Relaciones no Congruentes

Relaciones no Congruentes 2011
Relaciones no congruentes
Como las definiciones de desigualdades de segmentos y de ángulos se darán en términos de las
desigualdades de números reales, es conveniente recordar algunas definiciones y propiedades de
éstos, que nos serán de utilidad.
Definición: Sean x, y números reales arbitrarios:
1. Decimos que x es menor que y, si 𝑦 − 𝑥 es un número real positivo. De otra manera, se dice
que y es mayor que x. Si x es menor que y, lo simbolizamos como 𝑥 < 𝑦; si 𝑦 es mayor que x,
lo simbolizamos por: 𝑦 > 𝑥.
2. Escribimos 𝑥 ≤ 𝑦 y se lee x menor o igual que y, si 𝑥 < 𝑦 o 𝑥 = 𝑦. También se escribe, en
este caso, 𝑦 ≥ 𝑥 y se lee y es mayor o igual que x.
De la definición anterior se derivan algunas propiedades, de las cuales citamos:
1. Para a, b números reales arbitrarios, sólo una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
𝑎 < 𝑏, 𝑏 < 𝑎, 𝑎 = 𝑏.
2. 𝑎 < 𝑏, 𝑏 < 𝑐 implica 𝑎 < 𝑐.
3. 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 𝑑 implica 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑.
4. 𝑎 < 𝑏 implica 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 para todo número real c.
5. 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 > 0 implica 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 .
6. Si 𝑎 < 𝑏 𝑐 > 0 implica que 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 .
7. Si 𝑎 ≤ 𝑏 𝑏 ≥ 𝑎 implica que 𝑎 = 𝑏
Definición:
̅̅̅̅
1.
Se
dice
que
el
segmento
𝐴𝐵
es
menor
que
el
segmento
̅̅̅̅
𝐶𝐷, si 𝑑(𝐴, 𝐵) < 𝑑(𝐶, 𝐷) y se escribe 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷 o 𝐶𝐷 > 𝐴𝐵 . La expresión 𝐴𝐵 ≤ 𝐶𝐷 significa
que 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷 o 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷.
2. Se dice que el ángulo ∠𝐴𝐵𝐶 es menor que el ángulo ∠𝐸𝐹𝐺 si la amplitud del ángulo ∠𝐴𝐵𝐶
es menor que la amplitud del ángulo ∠𝐸𝐹𝐺 .
Si dos segmentos ̅̅̅̅
𝐴𝐵 y ̅̅̅̅
𝐶𝐷 no son congruentes, entonces 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷 o 𝐴𝐵 > 𝐶𝐷 y lo denotamos
̅̅̅̅ ≠ 𝐶𝐷
̅̅̅̅. De la misma forma decimos que dos ángulos ∠𝐴𝐵𝐶 y ∠𝐸𝐹𝐺 son ángulos no
por 𝐴𝐵
congruentes, si uno de ellos es mayor que el otro y lo denotamos por: ∠𝐴𝐵𝐶 ≠ ∠𝐸𝐹𝐺 .
Definición: Si un triángulo no tiene ningún par de lados congruentes entonces se llama triángulo
escaleno.
1
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Relaciones entre ángulos de un triángulo.
Definición 3: Un ángulo exterior de un triángulo es el que se forma por la prolongación de uno
de los lados del triángulo y un lado del triángulo. Un ángulo exterior de un triángulo tiene como
ángulo adyacente uno de los ángulos interiores de un triángulo.
Teorema R1: En todo triángulo, la amplitud de un ángulo exterior, es igual a la suma de las
amplitudes los ángulos interiores no adyacentes a él.
C
D
A
B
Figura 72
Demostración: (Ejercicio)
Propiedades de los ángulos de un triángulo
Corolarios
1. Un triángulo tiene a lo sumo un ángulo recto. Si un triángulo tiene un ángulo recto sus
otros ángulos son agudos.
2. Un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso. Si tiene un ángulo obtuso sus otros dos
lados son agudos.
3. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son agudos.
4. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen un cateto y un ángulo agudo
respectivamente congruentes.
5. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un ángulo agudo
respectivamente congruentes.
Teorema R2 (Criterio de congruencia de triángulos LAA): Si en dos triángulos ∆𝐴𝐵𝐶 y
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅
∆𝐷𝐸𝐹, se satisfacen las siguientes congruencias, 𝐵𝐶
𝐸𝐹 , ∠𝐶𝐴𝐵 ≅ ∠𝐹𝐷𝐸, y ∠𝐶𝐵𝐴 ≅ ∠𝐹𝐸𝐷,
entonces ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹
Demostración:
̅̅̅̅ ≅ 𝐸𝐹
̅̅̅̅ .
