Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales 3.1 Introducción. 3.2 Método de matriz inversa. 3.3 Método de solución de Gauss y de Gauss−Jordan. 3.4 Regla de Cramer. 3.5 Sistemas lineales homogéneos. 3.6 Método iterativo de Jacobi. 3.7 Método iterativo de Gauss−Seidel. • Método de la matriz inversa Para obtener la inversa de una matriz, se apoya de la siguiente forma: A−1 = 1 a22 −a12 a11 −a12 det A −a21 a11 −a21 a22 Ejemplos: A = 12 4 (12)(1) − (3)(4) = 12−12 =0 3 1 No tiene Inversa 111 A=414 225 Se aumenta en la parte derecha una matriz identidad y posterior mente se iguala la matriz inicial a una matriz identidad. 1 1 1 1 0 0 (−4) (−2) 4 −4 1 −4 4−4 0 −4 1 0 2 −2 2 −2 5 −2 0 −2 0 1 111100 0 −3 /−3 0/−3 −4/−3 1/−3 0/−3 / (−3) 0 0 3 −2 0 1 1 1 1−1 1 1−4/3 0+1/3 0 0 1 0 4/3 −1/3 0 (−1) 0 0 3 −2 0 1 / 3 1 0 1 −1/3+2/3 1/3 0−1/3 0 1 0 4/3 −1/3 0 0 0 1 −2/3 0 1/3 (−1) 1 0 1 1/3 1/3 −1/3 0 1 0 4/3 −1/3 0 0 0 1 −4/3 −1/3 1/3 A−1 = 1/3 1/3 −1/3 X = b / A 9 4/3 −1/3 0 b = 27 4/3 −1/3 1/3 X = A−1 b 30 1/3 1/3 −1/3 9 9/3 + 27/3 − 30/30 4/3 −1/3 0 27 = 36/3 − 27/3 + 0 4/3 −1/3 1/3 30 − 18/3 + 0 + 30/3 X1 2 X2 = 3 X3 4 Comprobación: Sustitución de los valores X1,X2 y X3 en las ecuaciones 1,2 y3. Ecua. 1 1 X1 + 1X2 + 1X3 = 9 1(2) + 1(3) + 1(4) = 9 2+3+4=9 9=9 Ecua. 2 4 X1 + 1X2 + 4X3 = 27 4(2) +1(3) + 4(4) = 27 2 8 + 3 + 16 =27 27 = 27 Ecua. 3 2 X1 + 2X2 + 5X3 = 30 2(2) +2(3 ) +5(4) = 30 4 + 6 + 20 = 30 30 = 30 3.3 Método de solución de Gauss y Gauss Jordan. Consiste en hacer una diagonal con uno y debajo de esta se deben convertir en ceros, mientras que el resultado del termino común,se utiliza para despejar la incógnita y se encuentra así su valor de la ultima incógnita, que permite encontrar el valor de las demás. Ejemplo: 2X1 + 4X2 + 6X3 = 18 4X1 + 5X2 + 6X3 = 24 3X1 + 1X2 − 2X3 = 4 2 4 6 18 /2 4 5 6 24 3 1 −2 4 1 2 3 9 (−4) (−3) 4−4 5−8 6−12 24−36 3−3 1−6 −2−9 4−27 1239 0 −3 −6 −12 /(−3) 0 −5 −11 −23 1239 0 1 2 4 (5) 0 −5 +5 −11+10 −23+20 1239 3 0124 0 0 −1 −3 / (−1) X1 X2 X3 R 1 2 3 9 Ecuación 2 0 1 2 4 Ecuación 2 0 0 1 3 Ecuación 2 Matriz escalonada Se sustituye el valor de X3 = −3 en la ecuaciones de la matriz obtenida. Sustitución de X3 = −3 en la ecuación 2. X2 + 2 X3 = 4 X2 + 2(3) = 4 X2 + 6 = 4 X2 = 4−6 X2− = −2 X1 + 2 X2 + 3 X3 = 9 X1 + 2 (−2) + 3 (3) = 9 X1 − 4 + 9 = 9 X1 = 9−9+4 X1 = 4 Comprobación: 2X1 + 4X2 + 6X3 = 18 2(4) + 4(−2) + 6(3) = 18 8 − 8 + 18 = 18 18 = 18 Método de Gauss Jordan Consiste en encontrar una matriz identidad, y con los valores que se obtengan en el termino independiente, van a corresponder al valor de las incógnitas. 4 2X1 + 4X2 + 6X3 = 18 4X1 + 5X2 + 6X3 = 24 3X1 + 1X2 − 2X3 = 4 2 4 6 18 /2 4 5 6 24 3 1 −2 4 1 2 3 9 (−4) (−3) 4−4 5−8 6−12 24−36 3−3 1−6 −2−9 4−27 1239 0 −3 −6 −12 /(−3) 0 −5 −11 −23 1 2−2 3−4 9−8 0 1 2 4 (−2) (5) 0 −5 +5 −11+10 −23+20 1 0 −1 1 0124 0 0 −1 −3 / (−1) 1 0 −1+1 1+3 0 1 2−2 4−6 0 0 1 3 (−2) (1) 1004 0 1 0 −2 0013 X1 = 4 X2 = −2 5 X3 = 3 Sustitución de valores: 2X1 + 4X2 + 6X3 = 18 2(4) + 4(−2) + 6(3) = 18 8 − 8 + 18 = 18 18 = 18 3.4 Regla de Cramer 3X1 + 5X2 + 6 X3 =24 3X1 + X2 − 2X3 =4 2X1 + 4X2 + 6X3 =18 2 4 6 18 3 5 6 24 3 1 −2 4 Solución por el método de menores y cofactores: • Obtención del valor de D Se realiza con la matriz de los coeficientes. 