Unidad 12

UNIDAD TEMÁTICA XIII
FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE
XIII.1 INTRODUCCIÓN
Las funciones de una variable son las más simples dentro del análisis funcional, y
mediante ellas se puede describir muchos problemas de Ingeniería y particularmente
de Ingeniería Química.
Además su conocimiento es muy importante, ya que permiten solucionar problemas
más simples como subproblemas de otros problemas más complejos. Lo diversos
métodos que existen para resolver problemas de este tipo, se los puede categorizar de
acuerdo a la naturaleza de la función f(x) y la variable (x) involucrada, así como
también al tipo de información acerca de f(x) que se dispone.
Para toda función y = f(x), se denomina x a la variable independiente e (y) a la variable
dependiente. Se puede luego definir una correspondencia entre cada punto de x de S.
Tal correspondencia se denomina Función Escalar sobre el conjunto S. Luego cuando:
•
S = R (Números Reales) la función se llama No Restringida
•
S < R la función se llama Restringida
En los problemas de optimización se denomina:
•
f = Función Objetivo
•
S = Región Factible, o Conjunto de Restricción, o Dominio de x
En Ingeniería la mayoría de los problemas son de funciones continuas, sin embargo se
puede encontrar casos donde f(x) es discontinua (Por ejemplo, el costo del vapor), o
casos donde la variable solo asume valores discretos (Por ejemplo, costo de las
cañerías).
XIII.2 PROPIEDADES DE FUNCIONES CONTINUAS
1.
La suma o producto de funciones continuas es una función continua
2.
La relación de dos funciones continuas es una función continua, siempre que el
denominador no desaparezca.
Luego de acuerdo al tipo de función a optimizar, si es continua o discreta, y de acuerdo
a la naturaleza de su dominio, existen diferentes métodos de búsqueda que permiten la
búsqueda del optimo. Tales métodos utilizan las propiedades antes mencionadas para
encontrar la solución optima.
Por otro lado se pueden clasificar las funciones de acuerdo a su forma como:
1
•
Función Monótona: f(x) es monótona si para x1 y x2 , con x1 ≤ x2 se cumple que:
o f(x1) ≤ f(x2) es monótona creciente
o f(x1) ≥ f(x2) es monótona decreciente
Existen además funciones que son monótonas crecientes para un dominio de x, y
monótonas decrecientes para otro dominio de x, en cuyo caso se dice que son
monótonas a cada lado del punto mínimo. Tales funciones se denominan Funciones
Unimodales. Por lo tanto:
•
Una función es unimodal sobre el intervalo a ≤ x ≤ b, si y solo sí es monótona a
ambos lados del punto optimo del intervalo. En otras palabras si x* es el único
punto mínimo del intervalo (a,b), luego se dice que f(x) es unimodal en el
intervalo, si y solo sí para dos puntosa cualquiera x1 y x2 se cumple que:
f(x)
*
*
x ≤ x1 ≤ x2 Î f (x ) ≤ f(x1) ≤ f(x2)
x* ≥ x1 ≥ x2 Î f (x* ) ≤ f(x1) ≤ f(x2)
x
a
para
que
se
cumpla
dicha
propiedad
x
*
(unimodalidad),
b
la
función
no
necesariamente debe ser continua, ya que lo mismo se cumple si es discreta.
XIII.3 CRITERIO DE OPTIMO
Para resolver un problema de optimización, se debe responder a dos subproblemas:
1.
El Subproblema Estático: Cómo podemos determinar hasta que punto un
determinado punto x* es una solución optima?.
2.
El Subproblema Dinámico: Si x* no es el optimo, luego, como podemos
buscar una solución que sea optima?
Veremos en primer lugar el Criterio de Optimo (Subproblema estático)
Definición: Una función f(x) definida sobre un conjunto S, alcanza un mínimo global en
el punto x** ⊂ S sí y solo sí:
f(x**) ≤ f(x) para todo x de S
Una función f(x) definida sobre S tiene un mínimo local (mínimo relativo) en un punto x*
⊂ S sí y solo sí:
f(x*) ≤ f(x)
para todo x dentro de una distancia ε desde x*. O sep existe un ε > 0, tal que para todo
x satisfaciendo x – x* < ε Î f(x*) ≤ f(x).
2
Conclusiones:
1.
Invirtiendo el signo de la desigualdad obtenemos las definiciones para máximo
local y global.