Hipótesis: Sean ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐷𝐸𝐹 con ∠𝐶𝐴𝐵 ≅ ∠𝐹𝐷𝐸, ∠𝐶𝐵𝐴 ≅ ∠𝐹𝐸𝐷, 𝐵𝐶
Tesis: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹
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1. ∠𝐶𝐴𝐵 ≅ ∠𝐹𝐷𝐸, 𝑦 ∠𝐶𝐵𝐴 ≅ ∠𝐹𝐸𝐷 Por Hipótesis.
2. En el ∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝑚𝑝 ∠𝐶𝐴𝐵 + 𝑎𝑚𝑝 ∠𝐶𝐵𝐴 + 𝑎𝑚𝑝∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑎𝑚𝑝𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑜. Por
teorema C
3. En el ∆𝐷𝐸𝐹𝐴𝑚𝑝 ∠𝐹𝐷𝐸 + 𝑎𝑚𝑝 ∠𝐹𝐸𝐷 + 𝑎𝑚𝑝∠𝐷𝐹𝐸 = 𝑎𝑚𝑝𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑙𝑙𝑎𝑛𝑜
4. 𝑎𝑚𝑝∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑎𝑚𝑝∠𝐷𝐹𝐸
Igualando 2 y 3 y sustituyendo términos semejantes.
5. ∠𝐴𝐶𝐵 ≅ ∠𝐷𝐹𝐸
Definición de congruencia de ángulos
̅̅̅̅ ≅ 𝐸𝐹
̅̅̅̅
6. 𝐵𝐶
Por Hipótesis
7. ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹
Por criterio ALA de congruencia de triángulos
TeoremaR3: Todo segmento tiene un único punto medio.
Demostración. (Ejercicio)
Definición: El segmento que une uno de los vértices de un triángulo con el punto medio del lado
opuesto se llama mediana del triángulo.
Teorema R4: La mediana sobre la base de un triángulo isósceles divide al triángulo en dos
triángulos rectángulos congruentes. (Ejercicio)
Teorema R5: Las medianas sobre los lados congruentes de un triángulo isósceles son
congruentes.
̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ y sean 𝐵𝐵′
Hipótesis: Sea ∆𝐴𝐵𝐶 un triángulo isósceles tal que ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ 𝐵𝐶
𝐴𝐴′ las medianas de
̅̅̅̅ y 𝐵𝐵
̅̅̅̅
𝐴𝐶
̅̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅
Tesis: 𝐵𝐵′
𝐴𝐴′
Demostración:
A
B'
C
A'
B
Figura 73
3
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̅̅̅̅.
• Sea ∆𝐴𝐵𝐶 un triángulo isósceles con ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ 𝐵𝐶
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
• Sean 𝐴′ y 𝐵′ los puntos medios de los lados 𝐵𝐶
𝐴𝐶 respectivamente, entonces se cumple
que:
′ 𝐶 ≅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝐴𝐵′ ≅ 𝐵
𝐶𝐴′ ≅ ̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵 y ∠𝐶𝐴𝐵 ≅ ∠𝐶𝐵𝐴
Por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles.
• Luego, ∆𝐵′𝐴𝐵 ≅ ∆𝐴′𝐵𝐴. Por el criterio LAL.
̅̅̅̅̅ por ser elementos homólogos de triángulos congruentes.
Así, ̅̅̅̅̅
𝐴𝐴′ ≅ 𝐵𝐵′
Corolario: Las medianas de un triángulo equilátero son congruentes.
Definición: Se llama bisectriz de un triángulo a la bisectriz de uno de sus ángulos interiores. Un
triángulo tiene tres bisectrices una por cada ángulo interior de un triángulo.
Teorema R6: La bisectriz del ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles divide al
triángulo en dos triángulos rectángulos congruentes.
Demostración. (Ejercicio)
Teorema R7: Las bisectrices de los ángulos congruentes de un triángulo isósceles son
congruentes.
̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐶
̅̅̅̅ y sean 𝐵𝐸
̅̅̅̅ y
Hipótesis: Sea ∆𝐴𝐵𝐶 un triángulo isósceles, con ∠𝐶𝐴𝐵 ≅ ∠𝐶𝐵𝐴, tal que 𝐴𝐶
̅̅̅̅
𝐴𝐷 las bisectrices de los ángulos de ∠𝐶𝐴𝐵 y ∠𝐶𝐵𝐴 respectivamente,
Tesis: ̅̅̅̅
𝐴𝐷 ≅ ̅̅̅̅
𝐵𝐸
Demostración:
C
E
D
A
B
Figura 74
̅̅̅̅ la bisectriz del ángulo ∠𝐶𝐴𝐵
1. Sea el triángulo isósceles ∆𝐴𝐵𝐶 con ∠𝐶𝐴𝐵 ≅ ∠𝐶𝐵𝐴 y sean 𝐴𝐷
̅̅̅̅
y 𝐵𝐸 la bisectriz del ángulo ∠𝐶𝐵𝐴.
̅̅̅̅ es la bisectriz del ángulo ∠𝐶𝐴𝐵 y 𝐵𝐸
̅̅̅̅ la bisectriz del ángulo ∠𝐶𝐵𝐴, entonces:
2. Si 𝐴𝐷
∠𝐷𝐴𝐵 ≅ ∠𝐸𝐵𝐴
3. ∠𝐶𝐴𝐵 ≅ ∠𝐶𝐵𝐴 y ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅
𝐴𝐵
Por hipótesis
4. Luego ∆𝐷𝐵𝐴 ≅ ∆𝐸𝐵𝐴 . Por criterio ALA.
Por lo tanto se cumple que ̅̅̅̅
𝐴𝐷 ≅ ̅̅̅̅
𝐵𝐸
Por partes correspondientes de triángulos
congruentes.
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Teorema R8: Las bisectrices de los ángulos de un triángulo equilátero son congruentes.
Demostración. (Ejercicio)
Teorema R9: Las bisectrices de ángulos adyacentes forman un ángulo recto.
Demostración. (Ejercicio)
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Relaciones entre ángulos y lados de un triángulo
Teorema R10: Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces el ángulo opuesto al
lado mayor es mayor que el ángulo opuesto al lado menor.
̅̅̅̅ y ∠𝐶𝐵𝐴 opuesto a
Hipótesis: Sean ∆𝐴𝐵𝐶 un triángulo tal que 𝐶𝐵 > 𝐴𝐶, ∠𝐶𝐴𝐵 opuesto a 𝐶𝐵
̅̅̅̅
𝐴𝐶
Tesis: ∠𝐶𝐴𝐵 > ∠𝐶𝐵𝐴,
Demostración:
Figura 75






̅̅̅̅ y ∠𝐶𝐵𝐴 opuesto a ̅̅̅̅
Sea el ∆𝐴𝐵𝐶 con 𝐶𝐵 > 𝐴𝐶, , ∠𝐶𝐴𝐵 opuesto a 𝐶𝐵
𝐴𝐶
⃡
̅̅̅̅.
Puesto que 𝐶𝐵 > 𝐴𝐶 existe un punto D en la recta 𝐴𝐶 tal que C – A – D y ̅̅̅̅
𝐶𝐷 ≅ 𝐶𝐵
Entonces el triángulo ∆𝐷𝐶𝐵 es isósceles y por tanto ∠𝐶𝐷𝐵 ≅ ∠𝐶𝐵𝐷.
El ángulo∠𝐶𝐴𝐵 es exterior al ∆𝐴𝐷𝐵 , por lo tanto ∠𝐶𝐴𝐵 > ∠𝐶𝐷𝐵. Así mismo se satisface
que ∠𝐶𝐴𝐵 > ∠𝐶𝐵𝐷.
Por otra parte, ̅̅̅̅
𝐴𝐵 es interior al ∠𝐶𝐵𝐷, entonces ∠𝐶𝐵𝐷 > ∠𝐶𝐵𝐴.
Por transitividad de la desigualdad de ángulos se tiene que: ∠𝐶𝐴𝐵 > ∠𝐶𝐵𝐴.
Teorema R11: Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces el lado opuesto al
ángulo mayor es mayor que el lado opuesto al ángulo menor.
Demostración (Ejercicio).
Corolario: En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de sus lados.
Corolario: En un triángulo obtusángulo el lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los otros
dos lados.
Corolario: Todo triángulo equiángulo es equilátero.
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Relaciones entre los lados de un triángulo
Teorema R12: Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos lados del
triángulo y mayor que su diferencia.
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅
Hipótesis: Sean ̅̅̅̅
𝐴𝐵 , 𝐵𝐶
𝐴𝐶′ lados de un triángulo ∆𝐴𝐵𝐶
.