24624 D=35635 3 1 −2 3 1 D =−20 + 72 +18 − 90 − 12 + 24 = − 8 • Obtención del valor de D1 Los valores de la columna 1 se cambian por los valores del termino independiente. 18 4 6 18 4 D1 = 24 5 6 24 5 4 1 −2 4 1 D1 = − 180 + 48 + 144 − 120 − 108 + 192 = 24 6 • Obtención del valor de D2 Los valores de la columna 2 se cambian por los valores del termino independiente. 2 18 6 18 4 D2 = 3 24 6 24 5 3 4 −2 4 1 D2 = − 96 + 324 + 72 − 4 32 − 48 + 108 = − 72 • Obtención del valor de D3 Los valores de la columna 3 se cambian por los valores del termino independiente. 2 4 18 2 4 D3 = 3 5 24 3 5 31431 D3 =40 + 288 + 54 − 270 − 48 + 48 = 14 Sustitución de los valores X1= D1/D X2= D2/D X3= D3/D X1= −24 /(−8)= −3 X2= −72 / (−8) = 9 X3= 16 / (−8) = −2 X1 = −24 / −8 = −3 2X1 + 4X2 + 6X3 =18 X2 = −72 / −8 = 9 2(−3) + 4(9) + 6(−2) = 18 X3 = 16 / −8 = −2 −6 +36 −12 = 18 • = 18 3.5 Sistemas Lineales Homogéneo Son aquellas en las que los valores del termino independiente son igual con cero. a11 X1 + a12 X2 + + a1n Xn = 0 a21 X1 + a22 X2 + + a2n X21 = 0 .... .... am1 X1 + am2 X2 + + amn Xn = 0 7 Hay dos tipos de solución: • La trivial = X1 = X2 = X3 = 0 • No trivial = " De soluciones Ejemplo: Solución por el método de Gauss Jordán. 4X1 − 1X2 = 0 4 −1 0 7X1 + 3X2 = 0 7 3 0 −8X1 + 6X2 = 0 −8 6 0 4 −1 0 /4 730 −8 6 0 1 −1/4 0 (−7) (8) 7−7 3+7/4 0 −8+8 6−2 0 1 −1/4 0 0 19/4 0 / (19/4) 040 1 −1/4+1/4 0 0 1 0 (+1/4) (−4) 0 4−4 0 1 0 0 X1 = X2 = 0 010 0 0 0 Solución trivial 3.6 Método Iterativo de Jacobi Este método consiste en despejar las variables X1, X2 , X3 X4 por cada reglon según el numero de ecuaciones dadas, después se le asigna un valor de cero, y se sustituye en la ecuación del despeje para encontrar el valor de la primera iteración y posteriormente, estos valores se sustituyen para encontrar el valor de la segunda ecuación, y así sucesivamente hasta encontrar el valor. 8 Ejemplo: 10X1 + 1X2 = 11 2X1 + 10X2 = 12 Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2. 10X1 + 1X2 = 11 10(1)+1 (1) = 11 11 = 11 3.7 Método de Iterativo de Gauss − Seidel. Es muy similar al anterior la diferencia es que los valores que se van obtenido desde el inicio de la sustitución, se van sustituyen a las siguiente ecuaciones (iteraciones). Ejemplo: 10X1 + 1X2 = 11 2X1 + 10X2 = 12 Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2. 10X1 + 1X2 = 11 10(1)+1 (1) = 11 11 = 11 Error aproximado "a = 1.00004−1.002 * 100 = −1.959 = .1959 % 9 1.00004 Matriz de los coeficientes Termino independiente Cambia el signo y la posición X = A−1 b El valor de las incógnitas Convergente : Se a próxima al valor real. Divergente: Se aleja del valor real. X2 = 12 − 2 X2 10 X1 = 11 − 1 X2 10 X 1 = X2 = 0 X2 = 12 − 2 (0) = 12/10 10 X1 = 11 − 1 (0) = 11/10 10 X2 = 12 − 2 (11/10) = .98 10 X1 = 11 − 1 (12/2) = .98 10 X2 = 12 − 2 (.98) = 1.004 10 X1 = 11 − 1 (.98) = 1.002 10 2X1 + 10X2 = 12 10 2(1) +10(1) = 12 12 = 12 X2 = 12 − 2 X2 10 X1 = 11 − 1 X2 10 X2 = 0 X2 = 12 − 2 (1.1) = .98 10 X1 = 11 − 1 (0) = 1.1 10 X2 = 12 − 2 (1.002) = .9996 10 X1 = 11 − 1 (.98) = 1.002 10 X2 = 12 − 2 (1.00002) = .999992 10 X1 = 11 − 1 (.9996) = 1.00002 10 2X1 + 10X2 = 12 2(1) +10(1) = 12 12 = 12 11