2.
Bajo
la
suposición
de
Unimodalidad,
el
mínimo
local
se
transforma
automáticamente en un mínimo global.
3.
Cuando la función No es Unimodal, son posibles múltiples mínimos locales, y el
mínimo global solo se puede encontrar, localizando todos los mínimos locales, y
seleccionando el mejor (menor f(x)).
XIII.4 IDENTIFICACIÓN DEL OPTIMO DE UNA SOLA VARIABLE:
Se puede demostrar usando una expansión en serie de Taylor, que para una función
f(x), x* es un mínimo local cuando se cumple que:
 ∂f 
=0
 
 ∂x  x = x*
 ∂ 2f 
 2 
≥0
 ∂x  x = x*
la misma conclusión se obtiene para el máximo local, invirtiendo el símbolo de la
desigualdad. Tenemos así el siguiente teorema:
Teorema: La condición NECESARIA para que x* sea un mínimo local (máximo) de f
sobre un intervalo abierto (a,b), con f dos veces diferenciable, es que:
 ∂f 
=0
 
 ∂x  x = x *
 ∂ 2f 
 2 
≥0
 ∂x  x = x *
(≤ 0)
Ambas son condiciones necesarias pero no suficientes, ya que por si mismo, no
aseguran que x* sea un mínimo o máximo local. Se puede mostrar que la siguiente
función f(x) = x3 cumple con tal condición para mínimo y máximo en el origen, y sin
embargo no existe un mínimo o máximo en x* = 0.
Definiciones: Un Punto Estacionario es un punto x* en el cual:
 ∂f 
=0
 
 ∂x  x = x *
Un Punto de Inflexión o Punto Montura es un punto estacionario que no corresponde a
un optimo local (mínimo o máximo). Para distinguir si un punto estacionario
corresponde a un mínimo o máximo local necesitó la condición SUFICIENTE de
optimo3
Teorema: Sea un punto x* cuya primera derivada es cero, y además su primera
derivada de orden mayor a uno distinta de cero se denomina (n), luego:
I. Si n es IMPAR luego x* es un punto de inflexión
II. Si n es PAR luego x* es un optimo local. Además:
a. Si esta derivada es positiva, luego el punto x* es un mínimo local.
b. Si esta derivada es negativa, luego el punto x* es un máximo local.
Advertencia: Puede ocurrir que si la función no es diferenciable para todos los puntos
de x, no cumpliendo la condición de punto estacionario, logre alcanzar un optimo, sin
ser por definición un punto estacionario. Por ejemplo:
f(x) =  x
para x ≤ 2
4–x
para x ≥ 2
es continuo en todos los puntos, pero no diferenciable para x = 2, el cual no es un
punto estacionario de acuerdo a la definición.
Ejemplo 2.5 (Reklaitis)
f(x) = 5x6 – 36x5 + (165/2)x4 – 60x3 + 36x
Encontrar:
Puntos Estacionarios?
Óptimos Locales?
Puntos de Inflexión?
Una vez diferenciados los óptimos locales de los puntos de inflexión, debemos
encontrar el máximo o mínimo GLOBAL. La forma más simple de hacerlo es encontrar
todos los óptimos locales y luego seleccionar el mejor de ellos.
Algoritmo:
Basado en este concepto tendremos el programa:
Maximice
f(x)
Sujeto a:
a≤x≤b
Donde a y b son limites prácticos de la variable x, y dado que la función es acotada por
a y b se debe tener en cuenta que dichos limites también pueden ser óptimos locales.
Luego tendremos los siguientes pasos:
Etapa 1: Fijar df/dx = 0 y calcular todos los puntos
Etapa 2: Seleccionar todos los puntos estacionarios que pertenecen al intervalo [a,b].
Llamarlos: x1, x2,......., xN. Estos puntos junto con a y b son los únicos puntos
4
que pueden ser óptimos locales.
Etapa 3: Encontrar el valor más grande de f(x) para: f(a), f(b), f(x1), f(x2),...., f(xN). El
valor mayor será el Máximo Global.
Como se puede ver en este caso no intentamos clasificar los puntos estacionarios
como óptimos locales o puntos de inflexión, que implícale cálculo de derivadas
superiores. En vez de ello es más fácil calcular sus valores funcionales y compararlos,
independientemente de sí son óptimos o puntos de inflexión.