Tesis: 𝑨𝐵 < 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 < 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶, 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 y
𝐴𝐵 > 𝐴𝐶 − 𝐵𝐶,
𝐵𝐶 > 𝐴𝐵 − 𝐴𝐶,
𝐴𝐶 > 𝐵𝐶 − 𝐴𝐵
Demostración:
B'
C
B
A
Figura 76






Dado ∆𝐴𝐵𝐶, es suficiente con hacer la demostración para el lado mayor, sea éste ̅̅̅̅
𝐴𝐵 .
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
⃡
Construyamos el segmento 𝐶𝐵′ ≅ 𝐶𝐵 con 𝐵′ un punto de la recta 𝐴𝐶 tal que 𝐴 − 𝐶 − 𝐵′.
Entonces, ∆𝐶𝐵𝐵′ es isósceles y se tiene ∠𝐴𝐵′𝐵 ≅ ∠𝐶𝐵𝐵′
Puesto que 𝐵𝐶 es una semirrecta interior a ∠𝐴𝐵𝐵′ se cumple que ∠𝐶𝐵𝐵′ < ∠𝐴𝐵𝐵′.
En consecuencia, en el triángulo ∆𝐴𝐵𝐵′ se cumple que
𝐴𝐵 < 𝐴𝐵 ′ = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 ′ = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵, es decir 𝐴𝐵 < 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 .
Como ̅̅̅̅
𝐴𝐵 es el lado mayor del triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, se deduce que 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 y
𝐵𝐶 < 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶.
De ahí,
𝐵𝐶 > 𝐴𝐵 − 𝐴𝐶, 𝐴𝐶 > 𝐵𝐶 − 𝐴𝐵, y 𝐴𝐶 > 𝐵𝐶 − 𝐴𝐵
Teorema R13: Cualquier segmento que une un vértice de un ángulo de un triángulo con un punto
interior del segmento opuesto a dicho ángulo es menor que el lado mayor.
̅̅̅̅ es el lado mayor y ̅̅̅̅
Hipótesis: Sean ∆𝐴𝐵𝐶 un triángulo tal que 𝐵𝐶
𝐶𝐷 un segmento tal que C es
̅̅̅̅.
el vértice del ángulo ∠𝐴𝐶𝐵, y D un punto interior del lado 𝐴𝐵
Tesis: 𝐶𝐷 < 𝐵𝐶
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Demostración:
C
B
D
A
Figura 77





Puesto que 𝐵𝐶 > 𝐵𝐴 entonces
∠𝐵𝐴𝐶 > ∠𝐵𝐶𝐴. Por teorema R11.
Para el triángulo ∆𝐷𝐴𝐶 el ángulo ∠𝐵𝐷𝐶 es un ángulo exterior, luego ∠𝐵𝐷𝐶 > ∠𝐷𝐴𝐶 .
Como 𝐵𝐶 > 𝐴𝐶, entonces ∠𝐷𝐴𝐶 > ∠𝐴𝐵𝐶
Por propiedad transitiva de las desigualdades anteriores se tiene ∠𝐵𝐷𝐶 > ∠𝐴𝐵𝐶.
Luego en el triángulo ∆𝐵𝐷𝐶, se cumple que ∠𝐵𝐷𝐶 > ∠𝐷𝐵𝐶, por lo tanto 𝐶𝐷 < 𝐵𝐶.
Definición: La altura de un triángulo es la longitud del segmento perpendicular desde uno de
sus vértices del triángulo a la recta que contiene el lado opuesto a dicho vértice.
Nota:
 El segmento que determina la altura de un triángulo puede estar en el interior del triángulo o
puede ser exterior al triángulo.
 Si el triángulo es acutángulo las tres alturas son segmentos interiores al triángulo.
 Si el triángulo es obtusángulo una de las alturas es segmento interior al triángulo y las otras
dos son segmentos exteriores.
 Si el triángulo es rectángulo, los catetos son dos de sus alturas y la altura sobre la hipotenusa
es un segmento interior al triángulo.
Teorema R14: Un triángulo es isósceles, si y sólo si, tiene dos de sus alturas congruentes.
Demostración (Ejercicio).
Teorema R15: En un triángulo isósceles la altura sobre la base es a la vez mediana del triángulo
y bisectriz del ángulo opuesto.
Demostración (Ejercicio).
Corolario: En un triángulo equilátero las alturas, las medianas, y las bisectrices del triángulo
coinciden.
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