Λ , respecti- vamente. Debido a la conmutatividad del diagrama correspondiente a λ′ ∈ Λ se tiene que, para cualquier xλ′ ∈ ∪ Xλ : λ∈Λ ∐fλ (xλ′ ) = ∐fλ ◦ ιλ′ (xλ′ ) = λ′ ◦ fλ′ (xλ′ ) = fλ′ (xλ′ ) λ∈Λ CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 12 Si (Xλ )Λ o (Yλ )Λ constan de miembros con elementos en común, entonces el coproducto de (fλ )Λ es la única función continua, denotada por ∐fλ , que para toda λ ∈ Λ hace conmutar al diagrama: (Xλ , τ λ ) ι′λ hλ −→ Xλ , τ λ∈Λ fλ ↓ ↓ ∐fλ (Yλ , σλ ) donde Xλ , τ λ∈Λ y Yλ , σ λ∈Λ −→ ′λ kλ Yλ , σ λ∈Λ son las sumas ajenas topológicas de (Xλ , τ λ )Λ y de (Yλ , σ λ )Λ , respecti- vamente. Debido a la conmutatividad del diagrama correspondiente a λ′ ∈ Λ se tiene que, para cualquier xλ′ , λ′ ∈ ∪ Xλ′ : λ∈Λ ∐fλ xλ′ , λ′ = ∐fλ ◦ ιλ′ hλ′ (xλ′ ) = λ′ kλ′ ◦ fλ′ (xλ′ ) = fλ′ (xλ′ ) , λ′ lo cual completa la descripción de ∐fλ . 1.3.1. Otros conceptos preliminares Finaliza este capítulo con la presentación de otros conceptos que se requerirán a lo largo de este estudio. Definición 1.6 Una retracción en Top es cualquier función continua que posea una inversa derecha continua; es decir, es una función continua r : (X, τ ) → (Y, σ) para la cual existe s : (Y, σ) → (X, τ ) continua y tal que rs = 1(Y,σ) Definición 1.7 Una sección en Top es cualquier función continua que posea una inversa izquierda continua; es decir, es una función continua s : (Y, σ) → (X, τ ) para la cual existe r : (X, τ ) → (Y, σ) continua y tal que rs = 1(Y,σ) Observación 1.2 f es un homeomorfismo si, y sólo si, es sección y retracción al mismo tiempo. Definición 1.8 Una inmersión es una función continua e inyectiva f : (X, τ ) → (Y, σ) tal que τ es inicial respecto a f y σ. Definición 1.9 Un cociente es una función continua e inyectiva f : (X, τ ) → (Y, σ) tal que σ es final respecto a τ y f . Observación 1.3 f es un homeomorfismo si, y sólo si, es inmersión y cociente al mismo tiempo. Observación 1.4 Toda sección es inmersión. Observación 1.5 Toda retracción es un cociente.