Ejemplo 2.6 (Reklaitis) Encontrar el:
Max. f(x) = .x3 + 3x2 + 9x + 10
En el intervalo: -2 ≤ x ≤ 4
Otra forma de encontrar el optimo global sin tener que identificar los puntos
estacionarios y evaluar el valor de sus funciones, sería aprovechar la propiedad de
unimodalidad de las funciones para poder determinar rápidamente el optimo.
Sin embargo el test para determinar si una función es unimodal es muy complejo y
difícil de aplicar. Pero, sí es posible utilizar la propiedad de convexidad y concavidad de
las funciones unimodales para aproximarse al óptimo.
Muchos métodos utilizan dicha propiedad para encontrar el punto óptimo
Funciones Cóncavas y Convexas
f(x)
f(x)
x
x
xa
xb
Cóncava
xa
xb
Convexa
Definición: Una función f(x) se denomina convexa sobre un dominio S si se cumple la
siguiente relación:
Dados dos valores diferentes de x; xa y xb en S:
Ö
f[θ xa + (1 - θ) (xb)] ≤ θ f (xa) + (1 - θ) f(xb)]
siendo θ un escalar tal que: 0 ≤ θ ≤ 1. Para funciones “Estrictamente Convexas”
utilizamos el símbolo de (<)
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Propiedades de Funciones Convexas:
1. Una cuerda cae enteramente sobre, o arriba de la curva
2. Una aproximación lineal de f(x) en un punto cualquiera es siempre un sub –
estimador del valor de la función
3. Para una función convexa , un mínimo local es siempre un mínimo global
4. f ´(x) no cambia de signo, ó solo lo hace una vez.
5. f ``(x) es siempre No Negativa
Métodos de Optimización No Restringida
Función de una Variable:
Minx f(x) ; x ε R
Metodos Directos (Cuestión Dinámica):
Ö
Directos ⇒ usan solo valores de la función
Ö
Indirectos ⇒ usan derivadas y valor de la función
Condiciones de Optimo:
Condición Necesaria:
 ∂f 
f ' (x) =  
*= 0
 ∂x  x = x
⇒ x* es un Punto Estacionario
 ∂ 2f 
f `' ' ( x ) =  2 
>0
x = x*
 ∂x 
⇒ x* es un Mínimo Local
Tipos de Métodos:
•
Minimización de f(x)
•
Resolución de f ‘ (x) = 0
Métodos Directos
Métodos Indirectos
f’’(x)
f(x)
x
x
*
x
6
Dichos métodos utilizan las propiedades de unimodalidad, convexidad y concavidad
para la búsqueda del óptimo.
Los métodos más conocidos son:
Métodos Directos
Métodos Indirectos
x*
•
Eliminación de Gaus
•
Método de Newton
•
Golden Section
•
Método Quasi-Newton
•
División de Intervalo
•
Método de la Secante
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EJEMPLO: Problema de Inventario
Datos: Sea un operador que distribuye productos químicos, y desea optimizar el
Inventario de un determinado producto. Para ello cuenta con la siguiente información
del departamento de ventas:
•
Ventas Estimadas: Q (barriles/año) = 100.000
•
Precio de Venta: Fijo en el transcurso del año
•
Demanda: Distribuida uniformemente en todo el año
•
Producción No vendida: Mantenida en Inventario. El costo es proporcional al Nº
de Unidades mantenidas en Inventario.
Teniendo en cuenta todos estos datos e informaciones debemos responder a la
pregunta de: ¿Como Planear la Producción de Mínimo Costo?
A fin de abordar el problema en forma sistemática, aplicaremos cada una de las etapas
del proceso de resolución de problemas de optimización visto anteriormente.
Obviamente y de acuerdo a las características de cada problema es probable que
alguna de las etapas sea innecesaria o simplemente trivial.
Desarrollamos cada una de las etapas:
8
9
10
11
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Bibliografía:
•
REKLAITIS, G. V.; RAVINDRAN, A. RAGSDELL, K. M., "Enginnering Optimization.
Methods and Applications", John Wiley & Sons. 1983.
•
EDGAR & HINMENBLAU, "Optimization of Chemical Process", Mc Graw Hill, 1988
•
BIEGLER, L. T.; GROSSMANN, I. E. WESTWRBERG, A.W., "Systematic Methods
of Chemical Process Design", Prentice Hall International Series in Industrial and
Systems Engineering. 1997.
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